Размещено на http://www.allbest.ru/

Кола з розподіленими параметрами

коло рівняння біжний хвиля

До кіл з розподіленими параметрами, що також називають довгими лініями (ДЛ), відносять кола, один із геометричних розмірів () яких порівняний з довжиною хвилі () гармонічних струмів і напруг з частотою , що поширюються вздовж цього розміру зі швидкістю . Затримка коливань у таких колах стає порівняною з періодом, і тому не можна нехтувати фазовим зсувом коливань на вході і виході такого кола. У випадку негармонічних (наприклад, імпульсних) сигналів критерієм, за яким коло можна вважати довгою лінією, є порівнянність затримки з характерними часовими параметрами сигналу (наприклад, з його тривалістю). Більшість пристроїв та елементів метрового діапазону є колами з розподіленими параметрами.

Для опису процесів і розрахунків ДЛ вводяться так звані первинні (погонні) параметри, які кількісно характеризують розподілені індуктивність і опір провідників ліній (), а також - ємність і провідність між провідниками (). Розмірність погонних параметрів складає, відповідно, - Гн/м, Ом/м, Ф/м, См/м.

Прийняте в теорії кіл схемне зображення ДЛ і схема заміщення її ділянки довжиною зображені відповідно на рис. 1 і рис. 2.

(1)

Рисунок 1 - Схема довгої лінії

В основі теорії ДЛ лежать диференційні рівняння відносно частинних похідних напруги і струму, оскільки останні є функціями двох змінних :

(1) (2)

Системи рівнянь (1) і (2) виводяться на підставі законів Кірхгофа для схем заміщення ділянки лінії довжиною (рис. 1), або .

Розв'язання рівнянь (1) і (2) спрощується для двох випадків:

1) ідеальної довгої лінії (ІДЛ) і довільних законів зміни і ;

2) реальної лінії і гармонічних законів зміни і .

У випадку ІДЛ розв'язання системи (1) зводиться до одного рівняння відносно будь-якого з процесів. При цьому отримуємо однотипні, так звані, одновимірні хвильові рівності, наприклад:

. (3)

Шляхом безпосередньої підстановки можна показати, що розв'язання рівняння (3) має вид:

(4)

де - довільні функції, які визначаються граничними умовами ліній (вид джерела і параметри навантаження); - швидкість поширення коливань у лінії.

Перша із складових (4) являє собою хвилю, що поширюється від джерела до навантаження, а друга - - хвиля, що поширюється від навантаження до джерела. Тому першу складову називають падаючою (), а другу - відбитою () хвилями. Падаюча і відбита хвилі поширюються зі швидкістю у протилежних напрямках.

Розв'язання для струму також складається із падаючої та відбитої хвиль, які пов'язані з відповідними складовими напруги через закон Ома

,

де - хвильовий опір ІДЛ.

Від'ємний знак відбитої складової струму в (4) свідчить про напрямок переміщення енергії відбитої хвилі від навантаження до джерела.

Аналіз усталеного гармонічного режиму проводиться комплексним методом. Оскільки струм і напруга в такому режимі змінюються за гармонічним законом з відомою частотою, диференційні рівняння (1) і (2) зводяться до рівностей з однією змінною відносно комплексних амплітуд:

; (4) , (5)

де ; - погонні комплексний опір і провідність лінії відповідно.

Подальша схема розв'язання рівнянь (4) і (5) складається із:

а) переходу від систем до рівнянь відносно кожного з невідомих

; (6)

б) знаходження розв'язань рівнянь (6), які є лінійними диференційними рівняннями другого порядку і мають однакові корені характеристичного рівняння ;

в) знаходження постійних інтегрування користуються граничними умовами для , або для , .

Різні форми запису розв'язань мають вид:

де - хвильовий опір реальної лінії.

Індексами «пад» і «від» позначені комплексні амплітуди падаючих і відбитих складових розв'язань для (з допоміжним індексом «1») або (з індексом «2»). Переконатись у справедливості фізичного трактування складових розв'язків можна, якщо перейти до миттєвих значень, наприклад, для напруги,

.

Перша складова є коливанням, амплітуда якого спадає за експоненціальним законом по координаті , а високочастотне заповнення переміщується від джерела до навантаження з фазовою швидкістю . Це є миттєве значення падаючої хвилі напруги. У другої складової амплітуда зростає по координаті (або спадає по координаті ), а високочастотне заповнення переміщується в протилежному напрямку з тією самою швидкістю. Тобто це миттєве значення відбитої хвилі напруги.

Наведене співвідношення для швидкості можна обґрунтувати перетворенням аргументів коливань: і проведеним аналізом, виконаним раніше для складових (4).

За фізичним змістом , і відносять до вторинних параметрів лінії і названі, відповідно, - коефіцієнтами поширення, амплітуди і фази. Вторинними параметрами також є швидкість, хвильовий опір , довжина хвилі , вхідний опір і коефіцієнти відбиття

;

.

