Системы радиоавтоматики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Системы радиоавтоматики

Системы автоматической настройки радиоустройств в соответствии с параметрами радиосигнала называются системами радиоавтоматики.

Наиболее распространенной моделью радиосигнала является гармоническое колебание с медленно меняющимися параметрами:

Системы радиоавтоматики разделяются на 3 вида:

1. Амплитудные.

2. Частотные.

3. Фазовые.

1. Амплитудная система.

Пример амплитудной системы: система автоматической регулировки усиления (АРУ). АРУ предназначена для поддержания примерной постоянной амплитуды несущего колебания.

EЗ - напряжение задержки.

Напряжение задержки появляется только в том случае, когда напряжение с АД превысит напряжение задержки:



АРУ - нелинейная система, параметрическая.

2. Частотная система.

Пример частотной системы: система автоматической подстройки частоты гетеродина (АПЧ, АПЧГ, ЧАП).

ЧД - частотный дискриминатор.

АПЧ - система излучения, предназначенная для поддержания промежуточной частоты примерно на середине АЧХ.

Характеристика частотного дискриминатора

Если fПЧ отличается от fПЧ ТРЕБ(центральная частота АПЧ) на ?f, то на выходе ЧД возникает напряжение UЧД.

3. Фазовая система.

Пример фазовой системы: система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ).

?ЭГ - эталонный генератор;

ФД - фазовый дискриминатор;

ПГ - подстраиваемый генератор.

Характеристика фазового дискриминатора:

Система ФАПЧ используется там, где необходимо поддерживать равенство частот ?ЭТ и ?ПГ с точностью до фазы.

Чтобы провести анализ системы необходимо составить ее математическую модель. Существуют 3 типа моделей:

1. Статическая модель.

2. Линейная модель.

3. Нелинейная модель.

Статическая модель системы АПЧГ

В статической модели учитываются только функциональные описания модели.

1. Смеситель представляет собой перемножитель, нагрузка которого является настроенной на частоту:

2. УПЧ: КУПЧ f =1.

3. Частотный дискриминатор, может быть реализован на двух расстроенных контурах:

Характеристика ЧД

4. ФНЧ - простейший фильтр НЧ:

Для обоих фильтров KФНЧ = 1.

5. УПТ: КУПТ.

6. ПГ - подстраиваемый генератор

Заменим каждый элемент схемы его статической моделью:

Преобразуем модель, объединив в алгебраическое устройство:

?fПЧ НАЧ - начальная расстройка.

Статическая модель описывается системой алгебраических уравнений, число которых равно количеству нелинейных элементов:

Статическая характеристика системы АПЧГ

Статическая характеристика системы АПЧГ - зависимость расстройки установившегося напряжения от начальной расстройки ?fПЧ УСТ(?fПЧ НАЧ).

Статическую характеристику построим на основании графического решения системы уравнений, описывающих статическую модель.

Статическая характеристика совпадает с решением систем уравнений, если состояние системы соответствующее этому решению возможно. Состояние возможно, если оно устойчиво. Состояние устойчиво при ООС, а также при ПОС, если коэффициент передачи по петле < 1.

Если K1> 0, K2> 0, то ООС.

Начальная расстройка при которой система АПЧ выходит из режима эффективной автоподстройки называется полосой удержания ?fУ.

Начальная расстройка при которой система входит в режим захвата называется полосой захвата ?fЗ.

Для оценки качества работы АПЧ используют коэффициент автоподстройки, равный отношению начальной расстройки к расстройки в установившемся режиме:

Коэффициент автоподстройки можно численно определить по линейной статической модели:

В радиоприемниках KАП ? 70 ? 80.

Линейная модель системы АПЧГ

Линейная модель позволяет определить устойчивость и качество регулирования при малых отклонениях от установившегося режима. При ее составлении все нелинейные зависимости заменяются линейными и учитываются динамические свойства наиболее узкополосных элементов. Кроме того, для расчета качества системы необходим учет возмущающих воздействий.



Нестабильность: ЧД - нестабильность параметров элементов схем ЧД; ПГ - нестабильность частоты ПГ.

Наиболее узкополосным элементом в системе является ФНЧ, далее по порядку увеличения частоты следует ЧД, УПЧ или ПГ, УПТ и смеситель. Будем считать УПТ и смеситель широкополосными, т. е. безынерционными элементами. Динамические свойства всех остальных элементов, кроме УПЧ, будем учитывать введением инерционного звена с передаточной функцией:

Для учета нестабильности параметров элементов схемы вводится медленно меняющееся отклонение переходной частоты частотного дискриминатора:

Входной шум учитывается как дополнительное шумовое напряжение на выходе ЧД:

Полученную модель можно преобразовать к типовому виду, пересчитав все воздействия ко входу или исследовать отдельно для каждого из воздействий.

Передаточные функции систем авторегулирования

Определим эти передаточные функции для конкретной модели:

ХЗ(t) - задающее воздействие, ХВ(t) - возмущающее воздействие.

Передаточная функция замкнутой системы:

Передаточная функция разомкнутой системы

Передаточная функция ошибки:

Передаточная функция по возмущению:

Передаточную функцию по любому воздействию можно записать по следующему правилу:

В знаменателе ставится (1+КР(р)), а в числителе передаточные функции элементов, находящихся между точками подачи воздействия и точками съёма выходного процесса.

