Размещено на http://www.allbest.ru/

Печатается по решению редакционно-издательского совета Нижегородского института развития образования

Учебное пособие

Статистические методы в психологических исследованиях

С.А.Гапонова,

А.В.Поршнев

Н. Новгород 2010

Учебное пособие представляет собой практическое руководство для психологов, студентов психологических факультетов, магистров и аспирантов психологических специальностей, поставивших цель статистически обосновать свои научные и практические выводы. Принцип отбора методов, представленных в рекомендациях - ясность и простота. Все они могут быть использованы для быстрой и качественной обработки количественных и качественных данных, полученных в исследовании.

Методы рассматриваются на реальных примерах и сопровождаются алгоритмами расчета статистических критериев.

Настоящее учебное пособие является вторым, исправленным и дополненным изданием. Первое издание вышло в 2006 году в Нижегородском гуманитарном центре под названием «Методы статистической обработки в психологических исследованиях».

Составители: Гапонова С.А., докт. психол. наук, профессор, зав. кафедрой социальной психологии НГПУ.

Поршнев А.В., канд. психол. наук, доцент кафедры социально-гуманитарных наук НФ ГУ-ВШЭ.

Рецензенты:

Сорокина Т.М.., доктор психол. наук, профессор, зав.каф. социальной педагогики, психологии и предметных методик начального образования

Шляхтин Г.С.,канд. психол. наук, доцент, зав. каф. общей и социальной психологии ННГУ

Ответственный за выпуск:

Содержание

Введение

1. Случай связанных выборок. Критерий знаков «G»

2. Случай независимых измерений. Критерий Вилкоксона - Манна- Уитни «U»

3. Метод ранговой корреляции. Коэффициент корреляции рангов Спирмена «с»

4. Оценка связи между качественными признаками. Метод чІ ("хи-квадрат")

5. Сравнение двух выборок по качественно и количественно определенному признаку. Критерий Фишера - «ц»

6. Проверка нормальности распределения эмпирических данных

7. Меры связи

8. Оценка различий между сравниваемыми группами наблюдений

Литература

Приложение

Введение

Главным ориентиром в деятельности высших учебных заведений, готовящих психологов, работающих в различных сферах профессиональной деятельности, на современном этапе является принятие в качестве важнейшей цели обучения и воспитания установки на развитие творческого потенциала студента и создания для этой цели благоприятных условий. Социальные и профессиональные функции психологов расширяются и усложняются и, кроме знания предмета, он должен быть для своих учеников носителем культурного содержания. О необходимости формирования у студентов самостоятельной творческой деятельности говорится и в Законе «О высшем и послевузовском образовании», одной из задач которого является «развитие наук посредством научных исследование и творческой деятельности научно-педагогических работников и обучающихся, использование полученных результатов в образовательном процессе». И овладение навыками исследовательской деятельности является не только требованием времени, но и важнейшим атрибутом цивилизованного отношения к будущей профессии.

Самостоятельная научно-исследовательская работа студентов необходима для более полного, глубокого и осознанного усвоения учебного материала, приобретения навыков исследовательской работы и опыта творческой деятельности. Традиционными формами такой работы в вузе следует отнести подготовку курсовых, квалификационных и дипломных проектов, в которую с каждым годом включается всё больше студентов.

Написание научной работы - сложный вид учебной деятельности студента, к которой он должен быть соответственно подготовлен: уметь работать со специальной литературой, писать рефераты, проводить научное исследование, с применением исследовательских методов и уметь анализировать результаты, то есть обнаруживать определенные закономерности и правильно их интерпретировать. Для этого необходимо научиться планировать исследование и критично оценивать полученные данные с точки зрения их достоверности - статистической значимости.

Термин «статистика» часто ассоциируется со словом «математика», что пугает студентов-гуманитариев, связывающих это понятие со сложными формулами и вычислениями. В то же время, по меткому выражению Мак-Коннелла, «статистика - это, прежде всего, способ мышления и для её применения нужно лишь иметь немного здравого смысла и знать основы математики». Такие виды деятельности, как планирование семейного бюджета, расчет времени, необходимого для проведения какого-то мероприятия, анализ влияния того или иного события на наше будущее, заставляют нас постоянно отбирать, классифицировать и систематизировать информацию, связывать вновь поступившую информацию с уже имеющейся для того, чтобы сделать выводы и принять верное решение.

Те же мыслительные операции лежат и в основе научного исследования: анализ и синтез данных, полученных в эксперименте на различных объектах и группах объектов, их систематизация и сравнение, с целью выявления сходства или различия между ними и, наконец, формулировка выводов, подтверждающих или опровергающих гипотезы исследования. Цель статистической обработки данных как раз и заключается в том, чтобы иметь солидную основу для интерпретации полученных в исследовании результатов.

Результаты, или данные в статистике - это основные элементы, подлежащие анализу. Данные могут быть трех типов:

Количественные данные, получаемые при измерениях (например, данные о времени, результатах тестирования, объеме памяти, внимания и т.д.);

Порядковые данные, соответствующие местам (рангам) этих признаков в последовательности, полученной при их расположении в возрастающем порядке (например, иерархии мотивов или ценностей в методике Р.Рокича, последовательность предпочтение в выборе каких-то качеств и т.д.);

Качественные данные, представляющие собой какие-то свойства, которые нельзя измерить и их оценкой служит частота встречаемости (больше нормы - меньше нормы, есть изменения - нет изменений, хуже - лучше и т.д.).

Для статистической обработки количественных данных используются, так называемые, параметрические методы, основанные на таких показателях, как средняя арифметическая, стандартное отклонение, ошибка средней и т.д. Например, для определения достоверности различий средних арифметических двух выборок применяют метод Стьюдента (t - критерий).

Если же мы имеем дело с качественными или порядковыми данными или выборки слишком малы более эффективны непараметрические методы обработки результатов исследования: критерий знаков, критерий Вилкоксона - Манна - Уитни, ранговая корреляция Спирмена для порядковых данных и т.д.

Некоторые основные понятия

Признаки и переменные - это измеряемые психологические явления: время решения задач, количество допущенных ошибок, уровень тревожности, показатель интеллекта, социометрический статус и т.п. Понятия признака и переменной могут использоваться как взаимозаменяемые, иногда вместо них используются понятия «показатель» или «уровень».

Популяция - в статистике совокупность всех элементов реальной или теоретической группы лиц, предметов и т.п.

