Министерство образования и науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

Кафедра технической кибернетики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

по дисциплине «Цифровые системы управления»

«АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»

Выполнил: студент гр. А-61з

Проверил: профессор

Краснодубец Л.А.

Севастополь

2007

1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Проанализировать и синтезировать цифровую систему автоматического управления, заданную в виде структурной схемы, содержащую непрерывный объект управления и цифровую ЭВМ. Задачи анализа: формирование дискретной модели цифровой САУ, исследование ее на устойчивость, построение переходной характеристики и вычисление установившейся ошибки. Задача синтеза включает расчет параметров ПИД - регулятора.

2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исследуется САУ с цифровым регулятором, реализующим ПИ - закон управления. Структурная схема цифровой САУ имеет вид:

Рисунок 2.1- Структурная схема цифровой САУ

Приняты следующие обозначения:

- передаточная функция непрерывного (аналогового) регулятора, реализующего ПИ - закон управления;

и - параметры ПИ - регулятора;

- передаточная функция экстраполятора нулевого порядка;

- период дискретизации;

- передаточная функция объекта управления;

- коэффициент передачи объекта управления;

Т₁ и Т₂ - постоянные времени.

Значения параметров исследуемой САУ выбираются в соответствии с вариантом.

Вариант №	T0 (c)	Kо (c-1)	T1 (c)	T2 (c)	(с)	(%)
8	0,05	14	0.82	0.3	1.4	10

Задание на выполнение контрольной работы:

Определить дискретную передаточную функцию W_D(z) цифрового регулятора.

Определить дискретную передаточную функцию W_з(z) для замкнутой системы, изображенной на рисунке 1.

Проанализировать устойчивость замкнутой цифровой САУ для случая, когда К_i.=0.

Определить установившуюся ошибку при входном ступенчатом сигнале и К_i.=0.

Построить переходную характеристику для цифровой САУ при К_i.=0.

Синтезировать параметры ПИ-регулятора, обеспечивающего заданные характеристики переходного процесса (t_p = 3с, = 20%).

Построить переходный процесс для системы с синтезированными параметрами ПИ-регулятора. Определить показатели качества исследуемой САУ.

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА

Дискретная передаточная функция цифрового ПИ - регулятора определяется, используя п. ф. или структурную схему его непрерывного аналога.

Рассмотрим структуру ПИ - регулятора (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 - Структурная схема непрерывного ПИ - регулятора

Структурная схема цифрового ПИ - регулятора будет иметь аналогичный вид:

Рисунок 6.2 - Структурная схема цифрового ПИ - регулятораПолучим цифровые звенья.

Пропорциональное звено Kp Kp.

Интегральное звено: .

Таким образом, п. ф. цифрового ПИ - регулятора будет иметь вид:

4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ САУ И АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ

Структурная схема исследуемой системы автоматического управления с цифровым регулятором, реализующим ПИД - закон управления, приведена на рисунке 2.1.

Согласно заданию, необходимо в символьном виде определить дискретную передаточную функцию (п. ф.) для замкнутой цифровой САУ с регулятором при Ki=0; Kp=1. Это возможно сделать, преобразуя выше приведенную структурную схему системы.

Рассмотрим прямую цепь исследуемой системы, структурная схема которой имеет вид:

Рисунок 4.1 - Структурная схема прямой цепи исследуемой САУ

Уравнение для ошибки данной цепи имеет вид (4.1).

Для вышеприведенной структурной схемы справедливы следующие соотношения:

Введем замену: .

Тогда уравнение выхода изменится и система примет вид (4.3).

Применим преобразование * к полученной системе:

Выполнив подстановку значения в уравнение для , получим:

Получим для прямой цепи эквивалентную п. ф.

Для данной структурной схемы уравнение ошибки будет иметь вид (4.7).

Запишем уравнение для выхода системы:

Подставим уравнение для в (4.8):

Выразим из (4.9) :

С учетом (4.10) можно получить дискретную п. ф. замкнутой системы (з. с.).

Применим z-преобразование к п. ф. з. с., предварительно введя обратную замену для , и учтя формулу (4.6).

(4.12) представляет собой дискретную п. ф. з. с. исследуемой САУ в символьном виде.

Теперь получим численное значение для дискретной п. ф. з. с.

Найдем z-преобразование , т. е. от произведения 2-х п. ф.

Теперь найдем методом разложения на простые дроби.

Приравниваем числители:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

отсюда

тогда:

Для произведения п. ф.:

Тогда дискретная п. ф. з. с. запишется в виде:

Проведем анализ устойчивости дискретной замкнутой системы с регуляторами при Ki=0; Kp=1критерием Шур-Кона

Здесь характеристический многочлен: D(z)=

Рассмотрим условия критерия:

|D(0)|=0.858 <1

D(1)=0.137 >0

D(-1)=3.579 >0

Поскольку все условия критерия Шур-Кона выполняются, делаем вывод, что данная дискретная система устойчива.

5 ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ САУ БЕЗ ПИД-РЕГУЛЯТОРА

Исследуем реакцию на единичный скачок исследуемой дискретной САУ без ПИД-регулятора, т. е. при Кр=1 и при нулевых других коэффициентах.

Объект - п. ф. з. с. САУ:

Вычислим переходную характеристику. Для этого выполним обратное z - преобразование вход-выходного соотношения с учетом входного воздействия - единичного скачка, т. е. выражения:

Выполним обратное z-преобразование методом разложения в степенной ряд, т. е делением числителя на ее же знаменатель. В результате получим выражение вида:

где Т-период дискретизации, - функция Дирака, f(kT) - коэффициенты разложения.

