Вейвлет-аналіз як особливий тип лінійного перетворення сигналів та фізичних даних

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Вступ

1. Вейвлети та вейвлет аналіз

2. Кратномасштабний аналіз

3. Частотний підхід та швидке вейвлет-перетворення

4. Дискретне вейвлет-перетворення та часові ряди. Напрямки їх використання для аналізу часових рядів, обробки сигналів та зображень, кодування інформації

Висновок

Вступ

Термін «вейвлет» (wavelet) в перекладі з англійської означає «маленька (коротка) хвиля». Вейвлети - це узагальнена назва сімейства математичних функцій певної форми, які є локальними в часі та частоті, та в яких всі складові функції отримуються з однієї базової (батьківської) за допомогою зсувів та розтягувань по осі часу.

Деякі ідеї теорії вейвлетів з'явилися дуже давно. Наприклад, вже в 1910 році А.Хаар опублікував повну ортонормальну систему базисних функцій з локальною областю визначення (тепер вони називаються вейвлетами Хаару). Перша згадка про вейвлети з'явилася в літературі по цифровій обробці і аналізу сейсмічних сигналів (роботи А.Гроссмана і Ж.Морле).

Не дивлячись на те, що теорія вейвлет-перетворення вже в основному розроблена, точного визначення, що ж таке "вейвлет", які функції можна назвати вейвлетами, наскільки відомо, не існує. Вейвлети можуть бути: - ортогональними; - напівортогональними;- біортогональними.

Ці функції можуть бути симетричними, асиметричними і несиметричними. Розрізняють вейвлети з компактною областю визначення і що не мають такий. Деякі функції мають аналітичне вираження, інші - швидкий алгоритм обчислення пов'язаного з ними вейвлет-перетворення. Як правило, вейвлет-перетворення (WT) поділяють на дискретне (DWT) і безперервне (CWT). Вейвлет-аналіз є особливим типом лінійного перетворення сигналів та фізичних даних. Не дивлячись на те, що математичний апарат вейвлет-аналізу добре розроблений і теорія, загалом, оформилася, вейвлети залишають обширне поле для досліджень. Досить сказати, що вибір вейвлета, найбільш відповідного для аналізу конкретних даних, є швидше мистецтвом, чим рутинною процедурою.

1. Вейвлети та вейвлет аналіз

Вейвлети - це математичні функції, що дозволяють аналізувати різні частотні компоненти даних. Вейвлети володіють істотними перевагами в порівнянні з перетворенням Фур'є, тому що вейвлет-перетворення дозволяє судити не лише про частотний спектр сигналу, але також про те, в який момент часу з'явилася та або інша гармоніка. З їх допомогою можна легко аналізувати переривисті сигнали, або сигнали з гострими сплесками. Крім того вейвлети дозволяють аналізувати дані згідно з масштабом, на одному із заданих рівнів (дрібному або великому).

Унікальні властивості вейвлетів дозволяють сконструювати базис, в якому представлення даних виражатиметься всього декількома ненульовими коефіцієнтами. Ця властивість робить вейвлети дуже привабливими для упаковки даних, у тому числі відео- і аудіо-інформації. Дрібні коефіцієнти розкладання можуть бути відкинуті відповідно до вибраного алгоритму без значного впливу на якість упакованих даних.

Вейвлети знайшли широке вживання в цифровій обробці зображення, обробці сигналів і аналізі даних. Існує два класи вейльвет-перетворень: безперервні і дискретні. Вейвлет-аналіз виник при обробці записів сейсмодатчиков в нафторозвідці і із самого початку був орієнтований на локалізацію різномасштабних деталей. Техніку, що виросла з цих ідей, тепер зазвичай називають безперервним вейвлет-аналізом. Її основні застосування: локалізація і класифікація особливих точок сигналу, частотно-часовий аналіз нестаціонарних сигналів. Наприклад, в таких сигналів, як музика і мова, спектр радикально міняється в часі, а характер цих змін - дуже важлива інформація. Безперервне вейвлет-перетворення також використовується в медицині для аналізу електрокардіограм. Інша гілка вейвлет-аналізу - ортогональний вейвлет-аналіз. Головні його вживання - стискування даних і придушення шумів.

