Методи вирішення задач розрізнення сигналів, оцінювання параметрів, фільтрування повідомлень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методи вирішення задач розрізнення сигналів, оцінювання параметрів, фільтрування повідомлень

1 Задачі виявлення та розрізнення сигналів

Фізичні задачі виявлення та розрізнення сигналів формулюються як задачі перевірки гіпотез щодо параметрів розподілів. При цьому, розглядаючи відповідну задачу, можна вважати, що відомі функції правдоподібності та ймовірності гіпотез: .

Припускається, що відома апріорна інформація, необхідна для використання критерію середнього ризику: функції правдоподібності , імовірності гіпотез та матриця втрат . Спостерігається реалізація процесу , що зображується у вигляді вибірки об'єму . У задачі виявлення спостереження є або сумішшю сигналу з завадою (що відповідає гіпотезі ) або ж тільки завадою (що відповідає гіпотезі ). На основі цього спостереження висувається гіпотеза проти альтернативи . Якщо гіпотеза повністю визначає функцію правдоподібності , вона називається простою. Коли це не так, гіпотеза називається складною (наприклад, вибірка може характеризувати параметричну сім'ю функцій правдоподібності).

Розглянемо задачу перевірки гіпотези проти простої альтернативи , оптимізуючи спочатку рішення за байєсівським критерієм оптимальності.

За правилом вибору рішень простір розбивається на дві області - та . Основна гіпотеза відкидається кожного разу, коли точка влучає в область , і приймається, якщо . Відповідно до байєсівського критерію оптимальності при цьому одержується такий оптимальний алгоритм прийняття рішення:

. (1)

Впроваджуючи відношення правдоподібності

, (2)

байєсівське правило (1) можна записати також у вигляді

, (1а)

де - поріг відношення правдоподібності.

У багатьох випадках зручно замість функції користуватися її логарифмом (який, як строго монотонна функція, не змінює знака нерівності):

. (1б)

Таким чином, байєсівський алгоритм перевірки простої гіпотези проти простої альтернативи зводиться до обчислювання за спостереженням значення функції правдоподібності та за порівнянням його з наперед установленою величиною порогу . Якщо - гіпотеза ; якщо - гіпотеза .

Оптимальний алгоритм прийняття рішення з використанням критерію Зігерта-Котельникова має вигляд:

. (2)

Впроваджуючи відношення правдоподібності, маємо

(2а)

або

, (2б)

де значення порогу .

Алгоритм, оптимальний за критерієм Неймана-Пірсона, знаходиться в результаті вирішення задачі мінімізації умовної ймовірності пропуску цілі при обмеженні умовної ймовірності хибної тривоги . При цьому отримується алгоритм:

, (3)

де поріг визначається з умови , тобто

. (4)

Задача перевірки гіпотези проти однієї альтернативи - це формалізація багатьох задач прийняття сигналів в електрозв'язку. Для неї зводяться задачі прийняття сигналів за різних видів маніпуляції (АМн , ЧМн , ФМн), цифрових видів модуляції, використанні двійкових кодів, тобто у випадках, коли необхідно розрізняти (розпізнавати) два переданих сигнали, спотворених завадами. Ряд практичних задач не зводиться до цієї схеми, коли для передавання інформації використовується кілька різних сигналів. Це насамперед -знакові коди. Такі задачі приводять до багатоальтернативних задач перевірки гіпотез. Розглянемо відповідні узагальнення.

Щодо постановки відповідної задачі математичної статистики, то допускається висунення гіпотез , для яких відомі ймовірності , , і кожна з яких однозначно характеризує функцію правдоподібності , . За прийнятим вектором спостережень необхідно вибрати одну з гіпотез. У цій задачі кожній гіпотезі відповідає спостереження одного із заданих сигналів на фоні завади.

Ця задача ставиться, як задача перевірки простої гіпотези проти простої альтернативи , . У цьому випадку описані вище результати можна узагальнити.

Розглянемо спочатку правило вибору рішення, оптимальне за мінімумом середнього ризику:

.

Аналогічно попередньому випадку мінімізація середнього ризику забезпечується, якщо вибірковий простір розбивається на областей , які не перетинаються , причому , а всі спостереження , задовольняючи систему нерівностей:

, (5)

, , ,

відносяться до області . Тобто гіпотеза , , приймається, якщо виконується ця система нерівностей.