Устойчивость линейных систем

Линейная система неустойчива, если при ограниченном входном воздействии выходной процесс неограничен.

Решение:

При ограниченном входном воздействии принужденная составляющая тоже ограничена, т.к. она связана с этим воздействием. Неограниченной может быть только свободная составляющая, которая является решением однородного дифференциального уравнения:

Характеристическое уравнение



рi - корни характеристического уравнения.

Линейная система устойчива, если все корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости; нейтрально устойчива, если хотя бы один корень нулевой; неустойчива, если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости.

Решение характеристического уравнения высокого порядка невозможно, поэтому обычно устойчивость определяется по некоторым критериям. Все критерии делятся на 2 группы:

1. Частотные критерии (критерий Михайлова и критерий Найквиста).

2. Алгебраические критерии (критерий Рауса - Гурвица).

Критерий устойчивости Михайлова

Устойчивость определяется по поведению частотного характеристического полинома (полинома Михайлова):

Линейная система устойчива, если при изменении частоты ? от -? до ? изменение аргумента полинома Михайлова равно n? радиан.



Найдем изменение аргумента отдельного сомножителя

Если корень находится в левой полуплоскости, то изменение аргумента вектора (j? - pi) равно ? радиан. Для устойчивой системы все аргументы находятся в левой полуплоскости, поэтому изменение аргумента:

Если корень находится в правой полуплоскости, то изменение аргумента вектора (j? - pi) равно -? радиан, потому, если система неустойчива и характеристическое уравнение имеет l корней в правой полуплоскости, то изменение аргумента^

Рассмотрим в качестве примера систему третьего порядка:

Т.к. действительная часть полинома Михайлова четная, а мнимая - нечетная, то годограф Михайлова образует две симметричные ветви для положительных и отрицательных частот. Поэтому можно анализировать изменение полинома только для положительных частот.

Для устойчивой линейной системы изменение частоты полинома Михайлова ? от 0 до ? равно n•(?/2) радиан, а для неустойчивой системы изменение полинома Михайлова равно (n - 2m)•(?/2) радиан.

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста применим только для замкнутых систем.

Замкнутая линейная система устойчива при неустойчивой разомкнутой, если изменение аргумента выражения {1 + КР(j?)} равно n? радиан при изменении частоты ? от 0 до ?, где n - количество положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Доказательство:

Пусть частотная характеристика разомкнутой системы равна:

B(j?) - полином Михайлова.

Полином Михайлова совпадает со знаменателем частотной характеристики, поэтому B(j?) является полиномом Михайлова разомкнутой системы.

Запишем частотную характеристику замкнутой системы:

A(j?) + B(j?) - полином Михайлова замкнутой системы.

Если мы считаем замкнутую систему устойчивой, поэтому изменение аргумента {A(j?) + B(j?)} равно n•(?/2); разомкнутая система неустойчива, поэтому:

Как правило, разомкнутая система устойчива и требование для анализа будет следующим:

Годограф разомкнутой системы:

Практическая формулировка критерия Найквиста: линейная замкнутая система устойчива при устойчивой разомкнутой системе, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1;0).

Достоинством критерия Найквиста является то, что можно определить и степень устойчивости, для этого вводятся запасы устойчивости по усилению ?K и по фазе ??.

Запас устойчивости по усилению показывает во сколько раз нужно изменить коэффициент передачи разомкнутой системы, чтобы замкнутая система из устойчивой стала неустойчивой.

Запас устойчивости по фазе показывает, какой фазовый сдвиг нужно внести в разомкнутую систему, чтобы замкнутая система из устойчивой системы стала неустойчивой системой.



Критерий устойчивости Найквиста для АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы: линейная замкнутая система устойчива при устойчивой разомкнутой системе, если в области частот, где АЧХ разомкнутой системы больше единицы и ФЧХ разомкнутой системы или не пересекает значения -?, или пересекает -? сверху вниз и снизу вверх одинаковое количество раз.

АЧХ системы, состоящей из последовательного соединения звеньев удобней строить в логарифмическоммасштабе, т.е. пользоваться логарифмическими частотными характеристиками.

Типовые линейные звенья

Построение логарифмических частотных характеристик облегчается использованием аппарата типовых линейных звеньев. Под типовыми линейными звеньями будем понимать математические звенья, из которых можно составить любую передаточную функцию в виде отношения полиномов.

Так как полином можно разложить на сомножители первого и второго порядка, то вводится 7 типовых линейных звеньев:

1. Безынерционное звено:

2. Интегрирующее звено:

3. Инерционное звено:

4. Колебательное звено:

5. Дифференцирующее звено:

6. Форсирующее звено:

7. Форсирующее звено второго порядка:

Построим логарифмические частотные характеристики для звеньев первого порядка.

1. Интегрирующее звено.

Построим ЛАХ и ЛФХ

Изменение коэффициента передачи приводит к перемещению ЛАХ вдоль вертикальной оси на 20•lg(K) параллельно самой себе.

2. Инерционное звено.

Построим асимптоты зависимости:

Пересечение асимптот на частоте ?C-сопрягающая частота.



Найдем отличие истинной ЛАХ от асимптотической, максимальное отличие на?С:

Т.к. отличие истинной ЛАХ от асимптотической мало, то при приближенном расчете можно пользоваться только асимптотическими ЛАХ.

