Цифровая обработка сигналов. Z-преобразование сигналов и системных функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Цифровая обработка сигналов. Z-преобразование сигналов и системных функций

Содержание

Введение

1. Z - трансформация сигналов [4, 12, 22]

2. Пространство Z-полиномов [2, 12, 36].

3. Свойства Z-преобразования [2]

4. Обратное Z-преобразование [43]

5. Применение Z - преобразования [43].

Введение

Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными представлениями сигналов. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычислительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, а его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике.

Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Оно играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как для аналоговых - преобразование Лапласа. Большое значение z-преобразование имеет для расчетов рекурсивных цифровых систем обработки сигналов, а потому рассматривается отдельной темой перед началом изучения рекурсивных цифровых фильтров.

1. Z - трансформация сигналов [4, 12, 22]

Определение z-преобразования. Z-преобразование представляет собой разложение функций в ряды степенных полиномов по z. Впервые z-преобразование введено в употребление П.Лапласом в 1779 и повторно "открыто" В.Гуревичем в 1947 году с изменением символики на z-k. В настоящее время в технической литературе имеют место оба вида символики. На практическое использование преобразования это не влияет, т.к. смена знака только зеркально изменяет нумерацию членов полинома (относительно z0), числовое пространство которых в общем случае от - до +. В дальнейшем в качестве основной будем использовать символику положительных степеней z, давая пояснения по особенностям отрицательной символики, если таковая имеется.

Произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами sk = s(k t), равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в однозначное соответствие степенной полином по z, последовательными коэффициентами которого являются значения sk:

sk = s(k t) TZ[s(k t)] =sk zk = S(z). (8.1.1)

где z = +j - произвольная комплексная переменная. В показательной форме z = rexp(-j ), где

r = |z| = , = arg(z) =argtg.

Пример 1: sk = {1, 2, 0, -1, -2, -1, 0, 0}.

S(z) = 1z0+2z1+0z2-1z3-2z4-1z5+0z6+0z7 = 1+2z-z3-2z4-z5.

В каузальных системах значения импульсного отклика систем существуют при k ? 0 и уравнение (8.1.1) действует в одностороннем варианте:

H(z) =hk zk.

В общем случае, z-преобразование - это степенной ряд с бесконечным количеством членов, поэтому он может сходиться не для всего пространства значений z. Область z, в которой z-преобразование сходится и значения S(z) конечны, называют областью сходимости.

Пример 2: Последовательность (сигнал) конечной длины, непричинная:

s-k = {1, 2, 3, 2, 1}, k = 0, 1, 2, 3, 4.

S(z) = 1z0+2z-1+3z-2+2z-3+1z-4 = 1+2/z+3/z2+2/z3+1/z4.

Очевидно, что S(z) = ? при z = 0. Область сходимости - все значения z, за исключением z = 0.

Пример 3: Последовательность конечной длины, причинная (как импульсный отклик каузальной системы):

sk = {1, 2, 3, 2, 1}, k = 0, 1, 2, 3, 4.

S(z) = 1+2z+3z2+2z3+z4.

S(z) = ? при z = ?. Область сходимости - все значения z, за исключением z = ?.

Пример 4: Последовательность конечной длины, двусторонняя (как импульсный отклик симметричного фильтра):

sk = {1, 2, 3, 2, 1}, k = -2, -1, 0, 1, 2.

S(z) = 1z-2+2z-1+3z0+2z1+1z2 = 1/z2+2/z+3+2z+z2.

S(z) = ? при z = 0 и z = ?. Область сходимости не включает точки z = 0 и z = ?.

Пример 5: Последовательность бесконечной длины, причинная (как импульсный отклик рекурсивного интегрирующего фильтра): sk = 0 при k < 0, s = 1 при k ? 0.

S(z) = z-0+z1+z2+z3+ … = 1+z+z2+z3+ … = 1/(1-z)

Ряд удовлетворяет условию сходимости только при |z| < 1.