Вейвлетного аналіз являє собою особливий тип лінійного перетворення сигналів і фізичних даних. Базис власних функцій, за яким проводиться вейвлетного розкладання сигналів, володіє багатьма специфічними властивостями і можливостями. Вейвлетного функції базису дозволяють сконцентрувати увагу на тих чи інших локальних особливостях аналізованих процесів, які не можуть бути виявлені за допомогою традиційних перетворень Фур'є і Лапласа. До таких процесів в геофізиці відносяться поля різних фізичних параметрів природних середовищ. У першу чергу це стосується полів температури, тиску, профілів сейсмічних трас та інших фізичних величин.

Вейвлети мають вигляд коротких хвильових пакетів з нульовим середнім значенням, локалізованих по осі аргументів (незалежних змінних), інваріантних до зсуву і лінійних до операції масштабування (стиснення / розтягування). По локалізації в часовому і частотному представленні вейвлети займають проміжне положення між гармонійними функціями, локалізованими по частоті, і функцією Дірака, локалізованої в часі.

Теорія вейвлетів не є фундаментальною фізичною теорією, але вона дає зручний і ефективний інструмент для вирішення багатьох практичних завдань. Основна область застосування вейвлетного перетворень - аналіз і обробка сигналів і функцій, нестаціонарних в часі або неоднорідних в просторі, коли результати аналізу повинні містити не тільки частотну характеристику сигналу (розподіл енергії сигналу по частотних складових), а й відомості про локальні координатах, на яких виявляють себе ті чи інші групи частотних складових або на яких відбуваються швидкі зміни частотних складових сигналу. У порівнянні з розкладанням сигналів на ряди Фур'є вейвлети здатні з набагато більш високою точністю представляти локальні особливості сигналів, аж до розривів 1-го роду (стрибків). На відміну від перетворень Фур'є, вейвлет-перетворення одновимірних сигналів забезпечує двовимірну розгортку, при цьому частота і координата розглядаються як незалежні змінні, що дає можливість аналізу сигналів відразу в двох просторах.

2. Кратномасштабний аналіз

У практиці передачі інформації часто потрібно представити сигнал у вигляді сукупності його послідовних наближень. Наприклад, при перегляді і передачі зображень з вибіркою з деякої бази даних можна спочатку передати грубу його версію, а потім (при необхідності) послідовно її уточнювати. При стисненні зображень часто без втрати якості можна прибирати з зображення незначущі дрібномасштабні деталі.

Довільний інформаційний сигнал зазвичай розглядається у вигляді суми різнотипних складових: регіональної функції тренда, циклічних компонент з певним періодом повторення, локальних особливостей (аномалій) різного порядку і флуктуацій (шумів) навколо всіх вищеперелічених складових сигналу. Інструментом поділу (декомпозиції) сигналів на такі складові, аналізу їх порядку та реконструкції сигналів з певних складових (або з виключенням певних складових, наприклад шумів або малозначущих деталей) є кратномасштабний (багатомасштабних) аналіз (КМА). КМА дозволяє отримати хорошу дозвіл за часом (погане за частотою) на високих частотах і гарний дозвіл по частоті (погане за часом) на низьких частотах. Цей підхід стає ефективним, якщо сигнал має короткі високочастотні компоненти і протяжні низькочастотні компоненти. Саме такі сигнали і зустрічаються найчастіше.

