Оценка пропускной способности проводных каналов связи при наличии шумовых помех (на примере аналоговых и цифровых систем передачи информации)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Башкирский Государственный Университет. Физический факультет

Кафедра статистической радиофизики и связи

Курсовая работа

по теории электрической связи

Оценка пропускной способности проводных каналов связи при наличии шумовых помех (на примере аналоговых и цифровых систем передачи информации)

Выполнила: студентка 3 курса

заочного отделения специальности ФТОС

Бокарева Ольга Олеговна

Проверил: доктор физ-мат. наук

профессор Гоц С.С

Уфа-2011

Оглавление

Введение

1. Теоретические основы пропускной способности каналов связи

2. Основы расчета пропускной способности канала связи

2.1 Пропускная способность канала связи

2.2 Пропускная способность непрерывного канала связи

2.3 Теорема кодирования для канала с помехами

Заключение

Литература

Введение

Под каналом связи в сети будем понимать комплекс устройств, обесценивающих перенос сигналов (передачу информации) из одной точки пространства в другую, причем полюсами (концами) канала будем считать либо устройства ввода или вывода информации (абонентскую аппаратуру или устройства сопряжения канала с ЭВМ), либо входы или выходы коммутационных систем.

Каналы связи независимо от их технической реализации и среды, в которой происходит распространение (проводные, радио, волноводные, радиорелейные, спутниковые, световодные каналы и т. п.), различаются по пропускной способности, исправлению передачи информации и их положению (роли) в части связи.

Говоря о пропускной способности каналов, их, прежде всего, следует разделить на аналоговые и дискретные.

По аналоговым каналам передается информация, представленная в непрерывной форме, т.е. в виде непрерывного ряда значений какой-либо физической величины. По дискретным каналам передается информация, представленная в виде дискретных (цифровых, импульсных) сигналов той или иной физической природы.

Аналоговые каналы характеризуются частотной полосой пропускаемости, динамическим диапазоном, временем распространения (интенсивностью и характером). Дискретные (цифровые) каналы характеризуются скоростью передачи в битах в секунду (иногда - в бодах)

Предметом данной работы является изучение теории проводных каналов связи в части определения их пропускной способности в передаче информации при наличии шумовых помех. Ставится задача определения максимально возможной скорости передачи информации - пропускной способности канала связи.

В первом разделе рассматриваются теоретические основы пропускной способности, во втором разделе изучаются основы расчета пропускной способности при наличии шумовых помех, в третьем разделе представлен пример расчета пропускной способности канала связи при наличии шумовых помех.

1 Теоретические основы пропускной способности каналов связи

В общей структурной схеме канала передачи дискретными являются каналы от входа модулятора до выхода демодулятора и от входа кодера до выхода декодера.

Рисунок 1 Общая структурная схема канала передачи: 1 - непрерывный (аналоговый) канал; 2,3- дискретные каналы

Непрерывный (аналоговый) канал - это собственно последовательная линия передачи (телефонная линия, скрученная пара проводов, коаксиальный кабель и др.). Дискретные каналы не являются независимыми от аналогового канала, который часто образует наиболее "узкое место" при передаче и из-за собственной ограниченной полосы пропускания и внешних шумов и помех определяет общую достижимую скорость передачи (при заданном допустимом уровне ошибок при приеме).

Рассмотрим функции отдельных устройств на рисунке 1.

Кодер/декодер в конкретной системе может совмещать, на первый взгляд, прямо противоположные функции.

Во-первых, кодер может быть использован для внесения избыточности в передаваемую информацию с целью обнаружения влияния шумов и помех на приемном конце (там этим занимается соответствующий декодер).

Избыточность проявляется в добавлении к передаваемой полезной информации так называемых проверочных разрядов, формируемых, как правило, чисто аппаратурными средствами из информационной части сообщения. Известно много различных помехоустойчивых кодов, причем самый простой однобитовый код (бит четности/нечетности) далеко не всегда удовлетворительно работает на практике. Вместо него в локальных сетях используются контрольная сумма или, что еще лучше, циклический код (CRC - Cyclic Redundancy Check), занимающий в формате передаваемого сообщения 2 или 4 байта, независимо от длины в байтах информационной части сообщения.

