Активный RC-фильтр с индикацией на выходе

2

Министерство образования РФ

Чувашский государственный университет им. И.Н.Ульянова

Факультет Радиотехники и электроники

Кафедра промышленной электроники

Курсовой проект

по курсу «Электроника»

Активный RC-фильтр с индикацией на выходе

Вариант №5

Выполнил студент Голубев С.М.

Группа РТЭ - 11 - 02

Принял Носов А.А.

г. Чебоксары 2004

Аннотация

1. По требованиям технического задания к характеристике затухания произвести конструирование передаточной функции фильтра; определить число и параметры его звеньев.

2. Выбрать структуру и тип звеньев; провести вывод символьного выражения передаточной функции звена второго порядка; рассчитать номинальные значения параметров элементов схем звеньев; провести выбор типа операционных усилителей.

3. Рассчитать частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ, ХЗ, ХГВЗ) фильтра.

4. Найти чувствительности параметров звеньев фильтра к изменению параметров их элементов; рассчитать допуски на параметры элементов схем звеньев, полагая, что

5. Рассчитать блок индикации.

6. Провести расчет источника стабилизированного напряжения.

1. Фильтры: краткое введение

Фильтрами, или электрическими фильтрами, являются частотно-избирательные цепи, спроектированные для «пропускания» или передачи синусоидальных сигналов в одной или более непрерывных частотных полосах и «остановки» или заграждения в дополняющих полосах. В зависимости от полосы частот прохождения сигнала фильтры с одной полосой пропускания классифицируются на фильтры нижних частот, верхних частот и полосно-пропускающие (полосовые).

Рис. 1.1. Типовые частотные спектры на входе и выходе полосно-пропускающего фильтра.

а -- частотный спектр входного сигнала; б -- частотный спектр выходного сигнала (ПФ)

Например, полоса пропускания показанного на рис. 1.1 полосового фильтра простирается от частоты щ1 до щ2. Существуют и другие типы фильтров, такие, как всепропускающие, частотовыделяющие (узкополосные) и частотоподавляющие (режекторные). Другая классификация фильтров основана на тех положениях теории цепей, по которым они рассчитываются. Она включает фильтры по характеристическим параметрам и фильтры по рабочим параметрам.

Фильтр по характеристическим параметрам составляется каскадным соединением четырехполюсных звеньев, характеристические сопротивления которых согласованы при их соединении. Если при этом фильтры согласованы и с нагрузками на зажимах, то в полосе пропускания «характеристическое затухание» будет равно нулю. Однако из-за частотной зависимости характеристического сопротивления и резистивных нагрузок фильтр на своих зажимах не согласован на всех частотах, что приводит к ненулевому значению затухания в полосе пропускания. Альтернативный метод расчета фильтров основан на рабочих параметрах затухания. На рис. 1.2 приведены типовые требования на полосно-пропускающий фильтр. Рабочие параметры предусматривают обеспечение затухания в полосе пропускания (в диапазоне частот от щВ1 до щВ2) ниже определенного максимального значения Amax, измеряемого в децибелах или неперах, и затухания в полосе задерживания (для частот ниже щS1 и выше щS2) выше заданного минимального значения Amin. Ширина интервалов щВ1 - щS1 и щS2 - щВ2 характеризует требуемую частотную избирательность. Из-за паразитного рассеяния в элементах фильтров реальная кривая затухания существенно отличается от теоретической, особенно на краю полосы и в окрестностях точек бесконечно большого затухания. Одно из достоинств теории рабочих параметров состоит в том, что указанное влияние неидеальности элементов компенсируется методом предыскажения, который, однако, дает постоянное значение затухания в полосе пропускания.



Рис. 1.2. Типовые требования по затуханию для полосно-пропускающего фильтра.

Часто для той же (что и у характеристического фильтра) структуры рассчитанный по рабочим параметрам результирующий фильтр обеспечивает (при одном и том же числе звеньев) лучшие характеристики. Это улучшение получается за счет существенного усложнения вычислений, что являлось главным сдерживающим фактором до современного распространения компьютеров.