Ідея кратномасштабного аналізу полягає в тому, що розкладання сигналу проводиться по ортогональному базису, освіченій зрушеннями і кратномасштабнимі копіями вейвлетного функції. Згортка сигналу з вейвлетами дозволяє виділити характерні особливості сигналу в області локалізації цих вейвлетів, причому, чим більший масштаб має вейвлет, тим більше широка область сигналу буде впливати на результат згортки.Поняття кратномасштабного аналізу (аналіз Кратномасштабний) є фундаментальним в теорії вейвлетів. Для кратномасштабного аналізу розроблено швидкий каскадний алгоритм обчислень, подібний швидкому перетворенню Фур'є.

Безперервне вейвлет-перетворення, так само як і його дискретний аналог з довільним кроком за масштабом і зрушення, має сильну надмірністю. Інтуїтивно зрозуміло, що якщо яка-небудь інформація укладена в N відліку сигналу, то при будь-яких перетвореннях сигналу для відображення цієї інформації без втрат у новому базисному просторі повинно бути необхідно і достатньо те ж саме кількість відліків N. З урахуванням принципу невизначеності Гейзенберга це означає, що для точного відновлення сигналу досить знати його вейвлет-перетворення на деякої решітці частотно-часової області, густий в області високих частот сигналу, і рідкісної в області низьких частот.

Ідея КМА полягає в тому, щоб масштабувати вейвлет у деяке постійне число разів (наприклад, 2), і при ковзанні по сигналу зрушувати його в часі з кроком, рівним інтервалу носія масштабованого вейвлета. Якщо позначити кількість масштабних рядків індексом м, і прийняти N = 2 м, то при N = 32 решітка вейвлетного спектра буде мати всього т = 5 масштабних рядків з кількістю відліків в першому рядку 16, у другому 8, в третій 4, в четвертій 2, і в п'ятій 1, із загальною кількістю відліків 32, як і у вихідному сигналі. При цьому всі зрушення одного масштабу будуть попарно ортогональні (нема перекриття зрушень), так само як і вейвлети різних масштабів в силу їх нульового першого моменту.

Розкладання сигналу на суму апроксимуючих і деталізують складових про-провадиться з використанням ортогональних і біортогональних вейвлетів. На таких вейвлета виконується швидке вейвлет-перетворення. При виконанні КМА простір сигналів L2 (R) представляється у вигляді системи вкладених підпросторів Vm, що відрізняються один від одного перемасштабірованіем незалежної змінної.

3. Частотний підхід та швидке вейвлет-перетворення

Вейвлет (wavelet, вейвлет-перетворення, хвильки, хвилькові перетворення). Усі вейвлет-перетворення розглядають функцію (взяту як функцією від часу) у термінах коливань, локалізованих за часом (простором) і частотою. Локальність у просторі означає, що енергія хвильок (вейвлетів) сконцентрована на скінченному інтервалі, так звана функція на компактному носії. Частотна локалізація означає, що перетворення Фур'є хвилькі локалізоване. Частотна локалізація функції зводиться до понять гладкості та кількості зникаючих моментів.

Вейвлет-перетвореня сигналів є узагальненням спектрального аналізу, типовий представник якого - класичне перетворення Фур'є. Застосовувані для цієї мети базиси названі вейвлетами. Термін “вейвлет” пішов від англійського wavelet, що на українську мову переводиться як “коротка хвиля''. У математичній літературі поняття “вейвлет” позначають іноді словом “сплеск”, що звужує саме поняття, тим більше, що вейвлети й призначені для аналізу сплесків - сигналів нестаціонарного характеру.

Введені порівняно недавно, в 80-х роках, вони в наступні роки одержали швидкий теоретичний розвиток і широке застосування в різних областях обробки сигналів і зображень. На відміну від традиційного перетворення Фур'є, вейвлет-перетворення забезпечує двовимірне подання досліджуваного сигналу в частотній області в площині частота-положення. Аналогом частоти при цьому є масштаб аргументу базисної функції (найчастіше часу), а положення характеризується її зрушенням. Це дозволяє розділити великі й дрібні деталі сигналів, одночасно локалізуючи їх на тимчасовій шкалі. Іншими словами вейвлет-аналіз можна охарактеризувати як локалізований спектральний аналіз або - спектральний аналіз локальних збурювань. Апаратурним аналогом одного з видів вейвлет-аналіза є багато канальна смугова фільтрація сигналу при постійному відношенні ширини смуги фільтра до центральної частоти.