Значения z, для которых S(z) = ?, называются полюсами, а для которых S(z) = 0, называются нулями функции S(z). Как видно из примеров, для последовательностей конечной длины z-преобразование сходится везде кроме точки z=? для имеющих правостороннюю часть (k?0), и точки z=0 для имеющих левостороннюю часть (k<0), в любых их комбинациях. Для бесконечных причинных последовательностей преобразование сходится везде внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

По заданному или полученному в результате анализа какой-либо системы z-полиному однозначно восстанавливается соответствующая этому полиному функция путем идентификации коэффициентов степеней при zk с k-отсчетами функции.

Пример 6:

S(z) = 1+3z2+8z3-4z6-2z7 = 1z0+0z1+3z2+8z3+0z4+0z5-0z6-2z7.

sk = {1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}.

Смысл величины z в z-полиноме заключается в том, что она является оператором единичной задержки по координатам функции. Умножение z-образа сигнала s(k) на величину zn означает задержку сигнала (сдвиг вправо по временной оси) на n интервалов:

znS(z) s(k-n).

Чтобы убедиться в этом, достаточно в приведенном выше примере выполнить умножение многочлена S(z), например на z2, выполнить обратное преобразование и получить новый сигнал

sk = {0, 0, 1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}.

Z-образы с положительными степенями z соответствуют каузальным (физически реализуемым) процессам и системам, которые работают в реальном масштабе времени с текущими и "прошлыми" значениями сигналов. При обработке информации на ЭВМ каузальность сигналов не относится к числу ограничений и возможно использование отрицательных степеней z, соответствующих отсчетам сигналов "вперед". Последнее применяется, например, при синтезе симметричных операторов фильтров, что позволяет производить обработку информации без внесения в сигнал фазовых искажений. При использовании символики z-1 "прошлым" значениям соответствуют значения с отрицательными степенями z, "будущим" - с положительными.

Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров и в спектральном анализе.

Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа. Запишем дискретный сигнал sk в виде суммы весовых импульсов Кронекера:

sk = s(k t) =s(n t) (k t-n t).

Определим спектр сигнала по теореме запаздывания:

S( ) =s(k t) exp(-jk t).

Выполним замену переменных,

z = exp(-j t),

и получим:

S( ) =s(k t)zk = S(z).

Отсюда следует, что дискретное преобразование Фурье является частным случаем z-преобразования при

z = exp(-j t).

Аналогичной подстановкой

z = exp(-p)

может осуществляться переход к дискретному преобразованию Лапласа. В общем виде:

S = S(z), z = exp(-j t); S(p) = S(z), z = exp(-p t). (8.1.2)

Обратное преобразование:

S(z) = S, = ln z / j t; S(z) = S(p), p = ln z/ t. (8.1.3)

При отрицательной символике z связь между представлениями осуществляется соответственно подстановками

z-1 = exp(j t) и z-1 = exp(p).

При zk = exp(-jk t)

z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z) можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов k t), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента).

Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с Re z и Im z по осям координат (рис. 8.1.1). В частности, спектральной оси частот на z-плоскости соответствует окружность радиуса:

|z| = |exp(-j t)| = = 1.

Рис. 8.1.1 Комплексная z-плоскость

Подстановка значения какой-либо частоты в z = exp(-j t) отображается точкой на окружности. Частоте 0 соответствует точка Re z = 1 и Im z = 0 на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста

N = t (Re z = -1, Im z = 0)

Отрицательные частоты спектра отображаются аналогично по часовой стрелке на нижней полуокружности. Точки N совпадают, а при дальнейшем повышении или понижении частоты значения начинают повторяться в полном соответствии с периодичностью спектра дискретной функции. Проход по полной окружности соответствует одному периоду спектра, а любая гармоника спектра сигнала задается на плоскости двумя точками, симметричными относительно оси абсцисс.

Сигналы и системы непрерывного времени очень часто описываются с помощью преобразования Лапласа.

Если z=exp(-s t), где s=+ j, то

z = exp(-(+ j) t) = exp(- t) exp(-j t).

