Психологія творчого математичного мислення студентів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Інститут психології ім. Г.С. Костюка

Академії педагогічних наук України

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора психологічних наук

ПСИХОЛОГІЯ ТВОРЧОГО МАТЕМАТИЧНОГО МИСЛЕННЯ СТУДЕНТІВ

МОЙСЕЄНКО Лідія Анатоліївна

УДК 159.955+ 159.956

19.00.01 - загальна психологія, історія психології

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в лабораторії психології творчості Інституту психології ім. Г.С.Костюка АПН України.

Науковий консультант: академік АПН України, доктор психологічних наук, професор

МОЛЯКО Валентин Олексійович,

Інститут психології ім. Г.С.Костюка АПН України,

лабораторія психології творчості, завідувач.

Офіційні опоненти: член-кореспондент АПН України, доктор психологічних наук, професор

НОСЕНКО Елеонора Львівна,

Дніпропетровський національний університет МОН України,

кафедра педагогічної психології та англійської мови, завідувач;

доктор психологічних наук, професор

КЛИМЕНКО Віктор Васильович,

Інститут психології ім. Г.С.Костюка АПН України,

лабораторія вікової фізіології і шкільної гігієни, завідувач;

доктор психологічних наук, професор

ЛУШИН Павло Володимирович МОН України,

Кіровоградський педагогічний університет,

кафедра психології, завідувач.

Провідна установа: Південноукраїнський державний педагогічний університет ім. К.Д.Ушинського МОН України, кафедра психології, м. Одеса.

Захист відбудеться “ 27 ” вересня 2005 р. о 11.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.453.01 в Інституті психології ім. Г.С.Костюка АПН України за адресою: 01033, Київ, вул. Паньківська, 2.

З дисертацією можна познайомитись в бібліотеці Інституту психології ім. Г.С.Костюка АПН України за адресою: 01033, Київ, вул. Паньківська, 2.

Автореферат розісланий “ 25 ” серпня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Балл Г.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

творчий математичний задача студент

Актуальність дослідження. Стратегічні напрямки розвитку освіти в сучасному світі і, зокрема, в Україні, передбачають активізацію людського фактора. Перш за все це, пов'язано з пошуком резервів підвищення ефективності діяльності людини, які значною мірою криються у розкритті її творчого потенціалу. Тому перед психологічною наукою постає складне й відповідальне завдання: формувати активну особистість, яка вирішувала би нові проблеми в науці, виробництві, суспільстві тощо.

Творчість стає провідною умовою в діяльності студентів: при засвоєнні нового матеріалу, у застосуванні знань при виконанні різноманітних самостійних завдань. Однак практика навчального процесу у внз свідчить про те, що чи не більшість викладачів досить часто залишають поза увагою творчий процес. Не будучи самі достатньо обізнаними із закономірностями й механізмами цього процесу, вони не спираються у своїй професійній діяльності на них, а це ускладнює засвоєння студентами необхідної інформації, гальмує формування їх творчого ставлення до своєї діяльності.

У стандартних освітянських програмах дуже мало приділялось уваги творчим процесам. Творчість завжди відсувалась на другий план в освіті. Досить часто викладачі переслідують мету дати студентам якомога більше знань у певній галузі науки, сприяти розв'язуванню якомога більшої кількості типових задач, не враховуючи те, що, по-перше, великий потік навчальної інформації вступає в протиріччя з раціональним методом мисленнєвої діяльності студента і приводить до розумової безпорадності, хаотичної поспішності при зустрічі з труднощами; по-друге, сприяє формуванню стереотипності в процесі застосування знань.

Значущість вивчення психологією проблеми творчого мислення зумовлюється тим, що її розробка створює підґрунтя для формування особистості, яка здатна вирішувати творчі нестандартні завдання. Проблема творчого мислення привертала й привертає увагу багатьох учених: Г.С.Костюка, С.Л.Рубінштейна, О.М.Леонтьєва, А.В.Брушлінського, О.К.Тихомирова, Д.Б.Богоявленської, Л.Л.Гурової, О.М.Матюшкіна, В.О.Моляко, Я.О.Пономарьова, В.А.Романця, А.Ф.Есаулова, І.С.Якиманської та багатьох інших. Їхні праці є вагомим внеском у розробку основних теоретичних і практичних положень щодо сутності творчого мислення, його закономірностей і механізмів.

Водночас уже протягом усього XX століття спостерігається збільшення ролі математики в розвитку практично всіх наук, вона фактично стала важливою складовою пізнання. Це також зумовлює актуальність дослідження становлення математичного мислення представників різних вікових категорій (дошкільники, школярі, студенти тощо), різних фахів (інженери, хіміки, медики, психологи, математики тощо) та різних фахових рівнів (допрофесійний, професійний тощо). Тим більше в наш час, коли математика рухається до нових ідей, що виходять за межі стандартних теоретико-множинних уявлень (до аналізу розмитих множин, неврівноважених систем тощо), стає очевидною організаційна роль психології в розвитку математики як різновиду наукової творчості.

Проблема вивчення мислення в галузі математики не нова. Існує ряд ґрунтовних досліджень психології математичного мислення, серед яких праці Ж.Адамара, Г.Вейля, М.Вертгеймера, В.А.Крутецького, Д.Д.Мордухай-Болтовського, Д.Пойя, А.Пуанкаре та інших. Звертає на себе увагу те, що частина досліджень стосується математичної творчості, тобто дослідженню в першу чергу підлягав творчий аспект математичного мислення. Однак, реальний стан справ не дає можливості стверджувати, що творче математичне мислення пізнане достатньо, до рівня адекватної моделі. Ряд питань, зокрема, таких, як процесуально-динамічна характеристика творчого мислення математика, наявність і характер відмінностей мисленнєвого процесу при розв'язанні математичних задач різних класів, зміст різних стилів математичного мислення і ще багато інших не вивчено, або вивчено недостатньо.

