Содержание

1. Расчет цепей постоянного тока

2. Расчет цепей переменного однофазного тока

3. Расчет цепей переменного трехфазного тока

4. Расчет переходных процессов в электрических цепях

Задача 1

Задание:

Составить уравнения по законам Кирхгофа для расчета токов во всех ветвях (решать их не следует ) ;

Рассчитать токи методом контурных токов;

Определить токи методом узловых потенциалов;

Рассчитать токи методом наложения ;

Выполнить расчет тока в ветви с сопротивлением R₁ методом эквивалентного генератора;

Проверить баланс мощностей ;

Построить потенциальную диаграмму для любого контура, включенного включающего в себя ветвь с источником ЭДС.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ : E =20 B ;

J= 2 А;

R₁, R₂ ,R₃ = 12 Ом. ;

R₄, R₅ = 6 Ом. ;

РАСЧЕТНАЯ СХЕМА указана на рисунке 1 . 1

РЕШЕНИЕ .

1.Определим таки методом узловых потенциалов :

Убираем из схемы источник тока т.е. замыкаем накоротко его контакты .Расчетная схема указана на рисунке 1 . 2

Е 20

I'₁ = = = 1A;

R₂ (R₃+ R₄+R₅) 12 (12+6+6)

R₁+ 12+

R₂ +R₃+ R₄+R₅ 12+12+6+6

 R₂ 12

I'₄ = I'₁ * = =0.333A;

R₂ +R₃+ R₄+R₅ 12+12+6+6

I'₃ = - I'₄= - 0.333 A;

I'₂ = I'₁+ I'₃ = 1 - 0.333 = 0.667 A;

Замыкаем накоротко контакты источника ЭДС :

РАСЧЕТНАЯ СХЕМА УКАЗАНА НА РИС. 1.3

E

I''₁ = = 0.8A;

R₁* R₂

R₄+ R₅+R₃ +

R₁+ R₂

I''_4- = J- I''₃ = 1.2A;

R₁

I''₂ = I''₃ =0.4A;

R₁+R₂

I''₁= I''₂ - I''₃ = -0.4A;

2.Определяем токи в ветвях методом наложения :

I₁= I'₁+ I''₁ =0.6A;

I₂= I'₂+ I''₂=0.467A;

I₃= I'₃+ I''₃=0.467A;

I₄= I'₄+ I''₄=1.533A;

3.Найдем сопротивление эквивалентного генератора:

РАСЧЕТНАЯ СХЕМА указана на рис. 1.5

R₂ (R₃+ R₄+R₅)

Гвх = = 0,8 Ом;

R₂ +R₃+ R₄+R₅

5.Определим ток в ветви с сопротивлением R₁ по методу эквивалентного генератора :

Ux

I₁ = = 0,6A;

R₁ +Гвх

6.Составим баланс мощностей:

Ux = I₄( R₄+R₅) =18.4B;

Pu = Ux J * E*I₁=48.8 Bт;

Pn =I₁² * R₁+ I₂² * R₂+ I₃² * R₃+ I₄² * (R₄+R₅)= 4.88Bт;

7.Строим потенциальную диаграмму, для которой необходимо произвести некоторые расчеты:

ц_d =0 B;

ц_c = -I₂ R₂= -12.8 B;

ц_m= ц_c+ E =7.2 B;

ц_d = ц_m - I₁*R₁=0 B;



E R3 R4

R1 R2 J R5

Рисунок 1.1. - Схема электрическая принципиальная (постоянный ток).

E R3 R4

I'₁ I'₃

R1 R2 R5

I'₂

I'₄

Рисунок 1.2 - Схема электрическая принципиальная (постоянный ток)



R3 R4

I''₃ I''₄

R1 R2 J R5

I''₁ I''₂

Рисунок 1.3- Схема электрическая принципиальная (постоянный ток)

Ux R3 R4

E R2 I_2x J R5

Рисунок 1.4- Схема электрическая принципиальная (постоянный ток)



Гвх R3 R4

R2 R5

Рисунок 1.5- Схема электрическая принципиальная (постоянный ток)

ц

7,2

Г,Ом

12 24

-12,8

Потенциальная диаграмма для контура a-c-m-a

Включающего в себя источник ЭДС.

