Понятие устойчивости систем автоматического управления (САУ)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Понятие устойчивости систем автоматического управления (САУ)

1. Понятие устойчивости

На любую систему автоматического управления всегда действуют различные внешние возмущающие воздействия, которые могут нарушать ее нормальную работу. Устойчивость является одним из основных требований, предъявляемых к САУ. Неустойчивые системы не работоспособны. Поэтому важно уметь определять и соответствующим выбором структуры и параметров системы обеспечивать ее устойчивость.

В простейшем случае понятие устойчивости связано со способностью системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Если система неустойчива, то она не возвращается в состояние равновесия, из которого ее вывели, она либо удаляется от него, либо совершает вокруг него недопустимо большие колебания. Наглядно устойчивость равновесия может быть представлена следующим образом. Рассмотрим некоторую вогнутую поверхность, в которой расположен шар (рис.1).

Положение равновесия шара характеризуется точкой А₀. При всяком отклонении шара от положения равновесия, например в точку А₁, он будет стремиться снова возвратиться к положению равновесия - в точку А₀ (при отсутствии сил трения). Такое положение равновесия устойчиво. Случай, изображенный на рисунке 2 соответствует неустойчивому положению равновесия.

Рисунок 1 Рисунок 2

Рисунок 3 Рисунок 4

Рисунок 3 соответствует безразличному равновесию. На рисунке 4 состояние равновесия устойчиво лишь до тех пор. Пока отклонение не вышло за некоторую границу, определяемую например точкой В. Выйдя за эту границу, шар уже не вернется в точку А₀, а будет двигаться вправо от точки В либо все время удаляясь, либо до нового состояния равновесия в зависимости от формы поверхности.

Для того чтобы дать определение устойчивости равновесия, вводят понятие о невозмущенном состоянии равновесия, соответствующем состоянию покоя в точке А₀ и возмущенном состоянии, соответствующем например точке А₁, в которую внешняя сила привела шар и затем прекратила свое действие. Система будет устойчивой, если из возмущенного состояния она перейдет в некоторую заданную область, окружающую невозмущенное состояние равновесия.

В рассмотренном выше примере с шаром вопрос об устойчивости решается довольно просто. Однако следует заметить, что в общем случае далеко не всегда ясно, при каких условиях равновесное положение системы будет устойчивым.

Понятие устойчивости распространяют и на более общий случай, когда в качестве невозмущенного состояния рассматривают не положение равновесия системы, а ее движение, например, движение системы по некоторой заданной траектории, такое движение называют - невозмущенное движение.

Невозмущенное движение - это заданное движение системы при определенных начальных условиях.

Вследствие различных возмущающих воздействий, действующих на систему, фактическое движение будет отличаться от требуемого (заданного) невозмущенного движения.

В нормально функционирующей системе этот отличие, т.е. отклонение фактического движения от невозмущенного, должно быть небольшим. Действительное (фактическое) движение системы называют возмущенным движением

Пусть заданное невозмущенное движение системы при отсутствии возмущений определяется некоторым законом изменения независимых координат , , …, .

Пусть действительное возмущенное движение системы определяется независимыми координатами , , …, .

В общем случае

, , …, .

Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если после приложения внешних сил (возмущений), которые затем снимают, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область , где - заданные величины, i=1,2,…,n.

Чтобы проиллюстрировать сказанное, предположим, что невозмущенное движение происходит по траектории А, а возмущенное движение происходит по траектории Б (рис.5). Возьмем на этих траекториях две произвольные точки N^А и N^Б, отвечающие одному и тому же моменту времени . При устойчивом движении траектория Б должна быть близка к траектории А. Следует отметить, что близость траекторий является необходимым условием движения, но недостаточным.

Рисунок 5

Впервые строгое определение устойчивости было дано русским ученым Александром Михайловичем Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Отсутствие такого определения часто приводило к недоразумениям, так как движение, устойчивое в одном смысле, может оказаться неустойчивым при другом понимании этих слов. Определение А.М. Ляпунова оказалось настолько удачным и наилучшим образом, удовлетворяющим многим техническим задачам, что оно в настоящее время принято как основное.

Пусть движение системы автоматического управления описывается дифференциальным уравнениями, которые могут быть приведены к виду:

(1)

где - вещественные переменные, характеризующие состояние системы управления;

- известные функции переменных , , …, и времени , удовлетворяющие условиям существования и единственности решения.

Исходное состояние системы при однозначно определяется начальными значениями переменных , которые обозначим , , …, .

Каждой совокупности начальных значений , , …, соответствует единственное решение (1) для всех

(2)

Решение (2) описывает какое-либо движение системы, определяемое исходным состоянием.

Выбор невозмущенного движения является произвольным. Этот может быть любое возможное движение системы, как установившееся, так и неустановившееся.

Допустим, что в качестве невозмущенного движения выбрано такое, которое описывается заданными функциями времени

(3)

Предположим, что функции являются частными решениями дифференциальных уравнений (1), т.е.

(4)

удовлетворяющим начальным условиям при

(5)

В частном случае, когда параметры системы не изменяются со временем и функции не зависят явно от , движения (3) являются установившимися. Им отвечают решения

(6)

(7)

Изменим условия (5), дав начальным значениям переменных , , …, небольшие по модулю приращения , , …, , т.е. пусть при

(8)

Движение системы, отвечающее измененным начальным условиям (8) называют возмущенным движением. Другими словами, возмущенным движением системы называют всякое движение системы, отличное от невозмущенного движения.