Актуальним є дослідження творчого математичного мислення студентів тех-нічного внз, як майбутніх спеціалістів, що залучатимуть його до розв'язання профе-сійних завдань. Це вивчення, по-перше, дає змогу з'ясувати сутність математичного мислення суб'єктів високого рівня кваліфікації; по-друге, оскільки студенти - це контингент осіб, що навчається, їх математичне мислення ще можна піддати певній корекції до того часу, поки вони розпочнуть професійну діяльність. Тому, виходячи з актуальності зазначеної проблеми, недостатності її розробленості у сучасній психологічній науці як у теоретичному, так і в експериментальному планах, та її важливості для вирішення нагальних практичних питань, зокрема, пов'язаних із формуванням творчо мислячого спеціаліста, було вибрано тему дисертаційного дослідження “Психологія творчого математичного мислення студентів”.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційне дослідження виконувалось відповідно до тематичного плану наукових досліджень Інституту психології ім. Г.С.Костюка АПН України за темою “Особливості творчої діяльності в складних та екстремальних умовах” номер державної реєстрації - 0100U000072. тему дисертації затверджено на засіданні вченої ради Інституту психології ім. Г.С.Костюка АПН України (протокол №4 від 25. 09. 2003) та узгоджено у Раді з координації наукових досліджень у галузі педагогіки і психології в Україні (протокол № 9 від 25. 11. 2003).

Мета дослідження полягає у теоретичному аналізі та експериментальному вивченні творчого математичного мислення, в обґрунтуванні та розробці методів його активізації.

Об'єкт дослідження: процес функціонування творчого математичного мислення при розв'язанні математичних задач.

Предмет дослідження: процесуально-динамічні особливості та індивідуальні відмінності творчого математичного мислення при розв'язанні студентами різних математичних задач.

Відповідно до об'єкта та предмета дослідження було сформульовано гіпотезу дослідження, що полягає в таких припущеннях:

- Творчий математичний процес гармонійно поєднує загальні ознаки інтелектуальної творчості із специфікою математичної діяльності, що проявляється в процесі розуміння умови завдання, формування гіпотези його розв'язку й перевірки такої гіпотези, а процес розв'язання суб'єктом нової математичної задачі є адекватною моделлю процесу творчості.

- Процес розуміння суб'єктом творчої математичної задачі має місце впродовж усього процесу розв'язання, досягається через зіставлення нової інформації із системою знань суб'єкта, завдяки взаємодії числової, символьної та просторової складової математичного мислення.

- Гіпотеза розв'язку творчої математичної задачі формується через багатоступінчасте мисленнєве наближення абстрактної ідеї чи зорового образу до шуканого результату шляхом актуалізації різноманітних математичних понять, трансформування образів математичних об'єктів, що виникають, висування, перевірки й відбору різних ідей.

- Апробація гіпотез творчого математичного мислення - важлива складова творчого математичного процесу, яка здійснюється через зіставлення головної математичної сутності структурних елементів математичних результатів з умовою й вимогою задачі.

- Неусвідомлені мисленнєві акти, як важлива складова творчого математичного мислення, зустрічаються впродовж всього процесу розв'язання творчої математичної задачі; виконують при цьому різні функції, набувають різної значущості у пошуковому процесі.

- Суттєвим регулятивно-операційним чинником пошукового математичного процесу є також індивідуальні прояви у творчому математичному мисленні, що мають місце впродовж розв'язання математичних задач і проявляються, зокрема, через математичні стилі суб'єктів, що розв'язують математичну задачу.

- Спеціально розроблені методичні засоби стимуляції, що базуються на системі творчого тренінгу КАРУС, через активізацію когнітивного, операційного та регулятивно-особистісного компонентів творчого математичного мислення суттєво сприяють його активізації й оптимізації.

Завдання дослідження:

1. Проаналізувати результати психологічних досліджень творчого мисленнєвого процесу (зокрема, у сфері математики) та розробити теоретико-експериментальний підхід до вивчення проблеми творчого математичного мислення.

2. Проаналізувати процес розуміння студентами творчих математичних задач впродовж їх розв'язування та з'ясувати при цьому психологічну сутність взаємодії складових математичного мислення.

3. Дослідити динаміку процесу формування гіпотези розв'язку творчої математичної задачі та з'ясувати зміст мисленнєвих тенденцій, що спрямовують пошукові дії студентів при розв'язанні математичних задач різних класів.

4. Визначити психологічну сутність процесу апробації математичних результатів, що має місце впродовж пошуку студентами розв'язку творчих математичних задач.

5. З'ясувати зміст та механізми деяких неусвідомлених мисленнєвих актів студентів, що мали місце впродовж пошуку розв'язку творчих математичних задач.

6. Розкрити сутність поняття стилю математичного мислення і показати вплив стильових мисленнєвих особливостей студентів на розв'язування творчих математичних задач.

7. З'ясувати можливості модифікованої системи творчого тренінгу КАРУС для активізації та оптимізації творчого математичного мислення студентів.

Теоретико-методологічною основою дослідження є: загальнотеоретичне психологічне вчення про розвиток людської психіки в діяльності, про активний творчий характер особистості; основні наукові положення про процес мислення при розв'язанні задач (С.Л.Рубінштейн, Г.С.Костюк, А.В.Брушлінський, О.К.Тихомиров Л.Л.Гурова та інші); психологічні положення про творчість і математичну творчість зокрема (Б.М.Теплов, Я.О.Пономарьов, О.М.Матюшкін, Д.Б.Богоявленська, А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Д.Пойя, В.А.Крутецький та інші); системно-стратегічна концепція творчості (В.О.Моляко); теоретичні надбання психології щодо процесів розуміння, формування й перевірки гіпотези розв'язування творчих задач (Г.С.Костюк, В.В.Знаков, Ю.К.Корнілов, В.О.Моляко, Л.Л.Гурова, А.Б.Коваленко, та інші.)

Методи дослідження. Для розв'язання поставлених завдань використана сис-тема загальнонаукових методів теоретичного та емпіричного дослідження: 1) теоре-тичні: аналіз відомостей з проблеми дослідження, представлених в науковій літера-турі, та узагальнення здобутої інформації; систематизація та інтерпретація отриманих даних; аналіз, зіставлення й узагальнення теоретичного та емпіричного матеріалу; 2) емпіричні: спостереження, бесіда, анкетування, аналіз продуктів діяль-ності, тестування, моделювання експериментальних ситуацій; 3) тренінг, спрямований на активізацію творчого математичного мислення; 4) методи описової та математичної статистики, зокрема порівняння середніх значень за критерієм Ст'юдента, кореляційний і факторний аналіз.

Експериментальна база дослідження. Дослідно-експериментальна робота проводилися на базі Івано-Франківського національного технічного університету нафти й газу протягом 1989-2004 років. Досліджуваними були студенти молодших курсів інженерних спеціальностей. У констатуючій частині взяло участь 426 осіб, у формуючій - 80.

