Дискретное преобразование Гильберта

Министерство образования и науки Украины

Винницкий технический колледж

Реферат

на тему:

«Дискретное преобразование Гильберта»

Выполнил:

студент группы 4ОК2

Мельник Александр

Проверил: Полторак Г.М.

Винница, 2010

План

1. О достаточности действительной и мнимой частей преобразований для представления физически реализуемых последовательностей

2. Условие минимальности фазы

3. Преобразование Гильберта для ДПФ

4. Преобразование гильберта для комплексных последовательностей

5. Синтез Гильбертовых преобразователей

6. Представление узкополосных сигналов

Литература

1. О достаточности действительной и мнимой частей преобразований для представления физически реализуемых последовательностей

Любая последовательность может быть представлена как сумма четной и нечетной последовательностей. А именно, обозначая через hч(n) и hн(n) четную и нечетную части последовательности, имеем

(3.67)

(3.68)

(3.69)

Соотношения (3.67)--(3.69) применимы к любой последовательности. Однако если h(n) физически реализуема, то можно восстановить h(n) по hч(n) или hн(n) (B последнем случае только при n ? 0). Рассмотрим, например, последовательность h(n), представленную на Рис. 3.25, и ее четную и нечетную компоненты. Так как

Рис. 3.25. Четная и нечетная части действительной физически реализуемой последовательности

h(n) физически реализуема, т. е. h(n)=0 при n<0 и h(-n)=0 при n>0, то между ненулевыми частями h(n) и h(-n) нет перекрытия, за исключением точки n = 0.

Из Рис. 3.25 и выражений (3.68) и (3.69) должно быть ясно, что для физически реализуемых последовательностей

(3.70)

и

(3.71)

Если определить

(3.72),

то

(3.73)

и

(3.74)

Отметим, что h(n) полностью восстанавливается по hч(n)- С другой стороны, hн(n) всегда равно нулю при n = 0 и, следовательно, h(n) может быть восстановлена по hн(n)только при n ? 0.

Важным следствием выражений (3.73) и (3.74) является то, что преобразование Фурье действительной, физически реализуемой и устойчивой последовательности полностью известно, если мы знаем действительную или мнимую часть и h(0), так как является преобразованием Фурье от hч(n), а -- преобразованием Фурье от hн(n). Например, мы можем сначала вычислить hч(n) по , затем в соответствии с (3.73) вычислить h(n), откуда потом определить .

Можно показать, что если h(n) -- действительная, физически реализуемая, устойчивая последовательность, то H(z) можно определить всюду вне единичного круга (т. е. в области сходимости H(z)), зная только или и h(0). Рассмотрим H(z) вне единичного круга, т. е. для при r>1. В этом случае или, используя 3.73

С другой стороны, это выражение можно трактовать как преобразование Фурье произведения. Следовательно, можно получить как свертку преобразования Фурье от hч(n) с преобразованием Фурье последовательности . Преобразование Фурье от hч(n) равно , и если r > 1, то преобразование Фурье от равно . Отметим, что, строго говоря, преобразование Фурье от не существует при r = 1. Теперь, используя теорему о комплексной свертке, получим

 (3.75 а)

или

(3.75 б)

В (3.75а ) и (3.75 б) контур С должен быть единичной окружностью, если предполагается, что известно только . Эти соотношения особенно удобны тогда, когда можно представить рациональной функцией от , так как тогда интеграл можно легко вычислить с помощью вычетов.

Пример: Предположим, что нам дано . Найдем Н(z) из (3.75). Сначала запишем как рациональную функцию от :

Тогда, подставляя это выражение в (3.75 б), получим

где С -- единичная окружность. Переписывай это соотношение так, чтобы показать полюсы подынтегрального выражения, получим

Полюсы подынтегрального выражения изображены на Рис. 3.26, откуда видно, что только полюсы при и лежат внутри единичной окружности. Следовательно, используя теорему о вычетах, получим

Рис. 3.26. Расположение полюсов в примере вычисления z-преобразования с использованием контурного интегрирования

Рис. 3.27. Интерпретация преобразования Гильберта как периодической свертки

Полученное выражение было выведено в предположении, что |z|>1, однако мы замечаем, что область аналитичности определяется соотношением |я|>а. Таким образом, мы получили z-преобразование непосредственно по его действительной части на единичной окружности.

