2

Московский Государственный Технический Университет им. Н. Э. Баумана

Калужский Филиал

Кафедра Систем Автоматического Управления и Электротехники

Расчётно - пояснительная записка к курсовой работе

на тему:

Аппроксимационные методы синтеза регулятора

по дисциплине

Теория автоматического управления

Калуга 2007.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана»

Калужский филиал

Факультет электроники, информатики и управления

Кафедра "Системы автоматического управления и электротехника" (ЭИУ3-КФ)

ЗАДАНИЕ

на курсовой проект (работу)

по курсу Теория автоматического управления

Студент Науменко Д.С. группа САУ - 71

Руководитель д. т. н., профессор Корнюшин Ю. П.

Тема проекта (работы)

Аппроксимционные методы синтеза регулятора

Техническое задание

Задание 1

Для данной системы синтезировать регулятор, используя метод моментов, метод матричных операторов, спектральный метод, метод минимизации функционала в частотной области и метод минимизации функционала во__ временной области

Задание 2 .

Для системы без корректирующего устройства синтезировать модальный регулятор

Задание 3. Синтезировать регулятор на операционных усилителях

Задание 4. Провести статический анализ системы с регулятором при случайном воздействии. Сравнить результаты моделирования и теоретические

Объем и содержание проекта (работы)

Графические работы на 4 листах формата A3

Расчетно-пояснительная записка на 40 листах формата А4

Структура расчетно-пояснительной записки

Обложка, Задание, Содержание, Введение, Основная часть, Заключение, Литература, Приложение(я).

Содержание и структура Основной части определяется студентом по согласованию с руководителем.

Рисунки, таблицы, литература оформляются в соответствии с ГОСТ 2.105-89 ЕСКД. Общие требования к текстовым документам, ГОСТ 7.32-90 Отчет о научно-исследовательской работе. Общие требования и правила оформления.

Дополнительные указания по выполнению проекта (работы)

Рекомендуемая литература

1. Н.Д. Егупов, К.А. Пупков. Синтез регуляторов систем автоматического управления. Том 3-ий. М.: Изд - во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 612

Руководитель проекта ____________________________

подпись

" ______ " ________________ 2007 г.

Студент ____________________________

Подпись

" ______ " ________________ 2007 г.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1. Постановка задачи
• 2. Задание
• 3. Анализ систему без КУ
• 3.1. Корни характеристического уравнения
• 3.2. Частотные характеристики
• 3.3. Переходные характеристики
• 3.4 Выводы по анализу системы без КУ
• 4 Синтез регулятора различными методами
• 4.1 Передаточная функция системы с КУ
• 5 Синтезирование регулятора различными методами
• 5.1 Метод моментов
• 5.2 Спектральный метод
• 5.3 Метод матричных операторов
• 5.4 Минимизация функционала в частотной области
• 5.5 Минимизация функционала во временной области
• 5.6 Выводы по различным методам синтеза регулятора
• 6 Анализ системы с КУ
• 6.1 Переходные характеристики
• 6.2 Частотные характеристики
• 7 Модальный регулятор
• 8 Реализация регулятора на ОУ
• 8.1 Структурная схема
• 8.2 Выбор ОУ
• 8.3 Построение принципиальной схемы
• 9 Статистический анализ
• 10 Литература

1 Постановка задачи

Разделим задание на несколько этапов

1. Анализ системы без КУ

a. Определение передаточной функции

b. Построение переходных характеристик

c. Построение частотных характеристик

d. Определение устойчивости системы без КУ

e. Выводы о необходимости (или нет) КУ

2. Синтез регулятора различными методами

a. Методом моментов

b. Методом матричных операторов

c. Спектральным методом

d. Минимизацией функционала в частотной области

e. Минимизацией функционала во временной области

f. Выводы по различным методам синтеза регулятора

3. Анализ систему с КУ

a. Определение передаточной функции

b. Построение переходных характеристик

c. Построение частотных характеристик

d. Определение устойчивости системы без КУ

e. Выводы об изменении характеристик системы при введение КУ

4. Синтез модального регулятора

5. Реализация регулятора на ОУ

a. Общие требования

b. Структурная схема

c. Принципиальная схема

6. Статистический анализ

a. Создание «белого шума»

b. Приведение «белого шума» к «окрашенному» с заданной корреляционной функцией

2 Задание

Система задана структурной схемой:

2

Рис 1. Структурная схема системы

Проведя преобразования, получим передаточную функцию разомкнутой цепи

(1)

Передаточная функция системы:

(2)

Эталонный выход для оптимизации введением ПИД-регулятора

3 Анализ системы без КУ

3.1 Корни характеристического уравнения

Передаточная функция

,

Характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения найдем с помощью функции roots

-25.42 + 198.48i

-25.42 - 198.48i

Все корни левые, т.е. система устойчивая

3.2 Частотные характеристики

Получим ЛАЧХ и ЛФЧХ с использованием пакета анализа систем LtiView среды MatLab.



Рис 2. Частотные характеристики системы без регулятора

3.3 Переходные характеристики

Получим переходную характеристику и импульсную характеристики системы с использованием пакета анализа систем LtiView среды MatLab.

Рис 3. Переходные характеристика системы без регулятора

Переходная характеристика в аналитическом виде

Выводы по анализу системы без КУ

Рис 4. Переходная характеристика системы без регулятора и эталонная

Согласно графику переходный процессов система далека от эталонной, следовательно нуждается в регуляторе. Для реализации выберем ПИД-регулятор.

4 Синтез регулятора различными методами

4.1 Передаточная функция системы с КУ

При введении ПИД регулятора имеет структурную схему, изображенную на Рис4., где

2

Рис 4. Структурная схема скорректированной системы

Передаточная функция разомкнутой цепи

(4)

Тогда передаточная функция замкнутой цепи примет вид:

(5)

Для решения задачи синтеза необходимо найти параметра регулятора , структура которого заданна (5), при которых реальный выходной сигнал , являющийся реакцией на единичное ступенчатое воздействие, будет близок к заданному эталонному сигналу .

В качестве эталонного выходного сигнала выберем следующий сигнал:

, (5)

где параметр находится по следующей зависимости:

.

Для получаем

Таким образом, эталонный выход:

(6)

Для некоторых методов необходимо знать эталонную передаточную функцию. Для (6) это

(7)

5. Синтезирование регулятора различными методами

5.1 Метод моментов

Постановку задачи синтеза регулятора методом моментов можно сформулировать следующим образом: необходимо минимизировать целевую функцию

,

где - показатели экспоненциальной системы, - число моментов

В простейших случаях можно получить систему алгебраических уравнений вида

,

решить которую можно методом наименьших квадратов, с соответствующими ограничениями.

Приведём нашу систему к такому виду

(8)

Для выбора значений будем использовать то, что большие значения определяют качество управления, а малые точность установившегося режима.

Выберем

Подставляя вместо значения получаем переопределенную систему уравнений из уравнений, которую легко решить в Matlab методом наименьших квадратов, т.к количество уравнений больше количества неизвестных .

Скрипт программы приведен ниже

После выполнения скрипта получаем:

Полученная переходная функция

Графики переходных функций

Рис 5. Переходная характеристика с регулятором

В результате переходной процесс очень точно соответствует эталонному.

Листинг moment.m

function moment

% Синтез регулятора методом моментов

% Начальная инициализиция

clc

clear all

syms ki kp kd s t

% Параметры системы

W11=15;

w12=s+15;

w21=960*kd*s^2+960*kp*s+960*ki;

w22=0.024*s^3+(1.22+960*kd)*s^2+(1+960*kp)*s+960*ki;

% Матрица в функции

a=w21*w12-w11*w22;

a=inline(a);

%ans(kd,ki,kp,s)

% Задание моментов

P=[0;0.1;0.2;0.5;1;2;4;8];

% Вычисление матрицы

for i=[1:length(P)]

p=P(i);

B(i,1)=-1*a(0,0,0,p);

A(i,1)=a(1,0,0,p)+B(i,1);

A(i,2)=a(0,0,1,p)+B(i,1);

A(i,3)=a(0,1,0,p)+B(i,1);

end

% Показать результаты

A

B

k=A\B

% Нарисовать график

global w;

w=tf([960*k(1), 960*k(2), 960*k(3)],[0.024, 960*k(1)+1.22, 1+960*k(2), 960*k(3)]);

tt=[0:0.01:1];

y=step(w,tt);

ye=1-exp(-15.*tt);

plot(tt,y,'-',tt,ye,'--',tt,y-ye','-');

grid on

legend h(t)real h(t)etalon error

xlabel t

ylabel x(t)

5.2 Спектральный метод

Рассмотрим нашу систему в виде ДУ

, где

И эталонную систему тоже в виде ДУ

, где

Будем оптимизировать целевую функцию

,

.