ЗАДАЧА 2

1. Рассчитать действующее значение токов во всех ветвях и напряжений на всех участках цепи (включая входное напряжение).

2. Определить активную, реактивную и полную мощность цепи, а также коэффициент мощности всей ветви .

3. Записать мгновенное значение тока в одной из ветвей цепи или выходного напряжения .

4. Построить векторную диаграмму напряжений , совмещенную с диаграммой токов .

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: Uвх =100v2 sin(314t+30*);

R₁=4 Ом;

R₂=8 Ом;

L₁=0.12 Гн;

L₂=0.025 Гн;

С=200 мкф;

РАСЧЕТНАЯ СХЕМА приведена на рисунке 2.1

РЕШЕНИЕ

1. Переведем входное напряжение в комплексную форму:

Uвх = 100 е ^j30*

2. Определим реактивные сопротивления цепи:

X_L1=W L₁= 3.768 Ом;

X_L2=W L₂=7.85 Ом;

1

X_с = = 15.92 Ом;

W C

3.Находим комплексы сопротивлений ветвей:

Z₁= R₁+jX_L1=5.4952 e ^j43.29* Ом;

Z₂= jX_L2=j7,85 Ом;

Z₃= R₂+jX_С=17,817 e ^j63,32* Ом

4. Комплекс входного сопротивления цепи:

Z_L Z₃

Zвх =Z₁+ = 17.3325 e ^{j 63.19*} Ом;

Z_L+Z₃

5.Определим комплексы токов и напряжений:

Uвх

I₁ = = 5,7695 е ^-j33,19* =

Zвх

=(4,8283 - j3,1583) А;

U₁₂=I₁ R₁= 5.7695 e ^j33.19* 4=23.078 e ^j33.19* =

=(19.312- j12.6332) B;

U₂₃=I₁ Z₂₃= 5.7695 e ^j33.19* 12.3084 e ^j71.93* =

U₃₄=I₁ jX_L1=21.73895 e ^j56.81* =

= (11.9006+j18.1929) B;

U₂₃ 71.0133 e ^j38.74*

I₂= = =9.0463 e^-j51.26* =

Z₂ j 7.85

=(5.661-j7.056) A;

U₂₃ 71.0133 e ^j38.74*

I₃= = =3.9857 e^j102.06* =

Z₃ -j 63.32

= (-0.8328 + j3.8977) A;

U₂₅ = I₃ (-jXc) = 63.4523 e ^j12.06* =(62.0519+j13.2575) B;

U₅₃ = I₃ R₂ = 31.8856 e ^j102.06* =(-6.662+j31.1819) B;

6. Находим полную(S), активную (P) и реактивную(Q) мощности источника:

Su = Uвх I₁=100 e ^j30 * 5.7695 e ^j33.19 =

=576.95 e ^j63.19 =(260.2237+j514.932) BA;

Pu = 260.2237 Bт ,

Qu = 514.932 BAP;

7. Определим активную (Рн) и реактивную (Q) мощности потребителя:

Pn = I₁ R₁ +I₃ R₂ =5.76895 * 4+3.9857 * 8 = 260.235 Вт;

Qn= I₁ X_L1 + I₂ X_L2 + I₃ Xc =514.932 ВАР;

8. Составим баланс активных и реактивных мощностей:

Рк-Рn 260,235-260,2237

бр = 100% = 100% <0.005%;

Рк 260,235

Qк-Qn 514.9329-514.932

бQ = 100% = 100% <0.002%;

Qк 514.932

9. Коэффициент мощностей цепи:

P 260.2237

cos ц = = =0.451;

S 576.95

10. Для построения векторной диаграммы напряжений совмещенной с диаграммой токов выберем масштабы по току

m i 2 A/см и по напряжению mU = 10 В/см;