ЛФХ звена на сопрягающей частоте равняется -?/4 и при отклонении на одну декаду от сопрягающей в сторону уменьшения приближается к нулю, а в сторону увеличения приближается к -?/2,т.е. фазовый сдвиг изменяется от 0 до -?/2 за две декады.

При изменении постоянной времени ЛФХ перемещаются параллельно самим себе вдоль оси частот.

Найдем логарифмические частотные характеристики для звеньев с опережением по фазе.

1. для форсирующего звена:

2. для дифференцирующего звена:

Логарифмические частотные характеристики отличаются от характеристик интегрирующего и инерционного звеньев только знаком.

Построение ЛЧХ последовательного соединения типовых линейных звеньев

При последовательном соединении звеньев их ЛЧХ складываются. ЛФХ строятся сложением характеристик отдельных звеньев, а при построении ЛАХ целесообразно складывать наклоны.

Порядок построения:

1) находятся все сопрягающие частоты и наносятся на оси частот;

2) на частоте ? = 1 откладывается значение L1 = 20•lg(К);

3) через полученную точку проводится вспомогательная прямая с наклоном 20•(k - l) дБ/дек, где k - количество дифференцирующих звеньев, l - количество интегрирующих звеньев;

4) по этой прямой проводится ЛАХ, начиная с очень низких частот до первой самой низкой сопрягающей частоты. Начиная с этой частоты наклон ЛАХ изменяется в соответствии с типом учитываемого звена. Увеличивается на 20 дБ для форсирующего и уменьшается на 20 дБ для инерционного звеньев.

Определение устойчивости системы АПЧГ поее ЛЧХ

В соответствии с критерием Найквиста замкнутая линейная система устойчива, если в области частот, где LР(?)>0, а ?Р(?) или не пересекает значение -?, или пересекает -? сверху вниз и снизу вверх одинаковое количество раз.

Пример:



Можно выделить 2 характерные частоты:

?СР - частота, на которой ЛАХ разомкнутой системы пересекает ось частот;

?КР - частота, на которой ЛФХ разомкнутой системы пересекает значение -?.

Для монотонной фазовой характеристики для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы ?СР<?КР.

Систему можно сделать устойчивой двумя путями:

1. уменьшением коэффициента передачи разомкнутой системы;

2. растягивание ЛФХ так, чтобы критическая частота зашла за частоту среза.

Однако уменьшение коэффициента передачи ухудшает точность системы, поэтому используется обычно второй путь - введение в систему узкополосного фильтра низких частот.



?L - запас устойчивости по усилению; ?? - запас устойчивости по фазе.

Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраический критерий позволяет определить устойчивость системы по коэффициентам характеристического уравнения.

Необходимое условие устойчивости:



Условие: Все коэффициенты характеристического полинома должны быть одного знака.

Необходимое и достаточное условие были получены независимо друг от друга Гауссом и Гурвицом.

Критерий Гурвица

Для определения устойчивости составляется матрица Гурвица. По главной диагонали записываются все коэффициенты полинома от an-1 до a0. Справа от главной диагонали записываются коэффициенты с увеличивающимися номерами, а слева с уменьшающимися, оставшиеся места заполняются нулями.

Матрица Гурвица:

Линейная система устойчива, если при положительномan все определители Гурвица положительны.

Общий недостаток алгебраических критериев - невозможность оценить степень устойчивости, причем трудно понять и причину неустойчивости.

Алгебраический критерий позволяет получить требование устойчивости в виде формул.

Устойчивость системы АПЧГ

Составим матрицу Гурвица:



1. TФНЧ = TЧД = TПГ = T

2. TФНЧ> TЧД> TПГ

На практике в АПЧГ обязательно есть элемент с большим T для обеспечения стабильной работы.



Последнее соотношение определяет требование к KР(p), исходя из знака ОС.

Качество регулирования

Качество определяется сравнением ожидаемого и получаемого.

?(t) - мера качества (ошибка) - разница между желаемым и действительным. Для следящих системKЖ(p) = 1.

Качество регулирования определяется для некоторых типовых воздействий, к которым реальные процессы могут быть близкими.

Виды воздействий:

1. полиномиальное воздействие - модель медленно меняющегося воздействия;

2. скачкообразное воздействие - модель быстро меняющегося процесса;

3. гармоническое воздействие - модель периодического процесса;

4. стационарный случайный процесс.

Для скачкообразного задающего воздействия при нулевом хЗ(t) получается следующая ошибка:

Т.е. мерой качества является отличие переходной характеристики замкнутой системы от единицы. Так как при наблюдении переходная характеристика автоматически сравнивается с единицей, то мерой качества считают саму переходную характеристику.

1. Качество регулирования можно определить по числовым показателям переходной характеристики.

1) tm - время достижения первого максимума;

2) tРЕГ - время регулирования;

3) ТВ - период колебания на вершине;

4) (?hm)/hУСТ *100 - перерегулирование.

2. Определение качества при гармоническом воздействии.

Показатель колебательности:

3. Определение качества при полиномиальном воздействии.

Качество регулирования при полиномиальном воздействии определяется для каждого из слагаемого полинома и соответственно получаются ошибки.

Виды ошибок:

1) статическая ошибка - при постоянном воздействии:

2) скоростная ошибка - при линейноменяющимся воздействии:

3) ошибка по ускорению - при квадратичном воздействии:

4. Стационарный случайный процесс.

x(t) - стационарный случайный процесс, как правило, нормальный.