Где спектральные характеристики эталонной и реальной системы будем находить спектральным методом.

, где

- базисные функции, в данном случае Лежандра

Таким образом, получим функции эталонной спектральной характеристики и реальной, зависящей от параметров регулятора.

Эталонная спектральная характеристика

Реальная спектральная характеристика не приводится в виду больших размеров.

После оптимизации получены результаты

Полученная переходная функция

Графики переходных функций

Рис 6. Переходная характеристика с регулятором

В результате были выбраны параметры регулятора таким образом, что переходная характеристика системы приблизилась к эталонной.

Листинг Spectric.m - вычисление спектральных характеристик в общем виде

function Spectruc

% Синтез регулятора спектральным методом

clc

clear all

syms Kd Kp Ki s t tay ty

% Параметры

% Временной интервал

T=1;

dt=0.01;

tc=0:dt:T;

% Количество элементов базиса - 1

L=15;

% Входная функция

g=1-0.000001*t;

%Полиномы Лежандра

for n=0:L

Un(n+1,1)=1/(2^n*factorial(n+1)*T)*diff(((2*t/T-1)^2-1)^n,'t',n);

Un(n+1,1)=collect(Un(n+1,1),t);

end

Un=simplify(Un);

for n=1:L

Unorm2(n)=(int((Un(n,1))^2,'t',0,T));

Unn(n,1)=Un(n,1)/(Unorm2(n))^(0.5);

end

Unn=simplify(Unn);

%Спектральная характеристика входного сигнала

Cy=zeros(L,1);

for i=1:L

str=g*Unn(i,1);

locfun=inline(char(vectorize(str)),'t');

Cy(i,1)=quadl(locfun,0,T);

end

Cy

% Параметры ДУ эталонной системы

a=[15 1];

b=[15];

n=1;

m=0;

% Получение спектральной характеристики

Kx=0;

for i=0:n-1

Kx=Kx+((-1)^i)*diff(a(i+1)*(t-tay)^(n-1),tay,i)/factorial(n-1);

end

Ky=0;

for i=0:m

Ky=Ky+((-1)^i)*diff(b(i+1)*(t-tay)^(n-1),tay,i)/factorial(n-1);

end

A=zeros(L);

B=zeros(L);

for i=1:L

for j=1:L

Ui=inline(Unn(i))

Uj=inline(Unn(j))

A(i,j)=int(int(Kx*Ui(t)*Uj(tay),tay,0,t),t,0,T);

B(i,j)=int(int(Ky*Ui(t)*Uj(tay),tay,0,t),t,0,T);

end

end

As=inv(eye(L)+A)*B;

As=simplify(As);

Ae=As

% Параметры ДУ реальной системы

a=[41.6*960*Ki, 41.6*(1+960*Kp), 41.6*(1.22+960*Kd), 1];

b=[41.6*960*Ki, 41.6*960*Kp, 41.6*960*Kd];

n=3;

m=2;

% Получение спектральной характеристики

Kx=0;

for i=0:n-1

Kx=Kx+((-1)^i)*diff(a(i+1)*(t-tay)^(n-1),tay,i)/factorial(n-1);

end

Ky=0;

for i=0:m

Ky=Ky+((-1)^i)*diff(b(i+1)*(t-tay)^(n-1),tay,i)/factorial(n-1);

end

A=sym(zeros(L));

B=sym(zeros(L));

for i=1:L

for j=1:L

Ui=inline(Unn(i))

Uj=inline(Unn(j))

A(i,j)=int(int(Kx*Ui(t)*Uj(tay),tay,0,t),t,0,T);

B(i,j)=int(int(Ky*Ui(t)*Uj(tay),tay,0,t),t,0,T);

end

end

As=inv(eye(L)+A)*B;

As=simplify(As);

Ar=As

global Cxe

Cxe=Ae*Cy;

Cxe

global Cxr

Cxr=Ar*Cy;

Cxr=simplify(Cxr);

Cxr

Листинг Sfun.m - целевая функция

function J=Sfun(K)

% целевая функция

Kd=K(1);

Kp=K(2);

Ki=K(3);

Cxe =...