Итак, выполним процедуру разложения в степенной ряд.

Получаем первые шесть значений переходной характеристики. Тогда выражение для нее записывается в виде:

Это выражение можно вычислять произвольно долго, исходя из поставленных требований. Здесь подсчитано количество точек решения, достаточное для того, чтоб сделать правильный вывод, сравнивая эти данные с результатами программных вычислений. Переходный процесс, построенный средствами Matlab, выглядит так:

Рисунок 5.1 - Переходный процесс дискретной САУ без ПИД-регулятора

Текст программной реализации приведен в приложении А.

Определяем показатели качества:

время регулирования t_р=1.3с,

перерегулирование ?=45%

Для сравнения изобразим переходный процесс для аналогичной непрерывной системы (рисунок 5.2).

Сравнивая два ПП, можно убедиться, что цифровой регулятор хуже по качеству аналогичного аналогового.

Рисунок 5.2 - Переходный процесс непрерывной САУ без ПИД-регулятора

6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ В СИСТЕМЕ

При реакции на типовые воздействия (единичный скачок, линейно нарастающее воздействие и синусоидальное воздействие) возникает ненулевая статическая ошибка. Найдем п. ф. системы по ошибке.

где - п. ф. системы по ошибке,

- п. ф. з. с.

Определим статическую ошибку при входном воздействии вида «единичный скачок».

Статическая ошибка определяется при , для непрерывных систем и для дискретных.

,

где - изображение единичного скачка.

Значение ошибки для дискретной системы будет иметь вид:

Подставляем численные данные и рассчитываем:

Получаем статическую ошибку С=0.067, причем она равна статической ошибке для непрерывной САУ

7 СИНТЕЗ ПАРАМЕТРОВ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА И ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА С ПИ-РЕГУЛЯТОРОМ

П. ф. цифрового ПИ - регулятора будет иметь вид:

Принимаются следующие значения коэффициента: . Система моделируется, после чего добиваются потери устойчивости при помощи увеличения коэффициента (- период расходящихся колебаний), - период расходящихся колебаний.

Ku = 3.35 , Pu = 0.5

Далее коэффициенты регулятора вычисляются по следующим соотношениям:

.

Для реализации синтеза составлена такая программа в Matlab:

Ki = 8.04;Kp = 2.01;

%п. ф. ПИ регулятора

Wk_p = zpk([], [1], [Kp]); Wk_i = zpk([], [0], [Ki]);

Wpi = Wk_p + Wk_i;

%Получение дискретных п. ф.

Wpi_z = c2d(Wpi, T0, 'matched');W = Wo_z * Wpi_z;

Wzam_z = feedback(W, 1)

Получаем п. ф. з. с.:

Теперь строим переходный процесс с ПИ-регулятором

Рисунок 6.3 - ПП для САУ с цифровым ПИ- регулятором

время регулирования t_р=0.95,

перерегулирование ?=3%,

ВЫВОДЫ

В ходе выполнения данного модульного задания был осуществлен анализ и синтез цифровой системы автоматического управления, заданной в виде структурной схемы, содержащей непрерывный объект управления и цифровую ЭВМ. Получена дискретная модель САУ, она устойчива, статическая ошибка , качество ПП не удовлетворяет заданию. Поэтому введен цифровой ПИ-. При этом показатели качества системы удовлетворяют требованиям задания.

Приложение А

(обязательное)

Программная реализация

Текст М-файла

T0=0.05;%период дискретизации

k0=14;%коэффициент усиления

T1=0.82;T2=0.3;%постоянные времени

%построение дискретных п. ф.

disp('П. ф. разомкнутой системы');

Wo=tf(k0,[T1*T2 T1+T2 1])%п. ф. прямой цепи в s-области

disp('Дискретная п. ф. разомкнутой системы');

Wo_z=c2d(Wo,T0,'zoh')%z -преобразование п. ф. прямой цепи

disp('Дискретная п. ф. замкнутой системы');

F_z=feedback(Wo_z,1)%дискретная п. ф. з. с.

%вычисление статической ошибки САУ

disp('Дискретная п. ф. замкнутой системы по ошибке');

Fe=1-F_z%п. ф. з. с. по ошибке

disp('Статическая ошибка САУ:');eps=dcgain(Fe)

%построение выходной характеристики

step(F_z)

step(feedback(Wo,1))

Ki = 8.04;Kp = 2.01;

%п. ф. ПИ регулятора

Wk_p = zpk([], [], [Kp]); Wk_i = zpk([], [0], [Ki]);

Wpi = Wk_p + Wk_i;

%Получение дискретных п. ф.

Wpi_z = c2d(Wpi, T0, 'matched');W = Wo_z * Wpi_z;

Wzam_z = feedback(W, 1)

Результаты работы:

П. ф. разомкнутой системы

Transfer function:

14

----------------------

0.246 s^2 + 1.12 s + 1

Дискретная п. ф. разомкнутой системы

Transfer function:

0.06598 z + 0.06116

----------------------

z^2 - 1.787 z + 0.7964

Sampling time: 0.05

Дискретная п. ф. замкнутой системы

Transfer function:

0.06598 z + 0.06116

----------------------

z^2 - 1.721 z + 0.8576

Sampling time: 0.05

Дискретная п. ф. замкнутой системы по ошибке

Transfer function:

z^2 - 1.787 z + 0.7964

----------------------

z^2 - 1.721 z + 0.8576

Sampling time: 0.05

Статическая ошибка САУ:

eps =

0.0667