Следовательно,

|z| = exp(- t), arg(z) = t = 2f t = 2f/f,

где f - частота дискретизации, при этом ось отображается на z-плоскости единичной окружностью, правая сторона s-плоскости отображается внутрь окружности, а левая сторона - на внешнюю сторону окружности. При использовании символики z-1 отображение сторон s-плоскости на z-плоскости меняется местами.

2. Пространство Z-полиномов [2, 12, 36].

Область сходимости. Полином S(z) (8.1.1) называют z-образом или z-изображением функции s(k t). Преобразование имеет смысл для области тех значений z, в которой ряд S(z) сходится, т.е. сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую полюсов и особых точек:

|sk||z|k < ?

В общем случае, множества z, для которых полиномы S(z) сходится, образуют на z-плоскости определенные области, показанные на рис. 8.2.1.

Рис. 8.2.1.

Из приведенной выше связи z-преобразования с преобразованием Фурье следует, что если функция s(t) имеет спектральное представление S, то единичная окружность

|z| = |exp (-j)| = 1

обязательно должна входить в область сходимости полинома S(z). И наоборот, если область сходимости полинома S(z) включает в себя единичную окружность, то дискретное преобразование Фурье функции s(t) - прообраза полинома S(z), должно существовать, а в противном случае - нет. Последнее следует из того, что z-преобразование, являясь более общим случаем преобразования дискретных функций, может существовать и для функций, для которых не существует преобразования Фурье. Примером этого может служить функция единичного скачка:

un = 1, n ? 0; un = 0, n < 0.

Для преобразования Фурье функции u(n) не выполняется условие абсолютной суммируемости (энергия функции бесконечна). Но для z-преобразования имеем:

|uk||z|k =|z|k < ?, при |z| < 1.

Примеры z-преобразования часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Импульсы Кронекера. В общем случае, для импульса Кронекера в произвольной точке числовой оси:

(k-n)?? при k=n, (k-n) = 0 при k ? n.

X(z) =(k-n) zk = zn.

Для импульса Кронекера в нулевой точке соответственно

X(z) = z0 =1.

Ряд X(z) сходится на всей z-плоскости.

Функция Хевисайда (единичный скачок, причинная последовательность бесконечной длины, например, импульсный отклик рекурсивного интегрирующего фильтра).

x(k)? 0? при k < 0, x(k) = 1 при k 0.

X(z) =zk = zk.

Ряд сходится при |z| < 1, при этом его сумма равна:

X(z) = 1/(1-z).

Z-преобразование действительно везде внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

При использовании символики z-1:

X(z) = 1/(1-z-1) = z/(z-1), |z| > 1.

На границе области аналитичности функция X(z) имеет один простой полюс при z=1.

Экспоненциальная функция:

x(k)? 0? при k < 0, x(k) = ak при k 0.

X(z) =x(k) zk = ak zk = (az)k.

Как и в предыдущем случае, ряд сходится при |az| < 1, при этом:

X(z) = 1/(1-az), |z| < 1/a.

При использовании символики z-1:

X(z) = z/(z-a), |z| > a.

Комплексная экспонента:

x(k) = exp(jk), k ? 0; x(k) = 0, k < 0.

X(z) =exp(jk) zk =(z exp(j))k = 1/(1-z exp(j)), |z| < 1.

Аналитическая форма z-образов существует для z-преобразований, если возможно свертывание степенного ряда в аналитическое выражение. Выше, в примерах z-преобразования, уже приводилось приведение к аналитической форме z-образов функции Хевисайда и экспоненциальной функции. Ниже в таблице приводится z-трансформация ряда распространенных функций, которые могут использоваться для прямого и обратного преобразования.

В таблице приведены преобразования как для символики z, так и для символики z-1 (по Гуревичу), которая иногда бывает удобней в некоторых математических операциях. Переход из одной символики в другую достаточно прост и выполняется заменой z в одной символике на 1/z в другой.

