Вступление

Фазовая автоподстройка частоты широко применяется в современном радиоприёме, обеспечивая стабильный приём фазомодулированных или частотно модулированных сигналов, при отклонении значений несущей частоты от заданного значения.

Демодуляторы сигналов с частотной модуляцией на основе системы фазовой автоподстройки частоты представляют собой синхронные детекторы с отрицательной обратной связью по частоте. Структурная схема такого демодулятора приведена на рисунке 1:

fс Выход

fг

Рис.1 Структурная схема демодулятора.

Здесь ФД - детектор, Г - гетеродин, ФНЧ и УНЧ - фильтр и усилитель нижних частот, УГ - управляемый генератор. На один вход фазового детектора подаётся сигнал, на второй - колебание гетеродина. На выходе фазового детектора образуются колебания с частотами сигнала fс и гетеродина fг, а также fсfг. Фильтр нижних частот пропускает колебания разностной частоты, если она достаточно мала. Если разность fс и fг слишком велика, напряжение на выходе ФНЧ и УНЧ отсутствует, гетеродин генерирует установленную заранее частоту. Если же разностная частота проходит через ФНЧ, на выходе УНЧ появляется напряжение, управляющее частотой гетеродина. Фаза управляющего напряжения такова, что fг приближается к fс, и происходит синхронизация колебаний гетеродина и сигнала. В этом режиме на выходе ФНЧ и усилителя УНЧ будет постоянное напряжение. При подаче на вход частотно модулированного (ЧМ) сигнала на выходе усилителя УНЧ появится колебание с частотой модуляции, которое будет изменять fг в соответствии с изменениями fс. Следовательно, напряжение звуковой частоты, управляющее частотой гетеродина, является результатом демодуляции сигнала ЧМ.

Задачу анализа системы фазовой автоподстройки частоты можно проводить на структурной схеме (рис.1.1.), используя при этом математический инструментарий теории автоматического управления. Поскольку достаточно сложный анализ требует больших затрат решений. Для этого привлекались прикладные математические пакеты современных ЭВМ (MATHCAD).

1. Структурная схема и передаточная функция заданной

системы

Структурная схема заданной системы показана на рис. 1.1.

E(t) ФД И У УГ

u(t) x₁(t) x₂(t) x(t)

Рис. 1.1 Структурная схема системы.

Из описания системы видно, что фазовый детектор моделируется инерционным звеном с передаточной функцией (ПФ)

(1.1)

интегрирующее устройство - идеальным интегрирующим звеном с ПФ

W_и(s) = , (1.2)

усилитель - пропорциональным звеном с ПФ W_у(s) = k_0, (1.3)

управляемый электронный генератор - инерционным звеном с ПФ W_уг(s)=. (1.4)

Передаточную функцию разомкнутой системы (без обратной связи) определяем, перемножая передаточные характеристики всех звеньев системы (ФД, И, У, УГ):

(1.5)

Или

, (1.6)

где - общий коэффициент усиления системы.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

. (1.7)

2.Решение характеристического уравнения системы и определение

запасов устойчивости

Состояние устойчивости системы можно определить по корням ее характеристического уравнения. Система устойчива, если все соответствующие действительные корни отрицательные, а комплексные корни имеют отрицательные действительные части. При этом апериодический запас устойчивости определяется наименьшим расстоянием до нуля соответствующих действительных корней, а колебательный запас - наименьшим расстоянием соответствующих действительных частей комплексных корней.

Характеристический многочлен системы - это знаменатель ее передаточной функции. Поэтому характеристическое уравнение заданной системы имеет такой вид:

, (2.1)

где а₀ = Т₁Т₂, а₁ = Т₁+Т₂, а₂ = 1, а₃ = k.

Решив характеристическое уравнение заданной системы

0.0048s³+0.14s²+s+19.8 = 0 (2.2)

с помощью программы MATHCAD, получаем его корни

S₁ = -27.096,

S₂ = -1.035+12.295i,

S₃ = -1.035-12.295i.

j

S₂

S₁

₁

S₃

₂

Рис.2.1 Положение корней характеристического уравнения на координатной плоскости.

Вывод: полученные корни характеристического уравнения находятся в левой комплексной полуплоскости, значит данная система устойчива, а её апериодический запас устойчивости ₁=27,096, колебательный запас устойчивости ₂=1,035.