Во-вторых, при больших объемах передаваемой информации целесообразно ее сжать до передачи, если есть такая возможность. В этом случае говорят уже о статистическом кодировании. Здесь уместна аналогия с обычными программами архивации файлов (типа arj, rar, pkzip и др.), которые широко используются при организации обмена в сети Internet. Волее того, если проблема с большими объемами информации и после такого обратимого сжатия до конца не решается, можно рассмотреть возможность необратимого сжатия информации с частичной ее потерей ("огрублением"). Конечно, здесь не может быть и речи об отбрасывании части чисто цифровых данных, но по отношению к изображениям иногда можно пойти на снижение разрешения (числа пикселей) без искажения общего вида "картинки". Здесь можно упомянуть алгоритмы сжатия JPEG для изображений и MPEG для видео- и аудиопотоков, допускающие значительные степени компресии без уменьшения разрешения и с минимальными потерями.

Понятно, что оба типа кодирования (помехоустойчивое избыточное кодирование и статистическое кодирование) служат, в конечном счете, решению одной задачи - повышению качества передачи как в смысле отсутствия или минимального допустимого уровня ошибок в принятом сообщении, так и в смысле максимального использования пропускной способности канала передачи. Поэтому в высокоскоростных модемах нередко реализуются оба типа кодирования.

Что касается функций модулятора/демодулятора на рисунке 1, то они включают согласование полосы частот, занимаемой сигналами, с полосой пропускания линии передачи. Кроме того, выходные каскады передатчиков (после модуляторов) реализуют усиление сигналов по мощности и амплитуде, что является наиболее очевидным средством увеличения отношения сигнал/шум. Действительно, ничто (кроме, пожалуй, техники безопасности) не заставляет разработчиков придерживаться в аналоговом канале столь жестких ограничений сигналов по амплитуде, как в дискретных (цифровых) каналах (от 0 до + 5В при использовании аппаратуры в стандарте ТТЛ). Например, для распространенного стандарта последовательного порта компьютера RS-232C предусмотрена "вилка" амплитуд от -(3...12) В до +(3...12) В. Конечно, в обоих случаях речь идет об амплитудах вблизи передатчика, в то время как вблизи приемника амплитуда сигналов может быть существенно ослаблена.

Максимальную скорость, с которой канал способен передавать сигнал, называют пропускной способностью канала.

В 1924 Найквист открыл взаимосвязь пропускной способности канала и его полосы пропускания.

Теорема Найквиста

связь канал дискретный информация помеха

где h - ширина полосы пропускания канала, выраженная в Гц, V - количество уровней в сигнале. Например, из этой формулы следует, что канал с полосой 3КГц не может передавать двухуровневые сигналы быстрее 6000 бит/сек.

Эта теорема также показывает, что, например, бессмысленно сканировать линию чаще, чем удвоенная ширина полосы пропускания. Действительно, все частоты выше этой отсутствуют в сигнале. Однако, теорема Найквиста не учитывает шум в канале, который измеряется как отношение мощности полезного сигнала к мощности шума: S/N. Эта величина измеряется в децибелах: 10 log10(S/N) dB. Например, если отношение S/N равно 10, то говорят о шуме в 10 dB, если отношение равно 100, то - 20 dB.

На случай канала с шумом есть теорема Шеннона, по которой максимальная скорость передачи по каналу с шумом равна

H log2 (1+S/N) бит/сек.

где S/N - соотношение сигнал-шум в канале

Здесь уже не важно количество уровней в сигнале. Это теоретический предел, которой редко достигается на практике. Например, по каналу с полосой пропускания в 3000 Гц и уровнем шума 30dB (это характеристики телефонной линии) нельзя передать данные быстрее, чем со скоростью 30 000 бит/сек.

Формула Шеннона для непрерывного (аналогового) канала связи:

где V_мaкc - максимальная скорость передачи (бит/сек), Дf -- полоса пропускания линии передачи и, одновременно, полоса частот, занимаемая сигналами (если не используется частотное разделение каналов), S/N -- отношение сигнал/шум по мощности.

График этой зависимости приведен на рисунке 2 (формуле Шеннона соответствует кривая под названием "теоретический предел").

