Понятие и уравнение акустикой

(4)

Система основных уравнений должна быть дополнена граничными условиями. Так, на абсолютно твердой поверхности нормальная составляющая скорости колебаний равна нулю, на абсолютно мягкой поверхности звуковое давление р равно нулю.

3. Волновое уравнение и его решение

Система основных уравнений акустики может быть сведена к одному уравнению содержащему одну неизвестную величину (например - звуковое давление). Для упрощения выкладок рассмотрим одномерную задачу.

Левую часть уравнения непрерывности можно записать так:

.

Т.к. амплитуды звуковых колебаний малы, то вторым слагаемым можно пренебречь, как малой величиной второго порядка. Тогда:

или

.

Для одномерного случая имеем:

Продифференцируем второе уравнение по х и подставим из первого уравнения:

.

Учитывая, что , получим:

или

(5)

Это уравнение известно, как волновое уравнение (для одномерного пространства).

Решение волнового уравнения имеет вид:

(1.6)

Какой смысл имеют слагаемые этого решения ? Возьмем слагаемое и зафиксируем время . Тогда функция опишет распределение звукового давления вдоль направления оси х в момент времени (см. рис. 2)

Рисунок 2

Теперь выясним, как будет выглядеть картина распределения звукового давления в момент времени . Для этого выберем произвольную точку кривой, например - максимум. Максимуму звукового давления соответствует значение аргумента функции равное . Очевидно, что в момент времени максимум кривой будет находиться там, где значение аргумента функции сохранится прежним, т.е.

. (7)

Так как , то для выполнения равенства аргументов необходимо, чтобы было больше . Таким образом, максимум кривой сместится вправо. Рассуждая аналогично для других точек кривой получим такой же результат, т.е. вся кривая сдвинется вправо. Если считать, что равномерно увеличивается, то и координата должна непрерывно расти, т.е. вся кривая будет равномерно двигаться вправо. Таким образом, функция описывает профиль волны, бегущей в сторону увеличения координаты х. Можно показать, что функция описывает профиль волны, бегущей в сторону уменьшения координаты х. Следовательно решение волнового уравнения определяет звуковое давление, как сумму двух волн - прямой и обратной.

Скорость распространения звуковых волн. Используя выражение (7) нетрудно определить скорость распространения звуковых волн. Перенесем в левую часть равенства, а - в правую:

или

,

т.е. с - скорость распространения волны. Ранее буквой «с» обозначили (см. (1.3а)) .Таким образом скорость звука:

. (8)

Пример. Скорость звука в воздухе при температуре 20⁰ С и нормальном атмосферном давлении Па:

м/с.

Скорость звука слабо зависит от давления, т.к. увеличение давления вызывает пропорциональное увеличение плотности , а их отношение не изменяется. Температура среды оказывает существенное влияние на скорость распространения звука.Действительно, умножив числитель и знаменатель в выражении (8) на величину объёма V, получим:

где м - молекулярный вес газа,

Т - температура в К⁰,

R - универсальная газовая постоянная, R = 8.31 Дж/град·моль.

Таким образом, скорость звука изменяется прямо пропорционально . На рис. 3 приведен график зависимости скорости звука в воздухе от температуры в интервале от - 50⁰ до 50⁰ С.

Рисунок 3. Зависимость скорости звука в воздухе от температуры.

Гармонические звуковые волны. Функция может быть произвольной физически реализуемой. Важный для практики случай - гармоническая функция, т.е.

, (9)

где - волновое число.

Волновое уравнение для трехмерного пространства. В случае трехмерного пространства волновое уравнение приобретает вид:

, (10)

где - оператор Гамильтона

Решение этого уравнения для точечного источника в однородной среде:

или для гармонических колебаний:

. (11)

где А - произвольная постоянная,

r - полярная координата точки наблюдения.

Начальная фаза колебаний звукового давления зависит только от расстояния, поэтому поверхность, на которой значения фазы одинаковы, является сферой. Эту поверхность называют фронтом волны. Волну, у которой фронт сферический, называют сферической волной. Таким образом, точечный источник в однородной среде создаёт сферические волны. Амплитуда сферических волн убывает ~1/r.

Установим связь между звуковым давлением и скоростью колебаний. Для этого используем уравнение движения среды (2). Подставив выражение (11) в (2) получим:

,

где - единичный вектор (орт) координаты .

Разделим переменные и проинтегрируем:

,

(12)

где - удельное акустическое сопротивление среды в кг/м²с.

Удельное акустическое сопротивление в акустике играет роль, подобную характеристическому сопротивлению среды в электродинамике.

(13)

Аргумент удельного акустического сопротивления:

. (14)

Модуль удельного акустического сопротивления:

(14)

Графики зависимости вещественной, мнимой частей, модуля и аргумента удельного акустического сопротивления от расстояния приведены на рис. 4.

Как видно из приведенных графиков, на расстояниях, больших, чем длина волны, мнимая часть удельного акустического сопротивления становится малой, а само удельное акустическое сопротивление - вещественным . При рассмотрении небольших объёмов в этой области пространства кривизной фронта волны можно пренебречь и считать фронт волны плоским. Такую волну называют плоской волной. Звуковое давление в плоской волне описывается выражением (6), а скорость колебаний:

. (15)

Численное значение для воздуха при нормальном давлении и температуре 20⁰ С равно 413 кг/м²с.

Рисунок 4. Нормированная на зависимость от расстояния вещественной (2), мнимой части (1) и модуля (3) удельного акустического сопротивления (верхний рисунок). Зависимость аргумента удельного акустического сопротивления от расстояния (нижний рисунок).

Зная скорость колебаний можно определить смещение . Для гармонических колебаний амплитуда смещения:

(16)