Получено выражение для согласованного фильтра (оптимального в смысле критерия максимума отношения с/ш на выходе)

K_опт (j) = AS (j) exp (jt₀).

Применим обратное преобразование Фурье, связывающее K (j) и импульсную характеристику цепи: h_опт (t) = AS (t₀ t). На рис.7 и 8 представлены различные сигналы s (t) и импульсные характеристики согласованных с ними фильтров, максимизирующих отношение с/п на их выходах при условии приема этих сигналов на фоне белого шума. Импульсные характеристики могут быть отличны от нуля только при t > 0. В противном случае фильтр не будет физически реализуемым.

Рис.7

Рис.8

Для выполнения этого условия необходимо, чтобы сигнал был ограничен во времени, а t₀ должно быть больше длительности T_s сигнала. Тогда все спектральные составляющие сигнала будут участвовать в получении максимального значения y (t₀). Часто принимают t₀ = T_s. Тогда h_опт (t) совпадает с точностью до множителя А по форме с зеркальным сигналом, сдвинутым на t₀.

4. Примеры синтеза согласованных фильтров

ПРИМЕР 1. Синтезировать фильтр, согласованный с прямоугольным видеоимпульсом длительностью t_и, при белом шуме на входе. Заданный сигнал может быть описан выражением: Необходимо найти структурную схему согласованного фильтра. Для этого используем выражение для передаточной функции СФ, определив преобразованием Фурье спектральную плотность заданного сигнала S (j) . Примем t₀ равным t_и. Тогда K_сф (j) = . Положив j = p, получим выражение для операторной передаточной функции фильтра:

K (p) = ,

в котором интегратор имеет передаточную функцию , а коэффициент передачи этого интегратора должен быть равен AU. Второе слагаемое определяет изображение сигнала на выходе интегратора, включенного последовательно с линией задержки (ЛЗ), со временем задержки t_зад = t_и. Структурная схема полученного СФ представлена на рис.9а. Другой вариант (несколько упрощенный) показан на рис.9б. В качестве интегратора можно использовать RC-фильтр, но при постоянной времени, намного превышающей длительность заданного импульса.

Процесс получения импульсной характеристики такого СФ показан на рис.10.

а б

Рис.9

Пунктиром показан тот же процесс, но при использовании RC-фильтра с импульсной характеристикой h (t) = . При этом можно положить A = . Отклик фильтра на входной сигнал можно построить, использовав принцип суперпозиции для линейной цепи и представив входной прямоугольный импульс в виде двух скачков (рис.11).

Анализ выходного сигнала показывает, что он по форме соответствует корреляционной функции заданного сигнала, форма сигнала не сохраняется, но это и не нужно при решении задачи обнаружения сигнала на фоне шума. Следует также отметить, что максимальное значение выходного сигнала равно AU²t_и, т.е. с точностью до величины A равно энергии входного сигнала. Спектральная плотность мощности выходного шума равна S_вых () = W₀ A² S² (), где W₀ - спектральная плотность мощности белого шума, а отношение сигнал/шум на выходе есть (U²t_и/W₀) ^1/2.

Рис.10

ПРИМЕР 2. Синтез фильтра, согласованного с пачкой равноотстоящих импульсов одинаковой формы.

Будем полагать, что заданный сигнал s (t) представляет собой ограниченную во времени последовательность из n импульсов произвольной формы (пачка или пакет) и показан на рис.12. Длительность каждого из импульсов равна t_и. Период импульсов в пачке T₀, тогда длительность пачки будет равна T_s = (n - 1) T₀ + t_и. На входе фильтра имеется аддитивный белый шум со спектральной плотностью мощности W () = W₀. Необходимо определить комплексную передаточную функцию СФ, обеспечивающего наибольшее отношение сигнал/шум на выходе фильтра, и сделать некоторые выводы относительно полученной структуры фильтра.