Подання коливань у ДЛ у вигляді накладання падаючої і відбитої хвиль відіграє важливу роль у поясненні змісту фізичних процесів, режимів роботи лінії тощо. Але для розрахунків струмів, напруг, опорів у різних розрізах найбільш зручні вирази з гіперболічними функціями.

У випадку ІДЛ розрахункові співвідношення суттєво спрощуються, оскільки . При цьому вирази для знаходження комплексних струмів і напруг набувають вигляд:

де - хвильовий опір ІДЛ.

Основні співвідношення для розрахунків режимів ідеальних ліній наведені в табл. 13.

Вторинні параметри ДЛ і співвідношення для їх розрахунку наведені в табл. 14.

Режими роботи ДЛ визначаються навантаженням лінії. При цьому розрізняють три основних режими: біжні хвилі (повне узгодження, коли ); стійні хвилі (повне відбиття при ); змішані хвилі (часткове відбиття при ().

Таблиця 1 - Співвідношення для параметрів основних режимів ІДЛ

Таблиця 2 - Вторинні параметри реальної ДЛ при синусоїдній дії

В режимі біжних хвиль амплітуди напруг і струмів у різних перерізах лінії однакові, а зсув фаз між ними дорівнює нулю. При цьому початкова фаза напруги і струму змінюється пропорційно змінюванню координати або . Вхідний опір у різних перерізах лінії дорівнює хвильовому опору і не залежить від частоти джерела.

Неспотворена передача сигналів у радіотехнічних пристроях і системах здійснюється в режимі біжних хвиль ДЛ. Цей режим також застосовуються при створенні фазообертувачів і ліній затримки.

Режим стійних хвиль характеризується повним відбиттям енергії від навантаження. Амплітуди напруг і струмів вздовж лінії розподілені за законом модуля синуса або косинуса. Перерізи ліній з нульовими значеннями амплітуд називаються вузлами, а з максимальними - пучностями. Сусідні вузли (пучності) напруг (струмів) розміщені на відстані, рівній половині довжини хвилі. Пучності струму збігаються з вузлами напруг і навпаки. Значення початкових фаз напруг (струмів) на ділянці лінії між сусідніми вузлами постійні, а при переході через вузол змінюються на . Різниця фаз між напругою і струмом у будь-якому перерізі складає , що свідчить про реактивний характер опору лінії і відсутність переносу енергії вздовж лінії.

ДЛ у режимі стійних хвиль використовуються як ізолятори, трансформатори опорів і коливальних контурів.

Короткозамкнута ІДЛ довжиною має , що дозволяє її використовувати як ізолятор і паралельний коливальний контур. Розімкнена ІДЛ довжиною має і може бути використана як послідовний контур.

При навантаженні ідеальної лінії довжиною на довільний опір її вхідний опір складає , тобто відбувається трансформація опору навантаження. Таку трансформацію опорів використовують для узгодження лінії з навантаженням , . Як приклад, на рис. 3 наведена схема такого варіанта узгодження для випадку. Хвильовий опір трансформуючої лінії має складати . При такому узгодженні в трансформуючій лінії встановлюється режим змішаних хвиль (), а в основній лінії - режим біжних хвиль.

У режимі змішаних хвиль відбувається часткове відбиття енергії від навантаження. В лінії є перерізи з мінімумами і максимумами амплітуд напруг і струмів, але мінімуми не досягають нуля. Напруги і струм у мінімумах і максимумах знаходяться у фазі, а вхідний опір у цих перерізах має лише активний характер. В інших перерізах вхідний опір лінії комплексний, причому при переході через максимум або мінімум характер реактивності змінюється. Основними характеристиками режиму змішаних хвиль є коефіцієнт стійних хвиль (КСХ) і коефіцієнт біжних хвиль (КБХ).

Розрахунок режимів ІДЛ доцільно виконувати номограми (кругові діаграми). В лінії з втратами розрахунки ускладнюються, оскільки необхідно вдаватись до співвідношень з гіперболічними функціями. У випадку малих втрат можна використовувати методику приблизного розрахунку, засновану на розрахунках ідеальної лінії і введенні експоненційних поправок відносно спадних і відбитих хвиль у вигляді і , причому коефіцієнт загасання.

.

Хвильовий опір і швидкість у лініях з малими втратами можна вважати такими самими, як і у лініях без втрат. Добротність контурів при використанні ліній з малими втратами довжиною складає: .

Коефіцієнт корисної дії в режимі біжних хвиль для лінії з втратами можна оцінити у вигляді:

,

де, - потужність, відповідно, навантаження і джерела; - довжина лінії.

В режимі змішаних хвиль ККД складає

.

Размещено на Allbest.ru