Впроваджуючи відношення правдоподібностей:

, ,

систему нерівностей (5) можна записати також у вигляді:

, (5а)

, , ,

Байєсівське правило вибору рішень для багатоальтернативної задачі безпосередньо узагальнює правило вибору рішень для одноальтернативної задачі.

Як і раніше, з байєсівського правила (5) у разі простої матриці втрат, коли , , , , можна отримати правило, оптимальне за критерієм Зігерта-Котельникова. Підставляючи у вирішальне правило (5) просту матрицю втрат,дістаємо

. (6)

Відповідно до цих алгоритмів за одержаним спостереженням необхідно обчислити значення відповідних статистик. Так, у випадку алгоритму (4) обчислюються значення статистик . Співвідношення (4) можна записати також у вигляді системи нерівностей, однак зображення рішення у вигляді (4) безпосередньо показує, що серед статистик необхідно вибрати максимальну; її номер „” визначає гіпотезу , що вибирається.

Аналогічно узагальнюються правила вибору рішень, оптимальні за іншими критеріями - мінімаксним, максимальної апостеріорної імовірності, Неймана-Пірсона тощо. Особливість задачі перевірки простої гіпотези проти простих альтернатив , , полягає у тому, що по суті одержуються відповідні узагальнення правил вибору рішення, характерних для одноальтернативних задач.

Ряд задач прийняття сигналів у теорії електрозв'язку характеризується тим, що необхідно розрізняти кілька сигналів, які мають випадкові параметри (наприклад, амплітуда квазігармонічного зображення сигналу, його початкова фаза тощо). З фізичної точки зору останні часто можна вважати заважаючими. Описану вище постановку задачі перевірки гіпотез не можна безпосередньо застосувати у цьому випадку, проте можливе відповідне узагальнення.

2. Оцінювання параметрів сигналів

Одна з важливих задач, що постають при обробці сигналів - оцінювання параметрів сигналів. Математично вона формулюється як задача оцінювання параметрів розподілів.

Найчастіше необхідно здійснити оцінювання параметрів розподілів з параметричної множини. Розглянемо основні варіанти такої задачі - оцінювання скалярних і векторних параметрів, узагальнення задачі оцінювання на випадок, коли параметр може набирати як неперервні, так і дискретні значення. У цій задачі обробки сигналів вважається, що спостереження є сумішшю сигналу з невідомим значенням параметра та завадою.

Розглянемо задачу оцінювання скалярного параметра. На мові математичної статистики це означає, що задано параметричний клас функцій правдоподібності , (де - множина дійсних чисел; щільність імовірностей параметра , ), а також функція втрат .

Задача полягає у тому, щоб вибрати показник якості рішень, критерій їх оптимальності та синтезувати алгоритм оцінювання параметра, який давав би оптимальну оцінку. Можна задати різні критерії оптимальності, критерій максимуму апостеріорної щільності імовірності тощо. Розглянемо для конкретності останній - він вимагає знання лише функції правдоподібності.

Метод максимальної правдоподібності. Припускається, що з прийнятого сигналу беруться статистично незалежні відліки:

. (7)

У методі максимуму правдоподібності оцінка параметра - це те значення параметра функції правдоподібності , за якого досягається її максимум. Така умова приводить до рівняння правдоподібності:

. (8)

Це може бути алгебраїчне нелінійне або трансцендентне рівняння. Залежно від того, скільки максимумів і мінімумів має функція (як функція аргументу ), рівняння має відповідне число розв'язків. Тоді шукають розв'язок, що відповідає найбільшому значенню максимумів (рис 1) - тут шукана оцінка відповідає максимуму максиморуму - функції .

Враховуючи, що точки максимуму функцій та збігаються, рівняння звичайно приводять до вигляду:

. (8а)

Рисунок 1 - Ілюстрація розв'язування задачі оцінювання параметрів шляхом знаходження максимуму максиморуму функції правдоподібності

Нижня границя дисперсії незсунених оцінок. Оцінки можна знаходити різними способами і вони можуть мати різні якості. Проте, якщо оцінка навіть не є ефективною, тобто її дисперсія не сягає можливого мінімуму, треба знайти значення цього мінімуму. Сформулюємо відповідні положення фундаментального характеру.