Оценка качества регулирования по ЛЧХ разомкнутой системы

Гармоническое воздействие в области НЧ обрабатывается без ошибки.



Воздействия, спектр которых попадает в область ВЧ системой автоматического регулирования не обрабатываются.

От характера изменения частотной характеристики замкнутой системы в этом диапазон зависит и характер переходной характеристики.

Найдем связь формы частотной характеристики замкнутой системы с запасом устойчивости по фазе.

Найдем значение АЧХ замкнутой системы на ?СРдля некоторых значений ??:



От запаса устойчивости по фазе ?? зависит величина подъёма в АЧХ замкнутой системы и, следовательно, величина перерегулирования. Чем меньше ??, тем больше перерегулирование.

Эмпирическая формула:

Чтобы обеспечить запас устойчивости от 30о до 70о требуется, чтобы ЛАХ разомкнутой системы пересекала ось частот под наклоном -20 дБ/дек и длина участка с таким наклоном составляла ?1,5 декады.



Временные параметры переходной характеристики можно связать с ?СР:

Оценка качества регулирования при полиномиальном воздействии.

?(t) - ошибка

Связь ошибки:



Разложим KОШ(p):

Ошибки:

1) Статическая ошибка.

2) Скоростная ошибка.

3) Ошибка по ускорению.

Найдем коэффициенты разложения:



Коэффициенты:

По значению коэффициента S0 все системы авторегулирования делятся на 2 класса:

1) статические S0?0;

2) астатические S0=0.

Для астатических систем вводят порядок астатизма, который равен количеству первых нулевых коэффициентов.

Ошибки в статических и астатических системах

1. Статические системы.

Коэффициент передачи разомкнутой системы:

Возрастание во времени скоростной ошибки и ошибки по ускорению ограничивает область применения статических систем только системами стабилизации (т.е. системами, поддерживающими значение какого-либо параметра постоянными).

2. Астатические системы 1-го порядка.

Замкнутая система является астатической, если в состав разомкнутой системы входит интегратор.

Коэффициент передачи разомкнутой системы:

Так как скоростная ошибка постоянная, то астатические системы 1-го порядка могут использоваться как следящие системы.

3. Астатические системы 2-го порядка.

Порядок астатизма в замкнутой системе равен количеству интеграторов в разомкнутой системе.

Коэффициент передачи разомкнутой системы:

Ошибки определяются только слагаемыми низшего порядка передаточной функции разомкнутой системы: 1) статическая - a0 и b0; 2) скоростная - a0, b0, a1,b1; 3) по ускорению - a0, b0, a1,b1, a2, b2.

Чем выше порядок астатизма, тем меньше ошибки при обработке полиномиального воздействия. Но повышение порядка астатизма нецелесообразно, потому что затрудняет повышение устойчивости системы и потому, что существуют ошибки при других воздействиях.

Ошибки при случайных воздействиях

Это выражение показывает линейную связь между входными и выходными величинами. Выражение для энергетического спектра ошибки, при условии, что хЗ(t) и хВ(t) некоррелированы:

Возмущающее воздействие широкополосно и имеет постоянную спектральную плотность в пределах полосы пропускания, поэтому его можно считать белым шумом.

Двусторонняя спектральная плотность:



Эффективная шумовая полоса:

Как правило, изменение какого-либо параметра системы (коэффициента передачи, постоянной времени) приводит к взаимообратным изменениям дисперсии ошибок, поэтому существует оптимальное значение параметра, обеспечивающее минимум суммарной ошибки.

Покажем это на примере влияния полосы пропускания замкнутой системы на дисперсию ошибки.

?ГР- частота, при которой динамическая ошибка будет минимальной.



Типовые ЛАХ разомкнутой системы

Под типовыми ЛАХ будем понимать наиболее часто встречающиеся, отображенные практикой проектирования виды ЛАХ.

В НЧ определяют полиномиальные ошибки, в СЧ - вид переходные характеристики, в ВЧ - помехи.



1. НЧ

ЛАХ в области НЧ однозначно определяется значениями ошибок при полиномиальном воздействии.

Тип системы	Наклон ЛАХ	Ошибка
		Статическая	Скоростная	По ускорению
Статическая	0	X0 / (1 + K)	^~ t	^~ t2
Астатическая 1-ого порядка	- 20 дБ/дек	0	UX / K	^~ t
Астатическая 2-ого порядка	- 40 дБ/дек	0	0	aX / K

2. СЧ

Под ЛАХ в диапазоне СЧ определяют переходные процессы в системе. Чтобы переходной процесс был удовлетворительным ЛАХ должна пересекать ось частот под наклоном -20 дБ/дек и длина участка должна равняться приблизительно 1,5 декады.

Промежутки между ЛАХ, задаваемых ошибками, по уровню составляют 10 - 20 дБ. В этом диапазоне крутизна ЛАХ значительно измениться не сможет и обычно она равняется - 40 или - 60 дБ. Поэтому существуют следующие типовые ЛАХ:

1. Статическая система.

2. Астатическая 1-го порядка.

3. Астатическая2-го порядка.



Коррекция систем авторегулирования.

Коррекция необходима, если система, составленная из обязательных звеньев, не удовлетворяет заданным показателям качества. Коррекция осуществляется введением в систему дополнительных корректирующих звеньев. В зависимости от места включения звеньев различают 3 вида коррекции:

1) последовательная;

2) параллельная;

3) корректирующая обратная связь.