Рис.11

Используем известные соотношения, определяющие передаточную функцию согласованного фильтра

. (2)

Выразим эту передаточную функцию так, чтобы фигурировала комплексная спектральная плотность одиночного импульса из пачки, поскольку все импульсы в пачке одинаковы.

Рис.12

Используя свойства преобразования Фурье (теоремы о спектрах), получим спектральную плотность пачки:

,

где спектральная плотность одиночного импульса. Таким образом,

. (3)

Задержку t₀ положим равной длительности сигнала T_c. Это означает, что наибольшее пиковое значение выходного сигнала формируется в момент окончания входного сигнала. С учетом выбранного времени задержки t₀ подставим выражение (3) в формулу (2), получим

.

Из этого выражения следует, что оптимальная обработка пачки импульсов может производиться следующим образом:

1. Оптимальная (согласованная) обработка каждого из импульсов - звено K₁ (j).

2. Последующее накопление результатов в линии задержки с отводами и суммирование, как отображено на рис.13. Выходной сигнал есть y (t).

Рис.13

Отношение сигнал/шум есть , где числитель есть AЭ_s. Определим выигрыш в отношении сигнал/шум, обусловленный переходом к пачке одинаковых импульсов по сравнению с обработкой одиночного импульса из этой пачки.

Так как по условию T₀ 2t_и, т.е. импульсы на выходе фильтра не перекрываются, то энергия сигнала в n раз больше энергии одиночного импульса. Дисперсия шума на выходе, как видно из структуры фильтра (рис.13), будет тоже в n раз больше дисперсии шума на выходе фильтра с передаточной функцией K₁ (j), поскольку шумы на отводах линии задержки некоррелированы (задержка между отводами превышает интервал корреляции шума на выходе первого звена: протяженности корреляционной функции одиночного импульса). Однако необходимо заметить, что в знаменатель отношения сигнал/шум входит среднеквадратическое отклонение шума. Следовательно, применение пачки импульсов приводит к выигрышу в отношении сигнал/шум в раз.

ПРИМЕР 3. Определить структурную схему фильтра, согласованного с пачкой из трех одинаковых прямоугольных положительной полярности видеоимпульсов, представленных на рис.14 при скважности, равной трем.

По аналогии с предыдущим примером, структурная схема согласованного с такой пачкой фильтра показана на рис.15. На рис.16 представлен процесс получения откликов на выходах звеньев этого фильтра. Фильтр с передаточной функцией K₁ (j) имеет АЧХ

.

Рис.14

Рис.15

Рис.16

Для определения АЧХ второго звена будем полагать, что линия задержки является неискажающей (идеальной) и имеющей, в общем случае, n отводов, тогда передаточная функция этого звена

.

Используя формулу для суммы геометрической прогрессии , где a₁, a_n - первый и последний члены этой прогрессии; q - множитель, получим

.

Амплитудно-частотная характеристика этого звена (модуль K₂ (j)) имеет форму гребенки и показана на рис.17. Условие для ее максимума есть равенство и выполняется для сетки частот m = 1, 2, 3, …. При этих значениях частоты в ноль обращается и числитель, и знаменатель K₂ (j). Применим правило Лопиталя для преодоления такой неопределенности:

,

при этом , для n = 3 максимальные значения АЧХ K₂ () равны 2 (рис.17).

Такой согласованный с пачкой импульсов фильтр может быть использован в системах "ключ-замок", например, для радиолокации. Работа такой системы будет заключаться в следующем. Если на вход фильтра подать очень короткий по длительности импульс, близкий к -функции, то на выходе будет образован сигнал в виде трех прямоугольных импульсов, представленных на рис.14. Этот сигнал может быть использован в качестве зондирующего и подаваться на модулятор передатчика РЛС. Если отраженные сигналы после детектора подавать на тот же вход фильтра, то он будет согласованным для такого сигнала. При изменении множителей на отводах линии задержки, а также при изменении числа отводов этой линии и времени задержки между отводами можно формировать произвольный сигнал, для которого измененная структура будет согласованной для этого сигнала и позволит обеспечивать максимизацию отношения сигнал/шум.

