Характеристика элементарных математических знаний и умений детей с задержкой психическо-математическго развития шестилетнего возраста

МОСКОВСКИЙ ПСИХОЛОГО-СОЦИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

РЕФЕРАТ

ПО КУРСУ: Психология отклоняющегося развития

НА ТЕМУ: “Характеристика элементарных математических знаний и умений детей с задержкой психического развития шестилетнего возраста”

Москва 2006

Обучение математике, как и другим учебным предметам, опирается на те элементарные знания и представления, которые дети получают в дошкольный период своей жизни, общаясь со сверстниками и взрослыми, действуя с различными предметами. В результате этой деятельности дети приобретают сведения, которые становятся фундаментом их дальнейшего обучения. Поэтому важной задачей было выявление уровня математических представлений шестилетних детей с ЗПР к моменту их поступления в школу.

Исследование ставило следующие задачи:

1. Изучить особенности элементарных математических знаний детей с ЗПР шестилетнего возраста в сравнении с их нормально развивающимися сверстниками.

2. Определить эффективность обучения шестилетних детей с зпр по программе подготовительного класса в условиях детского сада.

Для реализации первой задачи был проведен индивидуальный констатирующий эксперимент в самом начале пребывания детей в детском саду (сентябрь месяц). Испытуемыми были шестилетние дети, имеющие диагноз “задержка психического развития”, принятые в подготовительный класс детского сада .№ 1371 Перовского района г. Москвы (73 чел.). Для сравнения привлекались первоклассники того же возраста, поступившие в общеобразовательную школу № 151 Ленинградского района Москвы (50 чел.).

При определении содержания элементарных математических знаний у детей мы руководствовались Типовой программой воспитания и обучения в детском саду (М.: Просвещение, 1984).

Детям предъявлялись задания по следующим разделам.

Количество и счет

1. Умение воспроизводить числовой ряд в прямом, обратном порядке, от заданного числа до заданного:

-- считай вперед по одному;

-- считай в обратном порядке, до одного;

-- считай от двух до шести; от семи до четырех.

2. Умение сосчитать группу однородных предметов и обозначить числом:

-- сосчитай, сколько кругов; покажи четыре круга;

-- сосчитай, сколько всего кубиков, покажи шесть кубиков.

3. Понимание независимости числа от величины элементов, его образующих, от расстояния между ними, от их расположения:

-- сосчитай круги сверху вниз;

-- сосчитай круги слева направо;

-- сосчитай, сколько всего кругов (вразброс).

4. Умение считать с опорой на слуховое и осязательное восприятие предметов и явлений:

-- сосчитай, сколько раз я постучу карандашом (с закрытыми глазами);

-- сосчитай на ощупь, сколько здесь предметов;

-- хлопни в ладоши пять раз;

-- сосчитай, сколько шагов я сделал до двери.

5. Умение считать по порядку:

-- посчитай так: первый, второй...

-- покажи первый, третий флажок.

Количественные отношения

1. Установление равенства и неравенства групп однородных предметов, понимание отношений: больше -- меньше, одинаково, на сколько больше -- меньше:

-- где кубиков больше? где меньше? (предъявлялись четыре, и пять кубиков, две и шесть палочек, пять и пять елоче]

-- чего больше на картинках -- яблок или груш? Груш) лимонов? Чего меньше?

-- на сколько больше груш, чем яблок?

-- на сколько меньше л имонов, чем груш? (см.: стр. 15 ут ника математики для 1-4 классов).

2. Умение уравнивать неравночисленные группы пред тов (4 и 5):

-- сделай так, чтобы палочек и кубиков стало поровну;

-- как по-другому можно сделать так, чтобы предметов < ло поровну?

Счетные операции

1. Умение присчитывать и отсчитывать по одному, cm ла в пределах пяти, затем -- десяти:

-- сосчитай, сколько будет:

2+1 3-1 7+1 6-1 4+1 5-1 9+1 10-1

2. Умение выполнять сложение и вычитание в преде, 5 и 10 с опорой на наглядный счетный материал и без нее:

3+2 6+3

4-2 8-4

10-3

Решение арифметических задач

1. На нахождение суммы:

-- на дереве сидели 3 птички. Прилетели еще 2 птички. Сколько стало птичек?