1. Последовательная коррекция.

КЖ(р) - желаемая передаточная функция.

Последовательная коррекция реализуется наиболее просто, потому она используется чаще, чем другие виды коррекции.

2. Параллельная коррекция.

Параллельная коррекция сложнее, потому что:

1) Корректирующая цепь должна иметь такую же структуру, как и обязательная;

2) Требуется обеспечить одностороннее прохождение через цепь.

Так как параллельная коррекция не имеет преимуществ перед последовательной, то она встречается реже, и там, где параллельные соединения требуются по каким-либо другим причинам.

3. Корректирующая обратная связь.



Корректирующая обратная связь обычно используется, когда требуется значительно изменить частотную характеристику обязательных звеньев в некотором диапазоне частот, причем в этом диапазоне частот выполняется условие:

Последовательная коррекция астатической системы 1-го порядка

Система ФАПЧ:

Фазовый дискриминатор:

Линейная модель:

Построим ЛАХ и ЛФХ системы, составленной из обязательных звеньев.

Система, составленная из обязательных звеньев с принятыми значениями параметров находится на грани устойчивости, так как ?СР=?КР, поэтому нуждается в коррекции.Необходимо сузить полосу пропускания.

Построим желаемую ЛАХ, основываясь на типовой ЛАХ разомкнутой системы. Соединим построенный участок желаемой ЛАХ и ЛАХ обязательных элементов линией - 40 дБ/дек. В области частот больше ?СР проведем желаемую ЛАХ параллельно ЛАХ обязательных звеньев, чтобы не подключать дополнительных ВЧ устройств. ЛАХ корректирующей цепи строится как разность ЛАХ желаемой и ЛАХ обязательных элементов:

Пропорционально - интегрирующий фильтр:

Коррекция астатических систем 1-го порядка осуществляется введением пропорционально интегрирующих цепей.

Нелинейные системы

Нелинейная модель системы ФАПЧ.

Обращение к нелинейной модели необходимо, когда возникают вопросы захвата и срыва слежения. Типичной нелинейной системой является система ФАПЧ, которая может находиться в нелинейном режиме работы при любой начальной подстройке. Так как нелинейная модель описывается нелинейным дифференциальным уравнением, то стараются по возможности эту систему упростить. Поэтому при составлении нелинейной модели учитывают нелинейные свойства одного элемента и динамические свойства наиболее узкополосных элементов (обычно одного или двух).



Для удобства математического описания будем считать дискриминационную характеристику фазового дискриминатора синусоидальной.

Нелинейная модель:

Составим дифференциальное уравнение системы. Оно будет иметь наиболее простой вид, если в качестве независимой переменной используется входная переменная нелинейного типа.

Полоса удержания ?У - максимальное отклонения частоты перестраиваемого генератора.

Систему ФАПЧ называют идеализированной, если КФНЧ(р) = 1 и дифференциальное уравнение идеализированной системы ФАПЧ:

Методы анализа нелинейных систем

Универсального метода анализа нелинейных систем нет, поэтому метод выбирается в соответствии с решаемой задачей.

Группы методов:

1. точные аналитические (используются редко);

2. приближенные аналитические:

a) использование аппроксимации характеристики нелинейного элемента, позволяющей решить дифференциальное уравнение (кусочно-линейная аппроксимация);

b) использование аппроксимации решения (методы гармонического баланса);

c) графо-аналитические методы (методы пространства состояний или фазового пространства);

3. числовые методы (аналоговое и цифровое моделирование).

Фазовый портрет идеализированной системы ФАПЧ

Фазовый портрет представляет собой качественное решение нелинейного дифференциального уравнения. Оно изображается в декартовой системе координат, по осям которой откладывается искомая величина ? и ее производная d?/dt. В любой момент времени состояние системы характеризуется определенными значениями, текущей разностью фаз ? и мгновенной расстройкой d?/dt, и на фазовой плоскости отображается точкой, которая называется изображающей. С течением времени ? и d?/dt изменяются и изображающая точка движется по фазовой плоскости. След от этого движения называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, построенных для различных начальных условий, называется фазовым портретом. Уравнение фазового портрета совпадает с дифференциальным уравнением системы (по форме). Для идеализированной системы ФАПЧ оно имеет вид:

Направление движения изображающей точки определяется по формальному правилу:

Если производная функции положительна, то функция возрастает и наоборот, если производная отрицательна, то функция убывает.

Точки, в которых сходятся несколько фазовых траекторий, называются особыми точками. Особые точки соответствуют установившемуся состоянию равновесия в системе. Если траектории входят в особую точку, то она называется устойчивой, если выходят - неустойчивой. Соответствующим будет и режим.

По фазовому портрету можно определить:

1) устойчивость системы;

2) статические характеристики;

3) переходные процессы.

Для нелинейных систем различают устойчивость в малом и устойчивость в большом, в зависимости от начальных условий. Система считается устойчивой в малом, если при снятии малого возмущения она возвращается в исходное положение. По фазовому портрету эта устойчивость определяется так: если в фазовом портрете существуют устойчивые особые точки, то система устойчива в малом. Устойчивость в большом определяет диапазон начальных условий, в пределах которого система будет устойчива в малом. Начальные условия: ?Н, ?Н.

?Н - начальная расстройка.

