Модифицированный алгоритм идентификации динамических объектов, возмущаемых ограниченными шумами

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Модифицированный алгоритм идентификации динамических объектов, возмущаемых ограниченными шумами

Авторы:

В.А. Тимофеев, канд.техн.наук;

Е.Г. Кочуев, асп.; Е.В. Тимофеева, студ.;

И.В. Гурина, мл. научн. сотр.

Введение

Одной из фундаментальных задач теории управления является проблема идентификации - определения или оценивания параметров системы в различные моменты времени. Качество решения задачи идентификации существенно зависит от объема априорной информации о свойствах исследуемого объекта и действующих сигналов и помех. Большинство существующих методов идентификации предполагает наличие такой информации в виде известной плотности распределения помех либо информации о принадлежности неизвестной плотности какому-либо классу распределений. Эта информация позволяет однозначно выбрать критерий идентификации и применить для поиска его экстремума хорошо разработанные методы.

Однако зачастую сведения о статистических свойствах сигналов и помех отсутствуют, а исследователь обладает информацией лишь об их уровнях. Исследованию такого случая и посвящена данная работа.

Постановка задачи

Рассмотрим динамический объект, описываемый авторегрессионной (ARX) моделью

, (1)

где - выходной, входной сигналы и помеха в момент времени соответственно, причем

,. (2)

Данное уравнение может быть преобразовано к виду

, (3)

где - вектор параметров; - вектор обобщенных входов.

С учетом (2) уравнение (3) может быть переписано в виде пары неравенств

,(4)

задающих границы области D, внутри которой должны лежать искомые параметры . Отметим, что неравенства (4) задают гиперплоскости в пространстве , ограничивающие область принадлежности . Последовательность наблюдений порождает k пар гиперплоскостей, «высекающих» в пространстве некоторую область , являющуюся областью оценок и представляющую собой политоп [1]. Каждое новое наблюдение изменяет эту область, относительно которой можно заметить, что все точки, принадлежащие этой области, равноправны в том смысле, что среди них нельзя выделить наилучшую оценку. Поэтому для удобства используется некий «центр» области [1,2].

Очевидно, что чем больше объем полученного политопа, тем меньше уровень неопределенности . Из (3) и (4) видно, что вид и размер политопа зависят от выбора вектора обобщенных входов . При использовании в качестве метрики в пространстве параметров евклидового расстояния наилучший выбор связан с максимизацией , что обеспечивает максимальное стягивание границ политопа [3]. Таким образом, проблема выбора последовательности векторов состоит в минимизации после k шагов размера области .

Получение алгоритма оценивания

Формально это можно представить следующим образом. Так как объект описывается уравнением (3), а помеха удовлетворяет условию (2), то вектор искомых параметров удовлетворяет всем неравенствам

.(5)

Поэтому в качестве оценок параметров могут быть использованы только те, которые принадлежат множеству

,(6)

которое с геометрической точки зрения представляет собой монотонную невозрастающую последовательность выпуклых политопов :

,(7)

.(8)

Вычисление оценок представляет собой сложную задачу, решение которой может быть существенно упрощено путем построения некоторого множества, ограничивающего . Эти ограничения могут задаваться либо в форме параллелепипедов [1,2], либо в форме эллипсоидов [3,4], центр которых совпадает с .

Рассмотрим алгоритм идентификации объекта (1), основанный на методе эллипсоидов.

Алгоритм начинается с построения достаточно большого эллипсоида в пространстве и содержащего все возможные допустимые значения вектора . После получения первого наблюдения может быть найден эллипсоид, построенный в соответствии с (7) на пересечении и выпуклого политопа . Для ускорения сходимости алгоритма следует оптимизировать эллипсоид, например, по критерию минимального его объема либо минимального следа.

Обозначим оптимальный эллипсоид как . После получения второго наблюдения аналогичным образом найдем и т. д. Таким образом, может быть получена последовательность оптимальных эллипсоидов. В произвольный момент времени t эллипсоид определяется выражением (6) или, в более общем случае, выражением

, (9)

где - весовая матрица, определяющая полуоси эллипсоида;

- скалярная величина, рекуррентно вычисляемая по формуле

, (10)

;

;

;

.

Коррекция оценок происходит по формуле

, (11)

, (12)

,I - единичная матрица, .

Размер оптимального эллипсоида , вычисляемый в соответствии с (7), зависит от коэффициента. Оптимальное значение может быть получено путем минимизации по величины (10).

С другой стороны, имеет смысл осуществлять коррекцию только в те моменты времени, когда происходит уточнение оценок искомых параметров, т. е. в случаях, когда нарушается условие (5).

С учетом (10) данное условие может быть модифицировано следующим образом:

. (13)

Отсюда, если неравенство (13) не выполняется, значения коэффициентов вычисляются следующим образом:

, (14)

(15)

.

Заключение

Таким образом, алгоритм идентификации описывается соотношениями (11), (12), (14), (15). Значение, выбираемое в качестве верхней границы , не должно быть тесно связано с величиной помехи, так как оценки границ помехи не воздействуют на оценки искомых параметров. Однако завышение может привести к росту размера ограничивающего эллипсоида, а занижение - к уменьшению (и даже появлению отрицательных значений) , что приводит к уменьшению или исчезновению ограничивающего эллипсоида. В последнем случае следует либо искусственно увеличить размер эллипсоида , либо увеличить ширину путем увеличения значения .

Рассмотренный алгоритм идентификации является некоторой модификацией рекуррентного МНК с экспоненциальным взвешиванием информации.

Список литературы

Schweppe F. S. Uncertain dynamic systems. - London: Prentice - Hall, Inc. - 1973. - 553 p.

Norton J. P. An introduction to identification. - London: Academic Press, Inc. - 1986. - 310 p.

Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. - М.: Наука, 1986. - 320 с.

Бакан Г. М., Волосов В. В., Куссуль Н. Н. Оценивание состояния непрерывных динамических систем методом эллипсоидов //Кибернетика и системный анализ, 1996. - №6. - С. 72-91.