11. Запишем мгновенные значения токов в цепи:

i₁ = 5.7695v2 sin(314t-33.19*), A;

i₂ = 9.0463v2 sin(314t-51.26*), A;

i₃ = 3.9857v2 sin(314t+102.06*), A;

C

R1

I₃

I₁

U L2

I₂ R2

L1

Рисунок 2.1 - Схема электрическая принципиальная (переменный ток)

 +j M_A=0.2A/мм

Мu=1В/мм

U₃₄

Uвх

I₃ U₂₃ U₅₃

ц +

U₁₂

U₂₅

I₂ I₁

I₃

-j

Рисунок 1.6 Векторная диаграмма токов, совмещенная с диаграммой напряжений.

ЗАДАЧА 3

ЗАДАНИЕ:

Три приемника с сопротивлениями Za , Zв , Zc соединение звездой и подключены к симметричному трехфазному генератору с линейным напряжением Ua.

Определить показания приборов, активную мощность , потребляемую приемниками, и построить векторные диаграммы для двух случаев:

а) нулевой провод замкнут ;

б) нулевой провод разомкнут.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ : Uл = 380 В;

Za = 10 e ^j53 Ом;

Zв = 10 e ^j0 Ом;

Zс = 10 e -^j90 Ом;

РАСЧЕТНАЯ СХЕМА приведена на рисунке 3.1

Решение:

1. Находим напряжение общее фазное и каждой фазы, все расчеты производим при замкнутом нулевом проводе:

Uл =v3 Uф

Uл

Uф= =220 B;

v3

Ua = Uф = 220 В;

Uв = Uф e ^-j120* =220 e -^j120* ;

Uc = Uф e ^j120* =220 e ^j120* В;

2. Определяем показания амперметра т.е. величины токов в каждой фазе и величину тока на нулевом проводе:

220

рА₁= Ia = =22 e ^-j53 =013.18 -j17.49;

10 e ^j53

220 e

рА₁= Ia = = 22 e -^j120 =-11 -j19.05;

10

220 e ^j120

рА₁= Ia = =22 e ^j210 = 19.05 -j11;

-j90

pA₄ = I₀ = I_a + I_B + Ic

I₀ = (13.18-j17.49) + (-11-j19.05) + (-19.05 -j11) =

= -16.87-j47.54 = 50.44 e ^j250.46 ;



Ia рА₁

A₁ Za

А з\

Ua Iв

рА₂ Zв

В B₁ 0'

Ic рА₃

C₁ Zc

С

Iк

Ра

PU

0

Рисунок 3.1 - Схема электрическая принципиальная (переменный ток)

3. Находим активную мощность потребляемую приёмниками:

Pa = I^za ^. Ra = 484 ^. 6 = 2904 Bт;

Pb = I^zb ^. Rb = 4840 Вт;

Pc = I^zc ^. Rc = 0 Вт;

P = Pa + Pb + Pc = 7744 Вт;

5. Разомкнём нулевой провод и при оборванном нулевом проводе считаем смещение нейтрали:

1

Ya = = 0,1 ^. e -^j53,1 = 0,06 - j0,08;

Za

1

Yв = = 0,1 ^. e ^j0= 0,1;

Zв

1

Yс = = 0,05 ^. e ^j90= j0,05;

Zс

Ua Ya + Uв Yв+ Uс Yс

РU = U'₀₀ = =265,45 е ^j249,4 =

Ya+Yв+Yс

= -92,34-j245,67;

5. Определяем напряжение во всех фазах при обрыве нулевого провода:

U'a = Ua - U'₀₀ = 220-(-92.34- j245,67) =

= 312.34 - j245.67 = 397.38 е ^-j38.19;

U'в = -110- j190,52-(-92,34- j245,67) =

= -17,66 + j55,15 = 57,9 е ^j107,76

U'с = -110- j190,52-(-92,34- j245,67) =

= -17,66 + j436,19 = 436,55 е ^j155,3

6.Находим точки при нулевом разомкнутом нулевом проводе:

