Размещено на http://www.allbest.ru/

МНОГОПОЛЮСНИКИ СВЧ

Многополюсником СВЧ называют любую комбинацию проводников, диэлектриков и других линейных пассивных элементов СВЧ, имеющую несколько входов в виде поперечных сечений линий передачи с заданными типами волн в каждой линии. Сечение линий передачи обычно называют плоскостями отсчета. Чаще всего речь идет об одномодовом приближении - это является критерием выбора расположения плоскостей отсчета (их расстояния от места непосредственного соединения линии с устройством).

В дальнейшем будут рассматриваться линейные и пассивные многополюсники.

Режимы в плоскостях отсчета фаз могут быть описаны либо в терминах падающих и отраженных волн с нормированными амплитудами - волновой подход, либо в терминах полных нормированных напряжений и токов - классический подход, аналогичный применяемому в теории НЧ-цепей.

Рис.1 а - волновой подход, b - классический подход.

Между волновым и классическим описаниями режимов на входах существует простая связь.

(1)

Любая совокупность указанных величин - () может рассматриваться как вектор воздействия, а - как вектор реакции. В силу предполагаемой линейности устройства СВЧ векторы реакции и воздействия связаны линейными соотношениями.

Матрица полностью описывает внутренние свойства многополюсника.

В зависимости от конкретного выбора векторов воздействия и реакции матрица называется матрицей рассеяния, сопротивления, проводимости. Перейдем к рассмотрению свойств указанных матриц.

1. Матрица рассеяния

В качестве вектора воздействия выбирается вектор нормирования амплитуд падающих волн а, векторы реакции - вектор нормированных амплитуд отраженных волн - в. Они связаны между собой матричным соотношением

(2)

или в развернутом виде:

3)

Матрица является матричным оператором, указывающим правило преобразования вектора воздействия в вектор реакции .

Элементы матрицы могут быть определены электродинамическим путем, либо путем проведения теоретических или экспериментальных испытательных режимов.

Простейший испытательный режим может быть реализован путем подключения к одному из входов источника падающей волны (генератор мощности), а остальные входы при этом нагружены на согласованные нагрузки. Тогда любой элемент матрицы определяется соотношением

(4)

Очевидно, что если , то S_mn - коэффициенты передачи с n-го входа на m-ый, а S_mm - коэффициенты отражения со стороны m-го входа при согласованных остальных.

2. Матрицы сопротивлений и проводимостей

В этом случае вектор воздействия - , вектор отклик (реакции) - . В матричном виде:

. (5)

В развернутом виде

. (6)

Простейшие испытательные режимы для определения элементов Z заключается в возбуждении источником тока , k-го входа при ХХ на всех остальных и определении (измерении) на них .

. (7)

Если то Z_mn - взаимные сопротивления, Z_nn - собственное входное сопротивление n-го входа, если все остальные в режиме ХХ.

Нормированная матрица проводимостей имеет место, если вектор воздействия - , а вектор-отклик - . Тогда

(8)

Испытательные режимы для определения элементов Y_mn заключаются в поочередном подключении ко входам источников напряжения и определения на всех остальных входах, находящихся в режиме КЗ токов.

. (9)

Недиагональные элементы матрицы - взаимные проводимости входов, диагональные - собственные проводимости входов. Они безразмерны.

Как и в случае определения матрицы токи и напряжения должны измеряться в заранее зафиксированных плоскостях отсчета многополюсника.

Матрицы и имеют простую связь. Действительно запишем, например, (5)

и с учетом (8) получим

.

Откуда

. (10)

Следовательно

и . (11)

Матрица удобна при каскадном соединении многополюсников. Матрица - при последовательном, матрица - при параллельном соединениях.

Действительно, рассмотрим случай последовательного соединения двух четырехполюсников. Напомним, что при последовательном соединении токи одинаковы в соединяемых четырехполюсниках, а напряжение результирующего четырехполюсника равно сумме напряжений соединяемых (см. рис.2)

Рис.2. Последовательное соединение 4 - полюсников

Очевидно

.

Откуда

. (12)

Для параллельного соединения токи должны суммироваться, а напряжение - быть одинаковы.

Рис.3. Параллельное соединение четырехполюсников

.

. (13)

3. Соотношения между матрицами многополюсника

Полученные выше соотношения (2), (5), а также (1) позволяют найти связь между различными матрицами. Выразим и через .

Из (1) имеем

С другой стороны

.

Из сравнения двух выражений для вектора напряжения получаем

. (14)

Отметим, что матрица как следует из (14), существует не для всех многополюсников, в отличие от матрицы . Так, если - особенная, т.е. , то матрица не существует.

Из (14) легко получить

. (15)

Видно, что матрица не существует для многополюсников, у которых . Таким образом, еще одно достоинство волновой матрицы рассеяния то, что она существует для любого многополюсника, а и - нет.

