Системы массового обслуживания.

На практике часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы - систем массового обслуживания (СМО).

Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые будем называть каналами обслуживания. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.

В СМО поступает случайный поток заявок. Это приводит к неравномерной загрузке: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными). В другие периоды СМО работает с недогрузкой. По этому принципу выделяют два основных типа СМО: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в СМО, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например заявка на телефонный разговор). В СМО с ожиданием заявка, поступившая в СМО, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.

СМО с ожиданием подразделяются на разные виды: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т.п.

Одноканальная система с отказами.

Рассмотрим следующую задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью (средним числом заявок в единицу времени) . Поток обслуживания имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система (СМО) имеет два состояния: - канал свободен, - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 1.

Рис 1.

Приведем без вывода показатели эффективности СМО: Предельные вероятности состояний и соответственно

Предельные вероятности состояний выражают среднее время пребывания системы в состоянии и , т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность (средняя доля заявок, обслуженных системой) и вероятность отказа :

Абсолютную пропускную способность СМО , т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, найдем, умножив относительную пропускную способность на интенсивность потока отказов

Пример решения задачи:

Заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность переговоров = 2 мин. Определить эффективность работы СМО при наличии одного телефонного номера.

Решение.

Имеем

= 90 (1/ч), = 2 мин.

Интенсивность потока обслуживания

=1/ =1/2 =0,5 (1/мин) = 30 (1/ч).

Относительная пропускную способность

СМО = 30/(90+30)=0,25.

Вероятность отказа

= 1 = 0,75.

Абсолютная пропускная способность

= 900,25 =22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры.

Очевидно, при наличии одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система с отказами

Рассмотрим классическую задачу Эрланга. Имеется каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью Поток обслуживаний имеет интенсивность Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): , где состояние системы, когда в ней находится заявок, т.е. занято каналов. Размеченный граф состояний представлен на рис. 2.

Рис 2.

Без вывода приведем показатели эффективности СМО. Введем переменную , называемую далее интенсивность нагрузки канала. Предельные вероятности состояний равны соответственно



Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все каналов системы будут заняты, т.е.

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность СМО:

.

Среднее число занятых каналов:

или

Пример решения задачи:

В условиях рассмотренной выше задачи определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем не менее 90 заявок из каждых 100.

Решение. Интенсивность нагрузки канала = 90/30=3, т.е. за время среднего телефонного разговора в 2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов = 2, 3, 4, … и определим для получаемой -канальной СМО характеристики обслуживания. При = 2 получим

Значения характеристик СМО сведены в таблицу.

Характеристика обслуживания	Число каналов (телефонных номеров)
	1	2	3	4	5	6
Относительная пропу-скная способность	0,25	0,47	0,65	0,79	0,90	0,95
Абсолютная пропуск-ная способность	22,5	42,4	58,8	71,5	80,1	85,3

По условию оптимальности , следовательно, необходимо установить 5 телефонных номеров.

СМО с ожиданием (очередью)

В СМО с ожиданием в качестве показателей эффективности будут рассматриваться: среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в системе, среднее число заявок в очереди,
среднее время пребывания заявки в очереди, вероятность того,
что канал занят.

Одноканальная система с неограниченной очередью

Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения. Интенсивность потока заявок потока обслуживания
. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): , где состояние - канал свободен, - канал занят, заявка в очереди. Размеченный граф состояний представлен на рис. 3.

Рис 3.

Без вывода приведем показатели эффективности СМО. Доказано, что если <1, то предельные вероятности состояния существуют. Предельная вероятность состояния

предельные вероятности остальных состояний:

Среднее число заявок в системе:

Среднее число заявок в очереди:

Вероятность того, что канал занят:

Среднее время пребывания заявки в системе:

Среднее время пребывания заявки в очереди:

Пример решения задачи:

В порту имеется причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Определить показатели эффективность работы причала. Найти вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.

Решение.

Имеем

= 0,42 = 0,8.

Так как <1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать, и предельные вероятности существуют.

Вероятность того, что причал свободен,

,

а вероятность того, что занят

.

Среднее число судов, находящихся у причала:

= 0,8 / (1 0,8) = 4.

Среднее время пребывания судна у причала

= 4 / 0,8 = 5 (суток).

Среднее число судов, ожидающих разгрузки,

= 0,8² / (1 0,8) = 3,2.

Среднее время ожидания разгрузки

= 3,2 / 0,8 = 4 (суток).

Вероятность того, что у причала находятся 1, 2, 3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0,1,2 судна), равны

= 0,8(1 0,8) = 0,16; = 0,8²(1 0,8) =
= 0,128; = 0,8³(1 0,8) = 0,1024.

Вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна, равна

Можно сделать вывод о невысокой эффективности разгрузки судов.

Многоканальная система с неограниченной очередью

Имеется -канальная СМО с неограниченной очередью. Интенсивность потока заявок потока обслуживания Необходимо найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система (СМО) имеет следующие состояния
нумеруемые по числу заявок, находящихся в системе: - в системе нет заявок, каналов занято, остальные свободны, - заняты все каналы (очереди нет), заняты все каналы, r заявок в очереди.

Показатели эффективности СМО. Доказано, что если <1, то предельные вероятности состояния существуют. Предельные вероятности состояний:



Среднее число занятых каналов:

Среднее число заявок в очереди:

Среднее число заявок в системе:

.

СМО с ограниченной очередью

Для СМО с ограниченной очередью показатели эффективности приведены в таблице 2.

Таблица 2

Показатели	Одноканальная СМО с ограниченной очередью	Многоканальная СМО с ограниченной очередью
Предельные вероятности
Вероятность отказа
Относительная пропускная способность
Абсолютная пропускная способность
Среднее число заявок в очереди
Среднее число заявок под обслуживанием (среднее число занятых каналов)
Среднее число заявок в системе