Соотношения (3.75 а) и (3.75 б) дают выражения для определения H(z) вне единичного круга по его действительной части на единичной окружности. Однако полезно также записать это выражение в виде обыкновенного интеграла. Пусть в (3.75а) . Тогда

 (3.76)

где

(3.77 а)

и

(3.77 б)

Функции и часто называются ядром Пуассона и сопряженным ядром Пуассона соответственно . Выделяя действительную и мнимую части в (3.76), получим

(3.78)

и

(3.79)

Таким образом, мы вывели соотношения для действительной и мнимой частей z-преобразования вне единичного круга через действительную часть этого преобразования на единичной окружности. С помощью аналогичных преобразований, начиная с (3.74), получим следующие представления в виде контурных интегралов:

(3.80 а)

или

(3.80 б)

где контуром С снова является единичная окружность. Преобразуя (3.80 а) в обыкновенные интегралы и выделяя действительную и мнимую части, получим

(3.81)

и

(3.82)

где и определяются (3.77а) и (3.77 б).

Чтобы получить непосредственную связь между действительной и мнимой частями на единичной окружности, необходимо перейти к пределу при r, стремящемуся к единице в (3.79) и (3.81). Это возможно только в том случае, когда сначала выполнено интегрирование. Однако, если попытаться получить соотношение для через, изменив порядок интегрирования и перехода к пределу, столкнемся с несобственным интегралом, так как, а функция имеет сингулярность в точке . Желаемое соотношение можно получить, если позаботиться о вычислении несобственного интеграла в окружности сингулярных точек подынтегральной функции. Формально это можно сделать, интерпретируя интегралы как главные значения в смысле Коши. Тогда (3.79) становится равным

(3.83)

а (3.81) принимает вид

(3.84)

где символ Р обозначает главное значение в смысле Коши. Величина главного значения в смысле Коши, например, для (3.83) дастся соотношением (3.85)

(3.85)

Мы видим, что получается из периодической сверткой с , причем особое внимание уделяется вычислению в окрестности сингулярности при . Аналогично (3.84) включает периодическую свертку с .

Две функции, входящие в интеграл свертки (3.83) [или, что тоже, (3.85)], изображены на Рис. 3.27. Существование предела в (3.85) объясняется антисимметричностью функции относительно точки и тем, что разрыв симметрично расположен относительно сингулярности.

Вычисление интегралов в предыдущих выражениях еще более усложняется, если H(z) имеет полюсы на единичной окружности. Мы предполагали, что единичная окружность целиком входит в область сходимости H(z) и, следовательно, H(z) не имеет полюсов 'на единичной окружности. К полюсам на единичной окружности можно приспособиться, вводя импульсы в преобразование Фурье или применяя контур «с зазубринами» при контурном интегрировании. Однако математическое обоснование этих процедур уведет нас далеко в сторону, и поэтому мы не будем больше обсуждать этот вопрос.

2. Условие минимальности фазы

В предыдущем разделе z-преобразование физически реализуемой последовательности было восстановлено по его действительной или мнимой части на единичной окружности. В этом разделе будут рассмотрены условия, при которых можно восстановить z-преобразование по его амплитуде или фазе на единичной окружности. Эти условия важны во многих теоретических и практических ситуациях. Например, цифровые фильтры часто определяются своей амплитудно-частотной характеристикой. В этих случаях фазовая характеристика не может быть выбрана произвольно, если мы хотим получить устойчивую и физически реализуемую систему. Результаты этого параграфа также очень важны для теории гомоморфных систем. Еще один пример характерен для инверсной фильтрации, когда необходимо получить подходящую фазовую кривую при данной автокорреляционной функции (что эквивалентно квадрату амплитуды преобразования Фурье) .

Предположим, что H(z) представлено в полярной форме (амплитудой и фазой) . Рассмотрим комплексный логарифм от H(z). определяемый выражением

(3.86)