Выразим теперь матрицу S через и , используя равенства (14) и (15). Для этого умножим справа обе части (14) на , а (15) на - . После раскрытия скобок слева нетрудно получить следующие выражения

, (16)

. (17)

4. Неномированные матрицы многополюсников ,

Иногда удобно иметь дело с ненормированными матрицами, особенно и , элементы которых имеют размерность Ом и Сим соответственно. Например, в теории многовибраторных и многощелевых антенн. Установим связь между нормированными и ненормированными матрицами.

Так,

многополюсник проводимость матрица рассеяние

.

Отсюда, если ввести диагональную матрицу так, что

, (18)

То

Далее, с другой стороны, по определению

.

Тогда ненормированная матрица Z имеет вид

. (19)

Очевидно размерность элементов - Ом. Из (19) нетрудно получить, что

. (20)

5. Обобщенная матрица рассеяния

Вышеприведенная матрица рассеяния СВЧ устройства является полной внешней характеристикой многополюсника лишь в том случае, если на каждом входе рассматриваются только распространяющиеся волны, т.е. в плоскостях отсчета задаются амплитуды только бегущих волн.

Такое описание СВЧ устройства приемлемо, если соседние многополюсники находятся на расстоянии, при котором длина линии между их плоскостями отсчета больше нуля. Иными словами, если они не взаимодействуют за счет волн высших типов. Если указанное условие не выполняется, то необходимо вводить отдельные дополнительные входы для нераспространяющихся волн высших типов и, соответственно, увеличивать размерность матрицы .

Матрица рассеяния, учитывающая наряду с распространяющимися волнами и волны нераспространяющихся высших типов, называется обобщенной матрицей рассеяния.

В этом случае комплексные нормированные амплитуды падающей и отраженной волн формально определяют по общей формуле

и

,

а

Поскольку характеристическое сопротивление для нераспространяющихся волн величина чисто мнимая, то фазы и будут отличаться как от фазы электрического поля, так и магнитного.

Условие взаимности и в случае обобщенных матриц приводит к их симметричности. Однако условие унитарности обощенных матриц для недиссипативных устройств не выполняется.

6. Взаимные многополюсники

Как известно из теории цепей, взаимность означает, что матрицы и многополюсника симметрические, т.е.

Если воспользоваться выражением для S через Z или Y, то легко установить свойство матрицы S взаимного многополюсника. Действительно

.

Поскольку

То

.

Отсюда следует, что матрица - симметрическая и количество элементов, подлежащих определению, равно (N+1) /2.

Использованная перестановочность матриц - и может быть доказана следующим образом:

7. Симметричные многополюсники. Матрица симметрии

Симметричными называются многополюсники, для которых возможна перенумерация входов, не приводящая к изменению матриц параметров: , ,.

Различают электрическую и геометрическую симметрии. Первая достигается специальным подбором номиналов элементов многополюсника и не является непосредственно следствием геометрической симметрии. Геометрическая симметрия заключается в том, что многополюсник остается подобным себе при определенных симметричных преобразованиях в пространстве.

К элементарным преобразованиям относят преобразования вращения и зеркальное отражение.

Свойства симметрии описываются матрицей симметрии . Ее структура такова: в каждой строке столбца только один элемент отличен от нуля и равен единице. Он лежит на пересечении строки, номер которой совпадает с номером входа, который преобразуется, и столбца с номером, совпадающим с номером входа, в который преобразуется при симметричном преобразовании.

Матрица ортогональна

.

Матрица симметрии обладает полезным свойством, которое при вычислении элементов матрицы , позволяет сократить количество определяемых элементов.

Это свойство следующее

Или

.

8. Смещение плоскостей отсчета

Рис.4

Определим закон, по которому преобразуется матрица (ее элементы) при смещении плоскостей отсчета.

В плоскостях и соответственно можем записать

.

Если ввести диагональные матрицы L₁ и L₂

,

где: l_n - смешение n-ой плоскости отсчета к генератору (от устройства).

Тогда, как видно из рисунка

, ,

и, подставляя вместо и

Откуда

Следовательно, матрица в новых плоскостях отсчета выражается через матрицу в старых плоскостях отсчета следующим образом

.

Откуда диагональные элементы при смещении плоскостей отсчета от устройства преобразуется согласно соотношению

а недиагональные -

.

9. Условие недиссипативности (отсутствие потерь)

Устройство называется недиссипативным, если в нем отсутствуют омические потери. Это имеет место, если все металлы имеют бесконечную (или, по крайней мере, очень большую >>1), а диэлектрики tg ~ 0 (tg ~10^-4). Для недиссипативного устройства мощность, поступающая в него, должна равняться мощности выходящей (закон сохранения энергии)

Р_вх = Р_вых

По определению

Р_вх,

Р_вых.

Тогда

Подставляя вместо вектора его выражение через матрицу рассеяния и вектор , получим

.

Откуда имеем

. (5.10)

Матрицы, удовлетворяющие условию (5.10), называются унитарными.

Таким образом, матрица рассеяния СВЧ узла без потерь является унитарной. Справедливо и обратное утверждение.

Известно, что унитарные матрицы обладают рядом свойств:

норма каждого столбца унитарной матрицы равна единице;

столбцы унитарной матрицы попарно ортогональны;

модуль определителя унитарной матрицы равен единице, то есть

.

