Описание дискретных систем

Міністерство освіти і науки України

Вінницький технічний коледж

РЕФЕРАТ

на тему:

«Описание дискретных систем»

Виконав:

студент групи 4ОК2

Мельник Олександр

Перевірив:

Полторак Г.М.

Вінниця 2010

1. Модель дискретной линейной системы

Ранее мы эвристически описали различные алгоритмы синтеза линейных цифровых систем. Настоящая глава посвящена главным образом теории алгоритмов, основанных на линейных разностных уравнениях. Эти уравнения, которые часто называют рекурсивными и авторегрессивными, служат отправной точкой для различных способов описания дискретных линейных систем, а именно с помощью частотной характеристики, блок-схем цифровых цепей, геометрической интерпретации в комплексной z-плоскости и. с помощью операторного метода z-преобразования.. Цель настоящей главы состоит главным образом в том, чтобы ознакомить читателя с техническими приемами, необходимыми для понимания остальной части книги.

Теория линейной (аналоговой) цепи базируется на электрических свойствах индуктивностей, емкостей и сопротивлении, которые приводят через законы Кирхгофа к описанию цепей с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В отличие от этого, теория дискретных или цифровых линейных систем базируется на линейных разностных уравнениях с. постоянными коэффициентами, которые могут быть решены с помощью операций над числами на специализированных или универсальных вычислительных машинах. При реализации алгоритма разностного уравнения существенным моментом является то, что входной сигнал представляется в виде совокупности дискретных отсчетов по времени.

Для многих насущных задач может быть применена модель, показанная на рис. 1. В этих задачах сигналы, подвергаемые обработке, являются аналоговыми (например, выходные сигналы микрофона или сейсмографа), но сама обработка должна быть осуществлена в цифровом виде. Однако не все задачи относятся к этой категории; например, цифровой синтезатор речи не нуждается в аналоговом входном сигнале. На Рис. 3.1 для того, чтобы получить последовательность х(nТ), аналоговый сигнал дискретизуется через временные интервалы Т.

Рис. 1 - Модель цифровой машины для обработки аналоговых сигналов

Последствия такого процесса дискретизации можно истолковать различными способами: почти во всей литературе, ссылки на которую приведены в гл. 1, вскрывается их сущность, се условно можно назвать наложением от английских понятий folding или aliasing, встречающихся в литературе. В терминах, относящихся к частотной области, это означает, что спектр аналогового сигнала повторяется периодически в виде верхнего и нижнего боковых спектров около частот 1Т, 2/Т, 3/Т и т. д. Если частота дискретизации взята ниже частоты Найквиста (т.е. если 1/Т меньше удвоенной ширины полосы сигнала), то соседние спектры перекрываются, вызывая частотные искажения, которые делают невозможным восстановление аналогового сигнала с помощью линейной фильтрации. Квантизатор на рис. 1 является обязательной частью любого современного цифрового процессора. Необходимо подчеркнуть, что эффекты квантования наблюдаются также и внутри цифровой машины, показанной на рис. 1. Они встречаются, например, при записи постоянного коэффициента линейного разностного уравнения в виде числа в регистре конечной длины. Такой эффект может считаться статическим в том случае, когда свойства разностного уравнения установлены раз и навсегда. Существуют также динамические эффекты, когда сигналы умножаются на коэффициенты или на другие сигналы и произведение округляется или ограничивается до заданной конечной длины регистра. В этой главе мы сделаем важное предположение, что подобными ошибками можно пренебречь. В гл. 4 обстоятельно изучаются эти эффекты и показывается, как они влияют на синтез цифровых фильтров.

Если требуется получить выходной сигнал в непрерывной форме то отсчеты выходного сигнала цифровой машины проходят через декодер или затягивающее устройство, которое создает непрерывный сигнал из последовательности импульсов. Вообще говоря, декодер - это преобразователь цифра - аналог, после которого включен линейный аналоговый фильтр, устраняющий лишние частоты, появившиеся в процессе дискретизации. Так, например, если Г=10~4 сек, декодер может быть низкочастотным фильтром с частотой среза 5 кгц. В самом простом случае таким фильтром является схема, запоминающая отсчетные значения в паузах между ними.

Исследование непрерывных линейных динамических систем в значительной степени облегчилось благодаря введению операционных методов преобразований Лапласа и Фурье, а также благодаря использованию теории цепей. Точно так же исследованию линейных дискретных систем помогает введение z-преобразования и использование теории цепей. Читателям, знакомым с непрерывными линейными системами, многие теоретические выкладки для дискретных линейных систем покажутся хорошо известными, да они и в самом деле должны казаться такими. Но необходимо помнить, что здесь мы имеем дело с дискретной или цифровой областью, для которой должны быть развиты новые подходы, и попытки распространить на эту область результаты, полученные для аналоговой области, могут привести к серьезным ошибкам.