Если трактовать как z-преобразование последовательности , то из результатов предыдущего параграфа следует, что и будут преобразованиями Гильберта друг от друга тогда и только тогда, когда является действительной и физически реализуемой последовательностью. При рассмотрении этого вопроса нужно позаботиться об интерпретации (3.86). В частности, логарифм расходится в нуле и является неопределенной величиной, так как, не изменяя значения , к его фазе можно прибавить любое число, кратное . Так как мы хотим трактовать как z-преобразование действительной физически реализуемой и устойчивой последовательности, необходимо, чтобы область сходимости включала единичную окружность и, следовательно, функция -- аналитической в области, включающей единичную окружность. Тогда в этой области должна представляться сходящимся степенным рядом , где . Так как бесконечно как в полюсах, так и в нулях , мы потребуем, чтобы в области сходимости не было полюсов и нулей . Хотя в общем случае не однозначная величина, эта неопределенность разрешается тем фактом, что из аналитичности следует, что действительная и мнимая части должны быть непрерывными функциями от z и, следовательно, если аналитична, то мы должны определить в (3.86) как непрерывную функцию. Кроме того, будем требовать, чтобы для действительной последовательности h(n) было бы z-преобразованием также действительной последовательности. Поэтому будет определяться так, что при и это -- нечетная непрерывная функция .

Рассмотрим теперь действительную устойчивую последовательность , z-преобразованием которой является . Из предыдущего раздела ясно, что если физически реализуема, то , а следовательно, и могут быть восстановлены по или . Этому равноценно утверждение, что если действительна, устойчива и физически реализуема, то можно применить (3.83) и (3.84) для того, чтобы определить соотношение между логарифмом модуля и фазой следующим образом:

(3.87)

(3.88)

Отметим, что без знания определяется через только с точностью до постоянного множителя.

Требование, чтобы и были бы парой преобразования Гильберта, часто называется условием минимальности фазы. Это соответствует требованию, чтобы последовательность была физически реализуемой. Тогда, как должна быть аналитической функцией в области , где , т. е. должна быть аналитической всюду вне единичного круга. Таким образом, не может иметь сингулярностей вне единичного круга. Так как , это сводится к требованию, чтобы не имело полюсов или нулей вне единичного круга. Это требование к можно рассматривать как другое выражение условия минимальности фазы. Эквивалентным условием является то, что существует физически реализуемая и устойчивая обратная система с передаточной функцией: . Так как , то ясно, что должна иметь свои полюсы и нули внутри единичного круга для того, чтобы существовала устойчивая и физически реализуемая обратная система.

В дальнейшем под минимально-фазовой системой будем понимать систему, частотная характеристика которой имеет минимальную фазу, т. е. логарифм модуля и фаза являются парой преобразования Гильберта. Аналогично минимально-фазовая последовательность -- это последовательность, преобразование Фурье которой имеет минимальную фазу. Следует подчеркнуть, что система (последовательность) может быть физически реализуемой, но не минимально-фазовой. Однако все устойчивые минимально-фазовые системы (последовательности) физически реализуемы. Чтобы проследить связь между физической реализуемостью и расположением полюсов и нулей , поучительно рассмотреть средства нахождения . В частности, известно, что является z-преобразованием от . Но

(3.89)

Если -- рациональная функция от z, то не является рациональной функцией, но ее производная является таковой. Следовательно, она может характеризоваться полюсами и нулями. Если представить H(z) как отношение полиномов, то

Таким образом, видно, что полюсы производной являются корнями , т. е. полюсами и нулями . Так как мы считаем, что единичная окружность находится в области сходимости, то , или, что то же самое, будут физически реализуемы тогда и только тогда, когда полюсы и нули находятся внутри единичного круга*.

Свойства последовательности будут важны. Здесь же мы сосредоточили внимание на свойствах минимально-фазовых последовательностей.

Минимально-фазовая последовательность обладает тем свойством, что все полюсы и нули ее z-преобразования лежат внутри единичного круга. В общем случае устойчивая физически реализуемая система имеет полюсы внутри единичного круга, но ее нули не обязательно должны лежать внутри единичного круга. Покажем, что любая система может быть представлена как каскадное соединение минимально-фазовой системы с всепропускающей системой, которая определяется как система, у которой амплитуда передаточной функции равна единице для всех частот. Таким образом, если обозначить через -- преобразование всепропускающей системы, то для всех.

Передаточная функция простой всепропускающей системы первого порядка имеет вид

(3.90)

Можно показать, что , даваемое выражением (3.90) имеет единичную амплитуду. При соответствующее расположение нулей и полюсов показано на Рис. 3.28. В более общем случае передаточные функции всепропускающих систем представляют собой произведение сомножителей вида и, следовательно, обладают тем свойством, что их полюсы и нули появляются в обратно сопряженном расположении.