U'a 397.38 e ^-j38.19

I' a = = = 39.738 e-^j91.19;

Za 10 e ^j53

U'в 57,9 e ^j107,76

I'в = = = 5,76 e ^j107,76;

Zв 10

 U'с 436,55 e ^j155,3

I'с = = = 4,3655 e^j245,3;

Zс 10 e ^-j90

7. Определяем активную мощность потребителей разомкнув нулевой провод:

Ра = I ^Z_a Ra = 9474.65 Bт;

Pв = 335.241 Bт;

Pc = 0 Вт;

Р = Ра + Рв +Рс = 9809,891 Вт.

Ucф

Uлф

Ic

Iв

Ia

Uвх

Io

Рисунок 2.2 Векторная диаграмма для двух слуючаев

ЗАДАЧА 4

ЗАДАНИЕ:

Классическим методом определить токи переходного процесса в ветвях схемы при известных постоянном напряжении источника и параметрах электрической цепи. Построить кривую изменения тока i₁ в неразветвлённой части цепи и напряжения на конденсаторе в функции времени t. Сделать расчёты операторным методом.

Исходные данные: Гвх = 150 В;

R1 = 200 Oм;

R2 = 80 Ом;

L = 0,1 Гн;

С = 2 мкФ

РЕШЕНИЕ

1). РАСЧЁТ КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

РАСЧЁТНАЯ СХЕМА приведена на рисунке 4.1

1. Рассмотрим режим цепи по документации:

E 150 Xl = W^.L;

i1(0_) = = = 0,75 A; W = 0

Xl + R1 200 Xl = 0;

i3(0_) = 0; u_c(0_) = 0;

2. По законам Кирхгофа и коммутации определим величины токов после коммутации.

U_c(0₊) = U_c(0_) = 0;

i1(0₊) = i1(0_) = 0,75 A;

i₃(0₊) ^. R_z = i₂(0₊) R₁,

i₃(0₊) ^. R_z = (i₁(0-₊)-i₃(0-₊)) R_1,

i₃(0₊) ^. (R_z+R₁) = i₁(0-₊) R_1,

i₁(0₊) R₁ 0.75^. 200

i₃(0₊) = = =0.5357 A;

R₁ + R₂ 280

I₂(0₊) = i₁(0-₊)-i₃(0-₊) = 0.2143 A;

3.Согласно законам Кирхгофа составим систему уравнений,

описывающих электрическую цепь в режиме после коммутации:

i₁ - i₂-i₃ =0,

di₁

L + i₂ R₁ = u,

dt

1

i₂ R₁- i₃dt - i₃ R₂ = 0;

c

L₁

I₁ i₃

u R₁ i₂ R₂

C

Рисунок 4.1 Схема электрическая принципиальная (переходные процессы в электрических цепях)

Решение задачи сводится к решению системы уравнений (4). Согласно классическому методу необходимые токи находим в виде суммы частного и общего решения системы (принуждённые и свободные токи).

U_c = U_cпр + U_ccв; I = i₃cв + i₃пр;

I ₁ = i₁пр + i₁cв; I_z = i_zсв + I_zпр;

3. Находим токи принуждённого (установившегося) режима:

U 150

I₃пр = 0; i₁пр = i_zпр = = = 0,75 A;

R1 200

U_cпр = I_zпр ^. R1 = U = 150 B;

4. Определяем токи свободного режима цепи. Выражения для свободных токов зависят от вида и количества корней характеристического уравнения. Корни находим методом определителя системы уравнений для свободных токов. Система уравнений (4) для свободных токов имеет вид:

I1св - I_zсв - i₃св = 0,

Di₁св

L + I_zсв ^. R1 = 0,

Dt

1

i_zсв ^. R1 - i₃св ^. R2 - i₃св ^. dt = 0;

C

Составив и приравняв к нулю определитель, составленный из системы уравнений получим:

1 -1 1-

рL R1 0

1

0 R1 -R2-

pC

R1 L

-R1R2 - - pLR1 - pLR2 - = 0

pC C

R1R2pC + R1 + p^zLCR1 + p^zLCR2 + pL = 0

LCp (R1+R2) + p(L+R1+R2C) + R1 = 0

5,6 ^.10^-5p² + 0,132p + 200 = 0

Таким образом, получаем характеристическое уравнение. Решим это квадратное уравнение через дискриминант и найдём его корни:

-0,066+ V0.066² - 1.12 ^.10^-2

Р_1-2 =

5.6 ^.10

Р_1-2 = -1178.6 + j 1477.3

6. Получим корни комплексные сопряженные, следовательно, свободная составляющая напряжения на конденсаторе:

v_ccв = А е -^1178,6t . sin(14477.3t +ц)

dv_ccв

i₃cв = с = 38,58*;

ве

Перепишем эти уравнения для момента времени t=0₊

v_ccв(0₊) =A sinц

i₃cв (0₊)=3.78 ^. 10^-3 A cos(ц+38.58*);

7. Используя уравнение (5) для момента времени t=0 значение v_cпр,

i₃пр , v_c(0₊) и i₃ (0₊) из выражения (6), (2), (3), получим:

v_ccв(0₊)= v_c(0₊)- v_cпр = -150 В;

i₃cв (0₊)= i₃ (0₊) - i₃пр =0,5357 А;

8. Приравнивая выражение v_ccв(0₊) и i₃cв (0₊)из (11) и (12), определим А и ц:

А sin ц = -150

3.78 ^. 10^-3 A cos (ц+38.58*) = -0.04109;

-150

A = = 162.17 B;

Sin (-67.66*)

9. Запишем выражение для напряжения на конденсаторе и тока i₃ с помощью формул (5) , (9) и (15):

v₃ =150 +162.17 e^{-1178.6t .} sin(1477.3t-67.66*) = 150 +

+ 162.17 e^{-1178.6t .} cos(1477.3t-157.66*)B;

i₃ =3.78 ^. 162.17 ^. e^{-1178.6t .} cos(1477.3t+38.58 -

-67.66*) = 0.613 ^. e^-1178.6t cos(1477.3t - 29.08*) A;

10 . Находим ток I₃:

Uc+i₃^.R_z 150+162,17 ^. e^{-1178,6t .} sin(1477,3t-67,66⁰)

I_z = = +

R1 200

0,613 ^. e^{-1178,6t .} cos(1477,3t-29,08^o) ^.

+ =

200

= 0,75 + 0, 68575 ^. e^{-1178,6t .} cos(1477,3 - 141,41^o) A;

11. Находим ток i₁:

i₁ = i₃ + i₂ = 0,613 ^. e-^{1178,6t .} cos(1677,3t-29,08) + 0,75 +

+ 0,68575 ^. e^{-1178,6t .} sin(1477,3t - 51,51^o) = 0,75 + e ^.

(0,613 cos1477,3t cos29,08^o+0,613 sin1477,3t sin29,08^o + 0,68575

sin1477,3t cos51,51^o - 0,68575 cos1477,3t sin51,51^o) = 0,75+e^-1178,6t

(-0,00102 cos1477,3t+0,72473 sin1477,3t) = 0,75 + e ^.

^.0,72473 cos(1477,3t-90,08^o).

II) РАСЧЁТ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

1. Рассмотрим режим до коммутации:

U_c(0_) = 0,

U 150

I₁(0_) = = = 0,75 A;

R₁ 200

2. Составим операторную схему замещения цепи с учётом законов коммутации:

I₁(0₊) = i₁(0_) = 0,75 A,

U_c(0₊) = U_c(0_) = 0;

РАСЧЁТНАЯ СХЕМА приведена на рисунке 4.2

3. Определим изображение токов в цепи и напряжения на конденсаторе:

U/p+Li₁(0) U+Lp₁(0)

