Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Казахстанско-Российский Университет

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Математические методы в психологии

На тему: Свойства корреляции

Караганда 2005

В математическом анализе мы имеем дело с функциональной зависимостью между двумя переменными величинами, при которой каждому значению одной их них соответствует единственное значение другой. Однако часто приходится иметь дело с более сложной зависимостью, чем функциональная. Такая зависимость возникает тогда, когда одна из величин зависит не только от другой, но и от ряда прочих меняющихся факторов, среди которых могут быть и общие для обеих величин. Так, например, с увеличением высоты сосны увеличивается диаметр ее ствола. Однако если исследовать эту зависимость по опытным данным, то может оказаться что для отдельных сосен с большей высотой диаметр ствола окажется меньше, чем для сосен с меньшей высотой. Это объясняется тем, что диаметр ствола сосны зависит не только от ее высоты, но и от других факторов (например, от свойств почвы, количества влаги и т.д.).

Это обстоятельство наглядно видно из таблицы, в которой приведены значения диаметров ствола сосны в зависимости от ее высоты. В каждой клетке этой таблицы помещено число сосен, имеющих соответствующие диаметр ствола и высоту. Так, например, количество сосен с высотой 24 м и с диаметром ствола 26 см равно двум.

Ниже приведены средние значения диаметра ствола сосны в зависимости от высоты.

Мы видим, что с увеличением высоты сосны в среднем растет диаметр ее ствола. Однако сосны заданной высоты имеют распределение диаметров с довольно большим рассеянием. Если в среднем, например, 26-метровые сосны толще, чем 25-метровые, то для отдельных сосен это соотношение нарушается.

В рассмотренном примере мы имеем две случайные величины: - высота сосны и - диаметр ее ствола. Каждому значению x величины соответствует множество значений , которые она может принимать с различными вероятностями. Говорят, что между и существует корреляционная зависимость. Этот пример приводит нас к следующему определению.

Две случайные величины и находятся в корреляционной зависимости, если каждому значению одной из этих величин соответствует определенное распределение вероятностей другой.

Для характеристики корреляционной зависимости между случайными величинами вводится понятие коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции.

Как мы знаем, если и - независимые случайные величины, то по свойству математического ожидания.

Если же и не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря,

Условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин и принять безразмерную величину , определяемую соотношением.

и называемую коэффициентом корреляции.

Рассмотрим некоторые свойства коэффициента корреляции.

Если и - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен нулю.

Это свойство непосредственно вытекает из соотношений (1) и (2). Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. если

то отсюда еще не следует, что и независимы.

Заметим без доказательства, что . При этом если , то между случайными величинами и имеет место функциональная, а именно линейная зависимость.

Замечание. Двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы величин и имеет вид

Можно показать, что постоянная R равна коэффициенту корреляции величин и , т.е.

Следует заметить, что в случае, когда система величин и распределена нормально и коэффициент корреляции

то величины и независимы.

Функции и линии регрессии.

Пусть и - две случайные непрерывные величины, находящиеся в корреляционной зависимости. Это значит, что каждому значению x случайной величины соответствует вполне определенное распределение вероятностей величины . Плотность распределения величины при условии, что , называется условной плотностью распределения случайной величины .

Вычислим для данного случая так называемое условное математическое ожидание величины при условии, что . Согласно определению математического ожидания непрерывной случайной величины, имеем

Каждому возможному значению x случайной величины соответствует определенное значение условного математического ожидания . Таким образом, мы получаем функцию

переменной x. Эта функция y=f(x) называется функцией регрессии величины на , а ее график - линией регрессии на .

Аналогично определяется условное математическое ожидание величины при условии, что :

где - условная плотность вероятности случайной величины при условии, что .

Функция x=g(y) называется функцией регрессии величины на , а ее график - линией регрессии на .

Cледует иметь в виду, что функции y=f(x) и x=g(y) не являются обратными по отношению друг к другу.

