Теория динамических систем

С теоремой Геделя связано открытое в ХХ веке чрезвычайно важное явление алгоритмической неразрешимости. Существуют классы корректно поставленных массовых проблем, допускающих применение алгоритмов, для которых тем не менее доказано отсутствие каких-либо алгоритмов их решения [Плесневич, 1974]. Поскольку основным предметом нашего обсуждения является не математика и кибернетика, а психология, мы приведем определение алгоритма, используемое в психологии, которое, тем не менее, содержательно очень близко к кибернетическому. Алгоритм определяется как общепонятная система точных предписаний, представляющая в общем виде решение всех задач определенного класса и позволяющая безошибочно решать любую задачу этого класса. Алгоритм характеризуется: а) детерминированностью - однозначностью результата при заданных исходных данных; б) дискретностью - расчлененностью процесса на отдельные акты, возможность выполнения которых не вызывает сомнения; в) массовостью - способностью обеспечить решение любой задачи из класса однотипных задач. Тем не менее, строго доказано, что многие однотипные массовые задачи в принципе не имеют алгоритма своего решения.

Алгоритмическая неразрешимость массовой проблемы не означает неразрешимости той или иной единичной проблемы данного класса. Та или иная конкретная проблема может иметь решение, причем даже вполне очевидное, а для другой проблемы может существовать простое и очевидное доказательство отсутствия решения (доказательство того, что множество решений пусто). Но в целом данный класс проблем не имеет ни общего универсального алгоритма решения, применимого ко всем проблемам этого класса, ни ветвящегося алгоритма разбиения класса на подклассы, к каждому из которых был бы применим свой специфический алгоритм. Для решения отдельных подклассов задач нужно разрабатывать свои алгоритмы; для некоторых отдельных задач требуется разработка методов, вынужденно ограниченных, уникальных.

Алгоритмически неразрешимыми являются, например, проблема распознавания: остановится или нет произвольно выбранная машина Тьюринга (идеальная теоретическая модель любого программируемого устройства, на которой может быть реализован любой алгоритм) и вообще любая программа алгоритмического типа; проблема эквивалентности программ; тождества двух математических выражений; проблема распознавания того, можно ли из имеющихся автоматов собрать заданный автомат; а также множество других проблем, относящихся к топологии, теории групп и другим областям.

Мы выдвигаем следующее положение: алгоритмическая неразрешимость как невозможность обобщенной системы точных предписаний по решению задач одного и того же типа имеет принципиальное значение для психологии и педагогики. Она означает наложение ряда принципиальных ограничений на основные компоненты деятельности человека или деятельности любой другой системы, обладающей психикой. Это ограничения на планирование деятельности, на ее осуществление, на контроль результатов, коррекцию.

Речь идет о невозможности эффективной универсальности, о невозможности эффективной инвариантности. В.Ф. Венда показал, что универсальность и эффективность методов связаны обратной зависимостью: чем метод более универсален, тем он менее эффективен. (Один из параметров эффективности метода - способность с его помощью либо решить задачу, либо доказать отсутствие решения за определенное число шагов) Наиболее эффективны самые частные, самые специализированные методы - алгоритмы. За определенное число шагов такой специализированный метод всегда приводит к решению любой задачи того класса, который он покрывает. Но при этом он не может быть использован без той или иной переделки для решения задач даже соседних классов.

Неэффективная универсальность и инвариантность - возможна. Например, рекомендация "Если не получилось решить задачу одним способом, попробуй другим" может считаться универсальной, поскольку относится к решению задач в самых разных областях. Но вряд ли она достаточно эффективна, поскольку указывает лишь на возможность смены способа, но не на сам способ.

Возникает вопрос: как же люди решают конкретные задачи, относящиеся к классу алгоритмически неразрешимых? А ведь они их решают - и задачи на доказательства тождеств, и задачи на конструирование автоматов из имеющегося набора, и многие другие.