2. На нахождение остатка:

-- на дереве сидели 5 птичек. Улетели 2 птички. Сколько птичек осталось?

3. Усложненной формулировки:

-- сначала улетели 2 птички, потом 3 птички. Сколько птичек улетело?

При выполнении этого задания детям разрешалось использовать имеющийся перед ними наглядный счетный материал для иллюстрации содержания задачи. В случае затруднений в вычислениях числа в задачах заменялись меньшими (в пределах трех).

Размер предметов

1. Овладение понятиями: большой-- маленький, высокий -- низкий, длинный -- короткий, толстый -- тонкий, широкий -- узкий:

-- сравни эти две ленты по длине: какая это лента?

-- сравни эти деревья по высоте;

-- сравни две полоски по ширине: какая это полоска?

-- сравни два круга по размеру...

2. В случае неточного называния признака ребенку предлагалось показать предмет с заданным свойством:

-- покажи высокое дерево; покажи короткую ленту; пока-“и тонкое бревно.

Пространственные представления

1. Умение показать правую и левую руку у себя:

-- какая это рука -- правая или левая?

-- покажи свою правую (левую) руку.

2. Умение показать правую и левую руку у собеседника.

3. Умение ориентироваться на листе бумаги:

--положи круг слева (справа, вверху, внизу, посередине листа).

Знание геометрических фигур

1. Умение правильно назвать геометрические фигуры: круг, треугольник, квадрат, прямоугольник, овал:

-- как называется эта фигура?

В случае затруднений ребенку предлагалось найти и показать ту или иную фигуру среди имевшегося набора:

-- покажи треугольник;

-- найди, где овал.

Знание цифр

1. Умение называть цифры в соответствии с порядком чисел:

-- какая эта цифра?

2. Умение называть цифры от единицы до девяти и число десять (в произвольном порядке).

3. Умение обозначить количество предметов соответствующей цифрой:

-- сосчитай, сколько всего треугольников, и подбери нужную цифру (предъявлялись три и семь треугольников).

4. Умение соотнести цифру с соответствующим количеством предметов:

-- подбери нужное количество кругов к этой цифре. Сколько кругов нужно взять? (Предъявлялись цифры 4 и 8.)

Рассмотрим полученные результаты. С какими математическими умениями приходят шестилетние дети с задержкой психического развития в подготовительный класс?

Подавляющее большинство из них правильно называли числа по порядку от 1 до 10 (67 детей, что составляет 91% испытуемых). Из них некоторые воспроизводили числовой ряд только до 10--27 чел. (37%), до 11-15 -- 32 чел. (44%), до 20 считали 8 чел. (10%). Лишь шесть испытуемых (9%) не владели умением называть числа от единицы до десяти.

Все нормально развивающиеся первоклассники безошибочно и легко называли числа от единицы до десяти. Многие умели считать и дальше: 36% испытуемых называли числовой ряд до 100. Но лишь половина из них выполняла это задание полностью правильно, остальные допускали ошибки в назывании круглых десятков: “тридцать девять, тридцать десять”, “пятьдесят девять, пятьдесят десять...” Знали последовательность чисел только до 10 -- 10% всех испытуемых данной группы, До 20 считали 38% детей.

При пересчете конкретных предметов детям предлагалось показать и назвать итоговый результат, ответив на вопрос “Сколько всего?” Оказалось, что часть испытуемых интересующей нас группы (15 чел. --20%) при названии итога счета показывает лишь последний предмет вместо того, чтобы обвести рукой всю группу, т. е. не отличает процесс счета от его итога. Этот факт свидетельствует о том, что значительная часть шестилетних детей с ЗПР еще не овладела операцией результативного счета, т. е. умением отнести последнее из называемых числительных ко всей совокупности в целом, а не к последнему ее элементу. Среди первоклассников общеобразовательной школы общая ошибка не встречалась.

Известно, что многие дети легко воспроизводят числовой яд от единицы до десяти и дальше, но часто оказываются затруднении при назывании чисел в обратном порядке. Сосчитать от десяти до единицы смогли лишь восемь детей с ЗПР 10% испытуемых), обратный счет от пяти до единицы выполнили 14 детей (20%). Большая часть испытуемых данной группы (51 чел.-- 70%) не смогла выполнить это задание. Некоторые дети не понимали его, другие пытались называть числа обратном порядке, но допускали много ошибок, пропуская числа, сбиваясь на прямой счет.