Если обе функции

линейны, то линиями регрессии являются прямые. В этом случае говорят, что случайные величины и связаны линейной корреляционной зависимостью. Можно показать, что уравнение прямой регрессии на имеет следующий вид:

где - условное математическое ожидание случайной величины при . Аналогично записывается уравнение прямой регрессии на :

где - условное математическое ожидание случайной величины при .

Величины

называются коэффициентами регрессии соответственно на и на Из формул (5) следует, что

Равенство (6) показывает, что оба коэффициента регрессии имеют одинаковые знаки. Если они положительны (отрицательны), то с возрастанием аргумента возрастают (убывают) соответствующие условные математические ожидания.

Если

то, как следует из уравнений (3) и (4),

т.е. в этом случае условные математические ожидания постоянны и равны соответствующим математическим ожиданиям случайных величин и .

Замечание. Можно доказать, что если система двух случайных величин имеет нормальное распределение, то эти величины находятся в линейной корреляционной зависимости.

Анализ линейной корреляции по опытным данным.

Одной из задач математической статистики является исследование корреляционной зависимости между случайными величинами. Пусть проведено n опытов, в результате которых получены следующие значения системы величин :

(x1, y1), (x2, y2), ..., (xi, yi), ..., (xn, yn).

За приближенные значения , , и принимают их выборочные значения , , и :

Выборочными коэффициентами корреляции называют число , определяемое соотношением:

Можно показать, что сходится по вероятности к коэффициенту корреляции . Заменяя в соотношениях (5) величины , и их выборочными значениями , и [см. формулы (8) и (9)], получим приближенные значения коэффициентов регрессии:

Подставляя в уравнения (3) и (4) приближенные значения коэффициентов регрессии и используя соотношения (7) и (10), получим уравнения эмпирических прямых регрессий:

на :

на :

При большом числе опытов для упрощения подсчета значений , , , и коэффициента корреляции поступим следующим образом.

Диапазоны изменения наблюдаемых значений случайных величин и разобьем соответственно на интервалы

корреляция функциональный математический регрессия

]X0, X1[, ]X1, X2[, ..., ]Xi-1, Xi[, ..., ]Xk-1, Xk[

]Y0, Y1[, ]Y1, Y2[, ..., ]Yj-1, Yj[, ..., ]Ys-1, Ys[

Каждое из наблюдаемых значений , попавших в i-й (j-й) интервал, считаем приближенно равным середине этого интервала ci (dj). Пусть () - число значений , попавших в в i-й (j-й) интервал, а x0 и y0 - произвольные числа, близкие к серединам диапазонов изменения значений и . Полагая ui=ci-x0 и vj=dj-y0 и используя формулы (70) и (71), получим:

Для подсчета выборочного коэффициента корреляции по формуле (9) сначала запишем выражение

в новых переменных ui=ci-x0 и vj=dj-y0. Обозначим через mij число наблюдаемых значений пар , у которых значения попали в i-й интервал ] Xi-1,Xi [, а значения - в j-й интервал ] Yj-1,Yj [. Каждое из этих значений и заменим соответствующими серединами ci и dj интервалов ] Xi-1,Xi [ и ] Yj-1,Yj [. Тогда

где сумма в правой части равенства распространена на все возможные пары чисел (i,j), причем i пробегает значения от 1 до k, а j - от 1 до s. После преобразований в результате получим

Итак, окончательная расчетная формула для выборочного коэффициента корреляции имеет вид

Пример. Для выяснения зависимости между диаметром ствола () сосны и ее высотой () было исследовано 26 сосен. Наблюдаемые значения высоты сосен колеблются в границах от 22,5 до 28,5 м, диаметр ствола - от 20 до 48 см.

Список использованной литературы

1. Суходольский Г.В. Основы математической статистики для психологов С.-Пб., 1998.

2. Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М., 1976.

3. Артемьева Е.Ю., Мартынов Е.М. Вероятностные методы в психологии. М.: Изд-во МГУ, 1975.

4. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. СПб., 1996.

Размещено на Allbest.ru