2. Линейные системы, инвариантные к сдвигу

Система определяется математически как однозначное преобразование или оператор, отображающий входную последовательность х(n) (вход) в выходную у(n) (выход), что математически записывается в виде у(n) =Т[х(n)], а графически часто изображается так, как показано на рис. 2.

Рис. 2 - Представление преобразования, отображающего входную последовательность х(n) в выходную последовательность у(n)

Классы дискретных систем определяются путем наложения ограничений на преобразование Т. В дальнейшем будет широко рассматриваться класс линейных инвариантных относительно сдвига систем, потому что они сравнительно просты в математическом отношении, а также потому, что они дают удобный вид обработки сигналов. Позже мы обсудим более общий класс систем, включающий как частный случай линейные системы.

Класс линейных систем определяется принципом суперпозиции. Если y₁(n) и y₂(n) -отклики на x₁(n) и x₂(n) соответственно, то система линейна тогда и только тогда, когда

(1)

для произвольных постоянных a и b.

Мы видели, что произвольная последовательность х(n) может быть представлена в виде задержанной и взвешенной суммы единичных импульсов. Это представление вместе с (1) предполагает, что линейная система может быть полностью охарактеризована откликом на единичный импульс - импульсной характеристикой.

А именно, пусть h_k(n) - отклик системы на единичный импульс в момент n=k.

 (2)

Таким образом, согласно (2) реакцию системы можно выразить через отклики на. Если накладывается только одно условие - линейность, то h_k(n) будет зависеть как от n, так и от k, n в этом случае польза от выражения (2) для вычислений невелика. Более полезный результат получится, если мы наложим дополнительное ограничение, состоящее в инвариантности к сдвигу.

Класс инвариантных к сдвигу систем характеризуется следующим свойством: если у(n) -отклик на х(n), то у(n-k) будет откликом па х(n-k), где k - положительное или отрицательное целое число. Когда индекс n связывается со временем, свойству инвариантности к сдвигу соответствует свойство инвариантности во времени. Из свойства инвариантности к сдвигу следует, что если h(n) -отклик на , то откликом на будет просто . Поэтому (3.2) принимает вид

(3)

Значит, любая инвариантная к сдвигу система полностью характеризуется импульсной характеристикой h(n).

Выражение (3) обычно называется сверткой. Если у(n) -последовательность, значения которой связаны со значениями, двух последовательностей h(n) и х(n) выражением (3), то мы говорим, что у(n) есть свертка х(n) с h(n), и обозначаем у(n) = х(n)*h(n). Заменяя переменную в (3.3), получим другое выражение

(4)

Поэтому порядок, в котором две последовательности входят в свертку, не важен. Другими словами, линейная инвариантная к сдвигу система со входом х(n) и импульсной характеристикой h(n) будет иметь тот же выход, что и линейная инвариантная к сдвигу система со входом h(n) и импульсной характеристикой х(n). Две линейные инвариантные к сдвигу системы, включенные каскадно, образуют линейную инвариантную к сдвигу систему с импульсной характеристикой, равной свертке импульсных характеристик исходных систем. Так как порядок в свертке не важен, то импульсная характеристика составной системы не зависит от порядка, в котором включены исходные системы. Это свойство иллюстрируется рис. 3, где изображены три системы, имеющие одинаковые импульсные характеристики. Из (3) и (4) следует, что две инвариантные к сдвигу системы, включенные параллельно, эквивалентны одной системе с импульсной характеристикой, равной сумме импульсных характеристик исходных систем. Это свойство иллюстрируется рис. 4, 5.

Рис. 3 - Три линейные инвариантные к сдвигу системы с одинаковыми импульсными характеристиками

Рис. 4 - Параллельное включение линейных инвариантных к сдвигу систем и эквивалентная система

Хотя выражение свертки в виде суммы аналогично интегралу

Рис. 5 - Последовательности, входящие в свертку [h(n-k)], показаны для нескольких значений n

Свертки в теории линейных аналоговых систем, следует подчеркнуть, что свертку в виде суммы нельзя понимать как приближение к интегралу свертки. В противоположность интегралу свертки, играющему в основном теоретическую роль в применении к аналоговым линейным системам, свертка в виде суммы, как мы увидим в дальнейшем, вдобавок к своей теоретической значимости может служить для реализации дискретной системы. Поэтому важно глубже понять свойства свертки и получить опыт в применении свертки для вычислений.

