Исходя из приведенных в предыдущем разделе рассуждений, определим структуру системы связи, содержащую три основных оператора преобразований: U - оператор формирования сигнала; V - оператор взаимодействия сигнала и помехи; W - оператор обработки сигнала и помехи в приемно-решающем устройстве (рис.1).

Рис.1

В многомерном пространстве выборок помеха, входной процесс, параметры, сигнал и решения могут быть представлены в виде векторов за время наблюдения Т:

а) вектор помехи ;

б) вектор входного процесса ;

в) вектор параметров ;

г) вектор передаваемого сигнала ;

д) вектор решений .

Эти векторы имеют соответствующие плотности вероятности:

; ;

; .

Размерности вектора решений D и вектора параметров А совпадают, поскольку в системе не должно быть бесполезных решений и ни один из передаваемых параметров не должен быть пропущен при решении.

Приемное устройство в соответствии с некоторым оператором W производит отображение вектора X в вектор D, т.е. формирует решающее правило, в соответствии с которым осуществляется это отображение. Это решающее правило частот называют стратегией приемно-решающего устройства. Стратегия может быть регулярной (детерминированной) и случайной. Регулярной стратегии соответствуют вполне однозначные решения (нерандомизированное решающее правило). При случайной стратегии одному и тому же вектору соответствует несколько возможных векторов D (рандомизированное правило). В последнем случае после получения выборки производят дополнительное испытание, и решение D принимается с соответствующей вероятностью. Для характеристики ошибок решения и их последствий вводят функцию потерь . Безусловно, потери, обусловленные правильными решениями, меньше потерь из-за ошибочных решений, и поэтому . В общем случае потери уменьшаются с уменьшением ошибки . Функция потерь характеризует плату за ошибки или, иначе, стоимость ошибки. Существуют различные виды функций потерь.

1. Простая функция потерь

2. Элементарная функция потерь

3. Квадратичная функция потерь

.

4. Модульная функция потерь

,

где k - коэффициент пропорциональности, характеризующий удельный вес стоимости принятых решений.

Вид выбираемой функции потерь зависит от типа системы передачи информации и критериев оценки ее качества.

Функция потерь не может полностью охарактеризовать систему, поскольку ее значения случайны и зависят от передаваемого сообщения и помехи. Чтобы перейти к неслучайным потерям и охарактеризовать систему в среднем, необходимо усреднить функцию по всем возможным значениям помехи и сигнала. Если усреднение производить только по пространству выборок X, то получим условный риск для каждого вида сигнала s_i, i = 1, 2, …, q и

, (1)

где - область определения вектора X.

Можно было бы принять условный риск за критерий качества правила выбора решения и считать наилучшим правилом то, которое минимизирует r_i среди всех возможных правил. Однако оптимальное свойство правила решения зависело бы при этом от типа сигнала s_i. Для другого сигнала s_j, j I выбранное правило уже не будет давать наименьший условный риск, и в этом случае для каждого s_i, i = 1, 2, …, q необходимо свое оптимальное решающее правило. Чтобы исключить зависимость риска от вида сигнала, необходимо усреднить условный риск по всем возможным s_i с учетом их вероятности, в результате получим безусловный или средний риск, который может быть принят за критерий качества правила выбора решения

.

Средний риск характеризует среднюю стоимость потерь. Учитывая плотности вероятности f (S) и f (X), можно определить средний риск:

, (2)

где - пространство возможных сигналов (передаваемых сообщений).

Если число передаваемых сообщений, например, два: "сигнал есть" - а₁ и "сигнала нет" - а₀, вероятности таких сообщений соответственно p₁ и p₀. Пространство решений содержит две точки:

Для простой функции потерь и при известных условных вероятностях , , , можно определить условный риск для каждого из а:

1. ;

2. .

Средний риск получаем усреднением по всем возможным значениям сообщения а:

. (3)

Если пространство сообщений непрерывно, то средний риск определим из следующего выражения:

,

где - ошибка измерения; f () - априорное распределение ошибки; r () - условный риск.