Надійність і вірогідність основних наукових положень, висновків та рекомендацій дисертаційного дослідження забезпечено теоретичною та методологічною обґрунтованістю його вихідних положень; репрезентативністю вибірки досліджуваних; використанням комплексу взаємодоповнюючих методів дослідження, адекватних його меті та завданням; поєднанням якісного та кількісного аналізу одержаних результатів; статистичною оцінкою експериментальних даних; багаторічним терміном апробації його результатів.

Наукова новизна дослідження: розроблено концепцію творчого математич-ного мислення, згідно з якою воно є одночасним перебігом трьох складових процесів (розуміння, прогнозування, апробація); поглиблено уявлення про особливості творчого процесу, пов'язані із специфікою математичної діяльності; дано процесуально-динамічну характеристику процесів розуміння математичної задачі, фор-мування гіпотези розв'язку, апробації результатів математичної діяльності; установлено взаємозв'язок усвідомлюваних і неусвідомлюваних компонентів мисле-ннєвого процесу на всіх етапах розв'язання задач; експериментально досліджено роль суб'єктивних мисленнєвих тенденцій в математичному пошуковому процесі; виділено й описано три індивідуальні стилі творчого математичного мислення (диференціальний, інтегральний, диференціально-інтегральний); розроблено та обґрунтовано концептуальну схему керування процесами активізації та оптимізації математичних пошукових дій шляхом впровадження тренінгового навчання.

Теоретична значущість дослідження полягає в уточненні психологічного змісту категорії “математичний стиль” та його зв'язку з іншими психологічними поняттями; в поглибленні уявлення про психологію процесів розуміння, формування гіпотези розв'язування, апробацію математичних результатів; у виявленні мікроетапів та побудові на їх основі процесуально-динамічної схеми розв'язання творчих математичних задач; у диференціальному аналізі творчого математичного процесу відповідно до основної вимоги задачі (авторський принцип поділу творчих матема-тичних задач на класи); у поглибленні уявлень про регулятивну роль суб'єктивних мисленнєвих тенденцій та мисленнєвих стилів пошукового процесу; у з'ясуванні механізмів взаємозв'язку усвідомлених і неусвідомлених мисленнєвих актів; у розробці схем психологічного впливу на творче математичне мислення з метою його активізації і оптимізації.

Практична значущість дослідження. Запропоновані і психологічно обґрунтовані методи та прийоми активізації й оптимізації творчого математичного процесу. В ході дослідження апробована система психологічного впливу, спрямованого на нівелювання суб'єктивного неприйняття деяких класів задач та формування позитивного ставлення до них. Виявлені в дослідженні індивідуальні особливості творчого математичного процесу - математичні стилі, а також проведений диференційний аналіз експериментального впливу на них, розширюють можливість вдосконалення індивідуального підходу у процесі вивчення математики. Результати дослідження можуть бути використані викладачами середніх та вищих навчальних закладів у процесі викладання математики для поглиблення розуміння ними психологічних засад засвоєння математики. Поряд із цим, отримані результати є розробкою ряду питань психології творчого мислення, що дає підстави стверджувати про можливість їх використання викладачами психології при вивченні психології мислення та психології творчості.

Особиста участь дисертанта полягає у багаторічному самостійному дослідженні теоретико-методологічних, методичних та прикладних аспектів проблеми творчого математичного мислення, проведенні експериментальної роботи у внз, вивченні та узагальнені передового досвіду, впровадженні результатів наукового дослідження у практику роботи із студентами технічного внз під час лекційних та практичних занять із математики.

Апробація й впровадження результатів дослідження. Результати дослідження доповідались та обговорювалися на наукових семінарах лабораторії психології творчості Інституту психології ім. Г.С.Костюка АПН України. Результати дослідження апробовано на наукових конференціях: “Розвиток педагогічної освіти в західних областях України” (Тернопіль, 1990), “Психолого-педагогічні проблеми науково-технічної творчості” (Ніжин, 1990), “Розробка та впровадження в процес підготовки медичних кадрів сучасних технологій навчання” (Тернопіль, 1992), “Нау-ка й освіта 1998 року” (Дніпропетровськ, 1998), “Вплив наукових досліджень на під-вищення якості підготовки фахівців” (Івано-Франківськ, 1998), “Математика. Актуа-льні проблеми навчання, викладання й застосування у науковій та інженерній твор-чоcті” (Львів, 2000), “Інноваційна діяльність в системі вищої освіти” (Івано-Фран-ківськ, 2000), “Творчий потенціал особистості: проблеми розвитку та реалізації” (Київ, 2005), IV Міжнародних психологічних читаннях “Психологія в сучасному вимірі: теорія і практика” (Харків, 2002).

Публікації. Основні результати дослідження відображені у 44 публікаціях, в тому числі у одній монографії, 21 одноосібній статті у наукових фахових виданнях, затверджених переліком ВАК України. Загальний обсяг особистого внеску становить 68 друкованих аркушів.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, сімох розділів, висновків, списку використаної літератури, додатків (6). Основний зміст дисертації викладений на 426 сторінках комп'ютерного набору, ілюстрований 33 рисунками та 17 таблицями. Бібліографія містить 494 роботи українських та зарубіжних авторів. Загальний обсяг дисертації - 504 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність проблеми, визначені об'єкт, предмет, мета, гіпотеза й завдання дослідження, методологічні та методичні підходи. Висвітлено наукову новизну, теоретичну та практичну значущість роботи. Наведено відомості про особистий внесок автора, апробацію і впровадження результатів дослідження та структуру дисертації.

Перший розділ “Проблема творчого мислення” присвячений теоретичному аналізові стану дослідження психологією проблеми творчості і творчого мислення, зокрема; опису складових математичного мислення, що виокремлюють його з поміж інших видів мислення. В розділі, виходячи з мети роботи, систематизовано численні підходи до дослідження та розвитку творчого математичного мислення з акцентом на його процесуальному змісті та індивідуальних проявах, викладено методологічні позиції системно-структурного підходу до його вивчення.