Выборка - группа испытуемых, представляющая определенную популяцию, отобранная для экспериментального исследования (студенческая или ученическая группа, сообщество подростков, профессиональное объединение и др.):

Зависимые измерения - результаты исследования одних и тех же испытуемых;

Независимые измерения - результаты исследования различных испытуемых.

Гипотеза - предположение, которое выдвигается как временное на основе имеющихся наблюдений и уточняемое в последующем эксперименте.

Статистическая гипотеза - гипотеза, которая может быть проверена методами статистики. При рассмотрении статистических гипотез выделяются два вида:

Нулевая гипотеза - это гипотеза о случайности различий или сходства (Но);

Конкурирующая гипотеза (Н1) - это гипотеза о значимости различий или сходства. то, что мы хотим доказать в своем исследовании, поэтому иногда её называют экспериментальной гипотезой..

Статистический критерий - статистический показатель, позволяющий принять или опровергнуть ту или иную гипотезу в зависимости от вероятности того, что различия обусловлены чистой случайностью.

Уровень статистической значимости - это вероятность того, что мы сочли различия существенными.

Условные обозначения

Когда мы указываем, что различия достоверны в 95% случаев (или на 5% уровне значимости, или при p < 0,05), то мы имеем в виду, что вероятность того, что они все-таки недостоверны (или вероятность ошибки), составляет 5%.

Когда мы указываем, что различия достоверны в 99% случаев (или на 1% уровне значимости, или при p < 0,01), то мы имеем в виду, что вероятность того, что они все-таки недостоверны (или вероятность ошибки), составляет 1%.

ПРИМЕНЕНИЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ СТАТИСТИКИ В ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

В последнее время непараметрические методы оценки различий двух групп наблюдений, оценки связи (корреляции) между двумя рядами наблюдений и отнесения наблюдений к одному из двух классов получили широкое распространение в статистике.

Непараметрические статистические критерии значительно менее трудоемки, чем параметрические. Нами рассматриваются 5 различных критериев в типичных случаях их применения. Это позволит при наиболее частых вариантах обработки экспериментальных данных выбрать наиболее подходящий критерий для проверки достоверности вывода о различиях между сравниваемыми группами наблюдений.

1. Случай связанных выборок. Критерий знаков «G»

При сравнении двух связанных (парных) измерений очень удобен критерий знаков [1, 2, 3]. Напомним, что связанными называют такие измерения, которые соответствуют одному и тому же параметру одного и того же испытуемого. Иногда это - измеряемая величина у испытуемых контрольной группы; иногда это связь, обусловленная временем: контрольный эксперимент проводит, в то же время, когда и основной и т.д.

Критерий знаков основан на подсчете числа однонаправленных сдвигов в парных сравнениях и при большом числе пар достаточно эффективен, хотя учитывает не степень различий в каждой паре, а лишь их направленность - знак. Он позволяет установить, изменяются ли показатели в сторону улучшения, повышения, усиления или, наоборот, в в сторону ухудшения, понижения, ослабления.

Пример. 12 участников комплексной программы тренинга партнерского общения, продолжавшегося 7 дней, дважды оценивали у себя уровень владения тремя важнейшими коммуникативными навыками. Первое измерение проводилось в первый день тренинга, второе - в последний. Все изменения оценивались по 10-балльной шкале. Данные представлены в таблице 1.

Вопрос: Ощущаются ли участниками достоверные сдвиги в уровне владения каждым из трех навыков после тренинга?

Таблица 1 Изменение психологических показателей в начале и конце тренинга

Показа- тели ФИО	1 измерение	2 измерение
	Активное слушание	Снижение эмоциональ- ного напря- жения	Аргумента- ция	Активное слушание	Снижение эмоциональ- ного напря- жения	Аргумента-ция
1. И.В.Л.	6	5	5	7	6	7
2. Я.Е.А.	3	1	4	5	4	5
3. К.С.И.	4	4	5	8	7	6
4. Р.М.Н.	4	4	5	6	5	5
5. Н.М.Т.	6	4	4	4	5	5
6. Е.Л.П.	6	5	3	8	7	6
7. Л.К.С.	3	5	2	7	8	5
8. Т.А.П.	6	5	3	5	8	5
9. Б.В.В.	6	5	5	7	6	5
10.С.М.А.	5	6	5	7	7	6
11.В.П.Р.	6	6	3	5	4	3
12.Ч.Н.Г.	6	3	4	7	6	5

Преобразуя таблицу 1, составим таблицу сдвигов, для чего из значения, полученного во 2-м замере, вычтем значение, полученное данным испытуемым по соответствующей шкале в 1-м замере (табл. 2).

Из таблицы 2 мы видим, что положительных сдвигов по всем шкалам больше.

Таблица 2 Сдвиги в значениях психологических показателей в начале и конце тренинга

ФИО	Сдвиги
	Активное Слушание	Снижение эмоционального напряжения	Аргументация
1. И.В.Л.	1	1	2
2. Я.Е.А.	2	3	1
3. К.С.И.	4	3	1
4. Р.М.Н.	2	1	0
5. Н.М.Т.	-2	1	1
6. Е.Л.П.	2	2	3
7. Л.К.С.	4	3	3
8. Т.А.П.	-1	2	2
9. Б.В.В.	1	1	0
10.С.М.А.	2	1	1
11.В.П.Р.	-1	-2	0
12.Ч.Н.Г.	1	3	1
Количество нетипичных сдвигов (Gэмп)	3	1	0
Всего сдвигов	12	12	9

Сформулируем гипотезы:

Но - преобладание типичного (положительного) сдвига в самооценках уровня владения коммуникативными навыками является случайным;

Н1 - преобладание типичного (положительного) сдвига в самооценках уровня владения коммуникативными навыками не является случайным.

Проверим гипотезы, определив критические значения критерия знаков (Gкр.) по таблице I приложения.

1) Для шкалы «Активное слушание», n = 12:

Gэмп. = 3, следовательно, Gэмп. > Gкр.

Ответ: Но принимается. Преобладание положительного сдвига по уровню владения навыком активного слушания является случайным, достоверного улучшения показателей не отмечается.

2) Для шкалы «Снижение эмоционального напряжения», n = 12:

Gэмп. = 1, следовательно, Gэмп. < Gкр.

Ответ: Но отвергается. Принимается Н1. Преобладание положительного сдвига по уровню владения навыком снижения эмоционального напряжения не является случайным. Отмечается достоверные положительные сдвиги по данному показателю.

3) Для шкалы «Аргументация», n = 9.

Gэмп. = 0, следовательно, Gэмп. < Gкр.

Ответ: Но отвергается. Принимается Н1. Преобладание положительного сдвига по уровню владения навыком аргументации не являются случайным. Отмечаются достоверные положительные сдвиги по данному показателю.