Активные фильтры

Вместо затрат значительных средств на совершенствование теории, технологии и изготовления LC-фильтров, расширяется тенденция по исключению последних из современной электронной аппаратуры, поскольку интегральные схемы полностью изменили обычные системы и критерии, принятые раньше в разработках. Таким образом, LC-фильтры наряду со всеми другими типами схем, не соответствующими данному направлению микроминиатюризации, быстро заменяются более подходящими. Среди них находятся активные фильтры, где резисторы, конденсаторы и активные приборы объединены в активные цепи с фильтровыми характеристиками, сравнимыми или превосходящими аналогичные параметры LC-прототипов. В качестве активного прибора неизменно используется операционный усилитель благодаря своим исключительным свойствам, приемлемой стоимости и быстрой поставке. Термин «активные фильтры» включает множество различных построений схем и методов проектирования, важнейшие из которых можно сгруппировать в следующие три категории.

1.1 Каскадное проектирование фильтров

Здесь подразумеваются изолированные звенья фильтров второго порядка (часто называемые биквадратными схемами или «биквадами»), соединяемые каскадно для реализации требуемых передаточных функций более высокого порядка. Отдельные узлы, составляющие фильтр, могут быть второго или третьего порядков и включать один или более операционных усилителей (ОУ).

1.2 Имитация LC-фильтров

Исходной позицией является структура LC-фильтра. Далее она реализуется либо имитацией каждой индуктивности гираторно-конденсаторной цепью, либо преобразованием первоначальной схемы фильтра таким образом, чтобы ее можно было реализовать с помощью обобщенных конверторов сопротивления (ОКС), например частотно-зависимых отрицательных сопротивлений (ЧЗОС). Как гираторы, так и ЧЗОС строятся на основе операционных усилителей.

1.3Связанные фильтры

В общем случае здесь исходной точкой является каскадное соединение активных фильтров первого и второго порядков (предпочтительно функциональных узлов общего назначения), которые затем охватываются дополнительными петлями отрицательной обратной связи. Последние вводятся для обеспечения в результирующей каскадной структуре активного фильтра той же стабильности, которая достигается в имитируемой схеме LC-фильтра.

1.4 Каскадное соединение фильтров второго порядка

Каскадное соединение фильтров второго порядка является самым распространенным методом расчета активных фильтров по умеренным требованиям.

Причина такого выбора проста. В современных системах связи и обработки данных значительная часть обработки сигнала осуществляется с помощью цифровых БИС. Поэтому требования на периферийные аналоговые фильтры часто умеренные, что соответствует, в частности, относительно низкой добротности полюсов. С другой стороны, еще больше снижается минимум потребляемой мощности. В этих условиях каскадное проектирование звеньев второго порядка на одном усилителе представляет почти идеальное решение проблемы фильтрации. Для высококачественных фильтров, т. е. при высоких добротностях полюсов и требованиях очень низкой чувствительности, можно применять многоусилительные звенья, т.е. каскадное соединение звеньев второго порядка на нескольких усилителях каждое и при необходимости дополнительное согласование между звеньями.

Каскадное проектирование имеет еще преимущество в простоте расчетов, подгонке элементов, настройке фильтра и минимальной мощности. Последнее обусловлено тем, что число операционных усилителей на звене фильтра второго порядка может изменяться в соответствии с заданными параметрами на фильтр. Так, малоизбирательный (т. е. с низкой добротностью полюсов) фильтр можно строить на одном ОУ, тогда как для обеспечения стабильной работы звена с более высокой добротностью может потребоваться звено на двух усилителях. Из многочисленных фильтровых звеньев второго порядка (на одном и нескольких усилителях), пригодных для каскадного проектирования. В частности, выбор производился по минимальной мощности, простоте настройки и методу изготовления и по умеренным требованиям на допуски. Для большинства промышленных применений такие фильтры будут характеризоваться малыми сериями производства и относительно несложной технологией. Под последней подразумевается скорее толстопленочная, чем тонкопленочная технология гибридных интегральных схем, и, когда невозможно (и все еще широко распространено), изготовление активных фильтров на дискретных элементах.

2. Частотные характеристики и передаточные функции

2.1 От технических требований к передаточной функции

Большинство схем фильтров, принадлежит к семейству конечных линейных цепей с сосредоточенными параметрами. Сюда обычно не входят нелинейные, распределенные и бесконечные цепи или их сочетания.