Перечисленные свойства совместно со свойством симметричности для взаимных устройств позволяют значительно сократить количество независимых элементов в, подлежащих определению.

10. Определение матриц рассеяния сложных многополюсников

Наличие у многополюсников геометрической симметрии позволяет найти такое возбуждение на входах, которое упростит процедуру отыскания элементов матрицы .

10.1 Метод симметричного и антисимметричного возбуждения

Пусть плоскость симметрии многополюсника не рассекает ни одного входа. Нумерацию входом проведем вначале с одной стороны плоскости симметрии, затем с другой. Тогда матрица симметрии может быть представлена в виде следующей блочной матрицы.

где блочные матрицы имеют порядок N/2 (число входов должно быть четным).

Матрица рассеяния также может быть представлена в блочном виде

.

Учитывая перестановочность произведения матриц и , получим, что

Тогда искомую матрицу можно записать в виде

Рис.5

Следовательно, вместо матрицы порядка N нужно искать две матрицы порядка N/2.

Для определения матриц S₁ и S₂ воспользуемся тем обстоятельством, что при симметричном (антисимметричном) воздействии на многополюсник и отклик будет симметричным (или антисимметричным). Действительно, пусть при симметричном возбуждении

Тогда

.

Аналогично можно получить, что

.

При этом важно отметить следующее:

а) при симметричном воздействии в плоскости симметрии устанавливается max напряженности электрического поля и нуль магнитного, т.е. - это фактически идеальная магнитопроводящая стенка на которой H_tg =0. Устройство при этом разделяется на две независимые половины с меньшим в два раза количеством входов;

б) при антисимметричном воздействии плоскость симметрии эквивалентна идеально проводящей электрической стенке с Е_tg=0 на ней.

Указанные режимы часто называют режимом ХХ и КЗ.

Если матрицы и порядка (N/2) найдены каким-либо способом для половины многополюсника, то и определяются из формул

,

.

Самые простые соотношения получаются, если многополюсник представляет собой четырехполюсник.

Так,

.

Соответственно матричный блок является матрицей двухполюсника (половины четырехполюсника, см. рис.) в режиме ХХ в плоскости симметрии. Это коэффициент отражения 2-ка в режиме ХХ.

.

Соответственно

.

где - коэффициенты отражения двухполюсника в режиме ХХ и КЗ соответственно.

Откуда

Рис.6 а - волноводно-щелевой мост, б - полосковый НО с электромагнитной связью (трехсекционный), в - полосковый НО с тремя шлейфами.

,

.

Приведем примеры восьмиполюсных устройств, которые удобно исследовать (т.е. определять их) методом симметричного и антисимметричного возбуждения.

Для антисимметричного возбуждения сводится просто к отрезку волновода длиной l, для симметричного к отрезку волновода, у которого одна боковая стенка заменена магнитной стенкой - Н =0.

10.2. Метод спектрального разложения многополюсника

Из векторной (линейной) алгебры известно, что вектор, который удовлеторяет равенству

называется собственным вектором матрицы, скалярная величина - собственным значением ее.

Из написанного выше следует, что если на вход многополюсника подать воздействие, соответствующее собственному вектору, то вектор отклика получается простым умножением на некоторое комплексное число. Смысл при этом ясен. Это коэффициент отражения, одинаковый на всех входах.

Использование "собственных" возбуждений для определения очень удобно. Однако для этого нужно знать множество собственных векторов и соответствующих их собственных значений. Действительно, пусть известна система (множество) собственных векторов, из которых образуется модальная матрица .

Тогда

где - диагональная квадратная матрица, описывающая спектр матрицы . (Совокупность собственных значений образует спектр).

Откуда

.

Элементы (точнее столбцы) модальной матрицы можно определить из следующих соображений.

Известно, что попарно коммутирующие нормальные матрицы имеют общую полную ортонормированную систему собственных векторов. (Матрица называется нормальной, если она коммутирует со своей транспонированно-комплексно сопряженной матрицей .

В частности, унитарные матрицы - нормальные.

Поскольку для недиссипативных многополюсников в силу унитарности матрица нормальна, то в качестве второй можно взять матрицу симметрии , с которой коммутируема.

Таким образом, в качестве полной системы можно взять систему собственных векторов матрицы .

Вторая сложность, связанная с определением (большой объем вычислений) может быть преодолена на основании следующего соображения.

Поскольку собственные векторы, соответствующие различным (невырожденным) собственным значениям, ортогональны, то нормировкой можно сделать матрицу унитарной, то есть

Откуда

Следовательно

Для определения явного вида теперь нужно определить - фактически коэффициенты отражения при различных "собственных" воздействиях.

Тот факт, что при "собственных" воздействиях коэффициенты отражения на всех входах одинаковы, приводит к возможности замены 2N-полюсника на N двухполюсников специальной структуры и отыскание коэффициента отражения от одного из них. При этом структура рассматриваемого двухполюсника определяется видом (структурой) соответствующего собственного вектора.

Необходимо отметить, что матрицы имеют ту же систему собственных векторов, что и матрица .

Размещено на Allbest.ru