Законы регулирования

24

Моделирование систем управления

«Законы регулирования»

Оглавление

1. П-закон регулирования

2. ПИ-закон регулирования

3. Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования

4. Позиционное регулирование

1. П-закон регулирования

Идеальный П-регулятор имеет передаточную функцию вида W_у(p)=K_у. Реальный аналоговый промышленный регулятор должен иметь усилительное звено с передаточной функцией W_у(p)=K_у и исполнительное устройство, например в виде электрического исполнительного механизма с передаточной функцией W_им(p)=1/T_имp. Электрический исполнительный механизм является интегрирующим звеном, и, следовательно, для получения П-закона регулирования его необходимо охватить отрицательной обратной связью. Для обеспечения условия W_о.с.(p) >> 1 / W_у.с.(p) с целью повышения коэффициента передачи прямого канала этой отрицательной обратной связью следует охватить и усилительное звено с передаточной функцией регулятора W_у(p)=K_у.

Требуемую передаточную функцию канала обратной связи найдем из условия: W_п (p) = K_Р = 1 / W_о.с.(p)

откуда

W_о.с.(p) = 1 / K_Р = K_о.с.

Таким образом, канал обратной связи должен быть выполнен в виде усилительного звена с коэффициентом передачи К_о.с., т.е. равным обратному значению коэффициента передачи П-регулятора.

С учетом изложенного структурная схема реального П-регулятора должна иметь вид :

--

Рисунок 1.- Структурная схема П-регулятора

Оценим точность реализации П-закона регулирования реальным П-регулятором со структурной схемой (рисунок1).

Найдем передаточную функцию П-регулятора

Таким образом, реальный П-регулятор со структурной схемой (рисунок1) представляется в виде последовательного соединения П-регулятора с передаточной функцией:

W_п (p) = K_Р = 1 / К_о.с.

и некоторого балластного звена с передаточной функцией:

W_б (p) = 1 / (Т_бp + 1)

Балластное звено является апериодическим звеном. Коэффициент передачи балластного звена равен единице, а постоянная времени:

Т _б = Т_ИМ / К_у К_о.с.

Параметром настройки регулятора является коэффициент передачи устройства обратной связи.

Чем меньше (больше) К_о.с., тем больше (меньше) коэффициент передачи регулятора К_Р.

Одновременно следует иметь в виду, что чем больше К_Р, тем больше постоянная времени балластного звена и тем больше искажается идеальный закон П-регулирования.

Для уменьшения влияния балластного звена при конструировании П-регулятора по структурной схеме (рисунок1) следует стремиться к максимального возможному значению коэффициента усиления К_у.

Текущее значение динамической ошибки реализации П-закона показано на рисунке 2.

м Т_б=0

К_Р

Т_б1 < Т_б2

Т_б1 Т_б2

Рисунок 2. - Реализация закона П-регулирования

Чем меньше постоянная времени балластного звена, тем ближе располагается характеристика реального П-регулятора к идеальному, т.е. заштрихованная площадь уменьшается.

П-регуляторы совершенно не применимы в условиях колеблющейся нагрузки и большей частью находят применение для одноемкостных объектов.

П-регуляторы могут обеспечить устойчивое регулирование объектов с самовыравниванием при соблюдении следующей зависимости:

К_Р К₀ > (1/д_ст -1)

а для объектов без самовыравнивания:

1,57 > К_Рф_о/Т_о > 1/д_ст

Действие П-регулятора заключается в том, чтобы догнать отклонившуюся величину и остановить ее.

В П-регуляторах достоинством является высокая скорость регулирования. Недостатком является наличие статической ошибки в установившемся режиме.

Исследование и построение переходных функций реального П-регулятора, при различных передаточных коэффициентах обратной связи.

Модель П-регулятора.

Результат моделирования П-регулятора при К_ос=1.

Результат моделирования П-регулятора при К_ос=5.

