Введение

В радиотехнике широкое применение находят всевозможные колебательные контура. Основное назначение радиотехнических колебательных цепей - получение с их помощью частотной избирательности, т.е. выделения полезного сигнала и подавления всех остальных сигналов и помех. Ввиду того что с помощью одиночного колебательного контура нельзя получить высокую избирательность при широкой полосе пропускания, используют связанные контуры. В радиотехнике такие контуры применяются в основном как фильтры промежуточной частоты (ФПЧ).

Основные понятия

Два контура называются связанными, если колебания, происходящие в одном из них, захватывают другой контур. Связь между контурами может осуществляться через электрическое поле (благодаря емкости) или через магнитное поле (благодаря взаимоиндуктивности или индуктивности). На рис. 1 показаны три разновидности связи двух колебательных контуров: а) трансформаторная, когда связь между контурами осуществляется благодаря взаимоиндуктивности между катушками L1 и L2; б) автотрансформаторная, когда связь между контурами осуществляется непосредственно через индуктивность связи L1,2; в) емкостная, когда связь между контурами осуществляется через емкость связи С3. Наиболее часто в радиотехнике применяется трансформаторная связь, поэтому все дальнейшие выкладки проведем для этого вида связи.

Рис. 1. Виды связи двух колебательных контуров

Предположим, что в первом контуре на рис.1, а протекает ток i₁, а второй контур разомкнут. Тогда отношение напряжения, индуцированного в катушке L2, к напряжению в катушке L1 выразится коэффициентом

который называется степенью связи. Аналогично, если предположить разомкнутым первый контур, а источник э.д.с. подключить ко второму контуру, то при протекании в нем тока i₂ получим



Коэффициент связи есть корень квадратный из произведения степеней связи

.

При трансформаторной связи

.

Если умножить числитель и знаменатель на , то получим общее выражение для коэффициента связи, пригодное и для других видов связи

где X_M - сопротивление связи.

Контур, эквивалентный связанным контурам. Вносимые сопротивления.

Рассмотрим систему двух колебательных контуров с трансформаторной связью, в которой к первому контуру подключен источник э.д.с. e(t), а r₁ и r₂ - выделенные для анализа сопротивления потерь в контурах.

б

Рис. Система двух колебательных контуров с трансформаторной связью (а) и ее эквивалентная схема (б)

Запишем для каждого контура уравнения Кирхгофа

Считая э.д.с. синусоидальной и режим в цепи установившимся, можно воспользоваться символическим методом анализа. Тогда ; и принимает вид

Обозначив реактивное сопротивление первого и второго контуров через X₁ и X₂, (5) можно записать так:

Найдем из второго уравнения

Обозначив М = X_СВ (сопротивление связи), можно переписать так:

Подставив значение из (7) в первое уравнение системы

Освободившись от мнимости в знаменателе, получим

или

так как .

Поделив в полученном выражении приложенную э.д.с. на ток запишем выражение для эквивалентного входного сопротивления системы двух связанных колебательных контуров

Модуль сопротивления Z_1Э равен

Анализ показывает, что в результате связи первого контура со вторым в первый контур как бы вносятся два сопротивления: активное

и реактивное

Таким образом, систему двух связанных колебательных контуров можно заменить одним эквивалентным контуром (рис. 2, б), в который вносится сопротивление

Суммарное активное сопротивление R_1э = r₁+ R_вн всегда положительное, а знак суммарного реактивного сопротивления Х_1э=Х₁+Х_вн определяется настройкой каждого из контуров в отдельности (знаки X₁ и Х₂ и, следовательно, Х_вн зависят от частоты, на которую настроен каждый контур).

Резонансные характеристики системы двух связанных контуров.

Под амплитудно-частотными резонансными характеристиками системы двух связанных контуров будем подразумевать зависимость амплитуд токов первого и второго контуров от частоты. Считая, что оба контура настроены на одну и ту же частоту ₀ выделим модули тока первого и второго контуров при наличии связи между ними.

Если записать в символической форме

и то

)

Где

Модуль есть

На основании, с учетом того что и имеем

где

и .