[...

0.9333;...

0.1000;...

-0.0976;...

0.0757;...

-0.0508;...

0.0275;...

-0.0172;...

];

Cxr =...

[...

-975/562949953421312*(2150276823078135278069825950187520000000...

-325/562949953421312*(-442195942609368385907120960*Ki*13^(1/2)...

2422597339172044800000000000000*Ki*Kd^4*7^(1/2)*5^(1/2)*Kp-408...

25/562949953421312*(18011419937666166500015682355200000000000*...

-25/562949953421312*(70517517240015575148889800727068672000000...

-25/562949953421312*(90711420068988846701128345190400000000000...

4615938800250895352256774377625000*Ki*13^(1/2)*3^(1/2)+6840868...

];

D=Cxe-Cxr;

J=D'*D;

J

5.3 Метод матричных операторов

Целевая функция, подлежащая минимизации (в терминах матричных операторов) имеет вид

(9)

Где - разложение в ряд Фурье выходного сигнала варьируемой системы, - разложение в ряд Фурье выходного сигнала эталонной системы

Разложение найдено методом матричных преобразований, рассмотренных в предыдущей курсовой работе.

При введении регулятора изменения имеют вид

2

Рис 6. Система с регулятором

Из рисунка

За основу принят матричный анализ из предыдущей курсовой работы, базис функций Лежандра.

Про этот метод отмечу, что большую часть, требующую много времени на вычисление, можно выполнять только один раз. За счет этого метод работает быстро, субъективно быстрее других.

После оптимизации (9) получаем:

Полученная переходная функция

Графики переходных функций

Рис 7. Переходная характеристика с регулятором

В результате переходной процесс был приближен к эталонному с достаточной точностью.

Листинг MatrixOptimize.m - оптимизация

function MatrixOptimize;

% Синтез регулятора матричным методом

% Количество элементов базиса - 1

MakeMatrix;

global Au

global Cg

global Unn

L=15;

% Временной интервал

T=1;

dt=0.01;

tc=0:dt:T;

%Эталонный сигнал

a6=-15;

a7=15;

Ae=inv(eye(L+1)-a6*Au)*a7*Au;

global Ce

Ce=Ae*Cg

h2=Ce'*Unn;

% Оптимизация

[K,min,flag,inf]=fminsearch('Lezandr',[0.02 0.01 0.01])

Lezandr(K)

global Ch

h=Ch'*Unn;

he=Ce'*Unn;

%график

H=subs(h,'t',tc);

He=subs(he,'t',tc);

plot(tc,H,'-',tc,He,'--',tc,He-H,'-');

grid on

legend h(t)real h(t)etalon error

xlabel t

ylabel x(t)

Листинг MakeMatrix.m - базисные функции

function MakeMatrix;

% создание базиса Лежандра

clear all

syms t nu;

% Параметры

% Временной интервал

T=1;

dt=0.01;

tc=0:dt:T;

% Количество элементов базиса - 1

L=15;

% Входная функция

g=1-0.000001*t;

%Полиномы Лежандра

for n=0:L

Un(n+1,1)=1/(2^n*factorial(n+1)*T)*diff(((2*t/T-1)^2-1)^n,'t',n);

Un(n+1,1)=collect(Un(n+1,1),t);

end

Un=simplify(Un);

for n=1:L+1

Unorm2(n)=(int((Un(n,1))^2,'t',0,T));

Unnn(n,1)=Un(n,1)/(Unorm2(n))^(0.5);

end

global Unn

Unn=Unnn;

global Au

%Оператор интегрировния

for i=1:L+1

if Unn(i,1)~=1

fun = subs(Unn(i,1),t,T-nu);

p=int(fun,'nu',0,T-t);

else

p=int(1,0,T-t);

end;

d(i,1)=p;

end

for i=1:L+1

for j=1:L+1

Au(i,j)=int(d(j,1)*Unn(i,1),'t',0,T);

end

end;

Au=double(Au')

global Ad

Ad=inv(Au);

global Cg

% Операторы умножения

for k=1:L+1

str=g*Unn(k,1);

locfun=inline(char(vectorize(str)),'t');

Cg(k,1)=quadl(locfun,0,T);

end

Листинг Lezandr.m - целевая функция

function J=Lezandr(K)