Выходной сигнал рассматриваемой цепи n-го порядка можно определить через входной сигнал, решая линейное дифференциальное уравнение n-го порядка вида

где x(t) является соответственно входным, а у(t) --выходным сигналом и n>=m.

Применяя к этому уравнению преобразование Лапласа, получаем передаточную функцию T(s) = Y(s)/X(s) в виде отношения двух полиномов N (s) и D(s), а именно

где у = а + jщ представляет собой комплексную частоту, а N(s) и D(s) являются полиномами переменной s с вещественными коэффициентами аi и bi. Записывая полиномы N(s) и D(s) в виде сомножителей, получаем полюсы и нули передаточной функции.

Сами полюсы pj и нули zi могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряженными. Объединяя комплексно-сопряженные нуль и полюс, получаем частный случай передаточной функции второго порядка.

Полюсы и нули можно изобразить на плоскости комплексной частоты или s-плоскости, как показано на рис 2.1. Отметим что

Для нахождения частотной характеристики цепи, описываемой соотношением (2.1), положим входной сигнал синусоидальным, и поскольку это линейная цепь, получаем синусоидальным и выходной сигнал.

Рис. 2.1. Диаграмма полюсов и нулей передаточной функции второго порядка.

Эта характеристика определяется при подстановке s=jщ в уравнение (2.3), следовательно,

Логарифмируя соотношение (2.7), получаем

где б(щ) ц(щ) представляют собой амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики, порядка заданные соответственно в неперах и градусах. Амплитудно-частотная характеристика в децибелах определяется следующим образом:

а характеристика группового времени замедления -- в виде

В качестве примера рассмотрим следующую передаточную функцию пятого порядка:

Следует отметить, что функция T(s) обладает только конечными полюсами, поскольку ее числитель представляет собой постоянное число (считается, что ее пять нулей находятся в бесконечности). Расположение полюсов приведено на рис. 2.2, а характеристики (амплитудно-частотная, фазово-частотная и группового времени замедления) изображены на рис. 2.3.

Рис. 2.2. Расположение полюсов передаточной функции, заданной уравнением (2.11)

Рис. 2.3. Характеристики передаточной функции, заданной уравнением (2.11):

амплитудно-частотная (а),

фазово-частотная (б),

группового времени замедления (в).

Передаточная функция T(s) обусловливает только амплитудно-частотную характеристику, т. е. отношение выход-вход нашей цепи, в то время как технические требования, предъявляемые к фильтру, очень часто выражаются через характеристику затухания, а именно отношения вход-выход. Для активных цепей, соотношение между амплитудно-частотной характеристикой и затуханием тривиально. Во всех случаях будем полагать, что активный фильтр возбуждается от источника напряжения, а выходной сигнал снимается с выходного контакта операционного усилителя. Это означает, что полное сопротивление источника сигнала равно нулю, а сопротивление нагрузки бесконечно.

Рис. 2.4. Типовые условия работы активного фильтра

По этой причине передаточная функция будет равна отношению напряжений выход-вход, что соответствует изображенным на, рис. 2.4 условиям работы, т. е.

Функция затухания H(s) задается тогда следующим образом:

Для случая синусоидального входного воздействия определим характеристики затухания и фазово-частотную в виде

и логарифмическую характеристику затухания как

Характеристика затухания функции цепи (2.11) приведена на рис. 2.5.

Из вышеприведенных условий функционирования активных фильтров (рис. 2.4) следует, что характеристика затухания АдБ очень просто находится из амплитудно-частотной характеристики адБ что в свою очередь можно непосредственно установить, анализируя саму передаточную функцию [см. уравнение (2.9)]. Сравнивая соотношения (2.9), (2.13) и (2.15), получаем

Кроме того, характеристика Адб обеспечивает переход к классическим аналитическим методам синтеза и, в частности, дает возможность использовать таблицы по расчету традиционных LC-фильтров. Отметим, что приведенная на рис. 2.5 характеристика затухания соответствует показанным на рис. 1.2 требованиям на допустимые отклонения в полосе пропускания. Однако на рис. 2.5 показана характеристика фильтра нижних частот пятого порядка, где Amax и частота среза щс характеризуют полосу пропускания, частотный интервал щs -- щс определяет избирательность, а Amin -- минимальное затухание в полосе задерживания.