Екскурс в історію вивчення творчості показує, що однією із складних проблем на цьому шляху є перш за все диференціювання діяльності людини на творчу й нетворчу. Найчастіше у вітчизняній і зарубіжній літературі творчою вважається людська діяльність, що породжує щось якісно нове із суб'єктивної точки зору того, хто займається цією діяльністю (А.В.Антонов, О.М.Матюшкін, Д.Н.Заваліши-на, В.О.Моляко, Я.О.Пономарьов, Б.М.Теплов, О.К.Тихомиров, А.Кестлер, Р.С.Ман-філд, Г.Саймон). При цьому творча діяльність має свої конкретно-психологічні характеристики: механізми мотивації (Я.О.Пономарьов, В.М.Дружинін), доля образних компонентів (О.М.Леонтьєв, В.О.Моляко, Д.Пойя), зміна оцінки завдання (Ж.Адамар), зміщення акценту уваги (Г.С.Альтшуллер, Е.Боно).

Найбільш відомі спроби знайти загальні ознаки математичної творчості належать А.Пуанкаре, Д.Пойя, Ж.Адамару, Г.Біркгофу, Н.Бурбакі. З точки зору А.Пуанкаре, в основі математичної творчості лежить математична інтуїція, що є провідником у міркуваннях. Згідно позицій Ж.Адамара, основна ідея винаходу в ма-тематиці - це підсвідомий вибір і поєднання існуючих у суб'єкта ідей за естетич-ними почуттями. Д.Пойя вважає, що математичне знання утворюється в результаті правдоподібних міркувань, які нагадують експериментальний метод природничих наук. Н.Бурбакі переносять акцент з аналізу діяльності суб'єкта, чи з нього самого на аналіз норм організації об'єкта дослідження. З позицій Г.Біркгоффа, істотні аспекти людської психології й поведінки мають структуру дискретних математичних систем, тому творчий процес можна виразити певною математичною системою.

Сучасний підхід до вивчення інтелектуальної творчості базується на уявлен-нях психології про мисленнєвий процес і здійснюється на основі подолання розрізненості інтелектуальних та мотиваційних планів дослідження творчості. Цьому сприяють праці С.Л.Рубінштейна, А.В.Брушлінського, Л.С.Виготського, Г.С.Костю-ка, П.Я.Гальперіна, В.В.Давидова, О.К.Тихомирова, Ж.Піаже та інших.

Творче мислення розглядають у різних аспектах: феноменологічному, змістовому і структурному аспектах. Структурному аспекту приділяється чимала увага на сучасному етапі досліджень у цій сфері (Я.О.Пономарьов, В.О.Моляко, Д.Н.Завалішина, І.М.Семенов та інші). Ми обрали саме структурний підхід як засіб побудови процесуально-динамічної характеристики творчого математичного мислення, виділяючи процес розуміння задачі, процес формування проекту розв'язання, процес апробації мисленнєвих гіпотез.

Дедалі більшого визнання у дослідженнях творчого мислення набуває системний підхід. Доцільність цього відзначали С.Л.Рубінштейн, Б.М.Теплов, Г.С.Костюк, А.В.Брушлінський, Я.О.Пономарьов, В.Н.Пушкін та інші. Такий підхід дає змогу диференціювати різні рівні мисленнєвої діяльності й об'єднати їх у цілісну систему, що забезпечує розв'язання конкретних проблем. Згідно з таким підходом проводився аналіз результатів нашого експериментального дослідження, що базувався на вивченні когнітивної, операційної та регулятивно-особистісної складових творчого математичного мислення.

Творче математичне мислення пов'язується його дослідниками із специфікою математики: формалізацією об'єктивних процесів, наявністю знакової символіки, одночасним функціонуванням аксіоматичного та конструктивного методів побудови математичних теорій, алгоритмічністю розв'язання багатьох математичних задач. Математичне мислення містить ряд компонентів: логічний, інтуїтивний, числовий, символьний, просторовий, адже воно послуговується правилами формальної логіки (Р.Декарт, Д.Пойя, В.А.Крутецький) та неусвідомленими мисленнєвими актами (А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Д.Д.Мордухай-Болтовський); оперує числовими характеристиками (В.А.Крутецький), символьними та просторовими математичними об'єктами (Г.С.Костюк, Ф.Клейн).

Дослідження творчого мислення великою мірою ґрунтуються на наукових позиціях С.Л.Рубінштейна, О.М.Леонтьєва, А.В.Брушлінського, О.М.Матюшкіна, К.О.Славської, О.К.Тихомирова та інших, які вважали його таким, що виникає із проблемної ситуації і спрямоване на її розв'язання. Дотримуючись цієї традиції, ми досліджували творче математичне мислення як процес розв'язання творчих математичних задач.

Серед ознак творчої задачі, дослідники виділяють: її новизну для конкретного суб'єкта (В.О.Моляко); зміну домінуючих рівнів у процесі розв'язання аж до переходу неусвідомлених рівнів у ранг домінуючих (Я.О.Пономарьов); факт “блокування” процесу розв'язування після тривалого нерезультативного пошуку (В.К.Зарецький, І.Н.Семенов); можливість розв'язувати задачу кількома способами (В.О.Моляко, А.Б.Коваленко), наявність прихованого смислу (А.Б.Коваленко). При цьому розв'язок математичної задачі - це і шлях пошуку результату, і сам отриманий результат.

Увагу дослідників математичного мислення привертають його особливості, пов'язані з класом, видом, типом задач, що розв'язуються (Д.Пойя, Ж.Адамар, В.А.Крутецький, Л.М.Фрідман та інші). При цьому до диференціювання задач застосовують різні критерії. В даній роботі було проведено подібний аналіз із застосуванням авторського критерію поділу математичних задач. Майже усі задачі, що задіяні в дослідженні, були поділені на 4 класи (задачі на знаходження невідомої величини, задачі на доведення, задачі на побудову, задачі на дослідження), що поділяються за характером вимоги до задачі: знайти, довести, побудувати, дослідити. Досліджувані за кілька сеансів розв'язували по 23 задачі (по одній кожного класу) в спеціальній аудиторії без будь-якого втручання експериментатора. При цьому велася стенограма реплік, запитань, що супроводжували пошуковий процес, фіксувалась поведінка досліджуваних та їх письмові записи. Після розв'язування проводилася бесіда з досліджуваними про хід відшукання розв'язку.