2. Случай независимых измерений. Критерий Вилкоксона - Манна- Уитни «U»

Критерий U применяют при независимых измерениях [1]. Он особенно удобен, когда число наблюдений невелико. Таблица 2 приложения позволяет применять критерий U при числе наблюдений - до 60.

Пример. Пусть в контрольной группе и в группе после формирующего эксперимента обнаружены следующие показатели какого-то психологического параметра:

в контрольной группе (7 испытуемых) - 39, 38, 44, 6, 25, 25, 30;

в экспериментальной группе (9 испытуемых) - 46, 8, 68, 45, 41, 41, 30, 100.

Вопрос: Имеются ли различия по этому параметру в контрольной и экспериментальной группах?

Сформулируем гипотезы:

Но - после формирующего эксперимента в экспериментальной группе не произошло изменений исследуемого параметра;

Н1 - в результате проведения формирующего эксперимента в экспериментальной группе произошли достоверные сдвиги в уровне исследуемого психологического параметра

Необходимо упорядочить (расположить в порядке возрастания) первый и второй ряды в виде одного, так называемого общего упорядоченного ряда (табл. ). Для того, чтобы можно было различить числа, относящиеся к основной и контрольной сериям, контрольные опыты располагаются левее, а основные - правее некоторой вертикальной черты (если общий упорядоченный ряд расположен вертикально).

Таблица 3 Изменение психологических показателей в контрольной и экспериментальной группах

Исследуемый показатель	Число инверсий
Х (контрольная группа)	У (экспериментальная группа)
6		0
	8
25		1
25		1
30		1
	30
	32
38		3
39		3
	41
	41
44		5
	45
	46
	68
	100
Всего		14

В первом и втором рядах примера есть пара неразличающихся наблюдений (30 и 30). Их может быть и больше. Вопрос о порядке их расположения в упорядоченном ряду можно решить с помощью следующего приема. Если неразличающихся чисел всего два, их расположение в общем упорядоченном ряду должно быть случайным. Поэтому, какое из них располагать раньше, можно определить подбрасыванием монеты. Если есть два других неразличающихся числа в левой и правой части упорядоченного ряда, их надо расположить в обратном порядке. Если неразличающихся чисел 3, их располагают так:

И так далее. Принцип расположения заключается в том, чтобы по возможности не давать приоритета ни левой, ни правой половинам общего упорядоченного ряда. Одинаковые числа левого и правого рядов должны быть, как можно более равномерно перемешаны.

Иногда рекомендуют исключать пары неразличающихся наблюдений, соответственно уменьшая число членов выборок. Однако это может привести к искажениям: к завышению существенности различий. Все сказанное не относится к одинаковым наблюдениям в пределах одного ряда. Порядок их расположения естественно не имеет значения.

В таблице 3 результаты расположены в порядке их возрастания, причем на каждой строке помещен только один результат, полученный либо в контроле, либо в опыте. Для критерия U существенны не сами значения результатов наблюдения, а порядок их расположения. Обозначим результаты первой группы наблюдений через Х, а второй группы - через У. Тогда наш упорядоченный ряд можно изобразить так: ХУХХХУУХХУУХУУУУ. Будем считать идеальным такое расположения чисел, когда после упорядочения располагаются сначала все числа первого ряда (в таблице 3 - первого столбца), а потом второго: ХХХХХХХУУУУУУУУУ.

Дальнейший анализ заключается в подсчете нарушений расположения чисел по сравнению с их идеальным расположением. Одним нарушением - инверсией - считают такое расположение, когда перед некоторым числом первого столбца стоят два числа второго столбца, это считают за две инверсии и т.д. Число инверсий обозначают через U.

Подсчитаем число инверсий в нашем примере. Числа 25, 25 и 30 первого столбца имеют перед собой по одному числу второго столбца - 8, то есть имеют по одной инверсии. Числа 38 и 39 первого столбца имеют перед собой по 3 числа второго столбца - 8, 30 и 32, то есть имеют по 3 инверсии. Последнее число первого столбца 44 имеет перед собой 5 чисел второго столбца. Общее число инверсий, таким образом, составляет:

Uэмп. = 1 + 1 + 1 + 3 + 3 + 5 = 14

Примечание. В любом общем упорядоченном ряду инверсии можно подсчитывать двумя способами - относительно группы Х и относительно группы У. Следует выбрать тот способ, который дает наименьшую сумму инверсий.

Обращаемся к таблице II приложения, где для числа наблюдений (у нас - число испытуемых) 7 и 9 находим максимальное значение Uэмп., при котором можно делать вывод о существенном различии выборок - Uкр.

Следовательно, при 14 инверсиях в этом случае можно утверждать, что различия между двумя взятыми рядами чисел существенны.

Ответ: Но не принимается. В результате формирующего эксперимента произошли достоверные изменения в уровне исследуемого психологического параметра.

Критерий U в некоторых случаях целесообразно применять при связанных выборках, рассматривая их при этом как независимые. Дело в том, что связи между парами «опыт - контроль» могут оказаться слабыми, а различия между ними - сильными. Тогда, рассматривая выборки как независимые, мы можем обнаружить различия, не выявляемые критериями для связанных выборок. Это особенно важно для очень малых выборок, так как критерий знаков можно применять при выборках, включающих не менее 5 пар наблюдений, а критерий U применим уже при 3 парах.

3. Метод ранговой корреляции. Коэффициент корреляции рангов Спирмена «с»

Возможность измерять корреляцию не между самими значениями, а между их относительными оценками - рангами, позволяет оценивать связь и между качественными признаками, когда точное количественное измерение признака по тем или иным причинам оказывается невозможным, а также когда кривые распределения слишком асимметричны и не позволяют использовать такие параметрические критерии, как коэффициент корреляции Пирсона r: в этих случаях бывает необходимо превратить количественные данные в порядковые - проранжировать их. Как правило, меньшему значению признака присуждается меньший ранг, хотя для процедуры подсчета это несущественно - главное, чтобы в обоих рядах ранжирование было однонаправленным.

Если два признака связаны положительно, то испытуемые, имеющие низкие ранги по одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие ранги по одному из признаков, будут иметь по другому признаку также высокие ранги.

Для подсчета «с» необходимо определить разности между рангами (d), полученными данным испытуемым по обоим признакам. Затем эти показатели возводятся в квадрат (dІ) и подсчитывается сумма квадратов. Данные проставляются в формулу:

где с - коэффициент ранговой корреляции Спирмена

У (dІ) - сумма квадратов разности между рангами по двум переменным для каждого испытуемого;

n - количество ранжируемых значений.