3. Определение временных характеристик системы с помощью теоремы разложения

Временными характеристиками системы являются переходная характеристика (ПХ) - h(t) и импульсная характеристика (ИХ) - g(t).

Переходная характеристика соответствует выходному сигналу при единичной ступенчатой функции на входе этой системы, а импульсная характеристика соответствует выходному сигналу, если на вход системы подать дельта - импульс.

Импульсную характеристику системы можно получить, используя обратное преобразование Лапласа g(t) = L^-1{W(S)}. Изображение ИХ при этом будет иметь вид

. (3.1)

В соответствии с теоремой разложения ИХ имеет вид

. (3.2)

Где n - степень характеристического уравнения, S_i - корни характеристического уравнения, - производная знаменателя передаточной функции, B(S) = k - числитель передаточной функции.

(3.3)

График ИХ приведен на рисунке 3.1., а данные для его построения - в таблице 3.1.

Рис.3.1 График импульсной характеристики.

Таблица 3.1 Данные для построения графика ИХ.

t, c	0	0.16	0.41	0.66	0.92	1.17	1.43	1.69	1.94	2.2
g(t)	0	9.9	-7.57	5.81	-4.46	3.42	-2.63	2.02	-1.55	1.19

Переходная характеристика системы имеет вид h(t) = L^-1{W(S)/S}.

Изображение по Лапласу ПХ:

. (3.4)

Из теоремы разложения следует, что

. (3.5)

(3.6)

График ПХ приведен на рисунке 3.2, а данные для его построения - в таблице 3.2.

Рис.3.2 График переходной характеристики.

t,c	0	0.29	0.55	0.8	1.06	1.31	1.56	1.84	2.07	2.33	2.59	2.86	3.12
h(t)	0	1.69	0.46	1.4	0.68	1.24	0.81	1.14	0.89	1.08	0.93	1.05	0.46

Таблица 3.2 Данные для построения графика ПХ.

Из графика ПХ видно, что длительность переходного процесса t_h = 2.64с (с

5-ти процентным допуском), а величина перерегулирования =(h(t)_max - 1)%= = 70%.

Вывод: сравнивая полученные значения t_h и с заданными (t_h=0.44с, =10%), видно, что они намного превышают требуемые, следовательно, данная система требует корректировки.

4. Расчёт и построение частотных характеристик системы

Чтобы построить частотные характеристики разомкнутой системы, запишем ПФ системы в виде (1.6):

.

Заменив S на jw, имеем

(4.1)

Амплитудно - частотная характеристика А(w) (АЧХ) находится как модуль передаточной функции W(jw):

 (4.2)

Фазо - частотная характеристика (w) (ФЧХ) находится как аргумент передаточной функции W(jw):

(w) = arg(W(jw)) = arg(k)-arg(jw(jT₁w+1)(jT₂w+1)) = 0-/2-arctg(T₁w)-

-arctg(T₂w) = -/2-arctg(0.08w)-arctg(0.06w) (4.3)

Логарифмическая АЧХ находится как 20lgA(w) и равна сумме членов обусловленных каждым звеном системы, т.е.

A_L(w) = 20lgA(w) = 20lg(k)-20lg(w)-20lg(T₁²w²+1)-20lg(T₂²w²+1) =

= 20lg19.8-20lg(w)-20lg(0.0064w²+1)-20lg(0.0036w²+1). (4.4)

Зная A(w), (w) и A_L(w) разомкнутой системы, можно получить частотные характеристики замкнутой системы (с обратой связью):

, (4.5)

, (4.6)

. (4.7)

На рисунках 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 приведены графики частотных характеристик для разомкнутой и замкнутой систем.



Рис.4.1 АЧХ, ФЧХ разомкнутой системы.

Рис. 4.2 ЛАЧХ разомкнутой системы.

Рис. 4.3 АЧХ замкнутой системы.



Рис. 4.4 ФЧХ замкнутой системы.

Рис. 4.5 ЛАЧХ замкнутой системы.