Вейвлет-аналіз розроблений для рішення завдань, які виявилися занадто складними для традиційного аналізу Фур'є. Перетворення Фур'є представляє сигнал, заданий у тимчасовій області, у вигляді розкладання по ортогональних базисних функціях (синусам і косинусам) з виділенням частотних компонентів. Недолік перетворення Фур'є полягає в тому, що частотні компоненти не можуть бути локалізовані в часі, його застосовують тільки в аналізі стаціонарних сигналів, у той час як багато сигналів мають складні частотно-часові характеристики. Як правило, такі сигнали складаються із близьких за часом, коротких високочастотних компонентів і довгих, близьких по частоті низькочастотних компонентів. Для аналізу таких сигналів необхідний метод, здатний забезпечити одночасний дозвіл як по частоті, так і за часом. Перше необхідно для локалізації низькочастотних складових, друге - для виділення компонентів високої частоти. Існує два підходи до аналізу нестаціонарних сигналів такого типу. Перший заснований на локальному перетворенні Фур'є. Прямуючи цим шляхом, нестаціонарний сигнал зводиться до стаціонарного шляхом його попереднього розбиття на сегменти (фрейми), статистика яких не змінюється з часом. Другий підхід полягає у використанні вейвлет-перетворення.

Всім відомо, що будь-який сигнал можна розкласти в суму гармонік (синусоїд) різної частоти. Але синусоїдальні хвилі нескінченні, і не дуже добре відслідковують зміни сигналу в часі. Щоб вловити ці зміни, замість нескінченних хвиль можна взяти зовсім однакові, але розподілені за часом короткі "сплески". Однак, як виявилося, цього недостатньо, треба додати ще їхні стислі копії. От тепер сигнал можна розкласти на суму таких сплесків різного розміру й місця розташування. Коефіцієнти розкладу, які несуть інформацію про еволюції сигналу, залежать від вибору початкового сплеску. Для кожного прикладного завдання можна підібрати найбільш пристосований (саме для неї) сплеск, що і називається вейвлетом. Математична сторона вейвлет-аналіза - річ досить тонка, хоча й достатньо наочна.Як правило, вейвлет-перетворення (WT) поділяють на дискретне (DWT) і безперервне (CWT).

DWT - використовується для перетворень і кодування сигналів, CWT - для аналізу сигналів. Вейвлет-перетворення в даний час приймаються на озброєння для величезної кількості різноманітних застосувань, нерідко заміняючи звичайне перетворення Фур'є. Це спостерігається в багатьох областях, включаючи молекулярну динаміку, квантову механіку, астрофізику, геофізику, оптику, комп'ютерну графіку і обробку зображень, аналіз ДНК, дослідження білків, дослідження клімату, загальну обробку сигналів і розпізнавання мови.

Одна з головних і особливо плідних ідей вейвлетного подання сигналів на різних рівнях декомпозиції (розкладання) полягає в поділі функцій наближення до сигналу на дві групи: апроксимуючу - грубу, з досить повільною тимчасової динамікою змін, і деталізує - з локальної та швидкою динамікою змін на тлі плавною динаміки, з подальшим їх подрібненням і деталізацією на інших рівнях декомпозиції сигналів. Це можливо як в тимчасовій, так і в частотній областях подання сигналів вейвлетами.

В основі вейвлет-перетворень, в загальному випадку, лежить використання двох безперервних, взаємозалежних і інтегрованих з незалежної змінної функцій:

* Вейвлет-функції (t), як psi-функції часу з нульовим значенням інтеграла і частотним фур'є-образом (?). Цією функцією, яку зазвичай і називають вейвлетом, виділяються локальні особливості сигналу. Як вейвлетів зазвичай вибираються функції, добре локалізовані і в тимчасовій, і в частотній області. Приклад тимчасового і частотного образу функції наведено на рис. 1.2.1.