Чем меньше разности между рангами, тем больше будет «с» - тем ближе он будет к (+1).

Если корреляция отсутствует, то все ранги будут перемешены и между ними не будет никакого соответствия. В этом случае «с» окажется близким к нулю.

В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот. Чем больше несовпадение между рангами испытуемых , тем ближе «с» к (-1).

Коэффициент корреляции рангов может быть значимым лишь при достаточном числе пар данных, взятых в анализ - не менее 5 пар. Критические значения определяется по таблице критических значений (см. Приложение, таблица III).

Пример 1. Корреляция между индивидуальными профилями. В исследовании, посвященном проблеме ценностных ориентаций, выявлялись иерархии терминальных ценностей по методике М. Рокича у родителей и их взрослых детей (Е.В. Сидоренко). Ранги терминальныхценностей, полученные при обследовании пары мать - дочь представлены в таблице.

Вопрос: Как эти ценностные иерархии коррелируют друг с другом.

Сформулируем гипотезы:

Но - корреляция между иерархиями терминальных ценностей матери и дочери статистически не значима;

Н1 - корреляция между иерархиями терминальных ценностей матери и дочери статистически значима.

Поскольку ранжирование ценностей предполагается самой процедурой исследования, нам остается лишь подсчитать разности между рангами 18 ценностей в двух иерархиях.

Начиная с верхней строки, из оценки, стоящей в графе «ранг ценностей в иерархии матери», вычитаем оценку, стоящую в графе «ранг ценностей в иерархии дочери», результат записываем в графе d, возводим его в квадрат и этот результат записываем в графе dІ.

Таблица 4 Расчет терминальных ценностей по списку М. Рокича в индивидуальных иерархиях матери и дочери

Терминальные ценности	Ранг ценностей в иерархии матери	Ранг ценностей в иерархии дочери	d (разность рангов)	DІ
1. Активная деятельная жизнь	15	15	0	0
2. Жизненная мудрость	1	3	-2	4
3. Здоровье	7	14	-7	49
4. Интересная работа	8	12	-4	16
5. Красота природы и искусство		17	-1	1
6. Любовь	11	10	1	1
7. Материально обеспеченная жизнь	12	13	-1	1
8. Наличие хороших и верных друзей	9	11	12	4
9.Общественное признание	17	5	12	144
10.Познание	5	1	4	16
11.Продуктивная жизнь	2	2	0	0
12.Развитие	6	8	-2	4
13.Развлечения	18	18	0	0
14.Свобода	4	6	-2	4
15.Счастливая семейная жизнь	13	4	9	81
16.Счастье других	14	16	-2	4
17.Творчество	10	9	1	1
18.Уверенность в себе	3	7	-4	16
Суммы( У )	171	171	0	346

Определяем эмпирическое значение «с»:

с = = 0,643

По таблице 3 Приложения определяем критические значения:

с эмп. > с кр. (р < 0, 01)

Ответ: Но отвергается. Принимается Н1. Корреляция между иерархиями терминальных ценностей матери и дочери статистически значима (р < 0, 01) и является положительной. Из таблицы видно, что основные расхождения приходятся на ценности «Счастливая семейная жизнь», «Общественное признание» и «Здоровье», ранги остальных ценностей достаточно близки.

Пример 2. Корреляция между двумя признаками.

В исследовании, моделирующем деятельность авиадиспетчера, группа испытуемых, студентов физического факультета ЛГУ проходила подготовку перед началом работы на тренажере. Испытуемые должны были решать задачи по выбору оптимального типа взлетно-посадочной полосы для заданного типа самолета.

Вопрос: Связано ли количество ошибок, допущенных испытуемыми в тренировочной сессии, с показателями вербального интеллекта, измеренными по методике Д. Векслера?

Сформулируем гипотезы:

Но - корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта статистически не значима;

Н1 - корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта статистически значима.

Далее, в отличие от первого примера, нам необходимо вначале проранжировать оба показателя, приписывая меньшему значению меньший ранг, а затем подсчитать разности между этими рангами, возвести их в квадрат и суммировать. В индивидуальных значениях переменной Б (вербального интеллекта) имеются одинаковые показатели, поэтому их ранги представляют собой среднюю арифметическую. Данные представлены в таблице 6

Таблица 6 Расчет коэффициента корреляции рангов (Спирмена) при сопоставлении показателей количества ошибок и вербального интеллекта у студентов-физиков (n = 10)

Испытуемые	Переменная А: количество ошибок	Переменная Б: вербальный интеллект	d (разность рангов)	dІ
	Инд.значения по А	Ранги по А	Инд. значения по Б	Ранги по Б
1. Т.А.	29	9	131	4	5	25
2. П.А.	54	10	132	5,5	4,5	20,25
3. Ч.И.	13	4	121	1	3	9
4. Ц.Е.	8	2	127	3	-1	1
5. С.Н.	14	5	136	9	-4	16
6. К.Ю.	26	8	124	2	6	36
7. Л.П.	9	3	134	7	-4	16
8. Б.Н.	20	7	136	9	-2	4
9. И.К.	2	1	132	5,5	-4,5	20,25
10.Ф.Д.	17	6	136	9	-3	9
Суммы ( У )		55		55		156,5

Определяем эмпирическое значение «с»:

с = = 0,052

По таблице III Приложения определяем критические значения:

с эмп. < с кр. (р < 0, 01)

Ответ: Но принимается. Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта статистически не значима.

4. Оценка связи между качественными признаками. Метод чІ ("хи-квадрат")

Иногда в процессе проведения эксперимента возникает необходимость сравнения не абсолютных средних значений величин, а частотных, например процентных, распределений результатов для того, чтобы выяснить, связаны они друг с другом или, наоборот, независимы.

Так бывает необходимо проверить:

существуют ли достоверные различия между числом людей, справляющихся (или нет) с заданиями какого-то интеллектуального теста, и числом этих же людей, получающими при обучении высокие или низкие оценки;

между возрастом людей и их успехом или неудачей в выполнении заданий на запоминание и т.д.

В подобных случаях может помочь метод чІ-критерий (хи-квадрат).

Пример. Для экспериментального исследования была взята выборка из 100 учащихся и с ними проведен формирующий эксперимент. До эксперимента 30 человек успевали на «удовлетворительно», 30 - на «хорошо», а остальные 40 - на «отлично». После эксперимента ситуация изменилась: теперь на «удовлетворительно» успевают только 10 учащихся, на «хорошо» - 45 учащихся и на «отлично» - 45 учащихся.