Решения алгоритмически неразрешимых задач и доказательства их правильности возможны и осуществляются очень часто. Но для каждого такого решения приходится каждый раз особым образом комбинировать различные элементы знания. С одной стороны, это элементы декларативного знания: аксиомы, постулаты, теоремы, описывающие некоторые свойства и связи изучаемой области. С другой стороны, это элементы процедурного знания: знания методов, стратегий, приемов. Сюда входят и общелогические, и предметно-специфические (domain-specific) методы, стратегии, приемы, которые "привязаны" к особенностям конкретной области. Все эти элементы вполне надежны в качестве "кирпичиков", из которых конструируется "здание" решения. Их можно и необходимо использовать, без них поиск решения станет значительно менее эффективным или вообще невозможным. Но проблема алгоритмической неразрешимости состоит в том, что нет общих универсальных правил, точных предписаний, как выбрать “кирпичики”, нужные для конкретной задачи, и как сложить из них решение этой задачи. Построение "здания" решения задачи, относящейся к классу алгоритмически неразрешимых, с неизбежностью требует эвристических приемов и творчества: способ решения не выводится из более общего известного типового метода, а изобретается. А.Н. Кричевец пишет, что эти эвристические приемы невозможно описать точно, а можно только сказать, что тот, кто владеет ими, каждый раз вновь или даже впервые самостоятельно конструирует новый прием, нужный для конкретной ситуации - "вспомним, что всякий прием когда-то был создан впервые".

При этом достижимость решения не может быть гарантирована на 100% никакими методами - в отличие от ситуации с алгоритмически разрешимыми задачами. Здесь неизбежно начинают играть роль индивидуальные творческие возможности решающего. Инвариантный подход оставляет за бортом проблемы конструирования таких решений и проблему алгоритмической неразрешимости вообще.

Для наглядности мы использовали в этом описании решения сложных задач метафору "строительства из кирпичиков", но возможны и другие. Например, Д. Дернер использует компьютерную метафору: "можно сказать, что у нас в голове хранится множество фрагментов отдельных программ, которые в конкретной ситуации комбинируются для решения той или иной проблемы". Системное мышление - это умение настроить комплекс своих способностей на условия конкретной ситуации, которые всегда различны.

При этом было бы бессмысленным отрицать возможность и необходимость построения тех или иных относительно общих и достаточно эффективных методов в определенных областях. Эти методы уже оказали огромное влияние на развитие цивилизации. Общие алгоритмические методы лежат в основе современного автоматизированного промышленного производства и бурно развивающихся информационных компьютерных технологий. И скорее всего, еще будут открыты такие гениальные методы обобщенного инвариантного типа и гениальные алгоритмы, которые приведут к новым технологическим переворотам. Однако необходимо задуматься о том, что в ряде важных отношений границы применимости инвариантных методов ощущаются уже сейчас.

Мы утверждаем, что фундаментальное значение имеет ранее упомянутая проблема распознавания, остановится или нет (не попадет ли в бесконечный цикл) произвольно выбранная программа, являющаяся предписанием алгоритмического типа. Алгоритмическая неразрешимость этой проблемы является примером того, что для работы со многими алгоритмами не существует алгоритмов (нет алгоритмов использования алгоритмов). Принципиальное следствие этой проблемы таково. Ни один алгоритм, ни один план действий не может быть проверен каким-либо общим, универсальным, инвариантным способом на предмет того, закончится ли когда-либо выполнение данного плана или же это выполнение будет продолжаться бесконечно. (Еще раз заметим, что тот или иной конкретный план, алгоритм может быть совершенно "прозрачным" в отношении того, завершится ли его выполнение. Но нет общего метода проверки любого плана на это принципиально важное свойство - выполнимость. Необходимо искать, создавать, изобретать конкретные методы, пригодные для проверки именно анализируемых планов, а не некоего плана вообще). Таким образом, эффективный универсальный метод планирования, построенный на инвариантной, обобщенной и неизменной основе, невозможен.

Невозможен также универсальный инвариантный метод сравнения различных планов, направленных на достижение одной цели. Это следует из доказанной алгоритмической неразрешимости проблемы эквивалентности двух программ. Эта неразрешимость означает, что не существует общего, универсального метода определения того, всегда ли сравниваемые программы действий будут приводить к одинаковым результатам при одинаковых исходных данных (начальных условиях). Иначе говоря, если мы имеем две или более различных системы точных общепонятных предписаний по достижению одной и той же цели (например, представленные на конкурс), мы не имеем возможности сравнить их на основе какого-либо общего универсального метода. Если мы хотим их сравнить, то должны для этого искать, разрабатывать, изобретать те или иные конкретные методы, пригодные для данной области, подобласти или даже только для данной конкретной уникальной задачи.

Установление эквивалентности является основой измерения. Если нельзя установить эквивалентность выбранному стандарту (единице измерения), то измерение невозможно. Соответственно, не существует общего метода измерения того, насколько та или иная программа, план, схема действий "справляется" со своими функциями. Для такого измерения не может существовать стандарта, инварианта; здесь также необходимы конкретные методы.