Рис. 2.5. Характеристика затухания, соответствующая передаточной функции, заданной уравнением (2.11).

Следовательно, применительно к активным фильтрам амплитудно-частотная характеристика и характеристика затухания непосредственно связаны с передаточной функцией T(s) через соотношения (2.8) и (2.13).



Рис. 2.6. Порядок проектирования активных фильтров.

На основании этого получаем представленную на рис. 2.6 методику расчета. По заданным техническим требованиям на амплитудно-частотную, фазово-частотную характеристики или характеристику затухания можно синтезировать такую передаточную функцию T(s), для которой удовлетворяет этим требованиям. Поскольку определена подходящая функция T(s), далее начинается этап конструирования активного фильтра. Он состоит в выборе схемы активного фильтра, обладающей передаточной функцией T(s). При этом в зависимости от назначения фильтра на эту схему налагаются дополнительные ограничения (например, минимальная потребляемая мощность, минимальная чувствительность, максимальный динамический диапазон).

2.2 Функции цепей второго порядка

Амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики, соответствующие передаточной функции T(s), можно получить графически, исходя из диаграммы ее полюсов и нулей. Если функция T(s) выражена через свои полюсы и нули, то для любой частоты щ0 соответствующие амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики определяются из следующего выражения:



Каждый сомножитель в уравнении (2.18) представляет собой комплексный вектор, который можно изобразить графически на s-плоскости. Для

из уравнения (2.18) находим, что

Рассмотрим, например, передаточную функцию вида Соответствующие полюсы и нули в s-плоскости изображены на рис. 2.7. Из соотношения (2.9) находим, что усиление на частоте щ0 равно

а значение фазы составляет

Следует отметить, что Az1(щz)=0 и вследствие этого |T(jщz)|=0. Таким образом, нули передачи, которые расположены на мнимой оси в точках ±jщz, являются причиной снижения амплитудно-частотной характеристики до нулевого значения на частоте щz.

Рис. 2.7.Диаграмма полюсов и нулей передаточной функции, заданной уравнением (2.21).

После этих предварительных замечаний очень просто найти амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики, соответствующие передаточным функциям второго порядка. Их можно разделить на следующих основных функций:

а). Цепь нижних частот (НЧ) обладает передаточной функцией вида

где ур и уz представляют собой отрицательные вещественные части соответственно полюсов р, р* и нулей z, z* [см. уравнение (2.5)]. Диаграмма полюсов показана на рис. 2.8,а), а амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики для qp = 2 приведены на рис. 2.8, б). Полезно отметить, что графическое представление полюсов и нулей функций цепей низких порядков позволяет выявить различные критические частоты и другие характерные особенности полученной геометрически частотной характеристики.

Рис. 2.8. Функция цепи нижних частот второго порядка.

а -- диаграмма полюсов и нулей; б -- амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики.

Исходя из рис. 2.8 а), получаем, что значение амплитудно-частотной характеристики на любой частоте со определяется следующим образом:

Область А, которая представляет собой образованный тремя точками p1, p2 и s = jщ треугольник, можно выразить в виде

Следовательно, соотношение (2.25) можно переписать следующим образом:

Рис. 2.9. Функция цепи верхних частот второго порядка.

а--диаграмма полюсов и нулей; б -- амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики.

В этом уравнении единственной частотно-зависимой величиной является ц(щ). Таким образом, максимального значения Tmах амплитудно-частотная характеристика достигает на частоте щm, что соответствует ц=90 °, а именно

Частота щm расположена на пересечении окружности с диаметром р -- р* («окружность резонансного всплеска») и оси jщ; таким образом,



Частота щm всегда меньше частоты щр, поскольку полюсы р, р* должны находиться по левую сторону от оси jщ. Из диаграммы также легко можно установить, что ц(щp)=-90°.

б). Цепь верхних частот (ВЧ) обладает передаточной функцией вида

Диаграмма полюсов и нулей и амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики приведены соответственно на рис. 2.9, а) и б). Значение амплитудно-частотной характеристики на любой частоте со задается следующим образом:

Из этого выражения можно вывести наиболее важные особенности частотной характеристики, которая симметрична характеристике нижних частот.