Щоб отримати досить різнобічну характеристику творчого математичного мислення, воно вивчалось: 1) на різних етапах процесу розв'язування тієї чи іншої задачі (вивчення умови задачі, формування гіпотези розв'язку, перевірка гіпотези); 2) за допомогою аналізу складових процесів (розуміння, прогнозування, апробації гіпотези); 3) при розв'язуванні різних класів задач (на знаходження невідомої величини, на доведення, на побудову, на дослідження); 4) при розв'язанні задач з різною формою подання умови (для цього експериментальні задачі було поділено на 23 серії). Ці напрями дослідження утворили єдину комплексну програму, що дозволила отримати інформацію про творче математичне мислення. Такий підхід дозволив нам у ході дослідження: 1) скласти процесуально-динамічну характеристику творчого математичного мислення через наскрізні характеристики процесів, що є його складовими; 2) визначити відмінності такої характеристики для різних класів задач; 3) проаналізувати характер індивідуальних проявів творчого математичного мислення.

У другому розділі “Розуміння творчої математичної задачі” проведено аналіз існуючих у сучасній психології поглядів на феномен розуміння та процес розуміння при розв'язуванні творчих задач. Описуються результати експериментального вивчення процесу розуміння творчих математичних задач студентами. Дано процесуально-динамічну характеристику цього процесу, проаналізовано його відмінності при розв'язуванні задач різних класів.

Увага до феномену розуміння, його природи, ролі й значення в діяльності суб'єкта є однією з характерних особливостей сучасного етапу філософських, психологічних, педагогічних досліджень. Проте, попри численні дослідження вказаного феномена, які проводяться у психології (С.Л.Рубінштейн, Г.С.Костюк, Л.Л.Гурова, Ю.К.Корнілов, В.В.Знаков, В.О.Моляко, Н.В.Чепелева, А.Б.Коваленко та інші), досі залишається багато не вивченого.

Найчастіше вивчаючи феномен розуміння, дослідники оперують передусім поняттями психології мислення, звертаючись утім і до інших психічних процесів (Г.С. Костюк, М.Д.Левітов та інші). Інколи розуміння розглядається як одна з форм мислення (К.К.Платонов, В.Шевчук, Ю.К. Корнілов та інші) або властивостей мислення (Л.Л. Гурова). Деякі автори наголошують на тому, що розуміння не зводиться до мислення і включає в себе інші психічні процеси (пам'ять, уяву) (В.В.Знаков, В.О.Моляко, А.Б.Коваленко). Саме з таких позицій проводиться аналіз процесу розуміння в даній роботі.

Розуміння не можна віднести лише до однієї якоїсь стадії пошукового мисленнєвого процесу, результат розуміння формується впродовж усіх етапів розв'язання задачі (В.В.Знаков, А.Б.Коваленко, Ю.К.Корнілов, В.О.Моляко). Зокрема й процес розуміння творчої математичної задачі є наскрізним, він пронизує весь хід пошуку розв'язку. Аналіз наших експериментальних результатів доводить, що при розумінні умови творчої математичної задачі суб'єкт спочатку виділяє елементи (числа, символи, операції, геометричні фігури тощо), впізнає їх призначення, а після знаходить зв'язки між ними як шляхом висунення й перевірки низки гіпотез про ці зв'язки (на етапі вивчення умови), так і шляхом висунення гіпотез про шляхи розв'язання (на етапі формування гіпотези розв'язку) та якості математичного результату (на етапі перевірки). Гіпотези, що спрямовані на об'єднання розрізнених елементів умови задачі, поступово переплітаються в процесі розуміння з гіпотезами щодо змісту розв'язку. Адекватність таких гіпотез визначає успішність розуміння. Кожна гіпотеза якось спрямовує процес розуміння, але висвітлює лише окремі сторони проблемної ситуації, про яку йдеться у задачі і які охоплені її діючою моделлю. Тому невраховування суттєвих властивостей складових об`єктів приводить до хибного розуміння задачі, яке можна подолати, або висуванням іншої гіпотези в межах моделі або зміною моделі. Зміст мисленнєвих дій на етапі перевірки отриманого результату творчої математичної задачі (переосмислення ланцюга мисленнєвих кроків, його апробація в різних умовах) також спрямовані на поглиблення розуміння сутності задачі. Це відбувається за рахунок взаємодії числового, символьного і просторового компонентів математичного мислення, а основою цього процесу є когнітивна складова (знання, досвід, суб'єктивні системи смислів, словниковий запас).

Розуміння творчої математичної задачі спирається на конкретні актуалізовані математичні знання, які у процесі розв'язування задач певним чином добираються, щоразу зіставляються з умовою й вимогою задачі і на цій основі селекціонуються. Але в математичних поняттях часто суттєві ознаки завуальовані, спресовані в певному концепті, і це кожного разу потребує свого осмислення. В результаті такої мисленнєвої діяльності втримуються додаткові математичні знання про задану ситуацію, вони стають основою для появи точнішого розуміння суб'єктом задачі. Приріст знань у процесі розуміння відбувається також через створення мисленнєвих конструкцій (математичних новоутворень) на основі приєднання, складання, заміщення кількох елементів та логічного переродження елементів. Варто підкреслити, що значна частина дослідників пояснює механізм розуміння через осмислення (А.В.Антонов, А.А.Брудний, Л.Л.Гурова, Л.П.Доблаєв, Г.С.Костюк, Ю.К.Корнілов) і переосмислення (А.Б.Коваленко).

Вплив досвіду на розуміння творчої математичної задачі неоднозначний, адже нова інформація, що міститься в задачі, накладаючись на власний досвід суб'єкта, викликає з його пам'яті подібну задачу. Якщо віднайдений еталон відповідає новій задачі, то це поглиблює розуміння нового. Якщо ж подібність не суттєва, то такий стан речей часто породжує хибне розуміння, надовго гальмує пошуковий процес. Стосовно творчих математичних задач це дуже актуально, бо в математиці існують певні типи задач, алгоритми розв'язання яких відомі, але діють лише за певних умов.

Ми експериментально переконались, що успішність перебігу процесу розуміння творчої математичної задачі пов'язана: із суб'єктивною системою смислів (суб'єктивною організацією знань у систему), що породжує різне бачення однієї і тієї ж задачної ситуації різними людьми; з обсягом математичного тезауруса суб'єкта, що сприяє осмисленню того, що суб'єкт намагається зрозуміти.

Таким чином, психологічною сутністю процесу розуміння творчої математичної задачі можна вважати пошук математичних еталонів, з якими має зіставлятися нова інформація про досліджуваний об'єкт із метою виявлення сутності цієї інформації через осмислення та переосмислення її змісту.