Под шумом понимается любой нежелательный сигнал, в том числе внешние помехи или сигнал, вернувшийся к передающему устройству - может быть, и модему - в результате отражения от противоположного конца линии. Сами по себе сосредоточенные помехи не столь существенно ограничивают пропускную способность аналогового канала, как непредсказуемый в каждый момент времени белый гауссовский шум.

Рисунок 2 - Зависимость максимальной скорости передачи VU3KCдля аналоговой линии от отношения сигнал-шум по мощности S/N

Формула Шеннона для многопозиционного дискретного канала, построенного на базе предыдущего непрерывного канала, в отсутствие ошибок при приеме, имеет следующий вид:

Здесь n - общее число вариантов дискретного (цифрового) сигнала (алфавит). Если за время одной посылки (длительность элементарного аналогового сигнала типа отрезка синусоиды) передается информация о k двоичных разрядах, то n = 2k. Практически расширение алфавита для дискретных сигналов приводит к появлению все менее различимых элементарных посылок, так что величина n ограничивается сверху все тем же отношением сигнал/шум S/N в аналоговом канале.

При учете ошибок при приеме формула Шеннона для многопозиционного дискретного канала, построенного на базе непрерывного канала, имеет следующий вид:

(3)

Здесь р_ош - отношение числа бит, принятых с ошибками, к общему числу переданных бит за время наблюдения, теоретически стремящееся к бесконечности, а практически достаточное для набора статистики.

Формулы Шеннона показывают, что наиболее эффективный способ увеличения максимальной скорости передачи V_макс состоит в увеличении полосы пропускания линии передачи Af (V_мaкc ~ Af). Логарифмическая зависимость V_мaкc от отношения сигнал/шум S/N делает этот путь повышения V_макс гораздо менее перспективным и более трудоемким. Однако на практике редко возможен свободный выбор линии передачи, который с точки зрения реализации максимальной скорости передачи однозначно сводится к использованию оптоволоконной линии связи (ВОЛС).

Аналоговая и цифровая связь предполагают разные подходы к измерению полосы пропускания или пропускной способности.

Пропускная способность аналогового носителя, например коаксиального кабеля, выражается в герцах. Величина в герцах описывает ширину аналогового канала связи по частоте. Например, кто-то может сказать, что коаксиальный кабель имеет полосу пропускания 400 МГц. (Напомним, что 400 МГц -- это 400 млн. колебаний в секунду.) Это означает, что пропускная способность данного кабеля может быть определена как частота в 400 МГц. Ширина полосы пропускания (или полосы частот) в аналоговом канале есть разница между максимальной и минимальной частотами, на которых может работать проводник. У кабеля, имеющего минимальную частоту передачи 200 МГц, а максимальную -- 300 МГц, полоса пропускания составляет 100 МГц. Чем больше разница между максимальной и минимальной частотами, тем шире полоса пропускания, а значит, и выше пропускная способность.

Пропускная способность цифровых линий, таких как ISDN, Т-1 или АТМ, измеряется в битах в секунду. Иными словами, она выражает число битов, передаваемое через канал за одну секунду. Полоса пропускания линии Т-1, например, составляет 1,54 млн. бит/с. Пропускная способность может быть выражена и записана различными способами.

Индивидуальные каналы линий сети ISDN имеют полосу пропускания 64 тыс. бит в секунду, или 64 килобит в секунду (64 кбит/с).

Цифровые каналы Т-1 имеют полосу пропускания 1,54 млн. бит в секунду, или 1,54 мегабит в секунду (1,54 Мбит/с).

Один из стандартов технологии АТМ предусматривает пропускную способность 622 млн. бит в секунду, или 622 мегабит в секунду (622 Мбит/с).

Другая спецификация АТМ обеспечивает передачу данных со скоростью 13,22 млрд. бит в секунду, или 13,22 гигабит в секунду (13,22 Гбит/с).

Тысяча гигабит называется терабит; 10 терабит в секунду = 10 000 000 000 000 бит в секунду (1013 бит/с).