в). Полосно-пропускающая (ПП) цепь обладает передаточной функцией вида

Диаграмма полюсов и нулей изображена на рис. 2.10, а), а соответствующие амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики -- на рис. 2.10,6).

Рис. 2.10. Функция полосно-пропускающей цепи второго порядка.

а--диаграмма полюсов и нулей: б -- амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика, полученная на основе векторов в s-плоскости, определяется как

Для полосно-пропускающего фильтра второго порядка частота максимального значения щm совпадает с частотой полюса щр. Это максимальное значение амплитудно-частотной характеристики, следовательно, равно

Следует ответить, что полоса пропускания по уровню 3 дБ полосно-пропускающего фильтра второго порядка равна 2ур, таким образом,

Эквивалентность Q и qp имеет силу только для полосно-пропускающих фильтров второго порядка. Изображенная на рис. 2.10,6) характеристика является геометрически симметричной, т. е. щp2 = щ1щ2, где щ1 и щ2 представляют собой граничные частоты полосы по уровню 3 дБ.

3. Чувствительность и показатель качества. Некоторые полезные единицы измерения чувствительности

Сами элементы, на которых строятся активные фильтры, подвержены изменениям вследствие перемен окружающей среды (например, температуры и влажности) и старения. Для того чтобы оценить это отклонение рабочих характеристик фильтра, вызванное смещением или изменением значений элементов было введено понятие чувствительности цепи. Для одномерной относительной чувствительности относительное отклонение функции цепи или параметра F вследствие малого изменения элемента xi задается в виде

Таким образом, относительное изменение параметра F, вызванное отклонениями N элементов, определяется следующим образом:

F может быть любой величиной, которая характеризует заданную цепь, например передаточной функцией T(s), входным полным сопротивлением Z(s), коэффициентом передаточной функции Cj, центральной частотой щр и т. д. Следует отметить, что параметр F может быть функцией переменной s или просто вещественной или комплексной величиной, которая зависит от некоторых или всех N элементов xi.

Если определить отклонение функции F, вызванное относительным изменением элемента xi, как

то в наихудшем случае отклонение задается следующим образом:

Так называемый критерий Скоефлера (Schoeffler) или сумма квадратов предоставляет другой полезный показатель качества а именно

Относительную чувствительность функции F можно вычислить взяв производную функции F по переменной х и умножив ее на x/F, таким образом

В некоторых случаях полезно определить полуотносительную чувствительность

Она используется наряду с другими параметрами, которые характеризуют чувствительность полюса или нуля к изменению элемента и по этой причине иногда называется корневой чувствительностью. Она также полезна, когда интересуются отклонением амплитудно-частотной характеристики вследствие изменения элемента. Поскольку амплитудно-частотная б(щ) и фазово-частотная ц(щ) характеристики связаны с самой передаточной функцией T(s=jщ) [см. уравнение (2.8)] следующими соотношениями:

то для вещественного значения элемента х получаем

Аналогичным образом

Следовательно, изменение амплитудно-частотной характеристики ?б(щ), вызванное относительным отклонением элемента ?х/х, определяется следующим выражением:

Далее будем везде считать, что элемент х имеет вещественное значение. Для того чтобы оценить погрешность амплитудно-частотной характеристики для наихудшего случая, которая вызывается изменением N элементов х, из уравнений (3.4) и (3.5), следовательно, находим, что

Тогда из критерия Скоефлера следует

Индекс б означает, что рассматриваемой функцией является амплитудно-частотная характеристика б(щ). В случае входного полного сопротивления Z имеем погрешность в установке фазового сдвига с 3° уменьшается до 0,6°. На частотах ниже 100 кГц эта погрешность существенно меньше.

Достижимая точность установки фазового сдвига в наихудшем случае для фазово-расщепляющих цепей с фазовым сдвигом 45 и 90° составляет приблизительно 0,6°. Согласно уравнению (6.15), это соответствует достижимой точности в задании значения амплитудно-частотной характеристики 0,12 дБ, что для большинства практических применений вполне достаточно. Точность в установке фазового сдвига можно в дальнейшем улучшить, подсоединив выходной сигнал (х) активного фильтра и выходной сигнал (у) фазово-расщепляющей цепи к осциллографу через возможно более короткие и равные по длине коаксиальные кабели. Для выравнивания оставшихся фазовых погрешностей в этих кабелях и во входных усилителях осциллографа необходимо провести без активного фильтра первоначальные калибровочные измерения. Кроме того, при перемене местами кабелей х и у можно установить среднюю частоту, соответствующую фазовому сдвигу ц(б), который в действительности и требуется.