При проведении исследования модели мы видим что, чем больше К_о.с., тем меньше коэффициент передачи регулятора К_Р, но чем больше К_Р, тем больше постоянная времени балластного звена и тем больше искажается идеальный закон П-регулирования.

2. ПИ-закон регулирования

Для комплексного использования преимуществ законов П- и И-регулирования в автоматизированных системах широко применяют регуляторы, формирующие пропорционально-интегральный закон регулирования.

Регулятор, в котором совмещены свойства пропорционального и интегрального регуляторов, называют ПИ-регулятором. ПИ-регуляторы обеспечивают поддержание регулируемой величины на заданном значении без остаточного отклонения.

ПИ-регуляторы оказывают воздействие на регулирующий орган пропорционально отклонению и интегралу от отклонения регулируемой величины:

(1.)

Передаточная функция ПИ-регулятора:

(2.)

В динамическом отношении ПИ-регулятор эквивалентен параллельному соединению П-регулятора с передаточной функцией W_п(p)=К_Р и И-регулятора с передаточной функцией W_и(p)= 1/Т_и р (рисунок 3.)

Рисунок 3. - Структурные схемы идеальных ПИ-регуляторов: а - с передаточной функцией (2.), б - с передаточной функцией (4.)

Если при настройке ПИ-регулятора установить очень большое значение постоянной времени Т_и, то он превратится в П-регулятор. Если установить очень малые значения К_Р, то получим И-регулятор с коэффициентом передачи по скорости 1/Т_и.

Переходная характеристика ПИ-регулятора с передаточной функцией (1.) представлена на рисунке 4.

Т_ИЗ t

В идеальном ПИ-регуляторе при отклонении регулируемой величины от заданного значения мгновенно срабатывает пропорциональная часть регулятора, которая перемещает исполнительный механизм на величину К_Ре_о, пропорциональную отклонению регулируемой величины, а затем воздействие на объект постепенно увеличивается под действием интегральной части регулятора.

Параметром настройки регулятора являются коэффициент передачи К_Р и постоянная времени Т_и.

На практике широко применяется структурная схема ПИ-регулятора, представленная на рисунке 3(б).

Схема реализует закон регулирования вида:

(3.)

где Т_из - постоянная времени изодрома.

Передаточная функция регулятора:

W_пи (p) = K_Р (T_изp + 1) / T_изp (4.)

Таким образом, ПИ-регулятор со структурной схемой (рисунок 3(б)) имеет взаимосвязанные параметры настройки статической и астатической частей по коэффициенту усиления К_Р. Так, при настройке коэффициента усиления К_Р будет изменяться и постоянная времени интегрирования: Т_и = Т_из / К_Р

Постоянная времени изодрома регулятора с ПИ-законом регулирования называется время, в течение которого от действия интегральной части регулятора удваивается пропорциональная составляющая закона регулирования.

На рисунке 5 показаны переходные характеристики в ПИ-регуляторах (1) и (3) при поступлении на их вход постоянного сигнала х_о при одинаковых значениях коэффициента усиления К_Р.

Если К_Р <1, то угол наклона б1 интегральной составляющей 1 закона ПИ-регулирования (1) будет больше угла наклона б2 интегральной составляющей 2 закона ПИ-регулирования (3).

На рисунке 6 показаны законы регулирования (1) и (3) при различных значениях коэффициента усиления К_Р регулятора (К_Р1 >К_Р2 >К_Р3).

а.)

Рисунок 6. - Характер изменения законов ПИ-регулирования: а - для регуляторов с передаточной функцией (2), б - для регуляторов с передаточной функцией (4)

Из рисунка 6(а) видно, что при законе ПИ-регулирования (1) скорость нарастания интегральной составляющей на входе регулятора при изменении К_Р не изменяется. При законе ПИ-регулирования (3) в случае изменения К_Р пропорционально изменяется и скорость нарастания интегральной составляющей на выходе регулятора (рисунок 6(б)).