3. Свойства Z-преобразования [2]

Важнейшим свойством z-преобразования является свойство его единственности. Любая последовательность s(k) однозначно определяется z-изображением в области его сходимости, и наоборот, однозначно восстанавливается по z-изображению.

Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них.

Линейность: Если

цифровая обработка сигнал преобразование

s(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z).

Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Задержка на n тактов:

y(k) = x(k-n).

Y(z) =y(k) zk =x(k-n) zk =znx(k-n) zk-n = zn x(m) zm = zn X(z).

Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель zn вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.

Преобразование свертки. При выполнении нерекурсивной цифровой фильтрации односторонними операторами фильтров:

s(k) =h(n) y(k-n), k = 0, 1, 2,

Z-преобразование уравнения свертки:

S(z) =h(n) y(k-n) zk =h(n) zn y(k-n) zk-n =h(n) zny(k-n) zk-n = H(z) Y(z).

Таким образом, свертка дискретных функций отображается произведением z-образов этих функций. Аналогично, для z-преобразования могут быть доказаны все известные теоремы о свойствах z-образов, что вполне естественно, т.к. при

z=exp(-j)

эти свойства полностью эквивалентны свойствам спектров функций.

Разложение сигналов на блоки последовательной свертки. Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни ai, и переписать полином в виде произведения двучленов:

S(z) = a0(z-a1)(z-a2)

где а0- последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).

Но произведению в z-области соответствует свертка в координатной области, и при обратном преобразовании двучлены (z-ai) превращаются в двухточечные диполи {-ai,1}, а сигнал длиной N представляется сверткой (N-1) диполей:

sk= a0{-a1,1}*{-a2,1}*{-a3,1}*

Пример.

sk = {1.4464, -2.32, 3.37, -3, 1}. S(z) = z4-3z3+3.37z2-2.32z+1.4464. a0 = 1.

Корни полинома

S(z): a1 = 0.8+0.8j, a2 = 0.8-0.8j, a3 = 0.7+0.8j, a4 = 0.7-0.8j,

S(z) = (z-0.8-0.8j)(z-0.8+0.8j)(z-0.7-0.8j)(z-0.7+0.8j).

Корни полинома представлены на z-плоскости на рис. 8.1.1. Корни полинома комплексные и четыре двучлена в координатной области также будут комплексными. Но они являются сопряженными, и для получения вещественных функций следует перемножить сопряженные двучлены и получить биквадратные блоки:

S(z) = (z2-1.4z+1.13)(z2-1.6z+1.28).

При переходе в координатную область:

sk = {1.13, -1.4, 1} * {1.28, -1.6, 1}.

Таким образом, исходный сигнал разложен на свертку двух трехчленных сигналов (функций).

Дифференцирование. Если имеем s(k) S(z), то z-образ функции s'(k) можно найти, продифференцировав S(z), что бывает полезно для вычисления обратного z-преобразования функций S(z) с полюсами высокого порядка:

s'(k) z dS(z)/dz.

4. Обратное Z-преобразование [43]

Методы преобразования. Обратное z-преобразование позволяет восстанавливать дискретную функцию по ее z-образу. Оно широко используется, например, при определении импульсных характеристик рекурсивных цифровых фильтров. В символической форме:

x(k) = TZ-1[X(z)].

На практике X(z) в процессе расчетов обычно выражается через отношение двух многочленов от z:

X(z) = (b0+b1z+b2z2 + …+ bNzN ) / (a0+a1z+a2z2 + …+ aMzM ) = (8.4.1)

x(0) + x(1)z + x(2)z2 + … (8.4.1')

Самые распространенные методы обратного преобразования из этой формы X(z):

Преобразование интегрированием по контуру (метод вычетов).

Метод разложения на элементарные дроби.

Метод разложения в степенной ряд.

Метод разложения в степенной ряд наиболее прост и пригоден для выполнения на компьютерах, но он не дает решения в аналитической форме. При задании большого числа точек обратного преобразования требуется также следить за возможным нарастанием числовых ошибок вследствие рекурсии его алгоритма.