Вопрос: Можно ли, опираясь на эти данные, утверждать, что формирующий эксперимент, направленный на улучшение успеваемости, удался?

Для ответа на данный вопрос подсчитаем чІ - критерий по следующей формуле:

где Pi -частоты результатов наблюдения до эксперимента;

Vi -частоты результатов наблюдений, сделанных после эксперимента;

с - общее число групп, на которые разделились результаты наблюдений.

Воспользуемся приведенным примером, чтобы продемонстрировать, как работает чІ-критерий.

Сформулируем гипотезы:

Но - Распределения учащихся по группам успевающих на «удовлетворительно», «хорошо» и «отлично» до и после формирующего эксперимента не отличаются между собой.

Н1 - Распределения учащихся по группам успевающих на «удовлетворительно», «хорошо» и «отлично» до и после формирующего эксперимента отличаются между собой.

В нашем примере P переменная принимает следующие значения: 30%, 30%. 40%, а переменная V - такие значения: 10%. 45%, 45%. Составим таблицу 7.

Таблица 7 Промежуточные расчеты для критерия чІ

Группы Испытуемых	Pk	Vk	( Vk - Pk)	(Vk - Pk)І
Успевающие на «удовлетворительно»	30	10	20	400
Успевающие на «хорошо»	30	45	-15	225
Успевающие на «отлично»	40	45	-5	25

Подставим полученные значения в формулу для чІ и определим его эмпирическую величину.

чІэмп. = = 21,5

Теперь воспользуемся таблицей IV Приложения, где для заданного числа степеней свободы df= (с - 1) можно выяснить степень значимости полученных различий в распределении оценок до и после формирующего эксперимента. В нашем случае было 3 группы испытуемых: успевающие на «удовлетворительно», «хорошо» и «отлично», следовательно, число степеней свободы df будет равно 2 (3 - 1 = 2).

По таблице IV Приложения определяем критические значения чІ:

чІ эмп. < чІ кр. (р < 0,001)

Можно видеть, что полученное нами значение чІ = 21,5 больше соответствующего табличного значения df (c - 1 = 2) степеней свободы, составляющего 13,82 при вероятности допустимой ошибки р < 0, 001.

Ответ: Но отвергается. Принимается Н1. Предположения о значимых изменениях, которые произошли в оценках учащихся в результате введения новой методики обучения (формирующего эксперимента) подтвердились: успеваемость учащихся достоверно улучшилась (р < 0,001).

5. Сравнение двух выборок по качественно и количественно определенному признаку. Критерий Фишера - «ц»

Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух рядов выборочных значений по частоте встречаемости какого-либо признака. Его можно применять для оценки различий, как в зависимых, так и в независимых выборках, а также сравнивать показатели одной и той же выборки, измеренные в разных условиях.

Пример 1. Сравнение двух выборок по качественно определенному признаку.

Психолог провел эксперимент, в котором выяснилось, что из 23 учащихся математической школы 15 справились с заданием. А из 28 учащихся обычной школы с тем же заданием справились 11 человек.

Вопрос: Можно ли считать различия в успешности выполнения заданий между учащимися математической и обычной школами достоверными? (О.Ю.Ермолаев).

Сформулируем гипотезы:

Но - различия в выполнении задания учащимися математической и обычной школой отсутствуют.

Н1 - существуют достоверные различия в успешности выполнения задания учащимися математической и обычной школами.

Для решения этой задачи показатели успешности выполнения задания по каждой школе необходимо перевести в проценты, что составит:

15 · 100 = 65,2 % для математической школы;

11 · 100 = 39,3 % для обычной школы.

По таблице Приложения XI находим величины ц1 и ц2 - соответствующие процентным долям в каждой группе. Так для 65,2 % согласно таблице соответствующая величина ц1 = 1,880, а для 39,3 % величина ц2 = 1,355.

Эмпирическое значение

цэмп. =

где ц1 - величина, взятая из таблицы Приложения XI, соответствующая большей процентной доле;

ц2 - величина, взятая из таблицы Приложения XI, соответствующая меньшей процентной доле;

n1 - количество наблюдений в выборке 1;

n2 - количество наблюдений в выборке 2.

В нашем случае

цэмп. = = 1,86

По таблице Приложения XII определяем, какому уровню значимости соответствует цэмп. = 1,86.

С таблицей Приложения XII работаем следующим образом: находим внутри её число, равное вычисленному цэмп., и смотрим, между какими уровнями значимости (с учетом тысячной доли) оно находится. Первый левый столбец таблицы соответствует уровням значимости от 0,00 (самое верхнее значение) до 010 (самое нижнее значение). Верхняя строчка таблицы - соответствует тысячной доле уровня значимости. Итак, находим наше число, равное 1,86 внутри таблицы, оно находится на пересечении строчки, соответствующей уровню значимости 0,03 и столбца, обозначенного цифрой 1. Следовательно, уровень значимости цэмп. равен 0,03 +0,001 = 0,031.

Необходимо подчеркнуть, что поскольку критические значения для 5% и 1% уровней значимости имеют фиксированную величину и составляют, соответственно, для 5% цкр. = 1,64, а для 1% цкр. = 2,28, то данная таблица Приложения 6 практически не нужна, так как этими величинами критических уровней можно пользоваться всегда.

цэмп. < цкр.(р < 0,001) > цкр.( р < 0,05), поэтому мы можем принять гипотезу Н1 на 5% уровне значимости и отклонить её на 1% уровне значимости.

Ответ: Но отвергается, принимается Н1: на 5% уровне значимости можно считать различия в успешности выполнения заданий между учащимися математической и обычной школами достоверными.

Критерий Фишера с успехом может быть применен и при сравнении распределений количественных признаков.

Пример 2. Сравнение двух выборок по количественно определенному признаку.

Психолог проводил анализ выраженности уровня тревожности в группе сирот и в группе детей из полных семей при помощи опросника Тейлора. 40 баллов и выше рассматривались как показатель очень высокого уровня тревожности. В группе сирот из 10 человек очень высокий уровень тревожности наблюдался у 7 испытуемых (70%). В группе детей из полных семей из 13 человек такой уровень наблюдался у 3 испытуемых (23,1%).

Вопрос: Будет ли уровень тревожности у подростков-сирот более высоким, чем у их сверстников из полных семей? (О.Ю.Ермолаев).

Сформулируем гипотезы:

Но - статистические различия в уровне тревожности у детей-сирот и детей из полных семей отсутствуют;

Н1 - существуют статистические различия в уровне тревожности у детей-сирот и детей из полных семей.