Рисунок 7.- Структурная схема промышленного ПИ-регулятора

На структурной схеме регулятора рисунок 7 динамические свойства интегрирующего исполнительного механизма использованы для формирования закона ПИ-регулирования.

Передаточную функцию канала обратной связи можно найти из условия:

если W_о.с. (p) = K / (Tp+1)

где К = Т_из / К_РТ_им, Т = Т_из.

В данной структурной схеме для обеспечения закона ПИ-регулирования применяют апериодическое звено.

Построим модель Пи-регулятора показанного на рисунке 7.

Результат моделирования Пи-регулятора при К_Р=1 и Т_и=3.5

Результат моделирования Пи-регулятора при К_Р=5 и Т_и=6.

По результатам исследования видно, что параметроми настройки регулятора являются коэффициент передачи К_Р и постоянная времени Т_и. При настройке коэффициента усиления К_Р будет изменяться и постоянная времени интегрирования Т_и. Если при настройке ПИ-регулятора установить очень большое значение постоянной времени Т_и, то он превратится в П-регулятор. Если установить очень малые значения К_Р, то получим И-регулятор.

3. Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования

Эти регуляторы воздействуют на объект регулирования пропорционально отклонению Е регулируемой величины, интегралу этого отклонения и скорости изменения регулируемой величины:

(5)

Пример структурной схемы ПИД-регулятора приведен на рисунке 8.

Рисунок 8. - Структурная схема ПИД-регулятора

Структурная схема ПИД-регулятора может иметь разновидности с общим коэффициентом усиления для различных составляющих закона регулирования:

(6)

Передаточная функция ПИД-регулятора (3.2.46) имеет вид:

W_пид (p) = K_Р + 1/T_из р + Т_д р (7)

Передаточная функция ПИД-регулятора (3.2.47) имеет вид:

W_пид (p) = K_Р (1 + 1/T_изp + T_пвp) (8)

Параметрами настройки ПИД-регулятора (5) являются коэффициент пропорциональности регулятора К_Р, постоянная времени интегрирования Т_и и постоянная времени дифференцирования Т_д.

Параметрами настройки ПИД-регулятора (6) являются К_Р, Т_из и Т_пв. Для таких регуляторов постоянные времени интегрирования Т_и=Т_из/К_Р и дифференцирования Т_д=К_РТ_пв зависят от коэффициента передачи регулятора.

ПИД-регулятор по возможностям настройки является универсальным регулятором:

при Т_д=0 и бесконечно малом значении Т_и получем П-регулятор;

при К_,Р=0 и Т_д=0 получаем И-регулятор;

при К_Р=0 и Т_и=? получаем Д-регулятор;

при Т_д=0 получаем ПИ-регулятор;

при бесконечно большом значении Т_и и конечных значениях К_Р и Т_д получаем ПД-регулятор.

Так как фактически реализация идеального дифференцирующего звена представляет большие трудности, то в практических схемах используется реальное дифференцирующее звено. Для уменьшения погрешности в реализации закона ПИД-регулирования интегрирующий исполнительный механизм имеет отрицательную обратную связь W_о.с. (p) = K_о.с. >> 1.

С учетом этого структурная схема такого реального ПИД-регулятора имеет вид, представленный на рисунке 9.

Рисунок 9. - Характер реализации закона ПИД-регулирования

Передаточная функция регулятора:

(9)

или

(10)

где

(11)

(12)

К_б =1/К_о.с. ; Т_б =Т_им / К_о.с.

Таким образом, в отличие от идеального ПИД-регулятора регулятор со структурной схемой рисунок 9 реализует закон ПИД-регулирования с погрешностью, определяемой передаточной функцией W_б(p) балластного звена, и, кроме того, Д-составляющая закона регулирования реализуется с дополнительной погрешностью, определяемой функцией W_д.б.(p) второго балластного звена.