Запишем Модуль с учетом

Выражения и представляют собой уравнения резонансных характеристик для I₁ и I₂ соответственно в неявной относительно частоты форме. Таким образом, если построить зависимости модулей I₁ и I₂ от частоты, то это и будут амплитудно-частотные резонансные характеристики. При построении их будем исходить из двух случаев связи между контурами; слабой и сильной. Сначала займемся построением I₁(?). Как видно из (12), частотную зависимость I₁ определяет частотная зависимость Z_1э, поскольку э. д. с. источника Е от частоты не зависит. Таким образом, построение сводится сначала к построению зависимости Z_1э, а затем -- зависимости I₁ как частного от деления Е на Z_1э.

Выразив модуль Z_1эчерез компоненты

построим попарно зависимости r₁ и r_вн , Х₁ и Х_вн от частоты, а Z_1э найдем графически, как геометрическую сумму r₁+ R_вн и Х₁+ Х_вн. I₁). Построение проводим при небольших расстройках относительно резонансной частоты. Получаемые зависимости при слабой связи между контурами имеют вид, показанный на рис. .

Рис. Частотные зависимости входного сопротивления, его составляющих и тока I₁ системы двух связанных контуров при слабой связи между ними

Очевидно, имеется граничная связь, превышение которой ведет к двугорбости амплитудно-частотной резонансной характеристики тока первичного контура. Такая связь называется первичной критической связью, а соответствующий ей коэффициент связи -- первичным критическим коэффициентом связи (k_кр1). Амплитудно-частотную резонансную характеристику вторичного тока строим на основании полученных характеристик первичного тока. Для того чтобы можно было сравнивать амплитудно-частотные резонансные характеристики первичного и вторичного токов, их надо строить на одном рисунке по отношению к резонансным значениям

Z₂, т.е. и. .

Таким образом, для построения амплитудно-частотных характеристик вторичного тока достаточно перемножить координаты кривых I₁ () / I_1p и r₂ /Z₂ ()

Рис. Амплитудно-частотные характеристики вторичного тока системы двух связанных контуров при слабой (а) и сильной (б) связях между ними

Для того чтобы найти условия возникновения частот связи и определить их значения, (11) и (13) нужно представить в явной относительно частоты форме и исследовать на экстремум, т. е. установить, при каких относительных настройках () вторичный ток будет максимальным и минимальным. Чтобы получить выражения для I₁ и I₂ в явной относительно частоты форме, перепишем (11), подставив вместо Z_1э его значение из

Считая, что контуры настроены в резонанс вынесем за скобки в знаменателе L и, подставив на основании получим

где

,

.

Модуль тока равен

Подставив в вместо М. его значение из (2) и домножив числитель и знаменатель на w₀ L₂ , найдем.

где

.

Выражения и -- идентичны. Взяв модуль и подставив значение модуля I₁ из, получим

Если частота питающего генератора равна резонансной частоте контуров упрощается

В относительных единицах выражение, описывающее резонансную кривую для тока I?₂, имеет вид

Выражения и соответствуют и и описывают амплитудно-резонансные характеристики токов I₁ и I₂ в явной относительно частоты (расстройки ) форме.

Исследуем на экстремум, для чего продифференцируем по и приравняем производную нулю, т.е. dI ₂ /d = 0. В результате получим . Данное уравнение имеет три корня:

При d₁ = d₂ получаем

Если первый корень (₁) действителен при любых соотношениях между k и d, то второй и третий корни имеют смысл только при k > d. При k<d подкоренное выражение будет мнимым и физического смысла не имеет. В этом случае физический смысл имеет только первый корень, что говорит об одногорбости резонансной характеристики для I₂. При k > d физический смысл имеют все три корня, что говорит о двугорбом характере резонансной характеристики для тока I₂. Очевидно, вторичный критический коэффициент связи, лежащий на границе перехода от одногорбой кривой к двугорбой, на основании (21) получается тогда, когда корни обращаются в нуль:

При d₁ = d₂ имеем:

k _кр2 = d

Чтобы получить выражения для частот связи при k > k_кр2, в надо подставить значение

Именно на частотах w₀₁ и w₀₂ выполняется условие резонанса, благодаря чему ток /а достигает максимума.

Полоса пропускания системы двух связанных контуров.