Таблица 4.1 Данные для построения графиков частотных характеристик разомкнутой и замкнутой системы.

w	0	1.1	3.2	5.3	7.4	9.5	11.6	13.7	15.8	17.9
A(w)	2475	17.9	5.9	3.3	2.1	1.4	1	0.7	0.5	0.4
Ф(w)	-1.6	-1.7	-2	-2.3	-2.5	-2.7	-2.9	-3.1	-3.2	-3.4
AL(w)	67.8	25	15.3	10.3	6.4	3.15	0.22	0	0	0
w	0.01	5.1	10	12.2	15	20	25	30	35	40
AZ(w)	1	1.17	2.6	5.4	1.7	0.49	0.24	0.14	0.08	0.06
ФZ(w)	-0.003	-0.27	-0.74	-1.5	-3.1	-3.47	-3.64	-3.75	-3.84	-3.9
ALZ(w)	5e-6	1.45	8.1	14.7	4.5	0	0	0	0	0

Из графиков частотных характеристик определяем частоту среза w_ср, на которой A(w) = 1 и A_L(w) = 0, а также частоту w_п, на которой (w) = -. На частоте w_ср определяем запас устойчивости по фазе , а на частоте w_п - запас устойчивости по амплитуде А.

w_{с р} = 11.77,

w_п = 14.43,

А = 0.23,

= 12 град.

Вывод: по данным графикам можно сделать вывод, что обратная связь сильно меняет свойства системы, например, при входном сигнале с частотой, стремящейся к нулю, разомкнутая система безгранично увеличивает сигнал, замкнутая же передаёт её без искажений. Полученные запасы устойчивости немного меньше требуемых А = 0.25, = 15 град.

Определим состояние устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста. Для устойчивости замкнутой системы регулирования, согласно этому критерию, необходимо знать амплитудно - фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (АФЧХ). Она имеет вид:

(4.8)

Построим годограф АФЧХ W(jw) (рис.4.4):



Рис. 4.4 Годограф АФЧХ.

Таблица 4.2 Данные для построения годографа АФЧХ.

Re(w)	-10-3	-0.2	-0.41	-0.62	-0.82	-1.08	-1.24	-1.41	-1.6	-1.8
Im(w)	0.003	0.1	0.09	0.024	-0.08	-0.29	-0.46	-0.68	-0.9	-1.4

Вывод: как видно из графика, система устойчива, т. к. по критерию Найквиста для её устойчивости необходимо, чтобы частотный годограф передаточной функции разомкнутой системы при изменении w от 0 до , не охватывал точку [-1;0] на комплексной плоскости.

5. Расчёт точности работы непрерывной САР

Точность регулирования системы можно оценивать коэффициентами ошибок С₀, С₁, С₂, где С₀ - коэффициент статической ошибки, С₁ - коэффициент скоростной ошибки, С₂ - коэффициент ошибки, обусловленной ускорением входного управляющего действия u(t).

(5.1)

Е(t) - ошибка системы.

Коэффициенты ошибок считаются по формуле

, (5.2)

где Ф(s) = 1/[1+W(s)] - передаточная функция системы относительно ее ошибки Е(t).

С₀ = 0,

С₁ = 1/k = 1/19.8 = 0.05,

С₂ = 2[(Т₁+Т₂)/k-1/k²] = 2(0.14/19.8-1/19.8²) = 0.01.

Вывод: полученные коэффициенты ошибок практически совпадают с заданными (С₀=0.02, С₁=0.07, С₂=0.01).

6. Коррекция непрерывной системы

Качество процесса управления определяется показателями, которые характеризуют устойчивость системы, переходной процесс системы и точность ее управления. Сравнивая рассчитанные в разделе 3 показатели качества переходного процесса t_h и с соответствующими заданными значениями этих показателей, нетрудно заметить, что рассчитанная система не удовлетворяет заданным требованиям. Необходимо скорректировать систему так, чтобы улучшить упомянутые показатели, не ухудшая при этом других показателей (?А, ?ц, С₀, С₁ и С₂)_.

Чтобы уменьшить длительность переходного процесса и величины перерегулирования, применим для коррекции форсирующее звено с ПФ

W_К(s) = s +1. После включения корректирующего звена передаточная функция W(s) разомкнутой части корректированной системы будет иметь вид

, (6.1)

а ПФ замкнутой корректированной системы будет иметь вид:

 (6.2)

Принимаем = 0.055с

Структурная схема заданной системы после подключения корректора будет иметь вид как на рисунке 6.1.

u(t) E(t) x(t)

Рис. 6.1 Структурная схема скорректированной системы.