Два первых метода позволяют получать результаты в аналитическом виде, но требуют вычисления полюсов функции X(z), что может представлять трудности при высоком порядке функции. При высоких порядках полюсов потребуется также дифференцирование соответствующих порядков.

Преобразование интегрированием по контуру относится к числу математически строгих методов. Оно выполняется интегрированием по произвольному замкнутому контуру C, расположенному в области сходимости и окружающему все особые точки (нули и полюсы) z-образа. Интегрирование удобнее выполнять над полюсами, расположенными внутри контура, включающего центр системы координат, т.е. в символике z-1. В этой символике мы и будем рассматривать данных параграф. Контурный интеграл обратного преобразования:

sk = (1/2 j) . (8.4.2)

Согласно теореме Коши о вычетах, интеграл (8.4.2) равен сумме вычетов (Res) подынтегральной функции относительно всех полюсов этой функции, лежащих внутри контура интегрирования. Каждый вычет связан с определенным полюсом pk:

Res[F(z), pk] = [(z-pk) F(z)] при z=pk. (8.4.3)

где F(z) = zk-1 S(z), m

- порядок полюса в точке pk. Для простого полюса:

Res[F(z), pk] = (z-pk) F(z) = (z-pk) zk-1 S(z) при z=pk. (8.4.3')

Пример. Z-образ функции:

X(z) = z2 / (z-0.5)(z-1)2.

x(k) = Res[F(z), p1] + Res[F(z), p2]. F(z) = zk-1 X(z) = zk+1 / (z-0.5)(z-1)2.

Функция F(z) имеет простой полюс p1 = 0.5 и полюс второго порядка p2 = 1.

Res[F(z), 0.5] = (z-0.5) zk+1 / (z-0.5)(z-1)2 = zk+1 / (z-1)2 |z=0.5 = 0.5 (0.5)k / (0.5)2 = 2(0.5)k.

Res[F(z), 1] =[(z-1)2 zk+1 / (z-0.5)(z-1)2] = [(z-0.5)(k+1)zk-zk+1] / (z-0.5)2 |z=1= 2(k-1).

Результат: x(k) = 2[(k-1) + (0.5)k].

Преобразование разложением на дроби. В этом методе z-образ (8.4.1) раскладывается на рациональные простые дроби с последующим почленным обратным преобразованием с помощью таблицы. Наиболее просто это выполняется, если функция S(z) может быть разложена по степеням z в символике z-1, т.е. представлена в следующем виде:

S(z) = s(0) + s(1) z-1+ s(2) z-2 + …

Соответственно, в выражении (8.4.1) отношение многочленов также должно быть в символике z-1. Если полюсы S(z) первого порядка и N = M, то (8.4.1) можно разложить на следующую сумму:

S(z) = B0 + C1/(1-p1z-1) + C2/(1-p2z-2) + … + CM/(1-pMz-M) =

B0 + C1z/(z-p1) + C2z/(z-p2) + … + CMz/(z-pM) = B0 +Ckz/(z-pk). (8.4.4)

B0 = bN / aN.

где Сk - коэффициенты элементарных дробей, которые являются вычетами функции S(z).

Для вычисления коэффициентов Ck умножим левую и правую стороны выражения (8.4.4) на (z-pk)/z и положим z=pk, при этом в правой части за счет множителя (z-pk)=0 при z=pk обнуляются все члены суммы кроме члена с Ck данного полюса, а в левой остается произведение S(z)(z-pk)/z, что позволяет вычислить значения Ck:

Ck = S(z)(z-pk)/z |z=pk (8.4.5)

Если в (8.4.1) N < M, то значение B0 равно нулю. Если функция S(z) в точке z=pk имеет полюс m-ного порядка, то коэффициент Ck заменяется суммой коэффициентов:

Di /(z-pk)i, (8.4.6)

Di = [ X(z) (z-pk)m/z], при z=pk. (8.4.7)

Пример. Повторим пример преобразования данным способом z-образа функции

X(z) = z2 / (z-0.5)(z-1)2,

использованного в предыдущем примере. Функция имеет простой полюс p1 = 0.5 и полюс второго порядка p2 = 1.