* масштабуючий функції (t), як тимчасової скейлинг-функції phi з одиничним значенням інтеграла, якій виконується грубе наближення (апроксимація) сигналу.

Рис. 1.2.1. Вейвлетні функції в двох масштабах.

Phi-функції властиві не всім, а, як правило, тільки ортогональним вейвлета. Вони необхідні для перетворення нецентрірованних і досить протяжних сигналів при роздільному аналізі низькочастотних і високочастотних складових. Роль і використання фі-функції розглянемо трохи пізніше.

Безперервне вейвлет-перетворення (НВП, CWT-Безперервне вейвлет-перетворення). Припустимо, що ми маємо функції s(t) з кінцевою енергією в просторі L2(R), визначені на всій дійсній осі R(-, ). Для фінітних сигналів з кінцевою енергією середні значення сигналів повинні прагнути до нуля на ± .

Безперервним вейвлет-перетворенням (або вейвлетного чином) функції s(t) L2(R) називають функцію двох змінних:

С(a,b)--=--s(t),--y(a,b,t)--=--s(t)--y(а,b,t)--dt,--a,--b----R,--a--`--_,--

де вейвлети y(a,b,t)----yab(t) - масштабовані і зсунуті копії породжує вейвлета y(t)----L2(R), сукупність яких створює базис простору L2(R).

Породжують функціями можуть бути самі різні функції з компактним носієм - обмежені за часом і місцем розташування на тимчасової осі, і мають спектральний образ, локалізований на частотної осі. Базис простору L2(R) доцільно конструювати з одного породжує функції, норма якої повинна дорівнювати 1. Для перекриття функцією вейвлета всій тимчасової осі простору використовується операція зсуву (зміщення з тимчасової осі): ?(b,t) = ?(t-b), де значення b для НВП є величиною безперервною. Для перекриття всього частотного діапазону простору L2(R) використовується операція тимчасового масштабування вейвлета з безперервним зміною незалежної змінної: y(a,t)--=--|а|-1/2y(t/а). На рис. 1.2.1. видно, що якщо часовий образ вейвлета буде розширюватися (зміною значення параметра 'а'), то його "середня частота" буде знижуватися, а частотний образ (частотна локалізація) переміщатися на більш низькі частоти. Таким чином, шляхом зсуву по незалежній змінній (t-b) вейвлет має можливість переміщатися по всій числовій осі довільного сигналу, а шляхом зміни масштабної змінної 'а' (у фіксованій точці (t-b) осі) "переглядати" частотний спектр сигналу за певним інтервалу околиць цієї точки.

З використанням цих операцій вейвлетного базис функціонального простору утворюється шляхом масштабних перетворень і зрушень породжує вейвлета --y(t):

y(a,b,t)--=--|а|^-1/2y[(t-b)/а],--a,--b----R,--a--`--_,--y(t)----L²(R).--

Неважко переконатися, що норми вейвлетів y(a,b,t) рівні нормі y(t), що забезпечує нормувальні множник |а|^-1/2. При нормуванні до 1 породжує вейвлета y(t)усі сімейство вейвлетів також буде нормованим. Якщо при цьому виконується вимога ортогональності функцій, то функції y(a,b,t) утворюють ортонормованій базис простору L2(R).

4. Дискретне вейвлет-перетворення та часові ряди

Напрямки їх використання для аналізу часових рядів, обробки сигналів та зображень, кодування інформації тощо.

Вейвлет-перетворення звичайно поділяють на дискретне вейвлет-перетворення (DWT) та неперервне вейвлет-перетворення (CWT).