Рассмотрим следующий за планированием этап - выполнение деятельности. На этом этапе нередко обнаруживаются какие-либо ошибки и сбои (например, вышеупомянутое сверхдлительное выполнение без признаков завершения). Различные ошибки всегда возможны, что объясняется, в том числе невозможностью предварительного эффективного универсального планирования. Здесь возникают следующие вопросы. Возможен ли универсальный, инвариантный метод обнаружения ошибок и метод их исправления? Если речь идет об орудийной деятельности, возможен ли универсальный, инвариантный метод проверки орудий, технических устройств на предмет установления неисправностей и инвариантный метод их устранения?

Для реальных устройств справедливы вышеприведенные положения об ограничениях возможностей познания любых реальных систем. Объективное бесконечное разнообразие мира создает бесконечные возможности для возникновения таких типов неисправностей, которые не могут быть предсказаны, а в случае возникновения - не могут быть описаны и объяснены имеющимися моделями. В реальную систему всегда возможно вторжение иносистемного. Оно принципиально, именно в силу своей иносистемности, не может быть описано на языке, предназначенном для описания исходной системы.

Кроме этого, как показывает П. Яних, имеются принципиально неразрешимые внутренние проблемы рассуждений при поиске ошибок, неисправностей, отказов и способов их устранения. Всякая неисправность является - по определению - отклонением от запланированной, желаемой и предвиденной функции. Неисправность есть отклонение от правила. Если же человек берется перечислить и описать возможные неисправности в какой-либо системе, объяснить их причины и дать предписания по их устранению, то тем самым он изменяет их квалификацию в модели системы. Он переводит их из разряда собственно неисправностей (неисправностей в истинном смысле слова) в другой разряд - разряд закономерных, хотя и нежелательных с определенной точки зрения, вариантов структуры и функционирования системы. Тем самым строится более широкая, общая, инвариантная модель системы. В ней все многообразие известных вариантов классифицируется в соответствии с установленными правилами, подразделяясь на варианты желательные (целевые) и нежелательные, с указанием правил появления каждого варианта (указанием генетически исходного отношения, детерминирующего его возникновение и развитие), а также с указанием возможности и правил перехода между целевыми и нецелевыми состояниями, и обратно. Здесь мы приходим к необходимости использования теоремы Геделя о неполноте, на которую П. Яних не ссылается, но которая вносит важный вклад в эти рассуждения. Никакой метод обнаружения неисправностей в той или иной системе не может содержать метода полной проверки своей собственной исправности. (Более общая модель, позволяющая выявлять неисправности, не описанные предшествующей моделью и в этом смысле являющиеся для этой предшествующей модели истинными неисправностями, не может содержать внутри себя алгоритма выявления своих собственных истинных неисправностей) Требуется построение более общего метода и т.д. - до бесконечности. Таким образом, эффективный универсальный метод поиска и устранения ошибок и неисправностей не может быть построен.

Помимо этого формального обоснования, необходимо привести содержательные доводы в пользу невозможности такого универсального метода. П. Яних подчеркивает, что понятие ошибки, неисправности, отказа имеет смысл лишь относительно заданных целей и норм. Машины и алгоритмы строятся для строго определенных функциональных целей, или их вообще нельзя построить. Сами они "не способны ставить ни целей, ни норм, ни преследовать намерений - они функционируют". Вопрос о том, достигнута ли цель, соблюдена ли норма, ставится и решается в конечном счете только человеком. Но решение этого вопроса самим человеком "состоит не в достижении заданных значений в регулирующем контуре... в процессе решения будут придуманы иные интерпретации целей и средств, которые не могут ни выполняться, ни имитироваться автоматом... ". Этот процесс нельзя подчинить каким-либо заранее сформулированным точным предписаниям. (Поэтому, как показывает П. Яних, принципиально невозможно заменить человека - например, на космической орбите - какими-либо техническими устройствами сколь угодно высокого уровня, предназначенными для устранения неисправностей. Принципиально невозможны сами эти устройства)

А.Н. Кричевец строго доказал невозможность построения универсального "обучающегося" алгоритма, способного научиться распознавать произвольные образы или формировать понятия на основе анализа выборки объектов. "Надежды на то, что существует общий для всех задач естественный способ редукции данных, не сбылись. Новые проблемные области требуют во всех случаях не только профессионального отбора информативных признаков, в пространстве которых следует искать решение задачи, но нередко еще и совершенно новых методов решения".

3. Ограничения методов теоретического выведения