Рис. 3.28. Расположение полюса и нуля для всепропускающей системы первого порядка

Рассмотрим не минимально фазовую систему , которая имеет, например, один нуль вне единичного круга в при , а остальные полюсы и нули -- внутри единичного круга. Тогда можно представить в виде

(3.91)

где имеет минимальную фазу, Можно представить (3.91) в виде

Так как , то сомножитель имеет минимальную фазу, а сомножитель соответствует всепропускающей системе. Член отличается от , тем, что нуль , который был вне единичного круга в точке , отражается внутрь единичного круга при функции . Ясно, что этот пример можно обобщить так, чтобы включить общие не минимально фазовые системы с рациональными передаточными функциями. Следовательно, ложно сделать заключение, что рациональная передаточная функция , соответствующая физически реализуемой системе, может быть представлена в виде

(3.92)

где имеет минимальную фазу, а соответствует всепропускающей системе. Любой полюс или нуль функции , который лежит внутри единичного круга, появляется также и в . Любой полюс или нуль , который находится вне единичного круга, появляется в в сопряженно-обратном расположении, т. е. симметрично относительно единичной окружности. Таким образом, можно сформировать минимально-фазовую систему из не минимально-фазовой системы, оставляя той же самой амплитуду частотной характеристики путем отражения внутрь единичного круга тех нулей, которые были вне единичного круга. Обратно, имея передаточную функцию минимально-фазовой системы, можно получить неминимально-фазовую систему путем отражения нулей в область, находящуюся вне единичного круга. Например, в случае последовательностей конечной длины z-преобразование является просто полиномом от z-1 и H(z) имеет полюсы только при z, равном 0. Для последовательности длиной М H(z) имеет М - 1 нулей. Для заданной частотной характеристики можно получить 2M-1 различных фазовых кривых путем простого отражения нулей относительно единичной окружности.

Пример: Рассмотрим минимально-фазовую импульсную характеристику конечной длины N=5. Импульсная характеристика такой системы изображена на Рис. 3.29 а. Передаточная функция, соответствующая этой импульсной характеристике, равна

(3.93)

где r = 0.55, а . Амплитудно- и фазочастотные характеристики показаны на Рис. 3.29 и, г соответственно.

Рис. 3.29. Минимально-фазовая система

а) импульсная характеристика; б) диаграмма полюсов и нулей в z-плоскости; в) г)

В соответствии с предыдущим обсуждением можно получить новую систему с той же самой амплитудно-частотной характеристикой, умножая на подходящую передаточную функцию всепропускающей системы, как в (3.92). В этом случае можно отразить одну пару комплексно-сопряженных нулей, используя систему

(3.94)

Таким образом,

(3.95)

Отмечаем, что четыре нуля функции симметричны в указанном смысле, что является характерным свойством линейно-фазовых систем. Действительно, импульсная характеристика h(n), соответствующая , как видно из Рис. 3.30 а,

Рис. 3.30. Линейно-фазовая система

а) импульсная характеристика; б) диаграмма полюсов и нулей в z-плоскости; в) г) симметрична относительно точки n=2, что соответствует линейной фазовой характеристике с наклоном, отвечающим задержке на две выборки. Как видно из сравнения Рис. 3.29 в и Рис. 3.30 в, равно , однако импульсные характеристики и фазовые характеристики, соответствующие и , существенно различны.

На Рис. 3.31 показаны расположение нулей и полюсов на z-плоскости (а) и (б) для всепропускающей системы. Модуль равен единице для всех значений . Мы опять изобразили по модулю для удобства. Однако из Рис. 3.31 б ясно, что если бы фаза вычислялась как непрерывная функция , то был бы всегда отрицательным. Если эту фазовую кривую прибавить к фазе минимально-фазовой системы (Рис. 3.29 г), то получится линейная фазовая характеристика, изображенная на Рис. 3.30 г.

Этот простой пример иллюстрирует ряд важных свойств минимально-фазовых систем. Во-первых, сравнение фазовых кривых Рис. 3.29г и Рис. 3.30г поясняет смысл термина «минимальная фаза». Как было сказано выше, если рассматривать множество физически реализуемых действительных и устойчивых последовательностей, имеющих одну и ту же амплитудно-частотную характеристику, то z-преобразования всех этих последовательностей могут быть представлены в виде произведения минимально-фазового z-преобразования и функции, соответствующей всепропускаюшей системе [см. (3.92)]. Как видно из приведенного примера, функция, соответствующая всепропускающей системе, имеет отрицательную фазу при , и, следовательно, отражение нуля минимально-фазовой функции в область вне единичного круга алгебраически уменьшает фазу, т. е. делает более отрицательным так называемое фазовое запаздывание. Поэтому более точным термином было бы минимальное фазовое запаздывание. Однако общепринятым является термин «минимальная фаза».