Где корректор с ПФ W_k(s)=(s+1) можно реализовать параллельным подключением активного электронного дифференциатора с ПФ W(s)= s к рабочему тракту системы в ее регуляторной части.

7. Контрольный расчёт параметров скорректированной системы

Как и в разделе 2, определяем корни характеристического уравнения системы и состояния её устойчивости. Характеристическое уравнение скорректированной системы имеет вид:

T₁T₂S³+(T₁+T₂)S²+(1+k)S+k = 0, (7.1)

0.0048S³+0.14S²+2.09S+19.8 = 0. (7.2)

Воспользовавшись программой MATHCAD, находим корни данного уравнения:

S₁ = -17.74,

S₂ = -5.71-14.14i,

S₃ = -5.71+14.14i.

Вывод: т. к. действительный корень отрицателен, а комплексные корни имеют отрицательные действительные части, то можно утверждать, что данная скорректированная система устойчива. Апериодический запас системы ₁ = =17.74, т.е. несколько понизился, а колебательный запас ₂ = 5.71, наоборот, увеличился.

Определим переходную характеристику h(t) скорректированной системы:

(7.3)

Рис. 7.1 График ПХ скорректированной системы.

Таблица 7.1 Данные для построения графика ПХ скорректированной системы.

t,c	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.45	0.5	0.6	0.9	1.2
h(t)	0.5	0.85	1.14	1.07	0.97	0.95	0.97	1	1	1

Из графика ПХ скорректированной системы (рис. 7.1) определяем длительность переходного процесса t_h = 0.32c и величину перерегулирования = 14%.

Передаточная функция скорректированной системы имеет вид:

(7.4)

АЧХ и ФЧХ находим соответственно как:

(7.5)

(w)=argW(jw)=argK(jw+1)-arg[jw(T₁jw+1)(T₂jw+1)]= (7.6)

=arctg(w)-/2-arctgwT₁-arctgwT₂=arctg0.055w-/2-arctg0.08w-arctg0.06w.



Рис. 7.2 АЧХ, ФЧХ скорректированной системы.

Таблица 7.2 Данные для построения АЧХ и ФЧХ скорректированной системы.

w	0.0001	1	3	5	9	12	36	60	100	4200
A(w)	293.86	18.3	6.4	3.6	1.75	1.16	0.17	0.06	0.02	0
(w)	-1.57	-1.66	-1.8	-1.97	-2.23	-2.37	-2.84	-2.96	-3	-3.14

Из графиков АЧХ и ФЧХ (рис. 7.2) находим запас устойчивости по амплитуде А и по фазе :

А = 1,

= 42 град.

Коэффициенты ошибок С₀, С₁, С₂ для скорректированной системы имеют вид:

С₀=0,

С₁=1/к=0.05,

С₂=2[(Т₁+Т₂)/k - (1+k)/k²]=0.003.

Чтобы проверить, соответствует ли система заданным требованиям, сравним ее параметры с предельно допустимыми, записав их в сравнительной таблице 7.3.Таблица7.3 Сравнительная таблица параметров заданной, некорректированной и скорректированной системы.

Параметры	Задан. допуст. значения	Знач-я некоррек- тирован. системы	Знач-я скорректи- рован. системы
th, c	0.44	2.64	0.32
,%	10	70	14
A	0.25	0.23	1
, град	15	12	42
C0	0.02	0	0
C1	0.07	0.05	0.05
C2	0.01	0.01	0.003

Вывод: как видно из сравнительной таблицы 7.3, с помощью корректирующего звена с ПФ W_k(S)=(S+1) удалось значительно понизить величину перерегулирования =14% и длительность переходного процесса t_h=0.32c. Параметры С₀, С₁, С₂ не выходят за пределы допустимых, а запасы устойчивости А и после корректировки превосходят допустимые значения.

8. Структурная схема и передаточная функция цифровой САР

Управляющее устройство в цифровых системах реализовано на элементах цифровой техники. Типичная структурная схема цифровой автоматической системы приведенна на рис.8.1. В ней АЦП - аналого-цифровой преобразователь, ЦУУ - цифровое управляющее устройство, ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь, ОУ- объект управления. В системе есть как цифровые, так и непрерывные элементы, поэтому она относится к классу цифро-аналоговых систем. Существуют, конечно, и полностью цифровые системы автоматического управления.

u(t) E(t) E_ц(t) y_ц(t) y(t) x

Рис.8.1 Типичная схема цифровой автоматической системы.