4. Проектирование активных фильтров n-го порядка

4.1 Передаточная функция n-го порядка

Так называемая задача аппроксимации представляет собой одну из наиболее существенных проблем при проектировании активных фильтров. С точки зрения проектирования активного фильтра и рассмотренных в гл. 2 основных понятий ее решение связано с нахождением рациональной передаточной функции n-го порядка следующего вида:

Здесь при s = jщ

представляют собой заданные соответственно амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики. Полюсы функции T(s), т. е. корни полинома D(s), как правило, являются комплексно-сопряженными числами. Используя введенные в гл. 2 обозначения, саму передаточную функцию общего вида можно поэтому представить в виде произведения передаточных функций второго порядка, а именно

где предполагается, что dj(s) -- это четная функция с комплексно-сопряженными корнями, а корни полинома nj(s), если являются конечными, то будут располагаться либо на оси jщ, либо симметрично полюсам в правой половине s-плоскости. В общем случае функция Tj(s) имеет следующий вид:

Если же n представляет собой нечетное число, то само произведение (7.3) домножается на член первого порядка общего вида

либо в случае функции нижних частот

Полагая, что показатель n является четным числом, заданную соотношением (7.3) передаточную функцию T(s) можно реализовать с помощью каскадного соединения n/2 функциональных узлов фильтров второго порядка. Это изображено на рис. 7.1,а).

Рис. 7.1. Каскадное соединение фильтровых функциональных узлов второго порядка.

Выходной сигнал каждого функционального узла снимается с выходного контакта ОУ, который обладает очень низким выходным полным сопротивлением. В результате этого отдельные функциональные узлы изолированы один от другого и могут соединяться каскадно в любой последовательности. Однако, может существовать такая последовательность их соединения, которая позволяет получить максимальный динамический диапазон у результирующего фильтра n-го порядка. Если же n-нечетное число, то необходимо использовать звено первого порядка (разновидность которого показана на рис. 7.1,6) для того, чтобы реализовать заданную соотношением (7.5а) функцию Tа(s) общего вида. Тогда, исходя из этого соотношения, получаем, что

Как следует из уравнения (7.5,6), в схеме звена нижних частот первого порядка требуются только резистор R1 и конденсатор С2 (см. рис 7.1,б), где

Звено верхних частот первого порядка легко получить, если в приведенной на рис. 7.1,б) схеме оставить только конденсатор С1 и резистор R2.

Из вышеприведенного рассуждения следует, что после того, как получена функция T(s), саму процедуру конструирования фильтра можно легко реализовать на основе каскадного соединения функциональных узлов второго (или третьего) порядка. Функция T(s), заданная в основном через ее полюсы и нули, разлагается на пары полюс--нуль (разд. 7.7), каждая из которых описывает функцию второго порядка Tj(s) вида (7.4). Каждая эта функция Tj(s) реализуется на основе перечня схем. Затем результирующие функциональные узлы соединяются каскадно, как показано на рис. 7.1, с тем чтобы обеспечивалась желаемая функция T(s) n-го порядка.

Если же функция T(s) первоначально задана в виде отношения полиномов, т. е. аналогично выражению (7.1), то сначала необходимо вычислить корни полиномов N(s) и D(s) с тем, чтобы представить функцию T(s) в требуемом виде (7.3). Вопрос о том, какая пара комплексно-сопряженных полюсов объединяется с какой парой нулей для формирования каждой функции Tj(s. Хотя теоретически каждая из (n/2)! возможных комбинаций пары полюс -- нуль и приводит к той же самой передаточной функции T(s) общего вида, можно показать, что существует их оптимальный выбор, обеспечивающий максимальный динамический диапазон и минимальный уровень шума. Однако сначала необходимо сосредоточить свое внимание на центральном вопросе, оставшемся в этом разделе, а именно как найти наиболее подходящую передаточную функцию T(s), способную обеспечить заданные амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики.