Що стосується операційного компонента розуміння творчих математичних задач, то він забезпечує оперування суб'єктивними знаннями, зіставлення нової інформації з наявною системою знань, засвоєння нової інформації; включає методи виділення смислу задач; організовує висування й селекціонування гіпотез. Оперування формалізованими об'єктами в процесі розуміння математичних задач відбувається за допомогою мисленнєвих процедур впізнавання, прогнозування й об'єднання, що є ситуативним поєднанням певних мисленнєвих прийомів, при цьому розуміння творчої математичної задачі набуває форм розуміння-впізнавання, розуміння-прогнозування, розуміння-об'єднання, розуміння-пояснення, які домінують на різних етапах творчого математичного мислення.

В будь-якому пошуковому процесі важливу роль відіграють суб'єктивні переваги у використанні мисленнєвих операцій - мисленнєві тенденції (В.О.Моляко). Ці переваги у мисленнєвій діяльності проявляються в кожному складовому процесі розв'язання творчої задачі. Тому, досліджуючи процес розуміння творчих математичних задач, ми розпочали виявлення та аналіз діючих мисленнєвих тенденцій, що виявляються у суб'єктивній перевазі діяти за аналогією, всупереч аналогії, комбінуючи, чи поєднуючи попередні прийоми. Загалом, процес розуміння опирається також на індивідуальні прояви мислення (можливість побачити проблемну ситуацію, сформулювати задачу для себе, особливості аналізу і використання умов задачі, співвідношення усвідомленого й неусвідомленого тощо), що разом із суб'єктивними мисленнєвими тенденціями є основою регулятивно-особистісного компонента процесу розуміння творчої задачі.

У процесі розуміння творчих математичних задач можна виділити ряд мікроетапів: загальне ознайомлення з умовою задачі; розподіл умови на головну й другорядну частини; перекодування задачі на “свою мову”; доповнення тексту ескізами, замальовками; новий рівень вивчення умови задачі; виділення сутності задачі; етап включення умови математичної задачі в ланцюг суб'єктивного досвіду; настання певного рівня розуміння умови й висування гіпотези про розв'язок задачі. Така схема є загальною при розв'язанні творчих математичних задач різних класів, хоч слід відзначити, що процеси розуміння задач з різними вимогами мають якісні відмінності, які проявляються впродовж всього процесу розв'язування. Це виражається через актуалізацію й добір знань, через зміст гіпотез, через різну значущість компонентів творчого математичного мислення.

У третьому розділі “Формування гіпотези розв'язку творчої математичної задачі” на основі системного підходу до аналізу процесу формування гіпотези розв'язку визначається місце й роль когнітивного, операційного та регулятивно-особистісного компонентів творчого математичного мислення; описуються основні стратегічні прийоми, що забезпечують пошук розв'язку творчих математичних задач; запропоновано процесуально-динамічну характеристику процесу формування гіпотези розв'язку; виокремлюються шляхи побудови розв'язку при розв'язанні математичних задач різних класів.

Проведене нами дослідження дає підстави стверджувати, що процес формування гіпотези розв'язку творчих математичних задач має спільні риси, що не залежать від основних тенденцій побудови математичних теорій, чи від розділу математики, хоч спектр математичних задач дуже широкий, а зміст прийомів, які застосовуються для їх розв'язання, дуже різноманітний. Натомість можна виділити три принципово різні шляхи побудови гіпотези розв'язку творчих математичних задач: структурний, теоретичний, комбінований, які відповідно зорієнтовані на структурні математичні об'єкти, на актуалізовані теоретичні факти, пов'язані із задачею, і на поєднання перших і других.

Загальним результатом етапу вивчення умови будь-якої задачі є репрезентація задачі, при якій її складові стають однорідними - такими, що можуть бути зіставлені. Дослідники мисленнєвого процесу (С.Л.Рубінштейн, Я.О.Пономарьов, В.О.Моляко, Д.Б.Богоявленська та інші) підкреслюють, що це досягається через відволікання від одного їх якісного змісту й акцентування уваги на іншому, тобто через створення суб'єктивної моделі задачі, що відповідає її об'єктивному змістові. Такий стан справ приводить до того, що в умові математичної задачі виділяються деякі орієнтири, які є достатньо визначальними для вибору напряму пошуку розв'язку (О.К.Тихомиров, Д.Пойя, В.О.Моляко, С.І.Шапіро та інші).

Процес пошуку розв'язку творчих математичних задач в будь-якому випадку скеровується потоком асоціацій, зорових образів, понять, які з'являються під впливом умови задачі у свідомості того, хто їх розв'язує, або підсвідомо. Відбувається актуалізація деяких складових задачі та математичних фактів - виникають орієнтири процесу формування гіпотези розв'язку творчої математичної задачі. Інколи це відбувається під дією відомих задач (цьому сприяє алгоритмізація розв'язання багатьох математичних задач), або в результаті застосування евристичних прийомів. Часто актуалізуються структурні елементи за певними ознаками, теоретичні математичні положення (означення, теореми, властивості тощо), зорові образи, новоутворені математичні об'єкти (ті, що створенні суб'єктом розв'язання). Симбіоз суб'єктивно привабливих структурних елементів задачі, математичних понять, ідей трансформування математичних об'єктів, зорових образів створює певне уявлення про майбутній розв'язок - первинне уявлення розв'язку, що виникає і функціонує у вигляді ідеї або зорового образу.

Частіше за все первинне уявлення про розв'язок творчої математичної задачі виникає в її моделі, яка не завжди повністю адекватна умові, тому воно, як правило, не може повністю задовольнити вимогу задачі і потребує в подальшому свого розвитку, що досягається за допомогою прогнозування. Таким чином, процес формування гіпотези розв'язку творчої математичної задачі як мисленнєве оперування формалізованими математичними об'єктами - це багатоступеневий процес наближення бажаного результату через актуалізацію різноманітних математичних понять, через трансформування образів математичних об'єктів, що виникають, через висування, перевірку й відбір різних ідей (гіпотез), прогнозів.

Так виникає провідна ідея - гіпотеза, яка стосується подолання проблемної ситуації, що існує у функціонуючій моделі задачі, і є напрямком розвитку, деталізації первинного поняття розв'язку. Подальші мисленнєві дії спрямовуються на дослідження провідної ідеї, що в першу чергу виражаються у появі пучків мікрогіпотез, які з нею пов'язані і прямо не сприяють суб'єктивному переформулюванню змісту функціонуючої моделі задачі чи зміні змісту первинного уявлення про розв'язання. Такі зміни можливі із зміною провідної ідеї.