Приближенную передаточную функцию можно записать в виде:

(12)

Параметрами настройки ПИД-регулятора являются К_Р, Т_и, К_д и Т_д.

Примером ПИД-регулятора может служить также регулятор со структурной схемой рисунок 10, реализованный на основе реального ПИ-регулятора в комплекте с дифференциатором:

Рисунок 10. - Характер реализации закона ПИД-регулирования

На рисунке 11 приведена структурная схема, в которой закон ПИД-регулирования реализуется за счет динамических свойств канала обратной связи, охватывающего усилительную и исполнительную часть регулятора.

Передаточная функция регулятора:

W_р (p) = 1/ W_о.с.(p) (13)

При желаемой передаточной функции регулятора найдем:

(14)

Так как переходный процесс идеального ПИД-регулятора не колебательный, то

(15)

С учетом этого

где К =Т_из / К_Р.

Таким образом, для реализации ПИд-регулятора по структурной схеме рисунок 11, необходимо, чтобы канал обратной связи состоял из последовательно включенных апериодического и реального дифференцирующих звеньев.

Рисунок 11. - Характер реализации закона ПИД-регулирования

Фактическая реакция регулятора на ступенчатое входное воздействие имеет вид кривой 1 на рисунке 12, при идеальной реакции ПИД-регулятора, представленной прямыми 2.

Рисунок 12. - Реализация закона ПИД-регулирования

Построим модель ПИД-регулятора.

Результат моделирования ПИД-регулятора при К_Р=63, Т_из=0.5 и Т_пв=3

Результат моделирования ПИД-регулятора при К_Р=100, Т_из=0.01 и Т_пв=3.

ПИД-регуляторы воздействуют на объект регулирования пропорционально отклонению Е регулируемой величины, интегралу этого отклонения и скорости изменения регулируемой величины. Параметрами настройки ПИД-регулятора являются коэффициент пропорциональности регулятора К_Р, постоянная времени интегрирования Т_и и постоянная времени дифференцирования Т_д.

4. Позиционное регулирование

Позиционное (релейное) регулирование -- это вид управления, когда регулирующий орган может занимать определенное число положений. Существуют два вида позиционного регулирования: двух- и трехпозиционное.

В двухпозиционных регуляторах исполнительный механизм может занимать только два положения: больше - меньше, включено - выключено или открыто - закрыто. Количество энергии или вещества, подводимое к объекту или отводимое от объекта при установке регулятора в положение «больше», будет превышать среднюю потребность, а в положении «меньше» будет не дотягивать до средней потребности. Например, при регулировании температуры в электрической печи регулятор при значении регулируемой величины ниже заданного значения включает нагревательные элементы, а при превышении -- выключает. Отклонения температуры от заданного значения оказывают влияние на длительность включения и выключения нагревательных элементов. При таком способе регулируемая величина колеблется относительно заданного значения.

Изменение мощности и регулируемой величины во времени при двухпозиционном регулировании показано на рисунке 13, а. Значения Y₁ и Y₂ определяют возможные стабильные значения выходного параметра, соответствующие длительному включению исполнительного механизма для подачи энергии соответственно. Значения энергии выбраны таким образом, чтобы заданный выходной параметр Y₀ находился в интервале Y₁ и Y₂.

Основные параметры такого процесса могут быть определены приближенным выражением:

где Y⁺ -- отклонение выходного параметра от заданного значения Y₃;

Р₁ и Р₂ -- подводимая мощность к объекту; T_зап -- время запаздывания; Т- постоянная времени объекта.

В тех случаях, когда не требуется высокая точность регулирования, мощность Р₂ можно принять равной нулю, а мощность Р₁ -- равной максимальной мощности, т.е. регулировать по принципу включено - выключено.

Рассмотрим переходные процессы в системе двухпозиционного регулирования. Положим, что объект не имеет самовыравнивания. Передаточная функция описывается выражением

W(p) = K₃./p.