% целевая функция

Kd=K(1);

Kp=K(2);

Ki=K(3);

% Внешне используемые матрицы

global Au

global Ad

global Unn

global Cg

L=15;

syms t nu;

% Параметры

% Количество элементов базиса - 1

L=15;

% Входная функция

g=1-0.000001*t;

%параметры сиситемы

K1K2=120*8;

a2=-1/0.02;

a3=1/0.02;

a4=-1/1.2;

a5=1/1.2;

%Матричный оператор системы

A1=eye(L+1)*K1K2;

A2=inv(eye(L+1)-a2*Au)*a3*Au;

A4=inv(eye(L+1)-a4*Au)*a5*Au;

Ak=eye(L+1)*Kd*Ad+eye(L+1)*Kp+eye(L+1)*Ki*Au;

A5=A1*A2* A4*Ak;

As=A5*inv(eye(L+1)+A5);

%Выходной сигнал

global Ch

Ch=As*Cg

% Эталонный сигнал

global Ce

dC=Ch-Ce;

% целевая функция

J=dC'*dC;

5.4 Минимизация функционала в частотной области

Запишем формулу для невязки

(10)

Тогда целевая функция имеет вид

(11)

Преобразуем подынтегральное выражение в выше написанном равенстве по Фурье

. (12)

Воспользовавшись равенством Парсеваля, зависимость (11) перепишем в виде

(13)

Воспользовавшись равенством Парсеваля, последнюю зависимость перепишем в виде

где

Точное значение этого интеграла можно вычислить по формуле

, (14)

где -- определитель Гурвица для многочлена

а определитель равен определителю в котором первая строка заменена коэффициентами многочлена

Оптимизируя (14) получаем решение

Для исключения ошибок все преобразования формул были реализованы в MatLab. Полученный результат

После оптимизации был получен результат

Полученная переходная функция

Рис 8. Переходная характеристика с регулятором

В результате система стала устойчивой и переходной процесс был приближен к эталонному с достаточной точностью.

Листинг FrecOptimize.m - оптимизация

function FrecOptimize

% Метод минимизации финкционала в частотной области

% Оптимизация

[K,min,flag,inf]=fminsearch('FrecFunc',[0.02 0.01 0.01])

% Вывод результата

w=tf([960*K(1), 960*K(2), 960*K(3)],[0.024, 1.22+960*K(1), 1+960*K(2), 960*K(3)]);

tt=[0:0.01:1];

y=step(w,tt);

ye=1-exp(-15.*tt);

plot(tt,y,'-',tt,ye,'--',tt,y-ye','-');

grid on

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

legend h(t)etalon h(t)real error

Листинг FrecFunc.m - целевая функция

function J=FrecFunc(K)

% целевая функция

vKd=K(1);

vKp=K(2);

vKi=K(3);

syms Kd Kp Ki

% Функции определителей матриц

detM= 432*Ki*(640*Ki+247+144000*Kd+9600*Kp)*(-1152*Ki+61+48000*Kd+58560*Kp+46080000*Kd*Kp);

detN= -3888/25*Ki*(-15298560000*Kd*Kp+1179648000000000*Kd^2*Kp^2-884736000000*Kd*Kp^2-117964800000*Ki*Kd*Kp+11673600000000*Kd^2*Kp+78643200000000*Ki*Kd^2*Kp+10880000000*Kd^2-927744000*Kp^2+208896000*Kd*Ki-41779200*Kp*Ki-14496000*Kd+12707520*Kp+15067-360448000000*Kd^2*Ki+18432000000000*Kd^3+17694720000000000*Kd^3*Kp-1966080000*Kd*Ki^2+1966080000*Ki*Kp^2+29491200000*Kp^3+4710400*Ki^2+562624*Ki);

%ans(Kd,Ki,Kp)

% Вычисление фукционала качества

fM=inline(detM);

fN=inline(detN);

M=fM(vKd,vKi,vKp);

N=fN(vKd,vKi,vKp);

h0=13/500;

n=5;

DN=N;

DM=(-1)^(n+1)*2*h0*M;

J=abs(DN/DM)

Листинг FrecAnalis.m - расчет матриц

function FrecAnalis

% Анализ в частотной области

%clear all

%clc

syms Ki Kd Kp s

global dM

global dN

A=0.024*s^3+(1.22+960*Kd)*s^2+(1+960*Kp)*s+960*Ki;