I₁(p) = = =

R₁(R₂+1/pc) R₁(R₂ pC+1)

PL + p(pL + )

R₁+R₂+1/pc (R₁+R₂) pC+1

(U+Lpi₁(0)) (R₁pC + 1)

= ;

((R₁ + R₂) p LC + pL + R₁R₂pC + R₁) p

R₁ R₁ pC

I₃(p) = I₁(p) = I₁(p) =

R₁+R₂+1/pc (R₁+R₂) pC+1

L i₂ (0)

I_3(p)

I_1(p)

U R1

P I_2(p) R2

1/pc

Рисунок 4.2 - Схема электрическая принципиальная (переходные процессы в электрических цепях)

 (U + Lp i₁(0)) ^. R₁C

=

(R₁ + R₂)p LC + pL + R₁ R₂ pC + R₁

(U + Lp i₁ (0)) ^{. (}R₂ pC + 1)

I₂(P) = I₁(P) - I₃(P) =

P ((R₁ + R₂)p LC + pL + R₁ R₂ pC + R₁)

(U + Lp i₁(0)) ^. R₁

U_c(P) = I₂(P) R₁ - I₃ (P) R₂ =

P ((R₁ + R₂)p LC + pL + R₁ R₂ pC + R₁)

Подставим числовые значения величин и определим оригиналы токов и напряжения на конденсаторе воспользовавшись следую-шими формулами:

F₁ (P) F₁(0) _n=2 F₁(pk)

= + У e ^pkx ;

P ^. F₂(P) F₂(0) ^k=1 pk F₂'(pk)

F₁ (P) _n=2 F₁(pk)

= У e ^pkt ;

F₂ (P) ^k=1 F₂'(pk)

4. Найдем характеристическое уравнение:

F₁ (P) = (U + Lp i₁(0)) ^. R₁C = 0,06+0,00003р;

F₂ (P)= (R₁ + R₂)p² LC + pL + R₁ R₂ pC + R₁= 5,6 10^-6 р + +,132р +200;

F₂'(p) = 1.12 10^-4 p + 0.132;

5. Определим корни уравнения:

F₂(p) = 0

5,6 10 -⁵ з² + 0,132р + 200 = 0

-0.066 + v0.066 -200 ^. 5.6 ^. 10

P_1-2 = = 1889.844 e^{+ j128.58*}

5.6 ^. 10

6. Путем подставления величины в формулы и соответствующих вычислений находим ток i₃(t):

F₂'(p₁) =j0.16546;

F₂'(p₂) = -j0.16546;

F₁(p₁) = 0.050709 e ^j60.93*

F₁(p₂) = 0.6129 e ^-1178.6t cos(1477.3t-29.07*) A;

7. Определяем ток i₂(t):

F₁(p) = u + Lp I+1 (0) R₂ pC+1 = (150+0.1 ^. 0.75p) ^.

^. (80p ^. 2 ^. 10^-6 +1) = 1.2 ^. 10^-5 p² + 0.099p + 150;

F₁(p) =107.1418 e ^j77.17*

F₁(0) 150; F₂(0) = 200;

8. Находим ток i₁(t):

F₁(p) =4,2 10^-5 р² +150 +0,159р;

F₁(0) 150;

F₁(p₁) = 113,3884 е ^j178,58*

150 113.3884 e ^j128.58*

i₁ (t) = +2 Re ^.

200 1889.884 e ^{j128.58* .} j 0.16546

e ^(-1178.6 + ^j1477.3)t =0.75+0.7252 e ^{-j1178.6t .} cos(14777.3t-90);

9. Определяем напряжение на конденсаторе u_c(t):

F₁(P) = (150+0.1 ^. 0.75p) 200 = 30000 + 15p;

F₁(0) = 30000; F₂(0) = 200;

F₁(P1) = 30000 + 15 (-1178,6+j1477,3) = 12321+ j22159,5 =

25354,5^.e^j60,93

U_c(t) = 150+162,168e cos(1477,3t-157,65^o), в.