4.2 Частотные преобразования

а). Преобразование типа НЧ > ВЧ

Технические требования к фильтрам верхних частот задаются так, как качественно изображено на рис. 7.27. Показаны как реальная, так и нормированная оси частот, и, как обычно, частота нормирования щr была выбрана равной граничной частоте полосы пропускания щс, т. е. щr = щс. Передаточную функцию фильтра верхних частот Tвч(s) можно определить исходя из нормированной функции Tнч(s) фильтра нижних частот, производя подстановку



При проектировании фильтра верхних частот потребуется также и обратная процедура, т.е. должны быть найдены заданные в приведенных на рис. 7.27 определениях технические требования к фильтру верхних частот и соответствующие нормированные.

Рис, 7.27. Технические требования к фильтру верхних частот.

Amin, Amax, щs и щr, сначала получим соответствующие характеристики нормированного фильтра нижних частот Amin, Amax, Щc=1 и из соотношения (7.52)

Из этих нормированных требований к фильтру нижних частот можно сформировать соответствующую передаточную функцию Tнч(s), а затем, используя частотное преобразование (7.52), получить функцию Tвч(s) в определяемом уравнением (7.53) виде.

б). Преобразование типа НЧ > ПП

На рис. 7.29 качественно изображены технические требования, предъявляемые к полосно-пропускающему фильтру. Предполагается, что его полоса пропускания геометрически симметрична, т. е.



Для получения геометрически симметричной функции полосно-пропускающего фильтра, соответствующей нормированной функции фильтра нижних частот, необходимо сделать подстановку

Параметр В представляет собой ширину полосы пропускания фильтра. Следовательно, передаточная функция полосно-пропускающего фильтра Tпп(s) находится из функции Tнч(s) при подстановке

Рис. 7.29. Технические требования к полосно-пропускающему фильтру.

На практике же характеристики полосно-пропускающего фильтра будут задаваться так, как показано на рис. 7.29, и их необходимо преобразовать в параметры соответствующей нормированной функции фильтра нижних частот. Получив это, можно использовать различные вспомогательные средства расчета нормированных фильтров нижних частот, которые приведены в этой главе, для нахождения соответствующих нормированных передаточных функций. Тогда соотношение (7.57) позволяет осуществить переход к полосно-пропускающей передаточной функции, удовлетворяющей исходным техническим требованиям.

Для того чтобы получить нормированную функцию фильтра нижних частот (см. рис. 7.26) на основе предъявленных на рис.7.29 технических требований к полосно-пропускающему фильтру, необходимо подставить

Таким образом, для заданного набора технических требований к геометрически симметричному полосно-пропускающему фильтру (рис. 7.29), т. е. Amах, Amin, щs1, щв1, щs2, щв2, где соотношение (7.55) выполняется, найдем сначала соответствующие нормированные параметры фильтра нижних частот, а именно Amах, Amin, Щc=1, а исходя из соотношения (7.58), найдем Щs. После того как сформирована соответствующая нормированная функция фильтра нижних частот Tнч(s), сама функция полосно-пропускающего фильтра определяется по соотношению (7.57).

Рис. 7.30. Преобразование несимметричных технических требований к полосно-пропускающему фильтру в симметричные.

Если же исходные характеристики - полосно-пропускающего фильтра не соответствуют геометрически симметричному фильтру, то эти технические требования необходимо соответственно модифицировать. Затухание в полосе задерживания можно увеличить, а несимметричную граничную частоту полосы пропускания уменьшить, т. е. изменить их в сторону ужесточения требований к фильтру. Тогда результирующий геометрически симметричный фильтр с более жесткими требованиями будет гарантировать выполнение исходных технических требований на геометрически несимметричный фильтр. Следует отметить, что частотное преобразование типа НЧ > ПП удваивает порядок соответствующего знаменателя функции нижних частот n-го порядка и вводит член sn в числитель. Это означает, что каждому полюсу функции нижних частот соответствуют два полюса в полосно-пропускающей функции. Необходимо также отметить, что добротности (т.е. qp) вновь преобразованных полюсов полосно-пропускающей функции всегда больше, чем у исходных полюсов функции нижних частот.

Вместо использования процедуры подстановки на основе соотношений (7.59) -- (7.61) имеется возможность получить пары полюсов полосно-пропускающей функции, соответствующие отдельным полюсам функции нижних частот, графически1). Хотя результаты и получаются недостаточно точными для проектирования фильтров, они дают оценку первого порядка требуемых частот полюсов и, что более важно, их добротностей.