Рисунок 13. Переходной процесс при двухпозиционном регулировании:

а -- выходной параметр и входная мощность; б -- переходный процесс в системе с двухпозиционным регулированием для объекта без самовыравнивания, регулируемая величина; в -- переходный процесс на выходе объекта; г -- статическая характеристика регулятора; д -- переходный процесс системы; г -- переходный процесс в регуляторе; ж -- переходный процесс в системе с объектом с самовыравниванием; з -- переходный процесс в системе с объектом самовыравнивания и запаздыванием

Рисунок 14. Переходный процесс в двухпозиционном регуляторе;

При поступлении на вход объекта (рисунок 13, д) от двухпозиционного регулятора регулирующей величины Х_вх = В, регулируемая величина Y будет изменяться по прямой с тангенсом угла наклона tgц = К₃В. Уравнение этой прямой будет описываться выражением

Y= K₃Bt.

При симметричной статической характеристике двухпозиционного регулятора его переключение будет происходить при достижении регулируемой величиной граничных значений зоны неоднозначности (рис. 13,г,д). В установившемся режиме такой системы появляются симметричные автоколебания регулируемой величины относительно заданного значения. Диапазон этих колебаний Y=2b. Длительность положительного импульса t₁ в установившемся режиме равна длительности отрицательного t₂ и полупериоду колебаний:

t₁=t₂=2b/(KB).

Период колебаний

T_к = 4b/(КВ).

Частота переключений равна

F=KB/(4b).

Таким образом, уменьшение диапазона колебаний регулируемой величины приводит к увеличению частоты переключения регулятора. В то же время уменьшение диапазона колебаний регулируемой величины возможно только за счет уменьшения зоны неоднозначности регулятора.

На рисунке 13, ж приведены процессы колебания регулируемой величины Y и регулирующего воздействия X. Как видно из рисунка, установившийся процесс на выходе системы симметричен относительно заданного значения, и, следовательно, длительности положительного и отрицательного импульсов равны. Диапазон колебаний равен

ДY=2b(K₃B+b)[1-exp(-t/T)].

После логарифмирования этого выражения и соответствующих преобразований находим длительность импульсов регулятора

.

Период установившихся колебаний равен

.

Частота переключений регулятора равна F= 2/Т_к.

Из полученных соотношений видно, что если объект описывается апериодической функцией, то уменьшение зоны неоднозначности приводит к уменьшению периода колебаний и увеличению числа переключений регулятора. Увеличение постоянной времени T объекта также увеличивает период колебаний.

Если зона неоднозначности равна нулю, то число переключений стремится к бесконечности. Поэтому в системах с самовыравниванием, но без запаздывания двухпозиционные регуляторы без зоны неоднозначности работают ненадежно.

Модель позиционного (релейного) регулятора.

Результат моделирования позиционного (релейного) регулятора.

Основные параметры регулятора: Y⁺ -- отклонение выходного параметра от заданного значения; Р₁ и Р₂ -- подводимая мощность к объекту; T_зап -- время запаздывания; Т- постоянная времени объекта.

Колебания выходного параметра уменьшаются при уменьшении регулируемой мощности Р₁ - Р₂, времени запаздывания T_зап и увеличении постоянной времени объекта Т.

Уменьшение регулируемой мощности Р₁ - Р₂ вызывает сближение значений Y₁ и Y₂ до заданного значения К.

В тех случаях, когда не требуется высокая точность регулирования, мощность Р₂ можно принять равной нулю, а мощность Р₁ -- равной максимальной мощности, т.е. регулировать по принципу включено - выключено.

Колебания выходного параметра уменьшаются при уменьшении времени запаздывания. Здесь под запаздыванием принимается не только время запаздывания объекта, но и время запаздывания самого регулятора. Следовательно, колебания выходного параметра могут быть уменьшены путем выбора регулятора с меньшим диапазоном нечувствительности 2ДY_H.

Позиционное регулирование применяется, главным образом, для регулирования температуры.