По таблице Приложения 5 определяем величины ц1 и ц2, соответствующие процентным долям в каждой группе:

ц1 = 1,982 для 70% и ц2 =1,003 для 23,1%.

Подсчитываем цэмп. по формуле:

Цэмп. = (1,982-1,003) ·= 2,32

Напомним, что критические величины для этого критерия таковы:

цэмп. > цкр.( р < 0,001), следовательно, различия между группами значимы на уровне 1%, то есть, в группе сирот измеряемый признак выражен в существенно большей степени, чем в группе детей из полных семей.

Ответ: Но отвергается, принимается Н1: подростки-сироты более тревожны, чем дети из полных семей.

Следует обратить внимание на тот факт, что для получения подобного вывода понадобилась очень малая выборка испытуемых.

ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ СТАТИСТИКИ В ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Параметрические критерии - это критерии, использующие то, что нам известно распределение случайной величины, т.е. ее функция распределения однозначно задается некоторым числом параметров. Например, для нормального распределения этих параметров два - математическое ожидание и дисперсия. Нормальное распределение случайной величины часто встречается в природе при большом количестве измерений. Хотя есть и другие распределения: Гамма-распределение, ч2, биномиальное, и др., но нас будут интересовать критерии, основанные на предположении, что распределение нормальное.

Для того чтобы можно было с уверенно применять критерии, основанные на предположении, что распределение нормальное необходимо проверить действительно ли это так. Это можно сделать по графику или по специальным критериям проверки нормальности распределения.

Таким образом, перед использованием критерия корреляции Пирсона или t-критерия Стьюдента, необходимо проверить соответствует ли распределение эмпирических данных нормальному.

Несмотря на кажущуюся сложность применения, параметрические критерии имеют большую мощность, нежели параметрические. Мощность критерия - это характеристика области, в которой критерий может определять различия, если они есть. Так, например, мощность t-критерия Стьюдента приблизительно в 1,5 раза больше чем G-критерия знаков. Это значит, что из трех случаев, в которых существуют значимые различия и будет выполняться t-критерий, G-критерий будет выполняться только в двух.

Итак, непараметрические критерии имеют большую область определения (могут применяться для любых распределений), но меньшую различительную способность - мощность, а параметрические более мощные, но могут применяться только на распределениях определенного вида.

Нами рассматриваются 2 критерия для оценки нормальности распределения и 2 различных критерия в типичных случаях их применения. Рассказывается о мощном и самом часто употребляемом t-критерии Стьюдента в трех его вариантах (для зависимых измерений, для независимых измерений и процентильный) и критерий корреляции Пирсона.

6. Проверка нормальности распределения эмпирических данных

По ГОСТ 8.207-76 "Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений" рекомендуется следующие способы проверки гипотезы о нормальности распределения эмпирических данных (Худяков, Зароченцев). Если объем выборки менее 16, то не рекомендуется использовать параметрические критерии. Если количество измерений больше 15 но менее 50, то следует применять "Двойной составной критерий". Для выборок объемом более 50 рекомендован критерий чІ.

Двойной составной критерий

Двойной составной критерий направлен на сопоставление двух распределений эмпирического и нормального. Если эмпирическое распределение удовлетворяет двойному составному критерию, то с вероятностью 0,98 можно считать, что к полученным данным применима нормальная модель распределения.

Таблица V приложения позволяет применять Двойной составной критерий при численности сравниваемых выборок от 16 до 50.

Пример 2.1. Участники тренинга уверенное поведение, продолжавшегося 1 день, оценили у себя уровень личностной тревожности. Первое измерение проводилось в первый день тренинга, на следующий после тренинга день. Все изменения оценивались по 10-балльной шкале. Данные представлены в таблице 8.

Вопрос: Можно ли утверждать, что полученные эмпирические данные подчиняются закону нормального распределения?

Таблица 8

ФИО	Личностная тревожность
	До	После
1. И.В.Л.	5	5
2. Я.Е.А.	4	1
3. К.С.И.	4	4
4. Р.М.Н.	4	4
5. Н.М.Т.	5	4
6. Е.Л.П.	6	5
7. Л.К.С.	3	5
8. Т.А.П.	6	5
9. Б.В.В.	6	5
10.С.М.А.	5	6
11.В.П.Р.	6	6
12.Ч.Н.Г.	6	3
13.А.С.П	3	1
14.В.С.К.	4	3
15.В.П.П.	4	3
16.Л.Г.Т	4	4
17.Т.И.Ч	4	4
M	4,65	4
D	1,12	2,12
SD	1,06	1,46

ДСК состоит из двух проверок. В первой проверяется, попадает ли расчетный коэффициент dэмп в заданную для нормального распределения область. Если нет, то с вероятностью 0.98 можно считать, что распределение эмпирических данных не соответствует нормальному закону Н0 принимается. Если расчетный коэффициент dэмп попадает в заданную для нормального распределения область, то переходят ко второй проверке.

Во втором сравнении необходимо найти из таблицы VI приложения коэффициент z соответствующий объему выборки. Далее необходимо рассчитать дисперсию D и найти стандартное отклонение SD, после чего необходимо найти расчетное отклонение s=SD*z. Потом следует сосчитать количество mэмп, случаев когда |хi - Мх| оказался больше s.

По таблице VI приложения необходимо найти mкр и если mэмп меньше mкр, то можно считать распределение эмпирических данных нормальным, в противном случае нельзя.

Проведем расчеты для данных участников, полученных до проведения тренинга.

Сформулируем гипотезы:

Но - распределение эмпирической случайной величины данных измеренных до проведения тренинга отличается от нормального закона распределения.

Н1 - распределение эмпирической случайной величины подчиняется нормальном закону распределения.

Первое условие.

Проведем первое сравнение, для чего будет необходимо рассчитать dэмп

dэмп =

Для того чтобы рассчитать dэмп, найдем

=4,65

Заполним 1 столбец таблицы 9.

Просуммируем содержание столбца 1.

У|x-|=15,65

Далее найдем D и SD

Для этого возведем разность xдо-..до в квадрат и запишем в столбец 2

Подсчитаем сумму У(x-) 2 = 18 и поделим на n-1=17-1=16

D = 1,12

Возьмем квадратный корень из D, SD=

SD = 1,057

Пользуясь формулой рассчитаем dэмп

dэмп=0,9

Далее пользуясь таблицей 9 определим d1 и d2, соответствующие объему выборки, если dэмп>d2 dэмп<d1, то можно переходить к второму сравнению.

d2=0,6829 d1=0,9137

0,9>0,6829 и 0,9<0,9137

Значит dэмп удовлетворяет первому условию.