При любой начальной разности фаз изображающая точка будет стремиться к устойчивой особой точке и система будет устойчива в малом.

При изменении начальной расстройки линии, соответствующие фазовым траекториям, перемещаются по вертикали. Если начальная расстройка ?Н будет дольше полосы удержания ?У, то фазовая траектория пройдет над осью ? и особых точек не будет, значит условие устойчивости в большом: |?Н| < ?У.

Статические характеристики идеализированной системы ФАПЧ

Основной статической характеристикой является зависимость расстройки в установившемся режиме от начальной расстройки ?УСТ(?Н) и вспомогательной - зависимость разности фаз в установившемся режиме от начальной расстройки ?УСТ(?Н).

Статические характеристики строятся по фазовому портрету как зависимости координат устойчивых особых точек от начальной расстройки.



При ?Н=?У неустойчивые и устойчивые особые точки сливаются, образуя полуустойчивую особую точку. Для этой точки отклонение в сторону уменьшения разности фаз не приводит к неустойчивости системы.Так как присмещенииэтого отклонения изображающая точка стремится к устойчивой особой точке.Отклонение в сторону увеличения разности фаз приводит к движению изображающей точки к следующей полуустойчивой. При этом движении разность фаз ? изменяется на 2? (перескок фаз), а мгновенная расстройка d?/dt изменяется от 0 до 2?У и до 0.

В зависимости от ?Н система ФАПЧ может находиться в 3 режимах:

1) в режиме удержания, когда ?УСТ=0, при |?Н|<?У;

2) в режиме биений, когда ?МГН. УСТ. ? ?Н±?У, при |?Н|>?У;

3) в режиме захвата, когда |?Н|=?У.

Переходные процессы в идеализированной системе ФАПЧ

В явной форме время в фазовом портрете не присутствует, однако его можно подсчитать, зная искомые координаты и их производные.

Найдем время, в течение которого изображающая точка переместиться из положения n в положение n+1.



Для построения переходного процесса по фазовой траектории требуется на фазовую траекторию нанести временный масштаб, т.е. разбить фазовую траекторию на отрезки, которые изображающая точка будет проходить за одно и то же время.

Для приближенного построения переходных процессов воспользуемся следующим правилом: чем дальше изображающая точка находится от оси ?, тем быстрее она движется.

Рассмотрим переходные процессы в режиме удержания.



Так как по мере движения изображающей точки из положения 1 ее вертикальная координата уменьшается, то переходной процесс изображается линией с постоянно уменьшающейся производной.

Если начальное положение изображающей точки с координатами ?Н и ?Н находится не на фазовой траектории, то при замыкании системы изображающая точка мгновенно переходит на фазовую траекторию по вертикальной линии.

В идеализированной системе скачок частоты возможен, так как напряжение с фазового дискриминатора мгновенно передается на перестраиваемый генератор и мгновенно изменяет его частоту. Так как скорость изменения мгновенной частоты нам неизвестна, то переходной процесс по частоте ?МГН(t) будем строить на основе уже известной зависимости ?(t) и связи d?/dt и ?, задаваемой фазовым портретом. Длительность переходных процессов зависит от начальной разности фаз и может изменяться от 0 и до ?.

Рассмотрим переходные процессы в режиме биений

Среднее значение расстройки ?СР всегда меньше ?НАЧ, так как время, в течение которого частоты сближаются больше времени, в течение которого частоты отличаются значительно, т.е.(?t1) > (?t2).

По мере приближения ?Нк ?У ?t1 все больше отличается от ?t2 (?t1 увеличивается значительно, а ?t2 остается неизменным).

Максимальная скорость уменьшилась в 1,2 раза; минимальная скорость уменьшилась в 5 раз.

Характер переходных процессов в режиме биений позволяет дополнить построенную зависимость?МИН(?Н) зависимостью ?СР(?Н).

Метод гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации используется для анализа гармонических процессов в системах с разделяющимися нелинейными и линейными частями. Причем линейная часть должна быть настолько узкополосна, что может пропускать только первую гармонику колебания.

Первая гармоника:

Нелинейный элемент системы заменяется линейным, коэффициент передачи которого равен отношению комплексной амплитуды первой гармоники на выходе нелинейного элемента к амплитуде сигнала на входе нелинейного элемента.

Для нахождения комплексной амплитуды обычно находят синфазную и квадратурную составляющие первой гармоники.



Найдем условие возникновения колебаний в релейной системе АПЧ.

Найдем коэффициент передачи релейного частотного дискриминатора.



Подынтегральное выражение:



Составим линейную модель системы РПЧ:

По критерию Найквиста для систем на грани устойчивости:



При С=С1 - автоколебания не возникают.

При С=С2 - будут автоколебания.

Метод статистической линеаризации

Статистическая линеаризация используется для расчета случайных ошибок в нелинейных системах и определений условий срыва слежения при наличие мощных случайных помех.

Линейные и нелинейные части должны разделяться.

Заменим нелинейный элемент эквивалентным ему линейным:

Считается, что все случайные процессы можно представить в виде суммы медленно меняющегося математического ожидания и центрированного случайного процесса.

Эквивалентность процессов v(t) и z(t) понимается только в рамках числовых показателей, как правило, математического ожидания и дисперсии.



Обычно используется 2 критерия эквивалентности:

1) равенство математического ожидания и дисперсии процессов v(t) и z(t);

2) критерий минимума среднеквадратического отклонения процессов v(t) и z(t).