Рис. 3.31. Всепропускающая система, с помощью которой из системы Рис. 3.29 можно получить систему Рис. 3.30

а) диаграмма полюсов и нулей; б) .

В случае последовательности конечной длины имеет место ситуация, при которой все нули находятся вне единичного круга. Ясно, что если все нули отражаются в область вне единичного круга, то такая система имеет максимально возможное фазовое запаздывание и поэтому такие системы ( последовательности) называются максимально-фазовыми. Можно показать, что максимально-фазовая система имеет передаточную функцию

(3.96)

Отсюда следует, что

(3.97)

Отметим, что в предыдущем примере максимально-фазовая система получится, если умножить , определяемое выражением (3.95), на , определяемое (3.94).

Последнее свойство минимально-фазовых последовательностей вытекает из сравнения импульсной характеристики минимально-фазовой системы Рис. 3.29 с импульсной характеристикой линейно-фазовой системы Рис. 3.30 а. Отметим, что полная энергия обеих последовательностей одинакова, так как модуль их преобразования Фурье одинаков (по теореме Парсеваля). Однако представляется, что энергия сконцентрирована около точки n = 0, тогда как энергия h(n) сконцентрирована около точки n = 2. Это свойство можно формализовать, рассматривая часть энергии, даваемую первыми m+1 выборками последовательности, т. е.

(3.98)

Эта величина изображена на Рис. 3.32 для и h(n) предыдущего примера. Мы видим, что

(3.99)

Можно показать, что (3.99) выполняется в общем случае для всех последовательностей, имеющих один и тот же модуль преобразования Фурье. Можно трактовать (3.99) следующим образом: из всех последовательностей, имеющих один и тот же модуль преобразования Фурье, имеет наименьшую задержку. Поэтому минимально-фазовые последовательности иногда называются минимально-задержанными последовательностями. Аналогично, максимально-фазовые последовательности называются максимально-задержанными последовательностями.

Рис. 3.32. Концентрация энергии для двух импульсных характеристик, имеющих преобразования Фурье с одинаковыми модулями

3. Преобразование Гильберта для ДПФ

Как уже было видно, периодические последовательности и последовательности конечной длины представляются дискретным преобразованием Фурье. Результаты предыдущих разделов не могут быть применены непосредственно к дискретному преобразованию Фурье. Однако при соответствующем определении физической реализуемости можно установить соотношения между действительной и мнимой частями дискретного преобразования Фурье так.

Чтобы вывести эти соотношения, рассмотрим периодическую последовательность с периодом N. Напомним, что хотя речь идет о периодических последовательностях, наши рассуждения применимы к последовательностям конечной длины, если мы будем интерпретировать все индексы по модулю N. В самом деле, хотя наш вывод будет касаться свойств дискретных рядов Фурье (ДРФ), мы увидим, что результаты непосредственно применимы к представлению конечных последовательностей дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Последовательность может быть представлена в виде суммы четной и нечетной последовательностей

(3.100)

где

(3.101 а)

и

(3.101 б)

В дальнейшем будем предполагать, что N -- четное число. Для нечетных N можно вывести аналогичные результаты.

Периодическая последовательность не может быть, конечно, физически реализуемой. Мы будем, однако, называть «физически реализуемой» периодическую последовательность, у которой при , т. е. равна нулю во второй половине периода.

Рис. 3.33. Четная и нечетная части периодической действительной «физически реализуемой» последовательности

Предположим, что N четно. Отметим, что в силу периодичности , при. Для последовательностей конечной длины это означает, что хотя длина последовательности считается равной N, в действительности вторая половина ее точек равна пулю. На Рис. 3.33 показаны пример реализуемой периодической последовательности и ее четная и нечетная части при N = 8. Так как равно нулю во второй половине каждого периода, равно нулю в первой части каждого периода, и, следовательно, за исключением и , ненулевые части и не перекрываются. В связи с этим для «реализуемых» периодических последовательностей имеем

и

Если определить как периодическую последовательность вида

то для четных N можно представить в виде

(3.102)

И

(3.103)

Отметим, что может быть полностью восстановлена по . С другой стороны, будет всегда равно нулю при и и, следовательно, может быть восстановлена по только при и .