Рис.17

ПРИМЕР 4. Сравнительный анализ откликов фильтра, согласованного с одиночным радиоимпульсом, имеющим прямоугольную огибающую, и фильтра, согласованного с линейно-частотно-модулированным (ЛЧМ) радиоимпульсом и также с прямоугольной огибающей, представленными на рис.18а и б.

Сигналы на выходах согласованных фильтров будут соответствовать корреляционным функциям сигналов, для которых они синтезированы, и сдвинутым во времени на t₀ = T_c. На рис. 19 и 20 показаны отклики этих фильтров для входных сигналов с неизменной частотой "заполнения" и с ЛЧМ соответственно. Максимальные значения в момент времени T_c будут одинаковы и равны 0,5АА₀²T_c. Отношения сигнал/шум на выходах этих фильтров также будут одинаковыми при равных энергиях сигналов и спектральной плотности мощности входного белого шума. Отличие в том, что для ЛЧМ-импульса будет выполняться сжатие по длительности, зависящее обратно от девиации частоты заполнения ЛЧМ-радиоимпульса. Необходимо заметить, что частота заполнения откликов одинакова, равна f₀ и не изменяется во времени. Следовательно, использование ЛЧМ-импульса в качестве зондирующего, например, в радиолокации позволит повысить разрешающую способность по дальности без изменения его длительности. Для импульса с неизменной частотой заполнения это невозможно.

а б

Рис.18

Реализовать строго передаточную функцию K_c (j), согласованного с ЛЧМ-импульсом фильтра, не удается, поэтому используют различные аппроксимации модуля и аргумента спектральной плотности. Например, считая, что |K_c (j) | имеет вид прямоугольника, а arg{K_c (j) } - квадратичная парабола, т.е.

где B - база сигнала, равная произведению . Но и строго прямоугольная АЧХ |K_c (j) | не осуществима, поэтому ищут приближения к ней и строят фильтр из двух линейных четырехполюсников: полосового резонансного усилителя с близкой к прямоугольной форме АЧХ (например, система связанных контуров или система взаимно расстроенных по частоте контуров: расстроенные двойки, тройки и т.д.) и четырехполюсника с квадратичной ФЧХ. Для реализации четырехполюсника с квадратичной ФЧХ необходимо, чтобы задержка вблизи частоты ₀, т.е. в полосе от _{0 д} до ₀ + _д зависела линейно от частоты (дисперсионная ультразвуковая линия задержки), обратно относительно зависимости частоты входного сигнала от времени (рис.21).

Рис. 19 Рис. 20

Рис.21

При этом начальные части ЛЧМ-импульса, имеющие меньшую частоту (рис.18б), будут иметь большую задержку, и наоборот. Таким образом, все части ЛЧМ-импульса как бы "собираются" вместе к концу импульса на входе и в отклике после суммирования дают максимальное значение при t T_c (рис. 20). Тогда степень сжатия длительности выходного импульса по сравнению с длительностью заданного импульса определяется базой сигнала B.

ПРИМЕР 5. Определить структуру согласованного фильтра для сигнала, состоящего из нескольких прямоугольных импульсов произвольной длительности и полярности (рис.22). Определить отклик синтезированного фильтра на этот сигнал. Подобный пример может быть использован в качестве допуска к соответствующей лабораторной работе.

Временная диаграмма исходного сигнала представлена на рис.22.

Спектральная плотность сигнала, состоящего из трех прямоугольных импульсов, может быть определена на основе свойств преобразования Фурье по спектральной плотности прямоугольного импульса e (t) единичной высоты и длительности (рис.22). Примем в качестве e (t) импульс высотой 1 В и длительностью 1 мс. Импульсная характеристика согласованного фильтра показана на рис.23, для коэффициента А = 1 .