X(z) = Cz/(z-0.5) + D1z/(z-1) + D2z/(z-1)2.

С = z/(z-1)2 = 0.5/(0.5-1)2 = 2.

D1 = [(z-1)2 X(z)/z] = [z / (z-0.5)] |z=1= -2.

D2 = (z-1)2 X(z)/z = z/(z-0.5) |z=1= 2.

X(z) = 2z/(z-0.5) + D1z/(z-1) + D2z/(z-1)2.

Обратное преобразование каждой простой дроби выполним по таблице 8.2.1.

Результат:

x(k) = 2(0.5)k -2 +2k = 2[(k-1) + (0.5)k].

Результат аналогичен методу вычетов.

Если z-изображение имеет вид дробно-рациональной функции, то разложение на простые дроби с последующим применением таблицы соответствий обычно труда не представляет. Так, например:

S(z) = (b0+b1z-1+b2z-2) / (1-az-1) = b0/(1-az-1) + b1z-1/(1-az-1) + b2z-2/(1-az-1).

По таблице соответствия:

X(z) = 1/(1-az-1) > x(k) = ak.

Отсюда, с учетом линейности преобразования и свойства задержки:

x(k) = b0 ak + b1 ak-1 + b2 ak-2.

При преобразовании функций со знаменателями более высоких порядков предварительно следует найти полюса функции. Например, для многочлена второго порядка с полюсами p1 и p2:

S(z) = 1/(1-a1z-1+a2z-2) = 1/[(1-p1z-1)(1-p2z-1).

Представим S(z) в виде суммы дробей с неизвестными коэффициентами b1 и b2:

S(z) = b1/(1-p1z-1)+b2/(1-p2z-1) = (b1- b1p2z-1+b2-b2p1z-1)/[(1-p1z-1)(1-p2z-1).

При равенстве знаменателей в этих двух выражениях должны быть равны и числители:

(b1 + b2) - (b1 p2+b2 p1)z-1 = 1,

а это обеспечивается равенством коэффициентов при одинаковых степенях z. Отсюда получаем систему уравнений:

b1 + b2 = 1.

b1 p2+b2 p1 = 0.

Решая эту систему уравнений, находим значения коэффициентов b1 и b2, подставляем коэффициенты в S(z), выраженное в виде суммы дробей, и по таблице соответствия переводим дроби во временные функции.

Метод степенных рядов. Выражение (8.4.1) можно разложить непосредственно в степенной ряд (8.4.1') путем деления в столбик, для чего числитель и знаменатель функции выражаются предварительно через нарастающий или уменьшающийся показатель степени z. Обратное z-преобразование степенного ряда очевидно.

Пример нарастающей степени z.

X(z) = (1+2z+z2) / (1-z+0.4z2).

1 + 2z + z2 | 1 - z + 0.4z2

1 - z + 0.4z2 1 + 3z + 3.6z2 + 2.4z3 + 0.96z4 + …

Ряд может быть бесконечным.

3z + 0.6z2

3z - 3z2 + 1.2z3

3.6z2 - 1.2z3

3.6z2 - 3.6z3 + 1.44z4

2.4z3 - 1.44z4

2.4z3 - 2.4z4 + 0.96z5

0.96z4 - 0.96z5

0.96z4 - 0.96z5 + 0.384z6, и т.д.

Обратное преобразование выполняется путем идентификации коэффициентов степеней при zk с k-отсчетами функции:

x(k) = {1, 3, 3.6, 2.4, 0.96, …}

Пример уменьшающихся номеров степени z.

X(z) = (1+2z+z2) / (1-z+0.4z2) > (деление на zN числителя и знаменателя полинома) > (z-2+2z-1+1) / (z-2-z-1+0.4).

z-2 + 2z-1 + 1 | z-2 - z-1 + 0.4

z-2 - z-1 + 0.4 1 + 3z + 3.6z2 + 2.4z3 + 0.96z4 + … Результат тот же.