B=960*Kd*s^2+960*Kp*s+960*Ki;

Ec=15*A-B*(s+15);

Ec=simple(Ec);

Ec=collect(Ec)

Ed=A*(s+15);

Ed=simple(Ed);

Ed=collect(Ed)

Ecl=inline(Ec);

g=Ecl(Kd,Ki,Kp,s)*Ecl(Kd,Ki,Kp,-1*s);

g=simple(g);

g=collect(g)

g0=(9/25-960*Kd)*(-9/25+960*Kd);

g1=((-960*Ki+15)*(-9/25+960*Kd)+(183/10-960*Kp)^2+(9/25-960*Kd)*(960*Ki-15));

g2=(-960*Ki+15)*(960*Ki-15);

g3=0;

h0=3/125;

h1=(79/50+960*Kd);

h2=(193/10+960*Kp+14400*Kd);

h3=(960*Ki+15+14400*Kp);

h4=14400*Ki;

M=[...

h1, h3, 0, 0, ;...

h0, h2, h4, 0, ;...

0, h1, h3, 0, ;...

0, h0, h2, h4, ];

M=simple(M)

dM=det(M);

dM=simple(dM)

N=[...

g0, g1, g2, g3, ;...

h0, h2, h4, 0, ;...

0, h1, h3, 0, ;...

0, h0, h2, h4, ];

N=simple(N)

dN=det(N);

dN=simple(dN)

5.5 Минимизация функционала во временной области

Перейдем от передаточной функции к дифференциальному уравнению системы

.

Положим:

; ;

При идеальном выборе структуры и параметров регулятора должна иметь место зависимость:

.

Задача синтеза КУ состоит в том, чтобы подобрать параметры регулятора, обеспечивающие минимальное значение невязки между правой и левой частями ДУ при подстановке в него желаемых воздей-ствия и реакции.

Последнему уравнению эквивалентно интегральное уравнение вида

где

Откуда следует

Введем следующие обозначение:

;(15)

(16)

С учетом введенных обозначений имеем

;(17)

Для расчета параметров регулятора можно использовать квадратичный функционал

.(18)

Оптимизируя (18) получаем решение

Полученная переходная функция

Рис 9. Переходная характеристика с регулятором

Листинг TimeOptimaze.m - оптимизация

function TimeOptimize

% Оптимизация функционала во временной области

% Оптимизация

[K,min,flag,inf]=fminsearch('timeFun',[0.02 0.01 0.01])

% Результат

w=tf([960*K(1), 960*K(2), 960*K(3)],[0.024, 1.22+960*K(1), 1+960*K(2), 960*K(3)]);

tt=[0:0.01:1];

y=step(w,tt);

ye=1-exp(-15.*tt);

plot(tt,y,'-',tt,ye,'--',tt,y-ye','-');

grid on

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

legend h(t)etalon h(t)real err

Листинг timeFun.m - целевая функция

function J=timeFun(K)

% целевая функция

T=1;

J=0;

for t=[0:T/100:T]

J=J+(T/100)*E(t,K)^2;

end

J

Листинг E.m - функция ошибки

function Res=E(t,K)

% Функция Е

Kd=K(1);

Kp=K(2);

Ki=K(3);

A=[41.6*(1.22+960*Kd), 41.6*(1+960*Kp), 41.6*960*Ki];

DXV=[Dxv(t,2),Dxv(t,1),Dxv(t,0)]';

B=[41.6*960*Kd, 41.6*960*Kp, 41.6*960*Ki];

DYK=[Dyk(t,2),Dyk(t,1),Dyk(t,0)]';

Res=(1-exp(-15*t))+A*DXV-B*DYK;

Листинг Dxv.m

function Res=Dxv(T,v)

Res=0;

for t=[0:T/100:T]

if (v==0)

Res=Res+(T/100)*(1/2)*(T*T-2*T*t+t*t)*(1-exp(-15*t));

end

if (v==1)

Res=Res-(T/100)*(1/2)*(-2*T+2*t)*(1-exp(-15*t));

end

if (v==2)

Res=Res+(T/100)*(1/2)*(2)*(1-exp(-15*t));

end

end

Листинг Dyk.m

function Res=Dyk(T,k)

Res=0;

for t=[0:T/100:T]

if (k==0)