Рис.22

Учитывая различия в задержке, длительности и полярности отдельных импульсов в пачке строим структурную схему согласованного фильтра, показанную на рис.24 (при длительности импульса в пачке больше 1 мс представляем его в виде суммы пристыкованных прямоугольных импульсов единичной длительности и соответствующей полярности).

Рис.23

Отклик синтезированного фильтра на заданный сигнал можно представить в виде его корреляционной функции на рис.26, сдвинутой (задержанной) на длительность входного сигнала (8 мс).

Рис.24

Построение фильтра, обеспечивающего точное совпадение K (j) с оптимальной, всегда является трудной задачей даже для простых сигналов и часто практически нереализуемой. Поэтому на практике используют квазиоптимальные фильтры, обеспечивающие отношение сигнал/шум на выходе, близкое к оптимальному значению (максимальному). Кроме того, часто реализация оптимальных фильтров стоит очень дорого, и можно пойти на ухудшение качества обработки сигнала при существенном уде-шевлении фильтра. Так, при построении квазиоптимальных фильтров для обработки тональных радиоимпульсов используют одноканальный резо-нансный усилитель, у которого соответствующим образом выбирается по-лоса пропускания. На рис.25 представлен отклик такого усилителя при воздействии на его вход тонального радиоимпульса. Форма огибающей напоминает форму корреляционной функции этого импульса (рис. 19).

Отношение сигнал/шум для такого фильтра будет составлять 0,77 от оптимального значения при отношении = 1,28, где _к - постоянная времени контура, равная величине, обратной половине полосы пропускания на уровне - 3 дБ относительно максимального значения АЧХ, т.е. ; Q - добротность контура; _р - его резонансная частота.

Рис.25

Рис.26

ПРИМЕР 6. Синтез фильтра, согласованного с сигналом, имеющим неизвестную начальную фазу.

Исходный сигнал s (t, ₀) = A (t) cos [₀t + (t) + ₀].

Если синтезировать фильтр, согласованный с сигналом s (t) = A (t) cos [₀t+ (t)] без учета неизвестной начальной фазы ₀, то отклик фильтра (без учета ₀) есть y (t) = 0,5ARe [B_A (t) ] (при t₀ = 0). Если учесть начальную фазу, то сигнал на выходе фильтра будет y (t, ₀) = 0,5 A Re [B_A (t) exp (j₀t+₀)], т.е. в момент t₀ не будет наблюдаться максимальное значение.

Для исключения влияния ₀ на отклик необходимо перейти к обработке по огибающей сигнала (например, использовать детектор). Можно также применить квадратурные каналы. При этом в состав фильтра входят два согласованных фильтра СФ1 и СФ2 в каждом из квадратурных каналов (рис.27). Входной блок обеспечивает переход к квадратурным составляющим огибающей входного сигнала, блоки КВ служат для определения квадрата входных сигналов. На выходе в пороговом узле происходит сравнение отклика в момент t₀ с пороговым значением K² для обнаружения сигнала на фоне шума.

Рис.27

Аналитически переход к квадратурным каналам можно обосновать таким образом. Так как комплексный (аналитический) сигнал есть z (t) = = A (t) exp [j (t)], а исходный физический сигнал определяется так s (t) = Re [z (t)]. В показательном виде

z (t) = A (t) exp [j (t) + j₀] exp [j₀t] = = exp [j₀t].

Следовательно, комплексная огибающая импульсной характеристики согласованного фильтра . Для простоты положим t₀ = 0, тогда

.

Из приближенных методов анализа прохождения узкополосных сигналов через узкополосные цепи известно, что комплексная огибающая отклика определяется интегралом свертки = . Подставив выражения для комплексной огибающей сигнала и импульсной характеристики, получим

=.

Сигналы на выходах блоков преобразования к огибающей поступают на входы фильтров, согласованных с косинусной и синусной составляющими комплексной огибающей, как показано на рис.28.