Самой широкой полосой пропускания системы двух связанных контуров будет такая, в пределах которой провал амплитудно-частотной резонансной характеристики системы лежит на уровне 1/ от максимального значения; при этом =2/₀ 3.1d а коэффициент связи, обеспечивающий данную полосу, k=2.41d. Как видно, при этом полоса пропускания системы двух связанных контуров в три раза шире полосы пропускания одиночного колебательного контура. При критической связи (k = k_кр= d), обеспечивающей наибольшее приближение резонансной характеристики в пределах полосы пропускания к прямоугольнику, В= 1,41d.

Рис. Зависимость резонансной частоты системы двух колебательных контуров от коэффициента связи

Энергетические соотношения в связанных контурах

Рассмотрим, как распределяется мощность между связанными контурами в зависимости от степени их связи. При этом анализировать будем типичный для практики случаи, когда каждый из контуров в отдельности настроен в резонанс на частоту генератора ₀ (т. е. Х₁= 0, Х₂= 0) и лишь потом подбирается связь между ними. Так как обычно выходным является второй контур и с ним связаны последующие каскады приемного устройства, то задача состоит в передаче максимальной энергии во второй контур.

Для оценки эффективности передачи энергии во второй контур введем понятие к.п.д. системы двух связанных контуров как отношение мощности, выделяемой во втором контуре, к суммарной мощности в первом и втором контурах, т. е.



где и Подставив в) значения мощностей Р₁ и Р₂ получим Ток I₂ заменим его значением из при Х_?= 0, т.е. I_?=I_?X_св/r_?. Тогда

Из этого следует, что X_св/r_?=R_вн при Х_?=0. Таким образом,

Из курса электротехники известно, что максимальная мощность отдается в нагрузку тогда, когда внутреннее сопротивление генератора равно сопротивлению нагрузки. Для случая связанных контуров это равносильно равенству ^?r_?=R_вн с точки зрения передачи максимальной энергии во второй контур из первого. При этом, как видно из, ?=0.5, т. е. половина мощности теряется в первом контуре.

Настройка системы двух связанных контуров.

При желании передать во второй контур максимальную энергию, обеспечивающую и максимальны ток в нем, прибегают к настройке системы связанных контуров. Для того чтобы получить самый большой ток во втором контуре, необходимо выполнить два условия: с одной стороны, обеспечить равенство Х_1э=0, а с другой, -r_?=R_вн Первое условие может быть выполнено двумя способами:

1) настройкой системы (при наличии определенной связи между контурами) на частоту генератора изменением параметров только одного из контуров;

2) настройкой на частоту генератора сначала первого контура при разомкнутом втором, а затем подключением и настройкой второго контура при достаточно слабой связи между контурами, чтобы ослабить взаимное влияние.

Первый способ настройки называют методом частного резонанса, причем в зависимости от того, параметры первого или второго контура участвуют в настройке, достигается соответственно первый или второй частный резонанс. При частном резонансе хотя и получается максимум тока во втором контуре, но этот максимум не является самым большим, так как при обеспечении равенства Х_1э= 0 еще не выполняется условие r₁=R_вн которое достигается соответствующим подбором связи между контурами. Связь, обеспечивающую максимальную мощность (ток) во втором контуре, называют оптимальной. Подбор ее производится постепенно с последующей подстройкой контура после очередной установки связи, так как при каждом изменении связи нарушается условие Х_1э= 0 за счет изменения Х_вн. Если до изменения связи система была настроена в резонанс изменением параметров первого контура (первый частный резонанс), то после каждого очередного изменения связи необходимо подстраивать систему в резонанс изменением параметров первого контура, чтобы все время выполнялось условие Х_1э= Х_1э + Х_вн= 0.

Таким образом, при таком постепенном подборе связи с последующей подстройкой контуров может быть достигнута оптимальная связь, обеспечивающая самый большой максимум тока во втором контуре. Данный способ настройки носит название метода сложного резонанса. Проанализируем его математически.

Если обратиться к выражению для тока во втором контуре [см (14)], то при достижении, например, первого частного резонанса оно примет вид:



Далее положив, что при изменении связи (Хсв) условие Х_1э=0 все время поддерживается неизменным подстройкой параметров первого контура, найдем оптимальное сопротивление связи (Х_св.опт), обеспечивающее самый большой максимум тока во втором контуре (I_{2махмах}). Для этого необходимо взять производную токов I_2мах по

Х_св и приравнять ее нулю

откуда

,

или

, где .