Таблица 9

Фамилия	|xдо-до|	(xдо-до)2	|xпосле-после|	(xпосле-после)2	SDдо=1,92	SDпосле=3,76
1. И.В.Л.	0,35	0,12	1,00	1,00	0	0
2. Я.Е.А.	0,65	0,42	3,00	9,00	0	0
3. К.С.И.	0,65	0,42	0,00	0,00	0	0
4. Р.М.Н.	0,65	0,42	0,00	0,00	0	0
5. Н.М.Т.	0,35	0,12	0,00	0,00	0	0
6. Е.Л.П.	1,35	1,83	1,00	1,00	0	0
7. Л.К.С.	1,65	2,71	1,00	1,00	0	0
8. Т.А.П.	1,35	1,83	1,00	1,00	0	0
9. Б.В.В.	1,35	1,83	1,00	1,00	0	0
10.С.М.А.	0,35	0,12	2,00	4,00	0	0
11.В.П.Р.	1,35	1,83	2,00	4,00	0	0
12.Ч.Н.Г.	1,35	1,83	1,00	1,00	0	0
13.А.С.П	1,65	2,71	3,00	9,00	0	0
14.В.С.К.	0,65	0,42	1,00	1,00	0	0
15.В.П.П.	0,65	0,42	1,00	1,00	0	0
16.Л.Г.Т	0,65	0,42	0,00	0,00	0	0
17.Т.И.Ч	0,65	0,42	0,00	0,00	0	0
Сумма	15,65	17,88	18	34,00	0	0

Второе условие.

Найдем z из таблицы VI приложения для объема выборки n=17.

z=2,58

Рассчитаем вспомогательное значение s, воспользовавшись рассчитанным стандартным отклонением SD, s=SD*z

s=1,057*2,58=1,92

Заполним 3 столбец таблицы 9. Если значение в столбце 1 будет больше рассчитанного s=1,92, то пишем 1, если нет то 0.

Считаем сумму mэмп ячеек столбца 3.

mэмп=0

По таблице VI приложения находим mкр

mкр=1

Сравниваем mкр и mэмп

mкр>mэмп

Значит условие два выполняется, а следовательно принимается гипотеза Н1.

Ответ: Принимается гипотеза Н1. Данные учащихся до исследования можно считать распределенными по нормальному закону.

2) Проведем расчеты данных для результатов после исследования, n = 17:

Сформулируем гипотезы:

Но - распределение данных, измеренных после проведения тренинга, отличается от нормального закона распределения.

Н1 - распределение данных, измеренных после проведения тренинга, подчиняется нормальном закону распределения.

=4

У|х-|=18

У(х-)2=34

D=34/(17-1)=2,12

SD=1,46

d=0,75

d2=0,6829 d1=0,9137

0,75>0,6829 и 0,75<0,9137

Условие 1. выполняется

z=2,58

s=2,58*1,46=3,76

mэмп=0

mкр=1

mкр>mэмп, 1>0

Условие 2 выполняется

Ответ: Принимается гипотеза Н1. Данные учащихся до исследования можно считать распределенными по нормальному закону.

Критерий чІ (модификация Фишера)

Критерий чІ уже применялся нами для определения связи между качественными признаками. Также его можно применять для определения сходства эмпирических распределений или для проверки гипотезы о совпадении эмпирического распределение с предсказанным теоретическим. С помощью критерия чІ можно определить вероятность совпадения эмпирического распределения с нормальным. Обычно чІ используется, когда количество измерений больше или равно 50.

Критерий чІ в модификации Фишера предназначен для проверки сложных Простой гипотеза будет в том случае, если теоретическое распределение задано всеми своими параметрами. Сложной гипотеза будет, если все или некоторые параметры теоретического распределения оцениваются по выборке. В нашем случае по выборке могут оцениваться среднее значение и дисперсия. В данном случае имеет место сложная гипотеза, в которой по выборке оцениваются и среднее значение, и дисперсия. гипотез и является модификацией критерия хи-квадрат Пирсона, предназначенного для проверки простых гипотез. Вычисление статистики критерия хи-квадрат Фишера производится по фор

где c - количество классов (карманов), на которые можно разделить наши измерения, pi - теоретические вероятности найденные по таблице или с помощью функции НОРМРАСП() программы Excel, а n - общее число наблюдений.

Для определения количества классов (карманов) можно использовать следующее правило:

Если количество измерений:

от 40 до 100 то рекомендуется выбрать от 7 до 9 классов

от 100 до 500, то рекомендуется выбрать от 8 до 12 классов

от 500 до 1000, то рекомендуется выбрать от 10 до 16 классов

1000 - 10000, то рекомендуется выбрать от 12 до 22 классов

Нужно отметить, что если есть интервалы с частотами менее 5, то для применения критерия чІ, их необходимо объединить с соседними интервалами. Величины интервалов классов при этом подлежат пересчету, переопределяются границы классов от xi до xi+1 .

Параметры нормального распределения для расчета теоретических вероятностей вычисляются по эмпирическим частотам, т.к. мы не знаем истинных параметров генеральной совокупности. Используются формулы для среднего значения и дисперсии Dx, соответственно, в следующей форме:

,

Пример 2.2. Проводилось экспериментальное исследование по изучению влияния развлекательной телепередачи на молодежь. Испытуемые пожелавшие принять участие в исследовании случайным образом были разделены на две группы экспериментальную и контрольную. Одним из параметров оценки влияния телепередачи служил показатель личностной тревожности. Результаты испытуемых контрольной и экспериментальной группы даны в таблице 10.

Вопрос: Можно ли утверждать, что полученные эмпирические данные подчиняются закону нормального распределения?

Таблица 10. Контрольная группа

Количество баллов	2	3	4	5	6	7	8	9	10
vi	2	4	10	20	38	20	15	5	5

Экспериментальная группа

vi - Число испытуемых набравших данное количество баллов

Проверим, действительно ли можно считать данные, полученные в контрольной группах, распределенными по нормальному закону.

Сформулируем гипотезы:

Но - данные, полученные в контрольной группе, не соответствуют нормальному закону;

Н1 - данные, полученные в контрольной группе, соответствуют нормальному закону;

Разобьем данные на классы, частота которых себя не менее пяти измерений, для этого нам придется объединить испытуемых набравших 2 и 3 балла в один класс. Перепишем таблицу указав интервалы классов. Так в интервал от 2 (включая 2) до 4 (не включая 4) у нас попадает 2+4=6 испытуемых. В интервал от 4 (включая 4) до 5 (не включая 5) попадает 10 испытуемых. И т.д. Проблемы возникают только с последним интервалом, а значит необходимо добавить интервал от 10 до 11 (не включая). На частоту попадания испытуемых в этот интервал это никак не скажется.