Для действительной периодической последовательности периода N с дискретным рядом Фурье действительная часть , является ДРФ от , а ДРФ от . Поэтому важным следствием соотношений (3.102) и (3.103) является то, что для физически реализуемых (в вышеупомянутом смысле) периодических последовательностей (и последовательностей конечной длины) функция может быть полностью восстановлена по своей действительной части или (почти полностью) по мнимой части. Аналогично может быть восстановлена по , а --по. Дискретный ряд Фурье последовательности имеет вид

(3.104)

Из (3.102) замечаем, что ДРФ является круговой сверткой с . Поэтому.

где

Приравнивая действительные и мнимые части, получим

(3.105 а)

Аналогично, исходя из (3.103), можно показать, что

(3.105 б)

Выражения (3.105а) и (3.1056) являются круговыми свертками и могут быть вычислены с использованием ДРФ. Например, для вычисления (3.105а) сначала нужно вычислить обратный ДРФ от , который равен , а затем, умножая на к вычисляя ДРФ, получим .Так, последовательность конечной длины считалась одним периодом периодической последовательности , т. е. , где

С другой стороны, мы получим периодическую последовательность , интерпретируя индекс n по модулю N. Для этой цели мы ввели обозначение . Эти обозначения также применялись для того, чтобы связать ДРФ с ДПФ . Используя эти обозначения, можно записать (3.105 а) в виде

(3.106 а)

а (3.105 б) в виде

(3.105 б)

где

Аналогичные определения можно, конечно, ввести для последовательности и ее ДПФ .

При обсуждении вопросов достаточности действительной части для восстановления z-преобразования установлена связь между логарифмом модуля и фазой для минимально-фазовой последовательности. В общем случае невозможно установить аналогичное соотношение между логарифмом модуля и фазой ДПФ. Это объясняется, тем, что предыдущие рассуждения применяются к последовательностям конечной длины, для которых z-преобразование имеет только нули. Однако логарифм от имеет особые точки как в полюсах, так и в нулях , и поэтому его обратное z-преобразование имеет бесконечную длину. Следовательно, обратное преобразование от логарифма этого преобразования не может в общем случае представляться дискретным преобразованием Фурье.

Конечно, возможно смоделировать фазовую функцию по логарифму модуля ДПФ с помощью вышеизложенного процесса, т. е. вычислить обратное ДПФ от , умножить на и вычислить ДПФ результирующей последовательности. Действительная часть результата будет равна , а мнимая часть будет аппроксимацией к минимальной фазе.

Чтобы понять этот процесс, предположим, что является z-преобразованием последовательности конечной длины h(n). Если не имеет нулей вне единичного круга, то можно вычислить зная только . Кроме того, соответствует физически реализуемой последовательности , которая в общем случае может иметь бесконечную длину. Дискретное преобразование Фурье от равно, , где N не меньше длины последовательности . Дискретное преобразование Фурье соответствует последовательности . Ясно, что чем большим будет N, тем лучше будет результат. Вычисление ДПФ для того, чтобы получить для действительной части и аппроксимацию минимальной фазы, дает очень полезные результаты в некоторых практических ситуациях.

4. Преобразование гильберта для комплексных последовательностей

Рассмотрим комплексные последовательности, у которых действительная и мнимая части связаны соотношениями, похожими на преобразование Гильберта. Эти соотношения особенно полезны при представлении узкополосных сигналов в комплексном виде, причем это будет сделано точно так же, как вводится «аналитический сигнал» в теории аналоговых сигналов .

Как и в предыдущих рассуждениях, можно основывать вывод этих соотношений на понятии физической реализуемости. Так как нас интересует связь между действительной и мнимой частями комплексной последовательности, то понятие «физической реализуемости» будет применено к преобразованию Фурье этой последовательности. Мы не можем, конечно, требовать, чтобы преобразование Фурье было равно нулю при , так как оно является периодической функцией. Однако будем считать, что «физическая реализуемость» в этом контексте означает то, что преобразование Фурье равно нулю в нижней половине () единичной окружности. Таким образом, обозначая через последовательность, а через -- ее преобразование Фурье, потребуем, чтобы

(3.107)

Ясно, что последовательность , соответствующая , должна быть комплексной, так как для того, чтобы , была действительной, требуется выполнение равенства. Поэтому запишем в виде

(3.108)

где и -- действительные последовательности.