3z-1 + 0.6

3z-1 - 3 + 1.2z

3.6 - 1.2z

3.6 - 3.6z + 1.44z2

2.4z - 1.44z2

2.4z - 2.4z2 + 0.96z3

0.96z2 - 0.96z3

0.96z2 - 0.96z3 + 0.384z4, и т.д.

Метод деления полинома (8.4.1) можно выполнять рекурсивно:

x(0) = b0 / a0,

x(1) = (b1 - x(0) a1) / a0,

x(2) = (b2 - x(1) a1 - x(0) a2) / a0,

x(n) = (bn - (x(n-i) ai) /a0, n = 1, 2, 3, …

5. Применение Z - преобразования [43].

Описание дискретных систем обработки сигналов с помощью нулей и полюсов - наиболее широкая область использования z-преобразования. Степенной полином передаточной функции системы вида (8.4.1) с нулями ni числителя и полюсами pj знаменателя всегда может быть представлен в виде произведения сомножителей:

H(z) = K(z-ni) /(z-pj), (8.5.1)

где К - коэффициент передачи (усиления) входного сигнала. Полюсы и нули H(z) могут быть действительными и комплексными, при этом для обеспечения действительных значений коэффициентов ai и bj в (8.4.1) комплексные коэффициенты должны быть представлены комплексно сопряженными парами.

Геометрическая оценка АЧХ и ФЧХ системы. Информацию, содержащуюся в H(z), удобно отображать в виде положения нулей (кружками) и полюсов (крестиками) на z-плоскости. Диаграмма нулей и полюсов наглядно отображает свойства системы и ее устойчивость. Для устойчивых систем все полюсы должны находиться за пределами единичной окружности (внутри окружности при символике z-1) или совпадать с нулями на единичной окружности. На положение нулей ограничений не существует.

По известной диаграмме нулей и полюсов может быть выполнена геометрическая оценка частотной характеристики системы. При

z=exp(-j t)

единичная окружность |z|=1 отображает частотную ось характеристики главного частотного диапазона от 0 (при z=1) до 2 (при z=-1). Каждой точке

zs = exp(-j s t)

может быть поставлен в соответствие вектор (zs - ni) на i-нуль, модуль которого

Ui = |(zs - ni)|

отображает расстояние от zs до i-нуля, а аргумент

i = arg(zs - ni)

- фазовый угол из zs на i-нуль, а равно и вектор (zs - pj) на j-полюс с соответствующим расстоянием

Vj = (zs - pj)

и фазовым углом

j = arg(zs - pj).

При этом амплитудная и фазовая характеристики системы могут быть оценены по выражениям при перемещении точки s по единичной окружности:

|H( )| = Ui /Vj, (8.5.2)

arg(H( )) = i - j. (8.5.3)

По (8.5.2) нетрудно сделать заключение, что наибольшее влияние на изменение АЧХ по частоте оказывают нули и полюсы, расположенные ближе к единичной окружности. При расположении нуля непосредственно на окружности гармоника s в этой точке полностью обнуляется. И, наоборот, при перемещении s к полюсу, близкому к единичной окружности, происходит резкое нарастание коэффициента усиления системы.

Вычисление частотной характеристики с помощью БПФ. Так как частотная характеристика дискретной системы - это Фурье образ ее импульсной характеристики, то для систем, описанных в общей форме (8.4.1), сначала производится разложение H(z) в степенной ряд (8.4.1'), над коэффициентами которого и выполняется БПФ. Гладкость (разрешение по частоте

f = 1/(N t)

будет определяться количеством коэффициентов степенного ряда и при необходимости может увеличиваться дополнением ряда нулями.

Альтернативный способ - вычисление БПФ непосредственно коэффициентов bn числителя и am знаменателя выражения (8.4.1) с последующим алгебраическим делением B(k)/A(k) результатов БПФ. Количество коэффициентов bn и an в (8.4.1) обычно невелико и для получения достаточно гладких частотных характеристик их продлевают нулями до необходимого значения

N = 1/( t f).