Начнем заполнять таблицу 11.

Таблица 11

Количество баллов	[ Скобка "]" - означает, что значение границы интервала включено в интервал.2,4) Скобка ")" - означает, что значение границы интервала в интервал не включаются.	[4,5)	[5,6)	[6,7)	[7,8)	[8,9)	[9,10)	[10,11)
vi	6	10	20	38	20	15	5	5
pi*

Сосчитаем общее число наблюдений , n=5+10+20+38+20+15+5+=118

Теперь необходимо рассчитать вероятность попадания в i-ый интервал pi*, , p1*=, p1*= и т.д. занесем полученные данные в таблицу 11.

Найдем теперь середину каждого интервала

Занесем результаты в таблицу 11:

Теперь мы можем рассчитать

Dx=, Dx=0,59+0,422+..+0,601=2,71,

а стандартное отклонение , SDx=1,64

Теперь необходимо найти теоретические вероятности попадания в i-ый интервал pi для функции нормального распределения найденными параметрами Мх и SDx. Для этого придется воспользоваться таблицей VII приложения.

Итак найдем вероятность попадания в i-ый интервал pi=Ф()-Ф(), составим вспомогательную таблицу 13.

Таблица 13

Границы интервалов	2	4	5	6	7	8	9	10	11
Ф()

Рассчитаем , для левой границы

, и т.д.

По таблице найдем приближенные значения Ф() Для вычисления удобней использовать программу Excel из пакета Microsoft Office, в данной программе есть функция возвращающая значение интегральной функции нормального распределения, для этого необходимо указать следующие параметры =НОРМРАСП(x, Mx,SDx, ИСТИНА), где х - граница интервала, а Mx и SDx это рассчитанные ранее по выборке мат.ожидание и стандартное отклонение соответственно. , т.к. функция Ф - симметрична, то обычно приводятся значения только для положительных аргументов, значения для отрицательных вычисляются по формуле Ф(-t)=1-Ф(t)

Ф(-2,874)=1-0,9979=0,0021

Рассчитаем значения pi=Ф()-Ф(), занесем их в таблицу 11.

p1=0,0485-0,0021=0,0464

Рассчитаем и т.д.

Сосчитаем сумму и поделим на n, это и будет искомое значение чІ

чІ=1106/118=9,37

Теперь по таблице IV приложения необходимо найти x2 критическое, для этого определим какую размерность имеет наша задача. m=k-3, где k - количество классов. m=8-3=5

чІ а=0,05 = 11,1, чІ а=0,01 = 15,1

Сравниваем чІэмп? чІ а=0,05, значит принимается гипотеза о сходстве.

Ответ: Принимается гипотеза Н1. Данные учащихся до исследования можно считать распределенными по нормальному закону.

Проверим, действительно ли можно считать данные, полученные в контрольной группах, распределенными по нормальному закону используя программу Excel. статистика психологический выборка корреляция

Сформулируем гипотезы:

Но - данные, полученные в контрольной группе, не соответствуют нормальному закону;

Н1 - данные, полученные в контрольной группе, соответствуют нормальному закону;

Рисунок 1.

Ячейка D2 =B2/C2 (копируем для всех D)

Ячейка E2 =(A2+A3)*D2/2 (копируем для всех E), Ячейка E12 = =СУММ(E2:E11)

Ячейка F =E11 (все строки F одинаковые)

Ячейка G2 =(F2)^2*D2 (копируем для всех G), G12= =СУММ(G3:G11), G13 =КОРЕНЬ(G12)

Ячейка H = G12 (все строки H одинаковые)

Ячейка I =НОРМ.РАСП(A3;$E$11;H2;ИСТИНА)-НОРМ.РАСП(A2;$E$11;H2;ИСТИНА) (копируем для всех I, ссылка $E$11 - неизменяемая во всех формулах)

Ячейка J = =(B2-C2*I2)^2/I2 (копируем для всех J)

Ячейка J11 = =СУММ(J2:J10)/B11

Итак, получаем чІэмп = 9,422 , размерность системы m=k-3=9-3. Заметьте, что в случае с экспериментальной группой нам не пришлось увеличивать интервалы как их было 9 так и осталось, ведь частоты встречаемости каждого интервала больше или равна 5.

Сравниваем чІэмп? чІ а=0,05, значит принимается гипотеза о сходстве.

Ответ: Принимается гипотеза Н1. Данные учащихся до исследования можно считать распределенными по нормальному закону.

7. Меры связи

Коэффициент корреляции Пирсона «r»

Установление существования связи между двумя переменными важная и интересная задача, постоянно встречающаяся в психологических исследованиях. Выше говорилось о возможности изучения связи между двумя переменными, измеренными в шкале порядка или распределение которых не соответствует нормальному закону. В этих случаях применяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Однако более мощным критерием корреляции является критерий Пирсона «r». Он применяется, если данные измерены по шкале интервалов и их распределение нормально. Наряду с коэффициентом корреляции Пирсона существует коэффициент корреляции Кендалла «ф», который применяется реже.

Удобство любого коэффициента корреляции (Пирсона, Кендалла или Спирмена), в том, что он нормированный. Т.е. вне зависимости от значений данных коэффициент корреляции принимает значение от -1 до 1 включительно.

Модуль коэффициента корреляции свидетельствует о силе связи. Так r=1 означает, что существует линейная зависимость y=ax+b

Знак говорит о направленности связи "+" с увеличением одной переменной возрастает и другая, "-" с увеличением одной другая уменьшается.

Для подсчета «r» необходимо убедиться, что распределение данных нормально, после чего можно переходить к расчетам.

Допустим у нас есть две характеристики х и у одного процесса, на необходимо выяснить связаны ли они.

,

где r - коэффициент корреляции Пирсона, х - значения первой переменной, у - значения второй переменной, n - количество измерений, SDx - стандартное отклонение первой переменной, SDу - стандартное отклонение второй переменной, - среднее для первой переменной и -среднее для второй переменной. Напомним формулы расчета среднего и стандартного отклонения:

.

Для определения значимости коэффициента корреляции можно воспользоваться таблицей VIII приложения.

Расчет 2.3 Продолжим рассмотрение примера 2.1. Для которого нами было проверено соответствие распределения данных нормальному.