2 Основы расчета пропускной способности канала связи

2 1 Пропускная способность канала связи

В любой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость определяется по формуле:

I'(А,В)=H'(А)-H'(А|В)=H'(А)-H'(В|А). (4)

Величина H(A|B) - это потери информации при передаче ее по каналу. Ее также называют ненадежностью канала. H(B|A) - энтропия шума; показывает, сколько бит шумовой информации примешивается к сигналу. Передачу сигнала по каналу иллюстрирует рисунок 3.

Рисунок 3 - Передача информации по каналу с помехами

Здесь I'(A,B)=v*I(A,B) - скорость передачи информации по каналу.

Как видно из формулы (4), эта скорость зависит не только от самого канала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому не может характеризовать канал как средство передачи информации.

Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени символов из алфавита объёмом m.

При передаче каждого символа в среднем по каналу проходит количество информации.

I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A), (5)

где А и В - случайные символы на входе и выходе канала.

Из четырёх фигурирующих здесь энтропий Н(А) - собственная информация передаваемого символа определяется источником дискретного сигнала и не зависит от свойств канала. Остальные три энтропии в общем случае зависят как от источника сигнала, так и от канала.

Величина I(A,B) характеризует не только свойства канала, но и свойства источника информации.

Пусть на вход канала можно подавать сигналы от различных источников информации с различными распределениями P(A). Для каждого источника I(A,B) примет свое значение. Максимальное количество информации, взятое по всевозможным Р(А), характеризует только канал и называется пропускной способностью (ПС) канала в расчете на один символ:

бит/символ,

где максимизация производится по всем многомерным распределениям вероятностей Р(А).

Также определяют пропускную способность С канала в расчете на единицу времени:

бит/с, (6)

где v - количество символов, переданное в секунду.

В качестве примера вычислим пропускную способность дискретного симметричного канала без памяти (рисунок 4) с вероятностью ошибочного перехода - p.

Рисунок 4 Модель двоичного симметричного канала без памяти

Согласно свойству взаимной информации (6) можно записать: С_сим=max(H(B)-H(B|A)). Распишем H(B|A).

Исходя из условий задачи вероятность правильной передачи символа по каналу - 1-p, а вероятность ошибочной передачи одного символа p/(1-m), где m - число различных символов, передающихся по каналу. Общее количество верных передач - m; общее количество ошибочных переходов - m*(m-1). Отсюда следует, что:

.

Следовательно, Н(В/А) не зависит от распределения вероятности в ансамбле А, а определяется только переходными вероятностями канала. Это свойство сохраняется для всех моделей канала с аддитивным шумом.

Максимальное значение Н(В)=log m. Отсюда следует:

. (7)

Пропускная способность в двоичных единицах в расчете на единицу времени:

. (8)

Для двоичного симметричного канала (m=2) пропускная способность в двоичных единицах в единицу времениС=[1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)] (9)

Зависимость С/ от р согласно (9) показана на рисунке 5

Рисунок 5 Зависимость пропускной способности двоичного симметричного канала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа

При р=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой вероятности ошибки последовательность выходных символов можно получить совсем не передавая сигнала по каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2 последовательности на выходе и входе канала независимы. Случай С=0 называют обрывом канала.

2.2 Пропускная способность непрерывного канала связи

Вычисляется аналогично пропускной способности дискретного канала. Непрерывный сигнал дискретизируется во времени с помощью отсчетов согласно теореме Котельникова и информация, проходящая по каналу за время Т, равна сумме количества информации, переданной за один отсчет. Поэтому общая ПС канала равна сумме ПС на один такой отсчет:

, (10)

где U - переданный сигнал; Z - сигнал на выходе канала с наложенными на него шумами; N - шум; Z=U+N.

Пусть U и N - случайные величины с плотностью распределения вероятности w, распределенной по нормальному (гауссовскому) закону. Для таких сигнала и шума (см. вывод в [1, с. 114, 117-118]:

.

Отсюда следует:

.

ПС в расчете на секунду будет равна:

, (11)

Поскольку при дискретизации сигнала по теореме Котельникова за одну секунду мы получим 2F отсчетов, где F - верхняя частота спектра сигнала.

Подчеркнем, что формула (11) имеет такой вид только при условии, что плотности распределения вероятностей w(U) и w(N) подчиняются нормальному закону.