Рис.28

На выходе сумматора сигнал образуется таким образом: . Возведение в квадрат является нелинейной операцией, но она выполняется уже после максимизации отношения сигнал/шум на выходах линейных согласованных фильтров и влияет незначительно.

На выходах квадратурных согласованных фильтров определяются квадраты составляющих комплексной огибающей (синусной и косинусной) и складываются в сумматоре. Полученный квадрат корреляционного интеграла инвариантен к начальной фазе входного сигнала (определяется квадрат длины вектора в комплексной системе координат). Однако наличие двух каналов приводит к потерям в отношении сигнал/шум в два раза по мощности (или - 3 дБ), поскольку шум в сумматоре удваивается по дисперсии.

Таким образом, применение синтезированной структуры приводит к независимости от начальной фазы, но приводит к усложнению согласованного фильтра (надо иметь два согласованных фильтра).

5. Анализ согласованных фильтров. Выходной сигнал согласованного фильтра

Задан входной сигнал s (t) или его спектральная плотность S (j). Кроме того, задан согласованный фильтр импульсной характеристикой или передаточной функцией K (j). Необходимо определить сигнал y (t) на выходе такого фильтра.

Такую задачу можно решать временным или спектральным методами. На основе временного метода y (t) = s (t) •h (t) = =s () h (t ) d. Если решать задачу спектральным методом, то

y (t) = (2) - ¹S (j) K (j) exp (jt) d.

Используем последнее соотношение, учитывая, что для согласованного фильтра K (j) = AS• (j) exp (jt₀), тогда

S (j) K (j) = AS² () exp (jt₀),

a y (t) = A (2) - ¹S² () exp [j (t t₀)] d.

Учитывая, что (2) - ¹S² () exp [j] d = B_s () корреляционная функция входного сигнала, то выходной сигнал y (t) = AB_s (t t₀). Таким образом, выходной сигнал согласованного фильтра совпадает с точностью до постоянного множителя с корреляционной функцией входного сигнала, сдвинутой на интервал t₀. Множитель А не является безразмерным и предназначен для согласования размерности сигнала и корреляционной функции. Поскольку корреляционная функция B_s () по форме существенно отличается от самого сигнала s (t), поэтому согласованный фильтр не сохраняет форму входного сигнала. Этот фильтр используется для обнаружения сигнала, а не для выделения его с целью воспроизведения формы, поэтому сохранение формы сигнала не является обязательным.

6. Помеха на выходе согласованного фильтра

На вход фильтра воздействует белый шум со спектральной плотностью G_n () = G₀, его корреляционная функция есть B_n () = G₀ (). Необходимо вычислить корреляционную функцию и спектральную плотность мощности G_{n вых} () помехи на выходе согласованного фильтра. По известной формуле найдем G_{n вых} () = G_n () |K (j) |², где |K (j) |² = A²S² (). Следовательно, G_{n вых} () = G₀A²S² (). Таким образом, спектральная плотность мощности выходной помехи совпадает с точностью до постоянного множителя G₀A² с квадратом модуля спектральной плотности входного сигнала. Тогда корреляционная функция

B_{n вых} () = (2) ¹G₀A²S² () exp (j) d = G₀A²B_s ().

Следовательно, корреляционная функция выходной помехи совпадает с точностью до постоянного множителя с корреляционной функцией входного сигнала.

Проанализируем закон распределения выходной помехи. Так как шум на входе предполагается имеющим нормальный закон распределения вероятности, а так как рассматриваемый фильтр является линейной системой, то выходная помеха будет иметь нормальный закон распределения, у которого дисперсия _{n вых}² = B_{n вых} (0) = G₀A²Э_s и нулевое математическое ожидание.

Таким образом, отношение сигнал/шум на выходе фильтра

с/п = |y (t₀) | / _{n вых} = AЭ_s/ (G₀A²Э_s) ^1/2 = (Э_s/G₀) ^1/2,где |y (t₀) | = AB_s (t₀ t) = AЭ_s.

7. Цифровой согласованный фильтр