Наиболее общим критерием оптимальности систем является критерий, минимизирующий средний риск. Называется такой критерий байесовским, а соответствующее ему минимальное значение среднего риска - байесовским риском, т.е.

,

где - решающие правила (критерии).

Определим вероятности ошибок первого () и второго рода (), входящие в формулу (3) для среднего риска в задаче обнаружения.

1. Вероятность ошибки первого рода

,

где X₁ - подпространство пространства выборок (X), соответствующее принятию решения о наличии сигнала на входе приемно-решающего устройства (область альтернативы); X₀ - подпространство, дополнительное к X₁ и соответствующее принятию решения об отсутствии сигнала (область гипотезы); - плотность вероятности выборок для гипотезы (отсутствие сигнала).

2. Вероятность ошибки второго рода

,

где - плотность вероятности выборок для альтернативы.

Вероятности правильных решений.

1. Вероятность правильного обнаружения

.

2. Вероятность правильного необнаружения

.

Тогда безусловные потери для простой функции потерь

=

= =

= .

Эти потери необходимо минимизировать, выбирая соответствующий критерий. От X зависит выражение под интегралом, а оно максимально, когда

. (4)

Выражение (4) является критерием оптимизации, минимизирующим средний риск. Перенесем постоянные величины в правую часть этого неравенства

.

Левая часть неравенства называется отношением правдоподобия

(5)

и является статистикой, которая отображает точки n-мерного пространства выборок на действительную ось.

Таким образом, байесов критерий при простой функции потерь принимает следующий вид:

.

Если , то принимается альтернатива (сигнал есть), если же , то альтернатива отвергается в пользу гипотезы (сигнала нет) (рис.2) (K - пороговая величина, соответствующая байесовскому критерию).

Рис.2

В результате байесов риск запишется так:

.

Следовательно, для простой функции потерь байесово решающее правило минимизирует вероятности неправильных решений. К недостаткам байесовского критерия следует отнести необходимость априорных знаний функции потерь, вероятностей p₁ и p₀ и распределений и . Фактически должно быть известно все о сигналах и помехах, кроме факта наличия или отсутствия сигнала на фоне помех.

Если неизвестны априорно p₁ и p₀, то может быть применено минимаксное решающее правило. Для этого рассчитываются все возможные значения (состояния) сигнала или параметра сигнала; для каждого значения определяется условный риск с учетом заданной функции потерь. Среди всех условных рисков выбирают максимальный, и выбором критерия минимизируют этот риск, т.е. .

В некоторых случаях вероятности p₁ = p₀ = 0,5 (задача связи при передаче двух равновероятных), тогда применяют критерий идеального наблюдателя (Зигерта - Котельникова)

.

Этому критерию соответствует средний риск

.

Процедура проверки гипотезы о наличии того или иного состояния сигнала сводится к вычислению отношения правдоподобия и сравнению его с единицей.

В радио - и гидролокации используется критерий Неймана - Пирсона, в соответствии с которым фиксируется уровень вероятности ложных тревог , где С - постоянная величина, равная 10^-4…10^-8.

Затем минимизируют вероятность ошибки второго рода (пропуск сигнала) или, что то же самое, максимизируют вероятность правильного обнаружения P_D.

Все приведенные критерии основаны на отношении правдоподобия и отличаются между собой только пороговым уровнем К. Для байесовского критерия , критерия идеального наблюдателя , критерия Неймана - Пирсона К = К₁ при . Тогда оптимальный обнаружитель может быть синтезирован в виде двух функциональных узлов (рис.8.3). В первом из них происходит формирование отношения правдоподобия , во втором - сравнение с пороговым уровнем К.

Рис.3

При превышении отношением правдоподобия порогового уровня К выносится решение о наличии сигнала (d₁), если же К не превышен, то выносится решение об отсутствии сигнала (d₀).

3. Принцип максимума апостериорной вероятности и правдоподобия