В теории аналоговых сигналов похожий сигнал является аналитической функцией и поэтому называется аналитическим сигналом. Мы будем применять такую же терминологию к комплексным последовательностям, подобным . Хотя аналитичность не имеет смысла для последовательностей, заметим, что любой последовательности соответствует аналоговый сигнал с ограниченным спектром, когда. Поэтому, если

то тогда сигнал является аналитической функцией t. В этом смысле последовательность действительно соответствует аналитическому сигналу.

Обозначая через и преобразования Фурье действительных последовательностей и , легко показать, что

(3.109 а)

и

(3.109 б)

Комплексные преобразования и играют роль, аналогичную той, которую играли в предыдущих разделах действительная и мнимая части физически реализуемых последовательностей. Однако отметим, что является не четной, а четно-сопряженной функцией, т. е. . Аналогично является нечетно-сопряженной, т. е. .

Если функция равна нулю при, то ненулевые части и не будут перекрываться. Поэтому может быть восстановлена по. Отметим, что, так как предполагается равной нулю при , то может быть полностью восстановлена по . Это несколько отличается от двух предыдущих ситуаций, в которых физически реализуемая функция могла быть восстановлена по нечетной части во всех точках, за исключением тех, которые расположены на краях интервала. В частности,

и

С другой стороны, можно связать непосредственно и т.е.

 (3.110)

или

(3.111)

и

(3.112)

Итак, пусть является преобразованием Фурье от -- мнимой части , а -- преобразование Фурье от -- действительной части . Согласно (3.111) может быть получено из путем пропускания через дискретную систему с частотной характеристикой , определяемой (3.112). Эта частотная характеристика имеет единичную амплитуду и фазовый угол, равный для и для . Такая система часто называется фазовращателем на 90° или преобразователем Гильберта. Из (3.111) следует, что

(3.113)

Поэтому -- может быть также получено из с помощью фазовращателя на 90°.

Импульсная характеристика фазовращателя, соответствующая частотной характеристике , определяемой (3.112), имеет вид

 (3.744)

Нормированная импульсная характеристика изображена на Рис. 3.34. Используя (3.111) и (3.113), получим

(3.115)

и

(3.116)

Выражения (3.115) и (3.116) являются требуемыми соотношениями преобразования Гильберта между действительной и мнимой частями дискретного аналитического сигнала.

Рис. 3.34. Нормированная импульсная характеристика идеального гильбертова преобразователя или 90-градусной фазосдвигающей цепи

Другим представлением является представление через амплитуду и фазу, т.е.

 (3.117)

где

(3.118 а)

и

(3.118 б)

Последовательность амплитуд часто называется огибающей последовательности . Понятие минимальной фазы, имеет аналог в теории аналитических сигналов. Развитие этого понятия приводит к довольно сложной математике и, так как нам оно не понадобится, обсуждать его не будем.

5. Синтез Гильбертовых преобразователей

Из (3.114) видно, что z-преобразование от сходится только на единичной окружности. Действительно, из-за наличия разрыва в мнимой части ряд сходится к (3.112) только в среднеквадратическом. Поэтому идеальный гильбертов преобразователь или фазовращатель на 90°, как и идеальный фильтр нижних частот, а также идеальный полосовой дифференциатор, является теоретическим понятием, соответствующим физически нереализуемой системе, у которой передаточная функция существует только в ограниченном смысле.

Конечно, можно получить аппроксимации идеального гильбертова преобразователя. В случае аппроксимаций конечной длительности может быть применена стандартная техника взвешивания, частотной выборки и аппроксимации с равными пульсациями идеальной характеристики (3.112).

На рис. 7.На показан пример гильбертова преобразователя, синтезированного посредством взвешивания выражения (3.114)

функцией окна Блэкмена при N=27. Амплитудно-частотная характеристика показана для . Фаза равна --90° при и +90° при . Вдобавок имеется линейный фазовый сдвиг, соответствующий задержке на 13 выборок.

Рис. 3.35. КИХ-аппроксимация гильбертова преобразователя

а) N = 27, с использованием окна Блэкмена; б) N =27, аппроксимация с равными амплитудными пульсациями. В обоих случаях фазовые ошибки отсутствуют

На Рис. 3.356 показана аппроксимация с равными пульсациями для N = 27. Этот фильтр был синтезирован так, чтобы пульсации были одинаковыми в диапазоне. Фазовая характеристика такая же, как и в предыдущем примере.