Формула (11) имеет важное значение, т.к. указывает на зависимость ПС канала от его технических характеристик - ширины полосы пропускания и отношения мощности сигнала к мощности шума.

Чтобы выяснить, как зависит пропускная способность от ширины полосы пропускания, выразим мощность шума в канале через его одностороннюю спектральную мощность N₀. Имеем Р_ш=N₀F; поэтому

С=F*log(1+Pc/N₀*F)=F*loge*ln(1+Pc/N₀*F) (12)

При увеличении F пропускная способность С, бит/с, сначала быстро возрастает, а затем асимптотически стремится к пределу:

C_?=Lim(Pc/N₀)*loge (13)

Результат (13) получается очень просто, если учесть, что при ||<<1 ln(1+). Зависимость С и F показана на рисунке 6.

Рисунок 6 - Зависимость нормированной пропускной способности гауссовского канала от его полосы пропускания

2.3 Теорема кодирования для канала с помехами

Это основная теорема кодирования К. Шеннона. Применительно к дискретному источнику информации она формулируется так:

Теорема. Если производительность источника сообщений H'(A) меньше пропускной способности канала С: H'(A)<С, то существует такой способ кодирования (преобразования сообщения в сигнал на входе канала) и декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе), при котором вероятность ошибочного декодирования и ненадежность канала H(A|A^*) могут быть сколь угодно малы. Если же H'(A)>С, то таких способов кодирования и декодирования не существует.

Если же Н'(А)>с, то такого кода не существует.

Теорема указывает на возможность создания помехоустойчивых кодов.

Н'(А)< Н'(В)

Н'(В)=V_kH

Декодер выдаёт на код каналов V_k символов в секунду. Если в канале потерь нет, то V_k=с.

При Н<1 будет тратиться больше одного бита на символ, значит, появляется избыточность, т.е. не все символы несут полезную информацию.

Делаем вывод, что смысл теоремы Шеннона заключается в том, что при H'(A)>С невозможна безошибочная передача сообщений по данному каналу, если же H'(A)<С, то ошибки могут быть сведены к сколь угодно малой величине. Таким образом, величина С - это предельное значение скорости безошибочной передачи информации по каналу.

Пример расчета пропускной способности канала связи при наличии шумовых помех.

В канале действует аддитивный белый гауссовский шум. Отношение сигнал/шум (P_c/P_ш) меняется с 25 до 15 дБ, с шагом 1 дБ. F= 1,5 кГц; V_к = 8*10³ сим/с.

Рассчитаем изменение пропускной способности канала.

Поставленная задача интересна тем, что мы сможем проследить изменение пропускной способности канала с изменением отношения сигнал/шум . Можно определить пропускную способность С канала в расчете на один символ

С_символ=maxI(A,B),бит/символ

или в расчете на единицу времени (например, на секунду):

С=maxI'(A,B)= С_символ , биит/с.

В данном случае мы будем рассчитывать относительно времени. Для этого мы воспользуемся формулой определяющей пропускную способность канала в расчете на единицу времени.

С=F_klog₂(1+Pc/Pш),

А для того чтобы определить избыточность передаваемой информации воспользуемся теоремой Шеннона. При условии если теорема Шеннона будет выполняться, то избыточность к будет равняться 0, значит, информация передаётся без потерь.

Если нет, то к будет больше нуля (к>0). Т.е. чем меньше величина к, тем меньше будет вероятность ошибки декодирования.

Пропускная способность гауссовского канала определяется [1, стр. 118]:

Отношение сигнал/шум падает по условию задания с 25 до 15 дБ. Поэтому С также будет уменьшаться. Необходимо уменьшать С/Ш с 25 до 15 дБ с шагом 1 дБ и вычислить по формуле 11 значений С. При этом надо учесть, что в формуле отношение С/Ш - P_c/P_ш - дано в разах, поэтому данные в дБ необходимо пересчитать в разы: ; отсюда .

