Дискретная передаточная функция. Обратное интегральное преобразование

7

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СЛАВЯНСКИЙ КОЛЛЕДЖ НАЦИОНАЛЬНОГО АВИАЦИОННОГО УНИВЕРСИТЕТА

(СК НАУ)

Реферат

по дисциплине «Цифровые автоматизированные системы»

ТЕМА:

«Дискретная передаточная функция. Обратное интегральное преобразование»

Выполнила:

Студентка гр.1К06БП

Кравцова Мария

Проверил руководитель:

Гризодуб Т. В.

2010

1. Передаточные функции дискретных САУ

Рассмотрим схему дискретной системы, показанную на рис. 1.1.

ИЭ

- Т

Рис. 1.1. Схема дискретной САУ

Определим передаточную функцию дискретной системы или какого - либо ее звена, по аналогии с непрерывными системами, как отношение Z - изображения выходного сигнала к Z - изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях. Обозначим входной сигнал ЦВМ как Е(z), а выходной - Y(z). Тогда,

Будем считать, что в системе используется экстраполятор нулевого порядка и определим его передаточную функцию. На вход экстраполятора поступает дельта - функция с амплитудой Y(0). Экстраполятор запоминает это значение на один такт и формирует прямоугольный импульс (рис. 1.2). Для решения задачи исскуственно продлим этот импульс в бесконечность, т.е. условно посчитаем, что экстраполятор формирует ступенчатый сигнал Y(0)1(t), а для сохранения истинного положения дополним рисунок ступенчатым воздействием

 Y(0)

Y(0)1(t)

T t

-Y(0)1(t-T)

Рис. 1.2. Преобразование сигнала в экстраполяторе

-Y(0)1(t-T). Теперь выходной сигнал экстраполятора можно определить как

Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка примет вид

С учетом ранее сделанного обозначения , окончательно получим

Множитель относят к непрерывной части системы и считают, что ее передаточная функция определяется выражением

Теперь структурную схему дискретной системы можно изобразить в виде, показанном на рис.1.3. Основная трудность дальнейших преобразований, имеющих целью получение Z- передаточной функции всей системы, заключается в получении Z - передаточной функции приведенной непрерывной части

_ T

Рис. 1.3. Структурная схема дискретной САУ

При этом необходимо помнить, что если непрерывная часть системы задана в виде соединения каких - либо звеньев, то нельзя определить Z - передаточную функцию каждого звена, а затем воспользоваться правилами о соединениях динамических звеньев. Z - преобразование необходимо определять от всей передаточной функции Исключение из этого правила составляют приближенные методы получения Z - преобразования, например, методы подстановки и подбора корня.

Для получения точного Z - преобразования по непрерывной передаточной функции можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Для этого необходимо найти полюсы непрерывной передаточной функции и представить ее в виде суммы элементарных динамических звеньев с неопределенными коэффициентами в числителе. После приведения к общему знаменателю составляется и решается система уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Для каждого элементарного звена по таблицам можно определить его Z - передаточную функцию и затем, для получения передаточной функции приведенной непрерывной части, в соответствии с теоремой 1 просуммировать эти передаточные функции.

Если определены полюсы s_i приведенной непрерывной части, то для получения ее Z - изображения можно воспользоваться теоремой о вычетах.

В этом выражении - полиномы числителя и знаменателя передаточной функции непрерывной части системы, а

После определения Z - передаточной функции непрерывной части, легко определяются передаточные функции всей системы:

- передаточная функция разомкнутой системы;

передаточная функция замкнутой системы;

передаточная функция замкнутой системы по ошибке.

2. Обратное интегральное преобразование

Преобразование Лапласа -- интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция действительного переменного, такая что:

где -- некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение F(s) -- аналитичная функция для и имеет порядок меньше ?1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для

2. Пусть , так что аналитична относительно каждого zk и равна нулю для , и , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

Вопросы

1. Каким методом можно воспользоваться для получения точного Z - преобразования по непрерывной передаточной функции?

2. Действие экстраполятора при поступлении на его вход дельта-функции?

3. Как можно определить Z - передаточную функцию для каждого элементарного звена?

4. Формула передаточная функция замкнутой системы по ошибке.

5. Что называется называется интегралом Бромвича?