Ведем новые переменные

(9)

равные разности переменных в возмущенном и невозмущенном движении. Переменные называют отклонениями величин . Если все отклонения равны нулю

(10)

то возмущенное движение будет совпадать с невозмущенным движением , т.е. невозмущенному движения отвечают нулевые значения переменных .

Пусть при переменные принимают какие-либо начальные значения , из которых по крайней мере одно не равно нулю:

(11)

Начальные значения отклонений (11) называют возмущениями.

А.М. Ляпуновым было дано следующее определение устойчивости:

Невозмущенное движение называют устойчивым по отношению к переменным , если при всяком произвольно заданном положительном числе , как бы мало оно ни было, можно выбрать другое такое положительное число , что при всяких возмущениях , удовлетворяющих условию

(12)

и при любом будет выполняться неравенство

(13)

в противном случае движение неустойчиво.

Если невозмущенное движение устойчиво и при этом любое возмущенное движение при достаточно малых начальных возмущениях стремится к невозмущенному движению, т.е.

, (14)

то невозмущенное движение называют асимптотически устойчивым.

2. Устойчивость линейных непрерывных САУ

В случае непрерывных линейных стационарных систем, т.е. систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, можно рассматривать их устойчивость, не указывая конкретного движения.

Непрерывная линейная стационарная САУ называется устойчивой, если асимптотически устойчиво какое-либо ее невозмущенное (заданное) движение.

Если заданы внешние возмущающие воздействия, то уравнение линейных стационарных САУ можно представить в виде

(15)

- заданные постоянные коэффициенты,

- заданная функция времени.

Общее решение уравнения (15) имеет вид:

(16)

где - частное решение неоднородного уравнения (15), определяет вынужденное движение системы,

- общее решение однородного уравнения

. (17)

определяет свободное движение, т.е. движение, которое не зависит от внешних воздействий и определяется только начальными условиями.

Невозмущенное движение задается внешним задающим воздействием и при отсутствии внешних возмущающих воздействий совпадает с вынужденным движением . Поэтому линейная система устойчива, когда

(18)

Это соотношение принято за определение устойчивости линейных непрерывных систем.

3. Характеристическое уравнение

Устойчивость линейной системы (15), т.е. выполнение условия (18), зависит от ее характеристического уравнения

. (19)

Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим полиномом. При характеристический полином системы совпадает с собственным оператором системы и знаменателем ее передаточной функции.

Характеристический полином замкнутой системы (с единичной отрицательной обратной связью) равен сумме полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы.

Пример 1: Рассмотрим замкнутую систему (рис.6), передаточная функция которой равна

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Характеристическое уравнение разомкнутой системы равно:

Характеристическое уравнение замкнутой системы равно:

4. Необходимое и достаточное условие устойчивости

Для того чтобы линейная непрерывная система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части: .

Решение характеристического уравнения степени содержит корней. Корни характеристического уравнения могут быть вещественными, комплексными попарно сопряженными, мнимыми, нулевыми. В общем случае

.

Корни характеристического уравнения, как и всякие комплексные числа можно изобразить в виде точек на комплексной плоскости , откладывая по оси абсцисс , а по оси ординат мнимую часть.

Возможны такие комбинации корней:

;

Если все корни разные, то их называют простыми. Если среди корней есть одинаковые, то их называют кратными.

Обычно корни с отрицательными вещественными частями принято называть левыми, поскольку они в комплексной плоскости корней расположены слева от мнимой оси, а корни с положительными вещественными частями - правыми корнями.

Таким образом, условие устойчивости можно сформулировать следующим образом:

Для того чтобы линейная непрерывная система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, т.е. располагались в левой полуплоскости.

Пример 2: Система первого порядка имеет характеристическое уравнение

.

Определить условия устойчивости системы.

Корень характеристического уравнения равен . Очевидно, что он будет отрицательным, а следовательно и система устойчивой, если оба коэффициента будут иметь одинаковый знак: или оба коэффициента положительны , или оба коэффициента отрицательны .

Пример 3: Система второго порядка имеет характеристическое уравнение

.

Определить условия устойчивости системы.

Корни характеристического уравнения равны:

устойчивость система автоматического управления

Очевидно, что если то оба корня левые в том случае когда . Аналогично, то оба корня левые в том случае когда

Из рассмотренных примеров следует, что для устойчивости линейных непрерывных систем первого и второго порядков необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были одного знака (или все больше нуля, или все меньше нуля). Это обстоятельство позволяет судить об устойчивости указанных систем без вычисления корней их характеристических уравнений.

Как известно из алгебры, для уравнений третьей и четвертой степеней имеются общие формулы для нахождения корней, а для уравнений пятой степени и выше таких формул нет..

Но и в случае уравнений третьей и четвертой степеней исследование устойчивости путем определения корней неудобно, так как это требует громоздких вычислений. Поэтому для систем выше второго порядка особенно важны условия, которые позволяли бы судить об их устойчивости, не вычисляя корней характеристического уравнения. Такие условия называются критериями устойчивости.

Критерии устойчивости - это критерии, которые позволяют по виду характеристического уравнения или по виду частотных характеристик, судить об устойчивости системы не решая дифференциальных уравнений.

Критерии устойчивости делятся на алгебраические и частотные.

Размещено на Allbest