В принципі, при обробці даних на ПК може виконуватися дискретизирован версія безперервного вейвлет-перетворення із завданням дискретних значень параметрів (a, b) вейвлетів з довільним кроком Da--і--Db. У результаті виходить надмірна кількість коефіцієнтів, що набагато перевершує число відліків вихідного сигналу, яке не потрібно для реконструкції сигналів. Дискретне вейвлет-перетворення (ДВП) забезпечує достатньо інформації, як для аналізу сигналу, так і для його синтезу, будучи разом з тим економним за кількістю операцій і по необхідної пам'яті. ДВП оперує з дискретними значеннями параметрів а і б, які задаються, як правило, у вигляді степеневих функцій:

--a--=--ао-m,--b--=--k·ао-m,--ao-->--1,--m,--k----I,

де I - простір цілих чисел {-, }, m - параметр масштабу, k - параметр зсуву. Базис простору L²(R) в дискретному поданні:

ymk(t)--=--|ао|m/2y(аоmt-k),--m,k----I,--y(t)----L2(R)

Вейвлет-коэффіцієнти прямого перетворення: Cmk--=s(t)--ymk(t) dt.Значення''може бути довільним, але зазвичай приймається рівним 2, при цьому перетворення називається діадного вейвлет-перетворенням. Для діадного перетворення розроблено швидкий алгоритм обчислень, аналогічний швидкому перетворенню Фур'є, що зумовило його широке використання при аналізі масивів цифрових даних.Зворотне дискретне перетворення для безперервних сигналів при нормованому ортогональному вейвлетного базисі простору:

s(t)--=----Cmk--ymk(t).

Число використаних вейвлетів щодо масштабного коефіцієнту м задає рівень декомпозиції сигналу, при цьому за нульовий рівень (m = 0) зазвичай приймається рівень максимального тимчасового дозволу сигналу, тобто сам сигнал, а наступні рівні (m <0) утворюють спадаюче вейвлет-дерево. У програмному забезпеченні обчислень для виключення використання негативної нумерації по м знак 'мінус' зазвичай переноситься безпосередньо, тобто використовується наступне подання базисних функцій:

ymk(t)--=--|ао|-m/2y(ао-mt-k),--m,k----I,--y(t)----L2(R)

Стійкість дискретного базису визначається наступним чином.

Функція y(t)--L2(R) називається R-функцією, якщо базис на її основі по являється базисом Рісса (Riesz). Для базиса Рісса існують значення А і В, 0 < A ? B < , для яких виконується відношення:

A||Cmk||2--d--||----Cmk--ymk(t)||2--d--B||Cmk||2,

якщо енергія ряду C_mk кінечна. При цьому для будь-якої R-функції існує базис--y^#_mk(t), який ортогональний базису y#mk(t). його називають ортогональним "двійником" базиса--y#mk(t), таким, что

ymk(t),--y#nl(t)--=--dmn·dkl.

Якщо A = B = 1 і а_о = 2, то сімейство базисних функцій {ymk(t) } є ортонормированном базисом і можливо повне відновлення вихідного сигналу, при цьому ymk(t)--a--y#mk(t) і для реконструкції сигналів використовується формула. Якщо y(t) не ортогональний вейвлет, але має "двійника", то на базі "двійника" обчислюється сімейство ymk(t), яке і використовується при зворотному перетворенні замість ymk(t), при цьому точну відновлення вихідного сигналу не гарантовано, але воно буде близько до нього в середньоквадратичних сенсі. Як і для безперервного вейвлет-перетворення, зворотне дискретне перетворення не може виконати відновлення нецентрірованних сигналів в силу нульового першого моменту вейвлетного функцій і, відповідно, центрування значення вейвлет-коефіцієнтів ЦМК при прямому вейвлет-перетворенні. Тому при обробці числових масивів даних дискретні вейвлети використовуються, як правило, в парі з пов'язаними з ними дискретними скейлинг-функціями. Скейлін-функції мають з вейвлетами загальну область завдання і певне співвідношення між значеннями, але перший момент скейлін-функцій по області визначення дорівнює 1. Якщо вейвлети розглядати, як аналоги смугових фільтрів сигналу, в основному, високочастотних при виділенні локальних особливостей в сигналі, то скейлін-функції вейвлетів є аналоги низькочастотних фільтрів, якими з сигналу виділяються в окремий масив складові, які не пройшли вейвлетного фільтрацію. Так, наприклад, породжує скейлинг-функція вейвлета Хаара задається наступним виразом:

При позначенні скейлинг-функцій індексом j_mk(t) аналітика скейлін-функцій повторює висловлювання (1.2.6-1.2.7) і утворює додатковий базис простору L2 (R). Сума вейвлет-коефіцієнтів і скейлинг-коефіцієнтів розкладання сигналів відповідно дає можливість виконувати точну реконструкцію сигналів, при цьому замість (1.2.8) використовується наступний вираз зворотного вейвлет-перетворення:

s(t)--=Сak--jk(t)--+--Сdmk--ymk(t),--(1.2.9)

де Ca_k - скейлін-коефіцієнти, які зазвичай називають коефіцієнтами апроксимації сигналу, Cd_mk - вейвлет-коефіцієнти або коефіцієнти деталізації. Більш докладно використання скейлинг-функцій буде розглянуто в темі вейвлетного кратномасштабного аналізу.

Реальні сигнали, як правило, кінцеві і належать простору L2 (R). Частотний спектр сигналів обернено пропорційний їх тривалості. Відповідно, досить точний низькочастотний аналіз сигналу повинен проводитися на великих інтервалах його завдання, а високочастотний - на малих. Якщо частотний склад сигналу зазнає істотні зміни на інтервалі його завдання, то перетворення Фур'є дає тільки усереднені дані частотного складу сигналу з постійним частотним дозволом. Певна частотно-тимчасова локалізація аналізу створюється застосуванням віконного перетворення Фур'є, що дає сімейства частотних спектрів, локалізованих у часі, але в межах постійної ширини вікна віконної функції, а, отже, також з постійним значенням і частотного, і тимчасового дозволу.

На відміну від віконного перетворення Фур'є, вейвлет-перетворення, при аналогічних дискретних значеннях зрушень b, дає сімейства спектрів масштабних коефіцієнтів а стиснення-розтягування

С(a,b)--=s(t)--|а|-1/2yо[(t-b)/а]dt.

Якщо вважати, що кожен вейвлет має певну "ширину" свого тимчасового вікна, якому відповідає певна "середня" частота спектрального образу вейвлета, зворотній його масштабного коефіцієнту а, то сімейства масштабних коефіцієнтів вейвлет-перетворення можна вважати аналогічними домами частотних спектрів віконного перетворення Фур'є, але з одним принциповим відзнакою. Масштабні коефіцієнти змінюють "ширину" вейвлетів і, відповідно, "середню" частоту їх фур'є-образів, а, отже, кожній частоті відповідає своя тривалість тимчасового вікна аналізу, і навпаки. Так малі значення параметра а, що характеризують швидкі складові в сигналах, відповідають високим частотам, а великі значення - низьким частотам. За рахунок зміни масштабу вейвлети здатні виявляти відмінності на різних частотах, а за рахунок зсуву (параметр b) проаналізувати властивості сигналу в різних точках на всьому досліджуваному часовому інтервалі. Великорозмірними тимчасове вікно вейвлет-перетворення адаптовано для оптимального виявлення і низькочастотних, і високочастотних характеристики сигналів.

Для довільної віконної функції z(t) L²(R) її центр і радіус визначаються формулами:

to--=t--|z(t)|2--dt,

Dz--=----

Якщо з цих функцій визначити центри і радіуси вейвлетів та їх фур'є-образів, то тимчасова локалізація відбувається з центрами вікон b+at_o шириною win_t = 2a?_??t???а частотна - з центрами ?_о/а, і з шириною вікна win_? = 2???????/а. При цьому значення відношення середньої частоти до ширини вікна не залежить від місця розташування центральної частоти. Частотно-часове вікно win_t·win_? = 4?_??t??_????звужується при високій центральній частоті, і розширюється при низькою. Схематичне зображення частотно-часових вікон перетворення наведено на рис. 1.2.4. Таким чином, на високих частотах краще дозвіл за часом, а на низьких - по частоті. Для високочастотної компоненти сигналу ми можемо точніше вказати її тимчасову позицію, а для низькочастотної - її значення частоти.

