Исследование переходных процессов в электрических цепях

КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО РЫБОЛОВСТВУ

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ЭОС

Курсовая работа

По дисциплине: «Электротехника и основы электроники»

«Исследование переходных процессов в электрических цепях»

Мурманск

2007

Задание на курсовую работу

Требуется:

1. Выполнить качественный анализ переходных процессов токов во всех ветвях схемы рис. 1. и напряжений на реактивных элементах. Построить необходимые графики.

2. Используя классический метод, определить закон изменения во времени тока после коммутации.

3. Используя операторный метод, определить закон изменения тока .

На основании полученного аналитического выражения построить график изменения тока во времени на интервале от 0 до 3 , где - наименьший по модулю корень характеристического уравнения.

4. Записать выражение передаточной функции между током и выходным напряжением.

5. Используя передаточную функцию, записать выражение соответствующей ей переходной проводимости.

6. Используя результат, полученный в п. 5, рассчитать закон изменения искомой переменной при подаче на вход цепи напряжения формы указанной на рис. 10

Расчетная схема (рис. 1).

 1. Качественный анализ переходных процессов

1.1. Расчет токов и напряжений до коммутации .

Докоммутационная схема приведена на рис. 2.

Рис. 2 Докоммутационная схема

1.2 Расчет токов и напряжений в момент коммутации

Коммутационная схема приведена на рис. 3.



Рис. 3 Схема в момент коммутации

1.3 Расчет токов и напряжений в установившемся режиме

Схема установившегося режима приведена на рис. 4.

Рис. 4 Схема установившегося режима

;

, А

;

, В

1.4 Построение графиков переходного процесса

Графики переходного процесса представлены на рис. 5. Точки А соответствуют значениям переменных в момент коммутации . Эти значения были рассчитаны в п. 1.2. Точки В и проходящие через них прямые соответствуют установившимся значениям переменных . Значения переменных в этом режиме были найдены в п. 1.3.

2. Расчет переходного процесса классическим методом

2.1 Составление характеристического уравнения

Составим выражение для входного сопротивления переменному току между точками а и б в послекоммутационной схеме (рис. 6)

Рис. 6 Послекоммутационная схема

Произведя замену получим:

преобразовав, получаем:



Приравнивая числитель к нулю получаем характеристическое уравнение:

(1)

Решая уравнение (1) получаем:

(*)

2.2 Нахождение функции тока

Ток , где - свободная составляющая переходного тока; - принужденная составляющая переходного тока.

Так как характеристическое уравнение имеет два вещественных корня, то получаем выражением для :

(2)

где ищем в виде:

,

а (из п. 1.).

Получаем: (6)

Чтобы найти составляем систему уравнений.

Известно, что

В соответствии с формулой (6) (продифференцировав ) получим:

Известно, что до начала коммутационного процесса () , Следовательно:

при () , (7)

а ток . (8)

Уравнения (7) и (8) образуют систему:

(9)

Решив систему (9) получим:

Подставляя значения , и , в уравнение (6), получим:

3. Расчет переходного процесса в цепи операторным методом

3.1 Составление выражения для операторного изображения искомой функции

Рис. 7 Схема замещения для операторного метода

При составлении операторной схемы все переменные во времени величины заменяются их операторными изображениями. Катушка заменяется последовательно соединенными операторным сопротивлением и источником напряжения , где - начальное значение тока в индуктивности. Конденсатор заменяется последовательно соединенными операторным сопротивлением и источником напряжения , где - начальное значение напряжения на емкости.

В схеме на рис. 1 ненулевые начальные условия: , (из качественного анализа).

Искомый ток для данной схемы замещения (рис. 7) можно найти методом двух узлов. Сначала найдем напряжение .

Преобразуя, получим:

. (10)

(11)

Подставляя в (11) выражение из формулы (10), после преобразования и подстановки значений параметров получим выражение для операторного тока:

.

3.2 Переход от изображения функции к ее оригиналу

Для нахождения искомой функции времени , соответствующей изображению , воспользуемся формулой разложения Хевисайда:

.

В соответствии с этой формулой отыскиваем корни знаменателя :

;

; ;

Находим производную знаменателя по p:

Подставляя корень в числитель и в производную знаменателя , получим:

(12)

Аналогично поступаем со вторым и третьим корнями:

(13)

(14)

Суммируя (12), (13) и (14) в соответствии с формулой разложения Хевисайда, получаем искомую функцию времени:

.

График переходного процесса на интервале времени , где p - наименьший по модулю корень характеристического уравнения, изображен на рис. 8.

В данном случае:



4. Составление передаточной функции между заданными переменными

Передаточной функцией называется отношение изображения по Лапласу выходной функции (в данной курсовой работе ) к изображению по Лапласу входной функции при нулевых начальных условиях:

.

Для определения передаточной функции достаточно заменить исходную схему операторной схемой замещения, считая, что «внутренние» ЭДС и равны нулю. После этого предполагаем, что на входе схемы замещения действует операторная ЭДС . Произведя расчет операторного изображения интересующей нас выходной переменной , делим ее на .

Операторная схема замещения для определения передаточной функции представлена на рис. 9.

Рис. 9 Операторная схема замещения для определения передаточной функции

, (15)

где

После преобразований (15) получаем:

.

Передаточная функция равна:

;

5. Определение переходной проводимости

Переходной проводимостью называется закон изменения тока в некоторой ветви при подключении цепи к источнику постоянной ЭДС в 1В при отсутствии других источников и нулевых изначальных условиях.

Переходную характеристику удобно вычислить, используя выражение для передаточной функции . Для этого достаточно выражение передаточной функции умножить на изображение единичного входного сигнала напряжения , затем перейти к функции времени.

(16)

Подставляя в (16) значения параметров, получим:

(17)

Выражение (17) является изображением переходной проводимости по Лапласу. Для того чтобы найти , следует использовать формулу разложения Хевисайда:

В соответствии с этой формулой отыскиваем корни знаменателя :

;

; ;

Находим производную знаменателя по p:

Подставляя корень в числитель и в производную знаменателя , получим:

(18)

Аналогично поступаем со вторым и третьим корнями:

(19)

(20)

Суммируя (18), (19) и (20) в соответствии с формулой разложения Хевисайда, получаем искомую функцию времени:

. (21)

6. Расчет закона изменения при подаче на вход цепи напряжения определенной формы

Так как входное напряжение дано в сложном виде, то рассмотрим два промежутка времени: первый от до в течении которого действует напряжение вида

, (22)

и второй промежуток , на котором действует .

Найдем переходную функцию , для этого в формуле (21) заменим на , получим:

(23)

Используя интеграл Дюамеля, будем искать функцию тока на первом промежутке в виде:

; (24)

Во втором промежутке времени ток будет изменяться по закону:

. (25)

Найдем , для этого найдем производную от заданного напряжения (22) по времени и в полученном выражении заменим на .

. (26)

Подставив (21), (23), (26) а также (из графика) в (24) получим:

Что в конечном итоге дает нам функцию на первом промежутке времени :

Подставив (21), (23), (26) а также в (25) получим:

Что в результате дает нам функцию на втором промежутке времени :

Рис. 11 График изменения

Список использованной литературы

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1.