Res=Res+(T/100)*(1/2)*(T*T-2*T*t+t*t);

end

if (k==1)

Res=Res-(T/100)*(1/2)*(-2*T+2*t);

end

if (k==2)

Res=Res+(T/100)*(1/2)*(2);

end

end

5.6 Выводы по различным методам синтеза регулятора

Метод	Кд	Кп	Ки
Метод моментов	0,0004	0,0191	0,0156
Спектральный метод	0,0002	0,0208	0,0018
Метод матричных операторов	0.0004	0,0191	0,0134
Метод минимизации функционала в частотной области	0,0004	0,0191	0,0090
Метод минимизации функционала во временной области	0,0003	0,0193	0,0111

Все методы позволили определить регулятор с минимальными различиями эталонной переходной характеристики и реальной. Полученные коэффициенты некоторыми методами точно равны между собой, некоторых незначительно отличаются.

6 Анализ системы с КУ

Для анализа системы с регулятором были взяты результаты матричного метода

Тогда передаточная функция будет равна

(19)

6.1 Переходные характеристики

Рис 10. Переходные характеристики системы с регулятором

6.2 Частотные характеристики

Рис 11. Частотные характеристики системы с регулятором

7. Модальный регулятор

Передаточная функция разомкнутой цепи

Эталонная передаточная функция

Для того, чтобы эталонная функция была второго порядка добавим множитель , тогда получим:

(19)

Охватим объект обратной связью с передаточной функцией вида

. (20)

Рис. 9. Структурная схема объекта, охваченного обратной связью по производным

Тогда структурная схема принимает вид, изображенный на рис. 9. Найдем ПФ системы

(21)

Приравняв знаменатели (19) и (21) получим

(22)

Решая (22) получим

При данных значениях переходная характеристика равна «поправленной» эталонной, следовательно, обеспечивается необходимое управление.

Ошибка определяется только заданием измененной эталонной функции

Рис 12. Переходная характеристика с регулятором

Здесь использовался только скрипт построения переходного процесса

clear all

t=[0:0.005:1];

syms s

w=tf([15],[1 15]);

w2=tf([30000],[1 215 30000]);

h=step(w,t);

h2=step(w2,t);

plot(t,h2','-',t,h','--',t,h'-h2');

grid on

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

legend h(t)etalon h(t)real err

8. Реализация регулятора на ОУ

Для реализации возьмем параметры, полученные матричным методом

Передаточная характеристика системы с таким регулятором

(23)

8.1 Структурная схема

Рис 13. Структурная схема регулятора

Входной сигнал подается на интегратор и сумматор, после чего в схеме сложения вычитания происходит сложение этих сигналов. Пропорциональное звено отдельно делать не необходимо, т.к. схема сумматора подразумевает весовые коэффициенты. Схема сумматора именно схема сложения-вычитания, т.к. в физической реализации как интегратор, так и дифференциатор инвертирует сигнал.

8.2 Выбор ОУ

Основными требованиями, которые предъявляются к реализации, это малые размеры и вес, малое потребление, малые шумы. В данном случае, в основном, это определяется выбором ОУ. При выборе ОУ так же необходимо правильно выбрать размах входного и выходного напряжения. Наиболее подходит для данного случая ОУ MAX4162ESA [4]. Современная электроника работает с небольшими напряжениями, т.о. для нашего абстрактного регулятора будет считать, что размаха выходного напряжения в 10В хватит. Выходное сопротивление ОУ, как показатель нагрузочной способности регулятора не рассматриваем.

Основные параметры усилителя:

- напряжение питания

- минимальное сопротивление нагрузки

- выходной сигнал с размахом, равным напряжению питания

- входное сопротивление

- выходное сопротивление

- потребляемый ток

- коэффициент усиления по напряжению

- напряжение синфазного смещения

- входной ток

- частота единичного усиления

- температурный дрейф напряжения смещения

- скорость нарастания нагрузки

- ослабление синфазного сигнала .

a. Построение принципиальной схемы

Интегратор

Согласно выбранным параметрам



Рис 14. Принципиальная схема интегратора

Согласно [3], пренебрегая не бесконечным усилением и входной утечкой

, (24)

Тогда

Из стандартного ряда выбираем R1=1.5MОм, C1=47мкФ.