Нормированный вариант частотного преобразования (7.56) имеет вид

где S представляет собой нормированную комплексную частоту нижних частот, нормированную относительно щr. В полярных координатах она задается следующим образом:

Комплексная частота полосно-пропускающего фильтра, нормированная относительно щr, равна р. В полярных координатах

Наконец, параметр b представляет собой нормированную относительно частоты щr ширину полосы пропускания В, т. е. из соотношения (7.56б) получаем

Добротности полюсов функций фильтров нижних частот и полосно-пропускающего соответственно равны

Для нахождения пар полюсов полосно-пропускающего фильтра, соответствующих отдельным полюсам фильтра нижних частот, можно теперь использовать приведенный на рис. 7.31 график частотного преобразования. Полюс фильтра нижних частот Si характеризуется параметрами Ai и QLi где

Полюсы полосно-пропускающего фильтра pм,н, находятся тогда из этого графика при считывании с него показателя качества Qв и пары коэффициентов mм и mн, где



Заметим, что график приведенный на рис. 7.31, позволяет быстро оценить добротности полюсов сомножителей полосно-пропускающей функции, поскольку известны полюсы нормированного фильтра нижних частот. Качественно это преобразование, выполняемое в данном примере, изображено на рис. 7.32. Он демонстрирует, как низкие добротности сомножителей функции фильтра нижних частот третьего порядка значительно увеличиваются в соответствующем полосно-пропускающем фильтре шестого порядка. В типовом случае ступенчато-настроенный полосно-пропускающий фильтр состоит из трех полосно-пропускающих фильтров второго порядка, где добротности первого и третьего звеньев равны и больше, чем у центрального звена.

в). Преобразование типа НЧ > ПЗ

На рис. 7.33 качественно изображены предъявляемые к полосно-заграждающему фильтру технические требования. Полосно-заграждающий фильтр представляет собой инверсный аналог полосно-пропускающего фильтра в том смысле, что их полосы пропускания и задерживания поменялись местами. Вспомним, что из подобных рассуждений мы установили, что фильтр верхних частот является также инверсным аналогом фильтра нижних частот (полосы пропускания и задерживания поменялись местами) и формируется из прототипа нижних частот при подстановке 1/S вместо S.



Рис. 7.33. Технические требования к полосно-заграждающему фильтру.

Соответственно характеристику полосно-заграждающего фильтра можно получить при инвертировании частотного преобразования НЧ > ПП. Исходя из уравнения (7.56а), находим

Параметр В описывает ширину полосы задерживания, а уравнение (7.66в) подразумевает геометрическую симметрию. Таким образом, передаточная функция Tпз(s) полосно-заграждающего фильтра получается из нормированной функции Tнч(s) фильтра нижних частот при подстановке

На практике же заданную на рис. 7.33 полосно-пропускающую характеристику необходимо сначала преобразовать в характеристику нормированной функции нижних частот. Задав параметры полосно-заграждающего фильтра Amах, Amin, щc1, щs1, щs2 и щc2, где предполагается геометрическая симметрия [см. уравнение (7.66 в)], находим следующие параметры соответствующего фильтра нижних частот: Amах, Amin, Щс = 1 и



На основе этих параметров можно определить желаемую передаточную функцию Tнч(s) фильтра нижних частот, используя таблицы и другие средства проектирования, приведенные в этой главе. При подстановке S = Bs/(s2 + щr2) в выражение для функции Tнч(s) получается соответствующая функция TПЗ(s) полосно-заграждающего фильтра [см. уравнение (7.67)]. Из-за прямой аналогии между формированием полосно-пропускающей и полосно-заграждающей передаточных функций нет необходимости продолжать здесь дальнейшее рассмотрение полосно-заграждающего фильтра. Следует отметить, что в случае геометрически несимметричных технических требований к полосно-заграждающему фильтру их необходимо модифицировать, т. е. получить более жесткие, но геометрически симметричные требования, как было уже сделано для полосно-пропускающего фильтра. Тогда результирующий геометрически симметричный полосно-заграждающий фильтр будет надежно удовлетворять требованиям, предъявляемым к заданному несимметричному фильтру.