Размещено на http://www.allbest.ru/

Детерминированные цифровые сигналы и их характеристики

дискретный цифровой сигнал квантование

Получение цифрового сигнала можно условно представить как преобразование аналогового сигнала в устройствах дискретизации и квантования по уровню.

Устройства дискретизации и квантования сигналов

Аналого-цифровое устройство можно упрощенно представить как устройство дискретизации с двумя ключами (рис.1.1).

Рис. 1.1

В момент дискретизации ключ К₁ замыкается и конденсатор заряжается до уровня входного напряжения, а в моменты между дискретами (время ) ключ К₂ замкнут.

Рис. 1.2

Устройство квантования представлено как статическое звено с нелинейной характеристикой (рис. 1.2). Напряжение на выходе устройства

,

где - шум квантования, - число уровней квантования. Единица младшего разряда (ЕМР) . Дисперсия ошибки квантования при равномерном законе распределения ошибки округления определяется величиной .

Математическая модель цифровых сигналов

Сигнал, квантованный по уровню и времени, называется цифровым.

Модель дискретного сигнала (выходной сигнал дискретизатора) представлена суммой функций Дирака в виде

.

Цифроаналоговый преобразователь можно представить как устройство дискретизации и хранения (экстраполятор нулевого порядка (ЭНП)), которое содержит выходной сигнал неизменным на периоде квантования

,

где - единичный импульс. Если вычислить преобразование Лапласа от сигнала на выходе устройства хранения

,

то передаточная функция данного устройства может быть выражена как

.

Связь спектров непрерывных и дискретных сигналов

Комплексный спектр дискретного сигнала определяется выражением

,

из которого следуют такие свойства спектра дискретного сигнала:

1. Частотный спектр дискретного сигнала - это бесконечная сумма сдвинутого спектра непрерывного сигнала на частоту, кратную .

2. Спектр дискретного сигнала - периодический с периодом .

3. Преобразование Фурье - частотно-временное и дуальное: периодический сигнал - дискретный спектр, дискретный сигнал - периодический спектр.

4. Для уменьшения эффекта наложения спектра необходимо выбрать частоту дискретизации больше удвоенной частоты исходного сигнала и пропустить дискретный сигнал через ФНЧ.

Теорема отсчетов А.В. Котельникова

Данная теорема обосновывает многие методы для синтеза требуемых свойств сигналов и каналов связи.

Теорема А.В. Котельникова. Для передачи сигнала с ограниченным спектром достаточно передавать отдельные мгновенные значения сигнала (отсчеты) с периодом .

Следствие 1. Сигнал с ограниченным спектром может быть представлен в ряд по ортонормальным функциям sinc(x) с коэффициентами ряда как дискретными значениями этого сигнала:

.

Следствие 2. Если известен сигнал с полосой , то для периода квантования число отсчетов на интервале .

Следствие 3. Для восстановления сигнала по дискретным отсчетам с периодом достаточно пропустить отсчеты через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза .

Дискретное преобразование Фурье

Пара преобразований

, ,

где , называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Порядок вычисления оценки спектральной плотности непрерывного сигнала с помощью ДПФ:

1. Переход от непрерывного сигнала к дискретному (дискретизация) с выбранным периодом квантования.

2. «Взвешивание» дискретного сигнала (пропускание его через соответствующее «окно» или вырезание конечной последовательности из данных сигнала).

3. Вычисление ДПФ.

Свойства дискретного преобразования Фурье:

1. ДПФ - линейное преобразование.

2. Число коэффициентов ДПФ равняется числу отсчетов сигнала.

3. Если отсчеты сигнала действительные числа, то коэффициенты ДПФ симметричны относительно отсчета с номером .

4. При числе отсчетов, кратном числу , ДПФ можно вычислять по алгоритму быстрого ДПФ.

При использовании ДПФ для оценки спектральной плотности возможны следующие ошибки:

- перекрытие спектра для дискретного сигнала, так как реальные сигналы не имеют конечного спектра;

- применение конечных «окон», так как получаемый сигнал в частотной области является сверткой преобразования Фурье и временного «окна» (эффект «просачивания»);

- урезание дискретного сигнала за счет конечного окна, что приводит к появлению эффекта «частокола».

Причины возникновения ошибок, особенности применения ДПФ и пути уменьшения ошибок представлены в табл. 1.6.

Таблица 1.6

Z-преобразование дискретных сигналов

Основа анализа непрерывных систем - преобразование Фурье, а дискретных систем - Z-преобразование.

Прямое Z-преобразование.

Применим преобразование Лапласа для дискретного сигнала

получим

Если ввести переменную , то Z-преобразование сигнала имеет вид

или .

Свойства Z-преобразования представлены в табл. 1.7.

Таблица 1.7

Процедура нахождения Z-преобразования непрерывной функции состоит из следующих этапов:

1. Определение дискретной функции через непрерывную, прошедшую через идеальный квантователь .

2. Определение преобразования Лапласа от функции .

3. Замена выражения на переменную z, представление в виде ряда и запись через сумму

.

Обратное Z-преобразование.

Обратное преобразование ставит в соответствие изображению оригинал и записывается через обратное преобразование Лапласа:

.

Методы вычисления обратного Z-преобразования.

1. Метод деления полиномов (разложение в степенной ряд). Если Z-преобразование сигнала имеет дробно-рациональный вид, то делением полинома на полином можно получить ряд по переменной , коэффициентами которого являются отсчеты сигнала:

2. Метод разложения на простые множители и использование табличных результатов. Если преобразование сигнала имеет разложение

,

то преобразование в соответствии с таблицей запишем так:

3. Метод вычетов. Выражение сигнала через изображение также имеет вид контурного интеграла , который можно заменить суммой вычетов по всем полюсам функции , где вычет в полюсе имеет выражение

Z-преобразования специальных функций представлены в табл. 1.8.

Таблица 1.8

Понятие случайной функции и случайного процесса

Случайной называют такую функцию, значение которой для некоторого момента времени есть случайная величина с вероятностными характеристиками.

Случайный процесс - это набор или ансамбль реализаций случайных функций с общими вероятностными характеристиками.

Случайную функцию можно рассматривать как систему случайных величин, которая характеризуется совместной функцией плотности вероятности.

Если выполнено условие для произвольного времени , то такой процесс называется стационарным, в противном случае - нестационарным.

Для стационарного процесса математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени.

Случайный процесс, для которого среднее по времени совпадает со средним по реализации, называется эргодическим.

Характеристики дискретной случайной величины представлены в табл. 1.9.

Таблица 1.9

Характеристики непрерывной случайной величины приведены в табл. 1.10.

Таблица 1.10

Используемые функции распределения представлены в табл. 1.11.

Таблица 1.11

Характеристики двух непрерывных случайных величин представлены в табл.1.12.

Таблица 1.12

Характеристики случайного процесса

Характеристики случайного процесса даны в табл. 1.13.

Таблица 1.13

Оценки характеристик эргодического случайного процесса по выборочным данным представлены в табл.1.14.

Таблица 1.14

Перечень функций для вычисления характеристик в МАТЛАБе

Перечень функций вычисления характеристик в МАТЛАБе представлен в табл. 1.15.

Таблица 1.15

Размещено на Allbest.ru