Получили результаты подсчётов:

С₁ = 1,246*10⁴ бит/с

С₂ = 1,197*10⁴ бит/с

С₃ = 1,147*10⁴ бит/с

С₄ = 1,098*10⁴ бит/с

С₅ = 1,048*10⁴ бит/с

С₆ = 9,987*10³ бит/с

С₇ = 9,495*10³ бит/с

С₈ = 9,003*10³ бит/с

С₉ = 8,514*10³ бит/с

С₁₀ = 8,026*10³ бит/с

С₁₁ = 7,542*10³ бит/с

Производительность кодера H'(B)=v_к*H(B) должна быть меньше пропускной способности канала С, иначе неизбежны потери информации в канале. Максимальное значение энтропии двоичного кодера H_max=H(B)=log2=1 бит. Если С уменьшается, то для избежания потерь информации можно уменьшать H(B) так, чтобы H'(B) оставалась все время меньше С. Если же H(B)<1, это означает, что кодовые символы не равновероятны и зависимы друг от друга, т.е. используется избыточный (помехоустойчивый) код. Избыточность этого кода вычисляется по формуле:

. (14)

Итак, пропускная способность канала С определяет предельное значение производительности кодера H'(B): H'(B)<C. Отсюда находим предельное значение энтропии кодера:

По условию V_k=8*10³ сим/с.

В численном виде это выглядит так:

С/V_k1=1,558 бит/сим.

С/V_k 2=1,496 бит/сим.

С/V_k 3=1,434 бит/сим.

С/V_k 4=1,372 бит/сим.

С/V_k 5=1,31 бит/сим.

С/V_k 6=1,248 бит/сим.

С/V_k 7=1,187 бит/сим.

С/V_k 8=1,125 бит/сим.

С/V_k 9=1,064 бит/сим.

С/V_k 10=1,003 бит/сим.

В этих случаях энтропию Н(В) можно брать любой, вплоть до максимальной (H_max=1 бит/сим).

С/V_k 11=0,943 бит/симТ.к. в 11-ом случае условие H'(B)<C не выполняется, то теорема Шеннона так же не выполняется. Для того чтобы избежать потерь информации, вводим избыточные символы.

Следующим шагом будет вычисление избыточности к кода, по формуле (14): к=0,057

Чтобы было более наглядно, построим графики зависимостей с=f(P_c/P_ш) и к= f(P_c/P_ш).

Заключение

Пропускная способность канала - это максимальная скорость, с которой канал способен передавать сигнал.

Аналоговая и цифровая связь предполагают разные подходы к измерению полосы пропускания или пропускной способности. Пропускная способность аналогового носителя выражается в герцах. Пропускная способность цифровых линий измеряется в битах в секунду. Соответственно применяются различные способы оценки (расчета) пропускной способности каналов связи.

Под шумом понимается любой нежелательный сигнал, в том числе внешние помехи или сигнал, вернувшийся к передающему устройству в результате отражения от противоположного конца линии. Сами по себе сосредоточенные помехи не столь существенно ограничивают пропускную способность аналогового канала, как непредсказуемый в каждый момент времени белый гауссовский шум.

В работе приведен пример расчета пропускной способности аналогового канала связи при наличии шумовых помех.

В результате проведённой работы, мы можем сделать вывод, что с уменьшением отношения сигнал/шум пропускная способность канала также уменьшается, что приводит к потере информации. Для того чтобы избежать возникновения ошибок, мы вводили избыточные символы. Избыточность этого кода к=0,057.

Литература

1. Зюко А.Г., Кловский Д.Д. и др. Теория передачи сигналов. -М.: Радио и Связь, 1986.

2. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. -М.: Радио и связь, 1990.

3. Теория электрической связи / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, В.И. Коржик, М.В. Назаров; Под ред. Д.Д. Кловского. - М.: Радио и связь, 1998, - 432 с.

4. Телекоммуникационные системы и сети. Т.2 / Катунин Г.П., Мамчев Г.В., Папантонопуло В.Н., Шувалов В.П. - Новосибирск: ЦЭРИС, 2000,, 624 с.

5. Цифровые и аналоговые системы передачи / В.И. Иванов, В.Н. Гордиенко, Г.Н. Попов и др. - 2-е изд. - М.: Горячая линия- Телеком, 2003. - 232 с

Размещено на Allbest.ru