Властивості оцінок максимальної правдоподібності. Оцінки максимальної правдоподібності мають ряд властивостей, що привели до значного поширення методу максимальної правдоподібності. Наведемо їх:

а) розв'язок рівняння правдоподібності (8а) є обґрунтованою оцінкою;

б) розв'язок рівняння є асимптотичне ефективною оцінкою параметра ;

в) розв'язок має асиметрично нормальний розподіл (тобто розподіл оцінки як випадкової величини при виявляється нормальним);

г) якщо для параметра існує деяка ефективна оцінка, то у цьому разі рівняння правдоподібності має єдиний розв'язок, що збігається з цією оцінкою.

Наведені результати узагальнюються на випадок векторного параметра. Розглядається параметричний клас функції правдоподібності , , . У загальному випадку покладається, що задані також щільність імовірності векторного параметра і функція втрат . Залежно від того, яка задана апріорна інформація, використовується той чи інший критерій якості рішень і критерій їх оптимальності. Застосування критерію максимуму правдоподібності, як сказано, не потребує значення щільності імовірності та функції витрат - необхідно знати лише функцію правдоподібності.

3. Лінійне фільтрування повідомлень фільтром Колмогорова-Вінера

У галузі обробки сигналів звичайно розглядають два відносно самостійних напрямки: розрізнювання сигналів, спотворених завадами (яке містить у собі як частковий випадок задачу виявлення сигналів), а також фільтрування повідомлень, у загальному випадку закодованих у сигналах і спотворених завадами (частинним випадком є оцінювання параметрів сигналів, що змінюються у часі). Задачу розрізнювання сигналів можна розглядати як окремий випадок задачі оцінювання параметрів сигналів, тобто з математичної точки зору задача фільтрування повідомлень є найбільш загальною і найбільш складною.

У найпростішому випадку припускається, що реалізація спостережуваного сигналу є сумою реалізацій переданого повідомленням та шуму :

. (9)

Припускається, що процеси та - стаціонарні у широкому розумінні випадкові процеси з нульовим середніми . Відомі їх моменти другого порядку, тобто процеси задані у межах кореляційної теорії. Ставиться задача знаходження характеристики лінійного фільтра, який мінімізує середньоквадратичну похибку відновлення переданого повідомлення

сигнал фільтрування лінійний

. (10)

Якщо не обмежуватися умовою реалізованості лінійного фільтра, випадковий сигнал на виході фільтра має вигляд

, (11)

де - часова характеристика фільтра.

Покладаючи, що повідомлення та шум некорельовані, легко довести, що кореляційні функції повідомлення прийнятого сигналу та шуму зв'язані рівнянням

, (12)

що називається рівнянням Вінера-Хопфа. Тут .

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівності (12), можна дістати відповідну рівність у частотній області:

. (13)

Якщо , одержуємо коефіцієнт передачі оптимального лінійного фільтра

. (14)

У загальному випадку, коли враховується час затримки у фільтрі, маємо

.

Фільтр з частотною характеристикою (14) називають фільтром Колмогорова-Вінера. Застосування такого фільтра забезпечує мінімум середньоквадратичної похибки, яку можна обчислити за формулою

, (15)

де - спектральна густина процесів відповідно та .

Цікаво, що похибка може бути і нульовою, коли спектр сигналу та шуму не перетинаються. Якщо співвідношення (15) подати у вигляді

, (16)

то видно, що фільтр пропускає „спектральні складові” сигналу з тим меншою вагою, чим більше співвідношення .

До речі, звідси випливає метод режекторних фільтрів, які „вирізають” деяку смугу частот, не пропускаючи складові як сигналу, так і шуму, коли (тобто з практичної точки зору рівень завади значно перевищує рівень сигналу).

Розглянутий фільтр Колмогорова-Вінера придатний лише для стаціонарних випадкових процесів. Модульовані сигнали - це нестаціонарні процеси. Тому безпосередньо використовувати наведені результати вже не можна - вони не дадуть оптимальних результатів.

Існує загальний метод оптимального фільтрування, придатний як для лінійного фільтрування нестаціонарних процесів, так і для нелінійного фільтрування, характерного для процесів, що не є гауссовими. Він базується на описуванні фільтра у термінах моделі „вхід-стан-вихід” і реалізується фільтром Калмана-Бьюсі.

Размещено на Allbest.ru