1 критерий:

2 критерий:

Находим минимум подбором К0 и К1:

Рассмотрим методику расчета ошибок в нелинейной системе при случайном воздействии.

Так как возмущающее воздействие широкополосно и математическое ожидание равняется нулю:

Так как задающее воздействие - медленно меняющаяся функция, ее можно считать постоянной:

Так как нелинейный элемент заменяется двумя линейными для математического ожидания и для центрирующего случайного процесса, то исходная схема заменяется двумя моделями.

Модель для математического ожидания:

Модель для центрированной случайной величины:

автоматический радиоустройство дискриминатор автоподстройка

Параметры ошибки u(t), т.е. математическое ожидание и дисперсия являются решением системы уравнений, описывающих эти модели.

SX(?) - энергетический спектр входного воздействия.

Срыв слежения можно определить по неограниченному возрастанию дисперсии ошибки при увеличении дисперсии входного воздействия.

Импульсные, цифровые и дискретные системы автоматики

1. Импульсные системы.

Импульсными называются системы, в которых информация в какой-либо точке передается с помощью импульсной модуляции. Может использоваться любой тип модуляции, но чаще всего амплитудный.

Приведенная структурная схема импульсной системы:

АИМ-1:

АИМ-2:

Системы АИМ-1 - системы с конечным временем съема данных.

2. Цифровые системы.

Цифровыми называются системы, в которых в какой-либо точке информация передается с помощью КИМ (кодоимпульсной модуляции), т.е. в цифровом виде.

Цифровые системы делятся на 2 типа:

1) полностью цифровые, в которых аналого-цифровое преобразование производится до дискриминатора, а вся система реализуется как специализированный вычислитель.

2) аналого-цифровые системы, в которых АЦП и ЦАП находятся внутри контура регулирования.

3. Дискретные системы.

Дискретные системы являются математической моделью, к которой при некоторых условиях можно свести импульсные и импульсно-цифровые системы.

В дискретной системе сигналы представляются в виде отсчетов в дискретный момент времени, имеющих любое значение.

Дискретная:

Импульсная:

Цифровая:

Импульсную систему можно свести к дискретной, если длительность импульсов мала по сравнению с периодом. Цифровую систему можно свести к дискретной, если шаг квантования мал.

Математическое описание дискретных процессов

Дискретные функции определены только для дискретного аргумента и при фиксированном интервале между отсчетамиТназываются решетчатыми функциями.

Решетчатая функция:

Для описания значений процессов , сдвинутых относительно момента времени nT на интервал ?t используется смещенная решетчатая функция:

Смещенная решетчатая функция используется для описания непрерывных процессов, если считать ?t непрерывно изменяющимся в интервале (0;Т).

Для унификации анализа систем решетчатые функции нормируются по времени, путем введения относительного времени:

Нормированная решетчатая функция:

где ? - относительное смещение:

Для решетчатых функций существуют понятия, аналогичные понятиям для непрерывных функций. Например, эквивалентом производной для непрерывной функции является разность.

Аналогично вводятся разности более высоких порядков. Например, 2-го порядка:

3-го порядка:

Разность любого порядка можно записать через значения решетчатой функции:

Для решетчатой функции аналогом дифференциального уравнения является разностное уравнение. Разностное уравнение можно записать в 2 формах:

1) каноническая форма:

2) рекуррентная форма:

По разностному уравнению можно записать передаточную функцию системы, взяв разностное уравнение дискретного преобразования Лапласа (ДПЛ). ДПЛ существует в 2 формах:

1) В форме D-преобразования.

2) В форме Z-преобразования.

D-преобразование функции x[n]:

Z-преобразование функции x[n]:

Найдем Z-преобразование решетчатой функции , сдвинутой на целое число периодов, если:

При нулевых начальных условиях получается:

Возьмем дискретное преобразование от разностного уравнения в рекуррентной форме:

Передаточная функция:

Устойчивость дискретных систем

Считаем, что система устойчива, если при ограниченном входном воздействии выходной процесс тоже ограничен. Используем прямой метод оценки устойчивости, решая разностное уравнение.

Решение:

При ограниченном входном воздействии принужденная составляющая тоже будет ограниченной, т.к. она определяется тоже этим воздействием, значит, неограниченной может быть только свободная составляющая, которая является решением однородного дифференциального уравнения.

Решение этого уравнения записывается в виде суммы дискретных экспонент.

Непрерывная экспонента:

Дискретная экспонента:

где zi - корни характеристического уравнения:

Система устойчива, если:

Ai - не могут быть ? и нулевыми, поэтому:

Дискретная система устойчива, если все корни характеристического уравнения находятся внутри окружности единичного радиуса.

Для определения устойчивости систем обычно пользуются не этим условием, а критериями устойчивости. Эти критерии называются также как и для непрерывных систем.

Критерий устойчивости Гурвица

Критерий Гурвица, сформулированный для непрерывных систем, определяет требования к коэффициентам характеристического уравнения, при выполнении которых корни будут находиться в левой полуплоскости. Нам же нужно определить требования, при которых корни характеристического уравнения будут находиться внутри окружности единичного радиуса.

Для отображения внутренности окружности в левую полуплоскость используется билинейное преобразование:

Сначала нужно характеристическое уравнение преобразовать к другой переменной.