Таким образом, подтверждено, что при оптимальной связи r₁=R_вн, причем

Подставив значение Х_св.опт в выражение для тока I_2mах, можно найти самый большой максимум тока во втором контуре

Однако на практике используют так называемый метод полного резонанса, при котором сначала достигается равенство Х_1э= 0 по описанному второму способу настройки, когда каждый контур системы настраивается в резонанс независимо от другого. Затем подбирается оптимальная связь между контурами по самому большому току во втором контуре (I_{2max max}). В случае полного резонанса при изменении связи между контурами подстройка их для выполнения условия Х_1э= Х₁-Х_cв²/Z₂=0 нужна, так как ввиду того что Х₁= Х₂=0, это условие выполняется при любой связи.

Обратимся в случае полного резонанса к выражению для тока во втором контуре и исследуем его на экстремум, т. е. определим оптимальную связь, обеспечивающую I_{2max max} , как это было сделано при сложном резонансе. С учетом того, что Х₁= Х₂=0, принимает вид

Взяв производную тока I_2max по Х_св

и приравняв ее к нулю, найдем

или

где

Таким образом, в случае полного резонанса также подтверждено, что при оптимальной связи r₁=R_вн, причем При подстановке этого значения в выражение для I_2max получаем Как видно из сравнения последнего выражения, значение самого большого тока во втором контуре при сложном и полном резонансах одинаковое, но в случае сложного резонанса оно достигается при большем значении Х_св.опт, т.е. при большей связи между контурами.

Прохождение радиоимпульса через двухконтурную связанную систему.

Для анализа возьмем импульс с прямоугольной огибающей. Частота заполнения не модулирована и равна ₀. Амплитуда импульса равна 1в, а ₀=0.

В качестве двухконтурной избирательной системы рассматривается полосовой усилитель схематически изображенный на рис. Контуры идентичны, резонансные частоты контуров _р1=_р2=_р=₀. Таким бразом, в данном случае = 0.

Рис.

Передаточная функция такого усилителя

где

Заменяя i на Р, получаем

Обратимся к определению сигнала на выходе системы. Сначала рассмотрим явления на фронте импульса. При этом задача сводится к включению гармонической э.д.с. в момент t = 0. Подставив в общее выражение спектральную плотность SA(p) по формуле и коэффициент передачи К1(p) по формуле, получим

Полюсы подынтегральной функции

Определяя вычеты, получим следующее окончательное выражение для комплексной огибающей выходного сигнала (угол ₀ принят равным нулю)

В частном случае `критической связи' (kQ = 1) получаем

Множитель e^i/2 учитывает сдвиг фазы выходного напряжения на 90⁰ относительно входного сигнала.

График изображен на рис. (участок от t = 0 до t = T).



Рис.

Рассмотрим теперь явления в цепи в конце импульса, начиная с момента t = T, где T - длительность импульса. Ясно, что после прекращения действия внешней силы в системе может существовать только свободное колебание. Структура этого колебания легко может быть выявлена, если прекращение импульса рассматривать как результат включения в момент t = T новой э.д.с., компенсирующей э.д.с. сигнала. Для этой компенсирующей э.д.с. решение имеет такой же вид, как, но отличается только знаком, который должен быть обратным знаку правой части выражения, и сдвигом начала отсчета времени из нуля в точку t = T.

Так как к моменту t = T затухающую часть выражения можно считать равной нулю, то комплексная огибающая результирующего сигнала на выходе для t > T должна иметь вид

Построенный по этой формуле график для kQ=1 изображен на рис. (участок t > T).

Литература

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Советское радио, 1971.

2. Комлик В.В. Радиотехника и измерения. Изд-во `Вища школа', Киев, 1978.

3. Мегла Г. Техника дециметровых волн. - М.: Советское радио, 1958.

4. Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. - М.: Высшая школа, 1990.

5. Гинзтон Э.Л. Измерения на сантиметровых волнах. Изд-во иностранной литературы, Москва 1960.

6. Будурис Ж., Шеневье П. Цепи сверхвысоких частот. - М.: Советское радио, 1979.