Зміна частотно-часового вікна вейвлета визначає кут впливу значень функції в довільних точках t_i на значення коефіцієнтів С(а,b). І навпаки, кут впливу з точки С(a_i,b_i) на вісь т визначає інтервал значень функції, які беруть участь в обчисленні цього коефіцієнта С(a_i,b_i) - область достовірності. Схематично це показано на рис.

З кутку впливу наочно видно, що високочастотна (дрібномасштабні) інформація обчислюється на основі малих інтервалів сигналів, а низькочастотна - на основі великих. Оскільки аналізовані сигнали завжди кінцеві, то при обчисленні коефіцієнтів на кордонах завдання сигналу область достовірності виходить за межі сигналу, і для зменшення похибки обчислень сигнал доповнюється завданням початкових і кінцевих умов. Дискретне вейвлет-перетворення (DWT) звичайно використовується для кодування сигналів, у той час як CWT для аналізу сигналів. Саме тому, DWT широко застосовується в інженерній справі і комп'ютерних науках, а CWT у наукових дослідженнях фізичних процесів. Вейвлет-перетворення в даний час взяті на озброєння для величезної кількості різнопланових застосувань, нерідко заміняючи звичайне перетворення Фур'є у багатьох прикладних задачах. Ця зміна парадигми спостерігається в багатьох областях фізики, включаючи молекулярну динаміку, астрофізику, квантовій механіці, геофізиці, оптиці, механіці рідини та у багатьох інших областях, включаючи обробку зображень, аналізу кров'яного тиску, пульсу та ЕКГ, аналіз ДНК, дослідження білків, вивчення клімату, загальну обробку сигналів, розпізнавання мови, комп'ютерну графіку і мультифрактальний аналіз. Таке широке використання вейвлет-перетворень забезпечується можливістю побудувати на їх основі методи, що потребуватимуть O(N) операцій, на противагу методів Фур'є-перетворень, де кількість операцій не менша за O(NlogN).

Висновок

вейвлет перетворення градієнтський поток

Вейвлет-аналіз є особливим типом лінійного перетворення сигналів та фізичних даних

Останнім часом виник і оформився цілий науковий напрям, пов'язаний з вейвлет-аналізом і теорією вейвлет-перетворення. Вейвлети широко застосовуються для фільтрації і попередньої обробки даних, аналізу стану і прогнозування ситуації на фондових ринках, розпізнавання образів, при обробці і синтезі різних сигналів, наприклад мовних, медичних, для вирішення завдань стискування і обробки зображень, при вивченні нейромереж і в багатьох інших випадках.

Переваги і недоліки вейвлетного перетворень.

* вейвлетного перетворення володіють всіма достоїнствами перетворень Фур'є.

* вейвлетного базиси можуть бути добре локалізованими як за частотою, так і за часом. При виділенні в сигналах добре локалізованих різномасштабних процесів можна розглядати тільки ті масштабні рівні розкладання, які представляють інтерес.

* вейвлетного базиси, на відміну від перетворення Фур'є, мають багато різноманітних базових функцій, властивості яких орієнтовані на вирішення різних завдань. Базисні вейвлети можуть реалізуватися функціями різних гладкості.

* Недоліком вейвлетного перетворень є їх відносна складність.

Практичне використання вейвлет-перетворень пов'язано, в основному, з дискретними вейвлетами як в силу повсюдного використання цифрових методів обробки даних, так і в силу ряду відмінностей дискретного і безперервного вейвлет-перетворень.

Размещено на Allbest.ru