Для определения устойчивости составляется матрица Гурвица:

Дискретная система устойчива, если при СК'>0 все определители Гурвица положительны.

Переходные процессы в дискретных системах

Возможны 2 пути расчета переходных характеристик:

1. Переходные характеристики находятся как решения разностного уравнения, при входном процессе x[n]=1[n], где 1[n] - единичная функция.

2. Переходная характеристика находится как оригинал от изображения переходной характеристики:



Найдем изображение единичной функции 1[n]:

Переход к оригиналу можно осуществить так же как для непрерывных систем, а можно воспользоваться и разложением в ряд по степеням z-1 (ряд Лорана).

По этому разложению можно записать переходную характеристику, если учесть Z-преобразование от переходной характеристики.

Определим связь вида переходной характеристики с положением корней характеристического уравнения.



Пусть существует единственный корень:

1. 0<z1<1

В данном случае переходная характеристика монотонна и с увеличением z1 будет медленнее стремиться к единице.

2. -1< z1 <0



В данном случае переходная характеристика - колебания с периодом колебаний равным двум интервалам дискретизации. Чем ближе z1 к -1, тем больше амплитуда колебаний и медленнее затухания на вершине переходного процесса.

3. z1 = 0

Получается переходная характеристика конечной длительности, если нулевых корней l, то длительность переходного процесса l•T.

Рассмотрим переходную характеристику для двух комплексно-сопряженных корней.

В данном случае переходная характеристика колебания, с периодом колебаний зависящим от аргумента корня и амплитудой колебаний зависящей от модуля контура.

Период колебаний определяется из условия:

Ошибки в дискретных системах

Изображение ошибки:

Динамическая ошибка при полиномиальном воздействии.

Для перехода к оригиналу необходимо разложить передаточную функцию ошибки в ряд по операторам разности.

Дискретные системы в зависимости от значения коэффициентов подразделяются, так же как и непрерывные, на статические и астатические.

1. Статическая ошибка.

аналогична непрерывной.

2. Скоростная ошибка.

3. Ошибка по ускорению.

4. Ошибка по возмущению.

Корреляционная функция ошибки:

Дисперсия ошибки по возмущению:

Предположим, что возмущающее воздействие является белым шумом, тогда:

Коэффициент изменения дисперсии:

Дискретная система будет обладать свойствами сглаживания (уменьшения случайной ошибки единичных измерений), если значение импульсной характеристики g[i]<<1.

Связь с переходной характеристикой

Так как импульсная характеристика равна разности переходной характеристики, то требование g[i]<<1 эквивалентно требованию малых приращений переходной характеристики за интервал дискретизации и, следовательно, большой длительности переходной характеристики.

Дискретная модель импульсной системы.

Выходной процесс импульсного элемента представляет собой последовательность импульсов:

Теория дискретных систем хорошо разработана для АИМ - II рода, когда импульсы имеют неизменную форму, а в зависимости от входного сигнала меняется только их амплитуда.



В данном случае импульсный элемент можно заменить идеальным ?-импульсным элементом и формирующим фильтром.

Переходная характеристика фильтра определяется как преобразование Лапласа от формы импульса:

Передаточная функция приведенной непрерывной части определяется как:

Конечная модель:

Для получения дискретной модели перейдем к решетчатым функциям. Непрерывные процессы описываются смещенными решетчатыми функциями.

Рассмотрим, как описать операцию дискретизации.

Считается, что при дискретизации выходная величина принимает значение равное значению входной величины слева от момента дискретизации.

Перенесем в модели операцию дискретизации за вычитающее устройство:

Входным и выходным процессами приведенной непрерывной части являются решетчатые функции, поэтому вместо обычной передаточной функции К(q) следует пользоваться дискретной передаточной функцией К(z,?), где К(z,?)=Z{ К(q)} и находится по таблицам Z-преобразований.

Найдем передаточную функцию замкнутой системы:

По модели:

Дискретная модель полностью цифровой системы

Составим математическую модель АЦП.

АЦП как математический элемент совершает следующие операции:

1) дискретизация процесса во времени;

2) квантование процесса по уровню;

3) преобразование размерного входного процесса в безразмерные цифры.

Будем считать, что принимается тот уровень квантования, который ближе к квантуемой величине.

?КВ- шум квантования.

При малом шаге квантования считают, что шум квантования является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале (-hX/2;hX/2).

Составим математическую модель.

?ОКР - шум округления.

Дискретная модель цифро-аналоговой системы

Составим математическую модель цифро-аналогового преобразования.

ЦАП как математический элемент выполняет следующие функции:

1. преобразование безразмерного кода в размерную величину (осуществляется умножением на шаг квантования);

2. преобразование отсчетов процесса в непрерывные процессы (осуществляется фиксатором нулевого порядка).

Это преобразование осуществляется фиксатором нулевого порядка. Найдем передаточную функцию фиксатора нулевого порядка.

Перенесем ключ и линейное устройство КДИС(q) через вычитающее устройство и объединим все операции с комплексной переменной Z.

Так как входом непрерывной части с передаточной функцией КНЧ(q)=1/q • КОР (q) • КДИС(q) является решетчатая функция, а с выхода ее снимаются отсчеты, следующие через интервал дискретизации, то нужно описать эту непрерывную часть дискретной передаточной функцией:

Получаем следующую модель:

Размещено на Allbest.ru