Через певний час провідна ідея наповнюється деталями і створюється логічний ланцюг від умови до вимоги, що приводить до конкретизації провідної ідеї розв'язання. Таким чином, у процесі формування гіпотези розв'язку творчої математичної задачі можна виділити ряд мікроетапів: виділення орієнтирів, утворення провідної ідеї, наповнення провідної ідеї змістом, утворення логічного ланцюга послідовних мисленнєвих кроків для реалізації провідної ідеї.

Аналіз результатів проведеного нами дослідження підтверджує, що успішність пошукових дій студентів залежить від рівня їх знань і попереднього досвіду, адже відшукання орієнтирів при формуванні гіпотези розв'язку ґрунтується на властивостях і функціях структурних математичних об'єктів, що передбачає їх знання. Ці знання розширюються за рахунок знань про правила маніпулювання математичними об'єктами, які актуалізуються при формуванні гіпотези розв'язку.

В подальшому розвиваються лише ті ідеї та зорові образи, що значною мірою адекватні умові й вимозі задачі, тому спостерігається свідомий відбір, мисленнєве експериментування над математичними об'єктами, різного роду прогнозування, що є основним змістом операційного компонента творчого математичного мислення. Застосування мисленнєвих операцій підпорядковується тим самим мисленнєвим тенденціям (діяти за аналогією, всупереч аналогії чи на основі комбінаторних дій), що мали місце в процесі розуміння і спрямовує перетворення первинного уявлення про розв'язок власне у розв'язок (В.О.Моляко). До цього процесу активно підключається особистісна складова, що виконує регулятивну роль у пошуковому процесі.

Процес формування гіпотези розв'язку при розв'язуванні творчих математичних задач різних класів проходить за загальною схемою, однак існують якісні відмінності, що пов'язані з головною вимогою задач. Вони виявляються у різній значущості кількісних ознак та зорових образів математичних об'єктів, принципів відбору орієнтирів, різній ролі складових творчого математичного мислення.

Четвертий розділ “Апробація мисленнєвих гіпотез” присвячений аналізу питань, пов'язаних із процесом апробації гіпотез математичного мислення, в тому числі сформованої гіпотези розв'язку творчої математичної задачі. Подано загальну характеристику апробаційного процесу творчого математичного мислення; виокремлено та проаналізовано мікроетапи апробації сформованої гіпотези розв'язку; проведено класифікацію помилок творчого математичного мислення та проаналізовано їх психологічні засади.

Зауважимо, що психологія процесу апробації гіпотез у творчому математич-ному мисленні майже не досліджена; роботи, присвячені цій проблемі, зустрічаються досить рідко. Проведене нами експериментальне дослідження дає підстави стверджувати, що апробація гіпотез творчого математичного мислення має місце впродовж усього пошукового процесу (органічно вплітаючись в пошуковий процес, вона значною мірою коригує його), але після завершення формування гіпотези розв'язку задачі вказана апробація може набувати ролі суб'єктивно значущого етапу розв'язання - етапу перевірки сформованої гіпотези розв'язку задачі. При цьому вказана перевірка має подвійне значення: а) перевірка як процес зіставлення отриманого результату з умовою й вимогою задачі; б) перевірка як процес дослідження отриманого результату. В першому випадку з'ясовується відповідність гіпотези умові й вимозі задачі, в результаті чого настає суб'єктивна впевненість у правильності чи неправильності отриманого розв'язку. У другому випадку з'ясовується рівень відповідності гіпотези умові задачі і суб'єкт отримує знання про умови, за яких гіпотеза задовольняє задачу повністю й беззастережно.

У процесі апробації мисленнєвих гіпотез суб'єкт спирається на власні знання, уміння, навички, а його перевірювальні дії регламентуються певними суб'єктивними чинниками, включно з функціонуючими мисленнєвими тенденціями. До процесу апробації залучаються: математичні знання, що вже актуалізовані на попередніх етапах; ще не актуалізовані математичні знання (вони добираються під впливом завдання апробації); знання про сутність перевірки, які формуються завдяки досвіду розв'язання математичних задач і конкретної задачі, зокрема. Не менш значущими для процесу апробації є навички суб'єкта - вони не дають змоги пропустити неперевірену ланку гіпотези розв'язку, припуститися її поверхневої перевірки.

Отже у процесі апробації гіпотези розв'язку математичної задачі формування уявлення про розв'язок набуває завершеності. А психологічною сутністю процесу апробації у математичному мисленні є порівнювальна взаємодія отриманих в результаті пошукових дій знань з існуючою суб'єктивною системою знань. При цьому, на що б не спрямовувалася апробація у творчому математичному мисленні (на проміжну гіпотезу чи на гіпотезу розв'язку), вона завершується появою суб'єктивної впевненості в достовірності (чи недостовірності) мисленнєвого результату. В апробаційному процесі творчого математичного мислення можна виділити ряд мікроетапів: селекціонування структурних елементів, селекціонування проміжних гіпотез, дослідження нових елементів та їх властивостей, дослідження мікронаслідків мисленнєвих дій. Введені вище мікроетапи процесу апробації, узгоджуючись з мікроетапами попередніх процесів, утворюють цілісну процесуально-динамічну характеристику творчого математичного мислення, що зображено на рис. 2.

Зміст етапу перевірки гіпотези розв'язку творчої математичної задачі пов'язаний із класом задач. Якщо сформована гіпотеза розв'язку творчої математичної задачі являє собою ланцюг послідовних логічних кроків (задачі на доведення), частіше за все апробація зводиться до перевірки логічного ланцюга міркувань, завдяки якому доводиться необхідний факт. Перевіряється правильність посилань на відомі факти й правильність зроблених логічних наслідків. Уявлення про розв'язок вже створене, воно потребує допоміжної гарантії у достовірності - суб'єктивної впевненості в тому, що не допущено помилки. У тих випадках, коли вимога задачі сформульована як “обчислити”, “побудувати” для здійснення апробації необхідно мати саме результат (корінь рівняння, значення інтегралу тощо). Тому перевіряється відповідність знайденого результату числовим чи символьним співвідношенням, які визначаються умовою задачі. Виявлена невідповідність веде до перевірки логічного ланцюга. В разі позитивного результату перевірка логічного ланцюга може опускатися.

