Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. - в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.

2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.

3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.

4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.

5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u можно записать

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

где х - искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.);  - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии);  - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

где  и  - соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы;  - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки);  - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение  уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая  общего решения х уравнения (2) - решение (2) с нулевой правой частью - соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь апосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная  - свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (2) имеет вид

Соотношение показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов - принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации. В соответствии с определением свободной составляющей  в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени  (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения  и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации - в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации - напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Задание

Дана электрическая цепь второго порядка, в которой происходит коммутация: подключение, отключение или переключение ветвей (активных или пассивных). В цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов.

Рис. 1

В результате расчета необходимо определить токи в ветвях, напряжения на элементах. Задачу решить классическим методом. Построить временные диаграммы найденных переходных токов и напряжений.

E₁, E₂ = 120 (В), R₁ ,R₂ =200 (Ом), R₃ =1000 (Ом), L = 2010^-3 (Гн), C = 1010^-6 (Ф)Решение:

Определим по схеме рис. 1 входное сопротивление:

Характеристическое уравнение можно получить с помощью основного определителя системы, записанной для свободного режима (рис. 3), по методу контурных токов:

Напряжение на конденсаторе и ток на индуктивном элементе будем искать в виде:

iL(t) = iLсв(t) + iLпр(t);(1)

UC(t) = UCсв(t) + UCпр(t);

Принужденные составляющие определяются по расчетной схеме в установившемся режиме (после коммутации) (рис. 5).

С учетом того, что ток после коммутации постоянный, то I_c =0,U_L=0 и Законы Кирхгофа запишутся:

I₁=I_L;

Запишем общее решение (1), с учетом I_Lпр=40 (А), U_Cпр=0 (В) и найденных корней характеристического уравнения:

Для определения постоянных интегрирования определим независимые начальные условия путем расчета цепи до коммутации в установившемся режиме.

С учетом того, что ток не протекает через емкость, т.е. Ic=0 1 и 2 Закон Кирхгофа преобразуется в уравнение:

По первому и второму Закону Кирхгофа запишем систему уравнений: С учетом найденных параметров решим систему :

Решение системы уравнений позволяет определить:

В итоге для определения постоянных интегрирования получаем две системы алгебраических уравнений:

из которых получаем:

A₁ = -0,214, A₂ = -1,036 B₁ = -0,217, B₂ = 90,217

Результат расчета классическим методом:

I_L(t) = -0,214*e^?41500t -1,036* e^?100t +6,25 , (А);

U_C(t)= -0,217*e^?41500t +90,217* e^?100t,(В);

I_C(t)= (E₁+U_C(t)-I_L(t)*R₂)/(R₂+R₃)=-3,9479*e^?41500t +8,4179* e^?100t,(A);

U_L(t)=U_C(t)+I_C(t)*R₃= -13,2405*e^?41500t +91,7405* e^?100t, (В)

I₂(t)= I_L+I_C= -0,964*e^?41500t +1,454* e^?100t+6,25 (А)

U₂(t) =R₂*I₂(t) = -15,424*e^?41500t +23,264* e^?100t, (В).

Вывод

При решении данного задания определили токи в ветвях и напряжения на элементах. Получили следующие расчетные формулы:

I_L(t) = -0,214*e^?41500t -1,036* e^?100t +6,25 , (А);

U_C(t)= -0,217*e^?41500t +90,217* e^?100t,(В);

I_C(t)= (E₁+U_C(t)-I_L(t)*R₂)/(R₂+R₃)=-3,9479*e^?41500t +8,4179* e^?100t,(A);

U_L(t)=U_C(t)+I_C(t)*R₃= -13,2405*e^?41500t +91,7405* e^?100t, (В)

I₂(t)= I_L+I_C= -0,964*e^?41500t +1,454* e^?100t+6,25 (А)

U₂(t) =R₂*I₂(t) = -15,424*e^?41500t +23,264* e^?100t, (В).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нейман Л.Р., Демирчан К.С. Теоретические основы электоротехникию. Л.: Энергия, 1981.

2. Теоретические основы электротехники. В 2 томах Под ред. П.А.Ионкина. М.: Высшая школа, 1976.

3. Шебес М.Р. Задачник по теории электрических цепей. М.: Высшая школа, 1982.

4. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники/ Под ред. П.А.Ионкина. М.: Энергоатомиздат, 1982.

5. Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. /Сборник задач и упражнений/. М.: Радио и связь, 1989.