3. Устойчивость и физическая реализуемость

Мы видели, что требования линейности и инвариантности во времени определяют класс систем, которые представляются сверткой. Добавочные ограничения устойчивости и физической реализуемости определяют практически важный, но более узкий класс линейных инвариантных во времени систем.

Устойчивой системой назовем систему, в которой каждый ограниченный входной сигнал создает ограниченный выходной сигнал. Линейная инвариантная к сдвигу система устойчива тогда и только тогда, когда

(5)

Это можно показать следующим образом. Если (5) справедливо и х ограничено, т. е. |х(n)|<М для всех n, то из (4) следует

Поэтому у ограничено. Доказать обратное можно, показав, что если , то существует ограниченный входной сигнал, который создает неограниченный выходной сигнал. Таким входом является последовательность со значениями

где h*(n) -комплексно-сопряженная к h(n) величина. Ясно, что х(n) ограничена. Значение на выходе при n=0

Поэтому при выходная последовательность не ограничена.

Физически реализуемая система - это система, у которой изменения на выходе не опережают изменения на входе, т. е. в физически реализуемой системе, если x₁(n)=x₂(n), n<n₀, то y₁(n)=y₂(n), n<n₀,. Линейная инвариантная к сдвигу система физически реализуема тогда и только тогда, когда ее импульсная характеристика равна нулю при n<0. Поэтому иногда удобно называть последовательность, которая равна нулю при n<0 физически реализуемой последовательностью, подразумевая под этим то, что она может быть импульсной характеристикой физически реализуемой системы.

Как пример устойчивости и физической реализуемости рассмотрим линейную инвариантную к сдвигу систему с импульсной характеристикой ; так как эта импульсная характеристика равна нулю при n<0, то система физически реализуема. Чтобы определить устойчивость, мы должны вычислить сумму

Если |а|<1, бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму , но если |а|>1-ряд расходится. Следовательно, система устойчива только при |а|<1.

4. Разностные уравнения

Системы, у которых входная и выходная последовательности х(n) и у(n) связаны линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, образуют подмножество класса линейных

систем с постоянными параметрами. Описание ЛПП-систем разностными уравнениями очень важно, так как оно часто позволяет найти эффективные способы построения таких систем. Более того, по разностному уравнению можно определить многие характеристики рассматриваемой системы, включая собственные частоты и их кратность, порядок системы, частоты, соответствующие нулевому коэффициенту передачи, и т.д.

В самом общем случае линейное разностное уравнение М-то порядка с постоянными коэффициентами, относящееся к физически реализуемой системе, имеет вид

(6)

где коэффициенты {b_i} и {a_i} описывают конкретную систему, причем а_м ? 0. Каким именно образом порядок системы М характеризует математические свойства разностного уравнения, будет показано ниже. Уравнение (6) записано в виде, удобном для решения методом прямой подстановки. Имея набор начальных условий [например, х (i), у(i) для i = -1, -2, ... , -М] и входную последовательность х(n), по формуле (3.6) можно непосредственно вычислить выходную последовательность у(n) для . Например, разностное уравнение

(7)

с начальным условием у (-1) = 0 и х(n) = n² + n можно решить подстановкой, что дает

Хотя решение разностных уравнений прямой подстановкой и целесообразно в некоторых случаях, значительно полезнее получить решение уравнения в явном виде. Методы нахождения таких решений подробно освещены в литературе по разностным Уравнениям, и здесь будет дан лишь краткий обзор. Основная идея сводится к получению двух решений разностного уравнения: однородного и частного. Однородное решение получается путем подстановки нулей вместо всех членов, содержащих элементы входной последовательности х(n), и определения отклика при нулевой входной последовательности. Именно этот класс решений описывает основные свойства заданной системы. Частное решение получают, подбирая вид последовательности у(n) на выходе при заданной входной последовательности х(n). Для определения произвольных постоянных однородного решения используются начальные условия. В качестве примера решим этим методом уравнение (7). Однородное уравнение имеет вид

(8)

Известно, что характеристическими решениями однородных уравнений, соответствующих линейным разностным уравнениям с постоянными коэффициентами, являются решения вида . Поэтому, подставив в уравнение (8) вместо у(n), получим

(9)

Частное решение, соответствующее входной последовательности

х(n) = n² +n, попробуем найти в виде

(10)

Из уравнения (7) получаем

 (11)

Поскольку коэффициенты при равных степенях n должны совпадать, В, С и D должны быть равны:

(12)

Таким образом, общее решение имеет вид

(13)

Коэффициент А определяется из начального условия у (-1) = 0, откуда А = -9/32 и

(14)

Выборочная проверка решения (14) при показывает полное его совпадение с приведенным выше прямым решением (рис. 6). Очевидное преимущество решения (14) состоит в том, что оно позволяет весьма просто определить у(n) для любого конкретного n = n₀.