Резистор R2 желателен для улучшения работы ОУ [2]

Дифференциатор

Согласно выбранным параметрам



Рис 15. Принципиальная схема дифференциатора

Согласно [3], пренебрегая не бесконечным усилением и входной утечкой

, (25)

Тогда

Из стандартного ряда выбираем R1=3,9kОм, C1=0,1мкФ.

Резистор R2 желателен для улучшения работы ОУ [2]

Схема сложения - вычитания

Согласно выбранным параметрам



Рис 16. Принципиальная схема сложения - вычитания

Согласно [3], пренебрегая не бесконечным усилением и входной утечкой

, (26)

Тогда

Компоненты выбираем из стандартного набора.

Общая принципиальная схема

Соединяя 3-и схемы получаем общую принципиальную схему регулятора



Рис 17. Принципиальная схема регулятора

Передаточная характеристика регулятора соответствует заданной, т.к. все детали были выбраны достаточно точно.

9. Статистический анализ

В статистическом анализе необходимо получить

· Белый шум

· С помощью формирующего фильтра получить «окрашенный» шум с заданной корреляционной функцией

· Подать этот сигнал на систему и проанализировать выходной сигнал

Белым шумом является случайный сигнал, сформируем его:

Рис 18. Белый шум



Рис 19. Спектральная плотность белого шума

Для формирования шума с заданной корреляционной функцией создадим формирующий фильтр

Заданная корреляционная функция , соответствующая её спектральная плотность

Разложим спектральную плотность на комплексно-сопряженные множители

Передаточная функция формирующего фильтра в этом случае будет иметь вид

где

Белый шум подаём на этот фильтр, а его сигнал на систему.

Для анализа будем использовать метод анализа во временной области, согласно [6]

, (27)

где - спектр входного сигнала

- спектр выходного сигнала

- АЧХ системы

Получим логарифмические спектральные характеристики выходного сигнала фильтра (входного для системы) и выходного сигнала системы.

Рис 21. Спектральная плотность «окрашенного» шума



Рис 22. Спектральная плотность выходного сигнала

Листинг статистического анализа

% Начальные значения

Fs = 5000;

alfa=100;

D=1000;

% Белый шум

t = 0:1/Fs:2;

x = 2*rand(size(t))-1;

figure;

plot(t,x);

title('White noise');

ylabel('X');

xlabel('t');

% Распределение белого шума

figure;

hist(x);

% математическое ожидание

std_=std(x)

% дисперсия

median_=median(x)

% Мпектральная плотность белого шума

figure;

h = spectrum.periodogram;

Hpsd = psd(h,x,'Fs',Fs);

plot(Hpsd);

% Мпектральная плотность окрашенного шума

s=2.*pi.*Hpsd.Frequencies.*i;

K=sqrt(2*D/alfa);

T=1/alfa;

A=abs(K./(T.*s+1));

figure;

Y=10.*log10(A.*A.*Hpsd.Data);

X=Hpsd.Frequencies;

plot(X,Y);

title('Power Spectral Density of input signal');

ylabel('Power/frequency (dB/Hz)');

xlabel('Frequency (Hz)');

% Мпектральная плотность выходного сигнала

A=abs((21.12.*s.*s+3.456.*s+17.09)./(0.026.*s.*s.*s.*s+1.32.*s.*s.*s+22.12.*s.*s+3.456.*s+17.09));

figure;

Y=10.*log10(A.*A.*Y);

X=Hpsd.Frequencies;

plot(X,Y);

title('Power Spectral Density if output signal');

ylabel('Power/frequency (dB/Hz)');

xlabel('Frequency (Hz)');

Литература

1. Н.Д. Егупов, К.А. Пупков. Синтез регуляторов систем автоматического управления. Том 3-ий. М.Ж Изд - во МГТУ им Н.Э. Баумана, 2004 = 612

2. П. Хоровиц, У. Хилл. Искусство схемотехники. Москва «Мир» 2001 - 703

3. Ю.Ф. Опадчий, О.П. Глудкин, А.И. Гуров. Аналоговая и цифровая электроника, Москва «Горячая линия телеком» 2000 - 768

4. Datasheet MAX4162/MAX4163/MAX4164 в формате PDF с сайта ww.maxim-ic.com

5. Н.Д. Егупов, К.А. Пупков. Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления. Том 2-ий. М.Ж Изд - во МГТУ им Н.Э. Баумана, 2004 = 612