Зауважимо, що в цьому випадку апробація лише логічного ланцюга міркувань може не виявити хибність отриманого результату. Тобто, при розв'язуванні задач цих класів, первинне уявлення про розв'язання не набуває завершення на етапі формування гіпотези. Воно продовжує розвиватися, наповнюватися змістом і на етапі перевірки, у процесі апробації.

Найбільш творчим стає етап перевірки гіпотези розв'язку у задачах на дослідження. В цьому випадку, мисленнєвий результат, що є гіпотезою розв'язку (образ, символ, ланцюг міркувань, твердження тощо), часто визначає зміст перевірки отриманого результату. Таким чином, у задачах на дослідження зміст, методику, критерії апробації гіпотези розв'язку часто доводиться віднаходити самостійно. Зіставлення гіпотези розв'язку з умовою й вимогою задачі не дає тут очевидних результатів через прихованість параметрів, за якими можна було б їх порівнювати. Тому при розв'язуванні задач на дослідження, апробаційні дії, що проводяться з гіпотезою розв'язку, можуть суттєво змінювати її зміст.

При апробації математичних гіпотез продуктивність мислення визначається, зокрема, пошуком засобів апробації, точніше побудовою схеми потрібних для неї операцій. Вони залежать від знань і умінь та сприяють утворенню суб'єктивного переконання у цілісності тріади: умова задачі - використані дії - вимога задачі. Операційний компонент апробації вміщує методи зіставлення отриманого проміжного математичного результату чи гіпотези розв'язку з умовою та вимогою математичної задачі, а також певною математичною теорією. Процес апробації спрямовується тими ж суб'єктивними мисленнєвими тенденціями, що діяли в процесі розуміння задачі й формування гіпотези розв'язку. Ці мисленнєві тенденції розвиваються аж до мисленнєвих стратегій усього пошукового процесу і стають такими завдяки виникненню суб'єктивної впевненості у правильності чи неправильності пошукових дій, що, у свою чергу, є психологічним результатом процесу апробації. За результатами проведеного дослідження можна стверджувати, що при розв'язуванні творчих математичних задач протягом усього цього процесу діями студентів були дії за аналогією, дії на основі протиставлення, комбінаторні дії, змішані дії. У частини студентів домінуючі дії не виявлено.

Помилки, що їх припускають студенти при розв'язуванні творчих математичних задач, мають психологічні причини. В основі цих помилок значною мірою лежать неповні математичні знання, низька якість операційного компоненту, особистісні аспекти творчого математичного мислення.

У п'ятому розділі “Прояви інтуїції у творчому математичному мисленні” аналізуються наукові підходи до місця й ролі у творчому мисленнєвому процесі неусвідомлюваних мисленнєвих актів; дається аналіз змісту інтуїтивних проявів на різних етапах процесу розв'язування творчих математичних задач; описано зміст та механізми математичних догадок у процесах розуміння, формування та апробації гіпотези розв'язку, її взаємозв'язок з усвідомлюваними мисленнєвими діями в цих процесах.

У філософській та психологічній літературі розвивається пояснення проблеми інтуїції, здійснене В.Ф.Асмусом, який глибоко її дослідив і намітив шляхи аналізу. Психологами по-різному трактується поняття інтуїції: як завершення аналітико-синтетичної діяльності (Г.С.Костюк), як вплив побічного продукту діяльності, що існує у неусвідомленому досвіді (Я.О.Пономарьов), як неусвідомлене застосування узагальнених дій (В.А.Крутецький), як підсвідомий аналіз (В.К.Нішанов), як прискорений синтез (В.О.Моляко), як підсвідома обробка інформації (А.Н.Лук), як проникнення в сутність (Р.Л.Франклін) тощо. Інтуїції приписуються ознаки випадковості (Ж.Піаже), наочної регуляції (Б.Д.Ельконін), раптовості (Б.В.Бірюков), стрибкоподібності (В.С.Біблер), наявність не лише мовних механізмів (Б.М.Теплов, О.К.Тихомиров). Механізми відшукання інтуїтивного розв'язку знаходяться в стадії дослідження психологами і пояснюються з залученням уявлень про підсвідому мисленнєву діяльність (Я.О.Пономарьов, В.О.Моляко, Ж.Адамар, Д.Пойя, Л.Л.Гурова, Д.Б.Богоявленська, В.М.Титов та інші).

Аналіз літератури і результатів нашого експериментального дослідження дозволяє стверджувати, що логіка й інтуїція не мають протилежної спрямованості у творчому математичному мисленні. Кожна з них необхідна у математичному пошуковому процесі. Раптове осяяння здатне відкрити істину, але посилання на інтуїцію не може бути основою для прийняття будь-якого математичного твердження, адже інтуїтивні догадки суб'єктивні й нестійкі, вони потребують логічного обґрунтування.

Творче математичне мислення спирається на неусвідомлювані мисленнєві акти, що мають різний зміст для різних складових пошукового процесу: вичерпне охоплення всіх елементів разом із їх взаємозв'язками та можливими трансформаціями, виявлення багатозначності структурних елементів та їх властивостей - у процесі розуміння; миттєве синтезування складових частин: від умови існування проблеми через зміст самої проблеми до готового її вирішення - у процесі формування гіпотези розв'язку; виникнення суб'єктивної впевненості у тому, що отриманий результат вірний (невірний) - в процесі апробації.

Результати неусвідомлених мисленнєвих дій зовні можуть проявлятися у вигляді догадки - мисленнєвого акту, який охоплює вихідні дані задачі, що певним чином переробляються й досягають зони розв'язання задачі. Кожна догадка характеризується своєю зоною охоплення структурних елементів та їх взаємозв'язків, своїми способами обробки і своєю глибиною проникнення в сутність задачі та її розв'язку. Догадки у процесі розуміння творчої математичної задачі сприяють уточненню умови, доповнюють умову, встановлюють нові функціональні можливості формалізованих структурних елементів задачі, трактують зміст завдання; при формуванні гіпотези розв'язку на основі догадок виділяють орієнтири, використовують у певному ракурсі структурні одиниці, висувають проекти розв'язків. При цьому догадки у процесі розв'язування творчої математичної задачі ведуть до стрибкоподібної зміни розуміння сутності задачі і стосуються розуміння умови, розуміння шляху розв'язання й розуміння самого розв'язку.