Для систем, которые допускают рекурсивную реализацию, можно воспользоваться результатами работ по синтезу аналоговых фазорасщепителей. Эти аналоговые системы имеют вид пары всепропускающих фильтров, фазовые характеристики которых отличаются друг от друга постоянным фазовым сдвигом на 900.



Рис. 3.36. Представление 90-градусной фазорасщепляющей системы

Используя метод билинейного преобразования, можно получить соответствующую пару 'дискретных всепропускающих систем с теми же свойствами. Системы, аналогичные изображенным на Рис. 3.36, не дают на выходе преобразования Гильберта входного сигнала, но их два выходных сигнала связаны между собой преобразованием Гильберта. Поэтому если обозначить через входной сигнал, а через -- его преобразование Гильберта, то последовательность имеет z-преобразование, равное нулю в нижней половине единичной окружности, а в верхней половине отличается от преобразования сигнала только по фазе, но не по амплитуде.

6. Представление узкополосных сигналов

Многие применения аналитических сигналов связаны с узкополосными связными сигналами. В этих применениях иногда удобно представить высокочастотный сигнал через низкочастотный. Чтобы увидеть, как это можно сделать, рассмотрим комплексный низкочастотный сигнал , где является преобразованием Гильберта от и ,



Рис. 3.37. Преобразования Фурье для представления узкополосных сигналов (сплошные линии обозначают действительные части, а штриховые -- мнимые части

На рис. б) и е) изображены функции и , где и -- преобразования Фурье от преобразований Гильберта и соответственно)

. Преобразования Фурье и изображены на рис. 7.1З а и б соответственно, а результирующее преобразование показано на Рис. 3.37 в. Рассмотрим последовательность

(3.119)

где и -- действительные последовательности. Соответствующее преобразование Фурье равно

(3.120)

и изображено на Рис. 3.37 г. Преобразования Фурье и показаны на Рис. 3.37 д. е. Ясно, что для узкополосных сигналов является преобразованием Гильберта от . Так как можно представить в виде как в (3.117), то можно записать как

(3.121 а)

(3.121 б)

Таким образом,

(3.122 а, б)

и

(3.123 а, б)

Выражения (3.122 а) и (3.123 а) являются требуемыми представлениями узкополосных сигналов через низкочастотные. Отметим, что (3.122 б) и (3.123 б) имеют вид синусоид, модулированных как по амплитуде, так и по фазе.

Примерами использования этих соотношений являются представления узкополосных фильтров и модулированных сигналов. Другой важной областью применения аналитических сигналов является теория дискретизации высокочастотных сигналов. Известно, что если имеется аналоговый сигнал с преобразованием Фурье, которое равно нулю при , то для того, чтобы по выборкам можно было бы восстановить сигнал, нужно брать эти выборки со скоростью, большей выборок в секунду. Аналогично если имеется действительная последовательность , преобразование Фурье которой равно нулю при , то темп выборок можно уменьшить, отбрасывая часть выборок. Например, если , то первоначальная частота выборок вдвое больше необходимой и каждую вторую выборку можно исключить. В более общем случае число выборок в секунду можно сократить в раз.

Теперь рассмотрим действительный узкополосный сигнал , изображенный на Рис. 3.37 д. Так как сигнал -- действительная функция, то преобразование Фурье должно быть, конечно, сопряженно-симметричным. При определении минимального типа выборок шириной спектра следует считать величину , т. е. в этом случае, хотя реальная полоса равна , темп выборок можно уменьшить только в раз. Рассмотрим, однако, аналитический сигнал с преобразованием Фурье , изображенным на Рис. 3.37 г. Так как равно нулю всюду, за исключением области , то можно уменьшить темп выборок в раз. Это видно из того что комплексный аналитический сигнал равен

(3.124)

как видно из Рис. 3.37 в. Этот сигнал может быть представлен выборками, следующими со скоростью, в раз меньшей первоначальной. Дальнейшее рассмотрение показывает, что в действительности нет необходимости выделять модуляцию в (3.124) перед уменьшением скорости выборок.

Литература

1. Бокс Дж., Дженкинс Г. (1974) Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 1, 2.

2. Крыштановский А.О. Методы анализа временных рядов // Мониторинг общественного мнения: экономические и социальные перемены. 2000. № 2 (46). С. 44-51. [Статья].

3. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. Издательство: Питер, 2006 г.