Цифровым считают дискретный во времени и одновременно квантованный в состоянии сигнал, то есть дискретный в двух измерениях сигнал, а также соответствующий двоичный кодированный сигнал. Дискретным или импульсным будем называть дискретный во времени (но не квантованный в состоянии) сигнал и обозначать его звездочкой (например, x*(t)) или дискретной формой аргумента, например, x(kТ). Операция квантования есть нелинейной, что затрудняет анализ цифровой системы. Но при большой разрядности АЦП (порядка 8-12) цифровой сигнал x_ц(kТ) можно во многих задачах автоматического регулирования заменить дискретным, не допуская при этом заметной погрешности. Такой подход разрешает абстрагироваться от вспомогательных операций превращения в цифровых устройствах, сосредоточив внимание только на алгоритме преобразования цифровым устройством входной последовательности x*(t) в исходную последовательность y*(t). Устройство, которое выполняет подобное преобразование, называют дискретным или цифровым фильтром. Цифровой фильтр (ЦФ) может быть реализован как на программированных, так и на непрограммированных дискретных электронных элементах.

Замена цифрового сигнала дискретным дает возможность структуру цифровой системы представить такой, как на рис. 8.2, где АЦП представлен только временным дискретизатором (импульсным элементом), а ЦАП - только интерполятором, который превращает дискретный (импульсный) сигнал в непрерывный. Простейшим интерполятором является интерполятор нулевого порядка, который расширяет отсчёты сигнала (импульсы) на интервал дискретизации (тактовый интервал). Такой интерполятор называют екстраполятором (Э).

u(t) e(t) e*(t) y*(t) y(t) x(t)

ПНЧ

Рис. 8.2 Структура цифровой автоматической системы с цифровым фильтром.

Екстраполятор с непрерывным объектом управления ОУ создает приведенную непрерывную часть (ПНЧ) системы. На входе ПНЧ действует дискретный сигнал y*(t), а на выходе непрерывный x(t). Поскольку в цифровой системе нас интересуют значения x(t) в дискретные моменты времени, то для анализа цифровой системы на выход ПНЧ включают фиктивный импульсный элемент, который дает возможность рассматривать непрерывный сигнал через дискретизатор. Приведенную непрерывную часть с подключенным к ней фиктивным импульсным элементом называют импульсным фильтром (ИФ). Дискретные модели ЦУУ и ПНЧ дают возможность представить расчетную модель разомкнутой части цифровой системы в виде последовательного соединения цифрового и импульсного фильтров, как показано на рис 8.3.:

*(t) y*(t) x*(t)

Рис.8.3 Модель разомкнутой части ЦС.

Передаточная функция разомкнутой системы равняется произведению передаточных функций цифрового и импульсного фильтров, то есть

W(z) = W_цф (z) W_иф(z). (8.1)

Передаточные функции цифрового и импульсного фильтров найдем с помощью z-преобразования. Этот метод определяет z-передаточную функцию фильтра W(z) путем z-преобразования импульсной функции соответствующего аналогового эквивалента. Импульсная функция g(nТ) так определенного фильтра совпадает с импульсной функцией непрерывного эквивалента в дискретные моменты времени nТ. Метод z-преобразования реализует передаточную функцию цифрового фильтра в виде

W_цф(z) = Z{g_цф(t)}, (8.2)

а передаточную функцию импульсного фильтра в виде

W_иф(z) = Z{g_иф(t)} = , (8.3)

где- Z{g_иф(t)} и Z{h_оу(t)} - z-преобразование соответственно импульсной функции управляющего устройства (импульсного фильтра) и переходной характеристики объекта управления.

(8.4.)

где а = е^-Т/Т1=0.02, Т=t_h=0.32c- интервал дискретизации.

(8.4)

где в = е^-Т/Т2=4.8310^-3.

(8.5)

где



Передаточную функцию замкнутой цифровой системы можно по аналогии с передаточной функцией непрерывной системы записать в виде

F(z) = W(z)/[1+Wz)]. (8.6)

(8.7)

Литература

1. Безруков В.В. Методические указания к курсовой работе по дисциплине

“Теория автоматического управления”.

2. Теория автоматического управления. Часть 1. Теория линейных систем автоматического управления. Под. ред. А.А.Воронова. М.: Высшая школа, 1986.-367с.