Рис. 6 - Схема реализации простого разностного уравнения первого порядка

Важное значение разностных уравнений состоит в том, что они непосредственно определяют способ построения цифровой системы. Так, разностное уравнение первого порядка самого общего вида

(15)

можно реализовать с помощью схемы, изображенной на рис. 1.6. Блок «задержка» осуществляет задержку на один отсчет. Рассмотренная форма построения системы, в которой для входной и выходной последовательностей используются раздельные элементы задержки, называется прямой формой 1. Ниже мы обсудим различные методы построения этой и других цифровых систем. Разностное уравнение второго порядка самого общего вида

(16)

Рис. 7 - Схема реализации разностного уравнения второго порядка

может быть реализовано с помощью схемы, приведенной на рис. 7. В этой схеме для входной и выходной последовательностей также используются раздельные элементы задержки.

Из последующего изложения материалов этой главы станет ясно, что системы первого и второго порядка могут быть использованы при реализации систем более высокого порядка, так как последние могут быть представлены в виде последовательно или параллельно соединенных систем первого и второго порядка.

5. Частотная характеристика

В предыдущих разделах рассматривался отклик ЛПП-систем на произвольные входные последовательности. В данном разделе для описания ЛПП-систем в частотной области будет использован специальный класс входных последовательностей, имеющих вид . Как будет показано, этот класс последовательностей является набором собственных функций ЛПП-систем дискретного времени, т. е. для них выходная последовательность совпадает с входной, умноженной на некоторый комплексный коэффициент, зависящий только от .

Рассмотрим класс входных последовательностей вида

(17)

Если такая последовательность поступает на вход ЛПП-системы с импульсной характеристикой h(n), то на выходе появится последовательность

(18)

(19)

(20)

Таким образом, для выбранного класса входных последовательностей отклик совпадает с входной последовательностью с точностью до комплексного множителя, который выражается через импульсную характеристику системы следующим образом:

(21)

Поскольку последовательность вида функционально эквивалентна дискретизованной синусоиде с частотой , то множитель называют частотной характеристикой системы, так как он представляет коэффициент передачи ЛПП-системы для каждого значения .

Рис. 8 - Импульсная и частотная характеристики системы первого порядка

Вычислим в качестве примера частотную характеристику ЛПП-системы с импульсной характеристикой. Частотная характеристика имеет вид

(22)

Так как |а| < 1, то сумма геометрической прогрессии (22) будет равна

(23)

На рис. 8 графически представлены h(n), а также модуль и фаза как функции частоты в диапазоне .

Отметим некоторые свойства частотной характеристики. Нетрудно заметить, что частотная характеристика является периодической функцией , причем ее период равен . Эта периодичность связана со спецификой дискретизованного колебания: входная последовательность с частотой не отличается от входной последовательности с частотой , т. е.

(24)

Поскольку - периодическая функция, то для полного описания достаточно задать ее на любом интервале длиной . Обычно для этой цели используют интервал.

Другим важным свойством частотной характеристики является то, что для действительных h(n) (как обычно и бывает на практике) модуль симметричен, а фаза антисимметрична на интервале . Аналогично действительная часть симметрична, а мнимая - антисимметрична на том же интервале. Поэтому при действительных импульсных характеристиках интервал частот, на котором задают частотную характеристику, обычно сокращают до .

6. Замечания о единицах измерения частоты

Часто возникает необходимость выразить спектральный состав последовательности h(nT) в единицах частоты, связанных с интервалом дискретизации Т. В этом случае равенство (21) преобразуются к виду

 (25)

(26)

Функция периодична по частоте с периодом, равным . Частота в (25) и (26) выражается в радианах в секунду. Характеристику (25) можно выразить и через частоту f, измеряемую в герцах, если заменить на .

Литература

1. Бокс Дж., Дженкинс Г. (1974) Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 1, 2.

2. Крыштановский А.О. Методы анализа временных рядов // Мониторинг общественного мнения: экономические и социальные перемены. 2000. № 2 (46). С. 44-51.

3. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. Издательство: Питер, 2006.