Анализ устойчивости систем выполняется для рекурсивных систем с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-систем). Такие системы описываются либо непосредственно в виде разностного уравнения, либо передаточной функцией в виде z-образа импульсной характеристики или разностного уравнения. Общее условие устойчивости импульсной характеристики системы:

|h(k)| < ?.

Для рекурсивных систем начальный индекс суммирования равен нулю. Практически это означает, что любой ограниченный входной сигнал в устойчивой системе порождает ограниченный выходной сигнал.

В устойчивой системе все полюсы передаточной функции H(z) должны находиться за границами единичной окружности

z=exp(-j t)

(внутри окружности при символике z-1). Система с полюсом на единичной окружности считается потенциально неустойчивой, даже если во входном сигнале нет гармоники с частотой, соответствующей положению данного полюса на окружности. Это определяется тем, что в соответствии с (8.5.1) коэффициент усиления системы в точке полюса равен бесконечности и любой бесконечно малый сигнал на этой частоте даст бесконечно большой сигнал на выходе. Для практических систем понятия бесконечности не существует и можно пытаться принять определенные меры для исключения таких критических частот. Так, например, в интегрирующих системах полюс находится на нулевой частоте и из входного сигнала можно исключить постоянную составляющую, но при этом изменяется и характер интегрирования (интегрируются только динамические составляющие входного сигнала). Следует также учитывать, что во входных сигналах обычно всегда присутствует статистический шум, наблюдаются скачки, присутствует шум квантования и т.п. эффекты с непрерывным частотным спектром, которые могут приводить к огромным ошибкам при обработке данных в потенциально неустойчивых системах. Практически осуществимый способ повышения устойчивости систем - компенсировать полюсы на окружности нулями в этих же точках, но это может приводить к существенному изменению частотной характеристики системы.

Оценку устойчивости рекурсивной системы можно проводить и по виду ее импульсной характеристики (вычислением обратного z-преобразования или подачей импульса Кронекера на вход системы). Если значения коэффициентов увеличиваются по мере роста номеров - система неустойчива. Если они очень медленно уменьшаются - система устойчива минимально, имеет большое время установления рабочего режима, и при определенных условиях может давать большие погрешности в обрабатываемых данных.

Связь разностных уравнений и передаточных функций рекурсивных систем. Стандартная запись разностного уравнения системы (связи входного воздействия x(k) и выходного сигнала y(k) при известных постоянных параметрах нерекурсивной bn и рекурсивной am трансформации сигналов):

y(k) = bn x(k-n) -am y(k-m). (8.5.4)

От разностного уравнения с использованием свойства задержки z-преобразования

bn x(k) bn X(z),

bn x(k-n) bn zn X(z),

нетрудно перейти к z-образу разностного уравнения системы:

Y(z) = bn X(z) zn -am Y(z) zm. (8.5.5)

Отсюда, передаточная функция системы:

Y(z) (1+am zm) =bn X(z) zn.

H(z) = Y(z) / X(z) = bn zn /(1+am zm). (8.5.6)

И, наоборот, при приведении выражения (8.4.1) к виду (8.5.6) (нормировкой на a0) можно без дальнейших преобразований переходить к выражению (8.5.4).

Пример. Передаточная функция:

H(z) = 2(1-z) / (2+z).

Определить алгоритм вычислений.

H(z) = Y(z)/X(z) = (1-z) / (1+0.5z).

Y(z) + 0.5 z Y(z) = X(z) - z X(z).

y(k) + 0.5 y(k-1) = x(k) - x(k-1)

Результат: y(k) = x(k) - x(k-1) - 0.5 y(k-1)

Литература

Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. - М., "Вильямс", 2004.

Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.

Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. - М.: Мир, 1989. - 540 с.

Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике. - М.: Недра, 1985.- 300 с.

Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. СПб, ИАнП РАН, 1999.

Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1993.

Размещено на Allbest.ru