В группе первоклассников общеобразовательной школы получены следующие результаты. Большинство детей правильно назвали числа от десяти до единицы (45 чел. --90%), из них часть детей (10 чел. --20%) могла воспроизвести числа от 20 дальше до единицы. Лишь пять испытуемых (10%) не справились с этим заданием.

Еще большие трудности у детей интересующей нас категории вызвал счет от одного заданного числа до другого в прямом особенно в обратном порядке. Из 73 испытуемых с ЗПР чис-1 от двух до шести смогли назвать лишь четыре человека >,5%), а обратного счета (от семи до четырех) не дал никто з них. Ошибки, допускаемые детьми, заключались в том, что они начинали называть числа от единицы и продолжали назы-1ть их до конца числового ряда (до 10). При обратном счете одного заданного числа до другого начинали считать от единицы до десяти, воспроизводя весь числовой ряд. При этом обычно сбивались на прямой счет, пропускали числа. Для многих испытуемых это задание было совершенно непонятным.

Нормально развивающиеся первоклассники справились с ним гораздо успешнее. В прямом порядке правильно назвали числа 80% всех детей, в обратном порядке -- 70%.

Сводные данные (в %) об успешности воспроизведения числового ряда испытуемыми обеих групп приведены в табл. 1.

Из табл. 1 видно, что большинство шестилетних детей ЗПР, как и их сверстники, развивающиеся нормально, умеют воспроизводить числовой ряд до 10 в прямом порядке. У подавляющего большинства из них счет так и не выходит за границы первого десятка, в то время как диапазон счета у первоклассников общеобразовательной школы значительно шире: многие умеют считать до 20 и до 100. Среди последних не встретились такие дети, которые не могли бы назвать числа первого десятка, тогда как среди детей с ЗПР они были.

Таблица 1

Испытуемые	Прямой счет	Обратный счет
	менее, чем до 10	до 10	до 20	больше, чем до 20	не владеют	менее, чем oт 10	oт 10	от 20
Дети с ЗПР	9	81	10	0	70	20	10	0
Дети, нормально развивающиеся	0	10	38	52	10	0	70	20

Серьезные трудности, как видно из таблицы, вызывает у детей интересующей нас группы счет в обратном порядке и особенно -- счет от одного пункта числового ряда до другого. Без специального обучения они не владеют этим умением в отличие от своих нормально развивающихся сверстников, которые довольно успешно справились с этими заданиями.

Все эти результаты свидетельствуют о том, что шестилетние дети с ЗПР недостаточно сознательно усвоили последовательность чисел в натуральном ряду, не могут свободно в нем ориентироваться. Поэтому их затрудняет обратный счет, они не могут “оторваться” от единицы и называть числа, начиная с любого пункта натурального ряда. Они лишь механически запоминают порядок следования чисел до 10. Такое явление, давно подмеченное Н. А. Менчинской у слабоуспевающих первоклассников массовой школы, свидетельствует, по ее мнению, “о большой косности связей, т. е. о том, что они актуализируются только в тех условиях, в каких были образованы” [1, с. 185].

При выполнении следующего задания учащиеся должны были считать однородные предметы в различном расположении и направлении счета. Шестилетние дети с ЗПР правильно сосчитывали однородные предметы в пределах 5: они не пропускали предметы и не считали их дважды, верно соблюдали последовательность числительных. Но при предъявлении им группы предметов количеством больше 5 (6, 7 и т.д.) они часто сбивались со счета, забывали только что названное числительное, допускали ошибки, начинали пересчет еще раз.

Большинство детей интересующей нас группы (93%) понимает независимость счета от размера предметов. Лишь пять (7%) человек назвали большой группой не большее количество мелких предметов, а меньшее количество крупных предметов. Около половины этих детей (49%) не понимают независимости результата счета от пространственного расположения предметов и столько же -- от направления счета. Хотя испытуемые видели, что количество предметов оставалось неизменным, они каждый раз снова пересчитывали их: слева направо, справа налево, сверху вниз, вразброс, в виде фигуры и т.д. Причем иногда даже получали другой результат. В группе нормально развивающихся первоклассников такиx ошибок не было. Как правило, они не пересчитывали предметы еще раз, а сразу отвечали: “Тоже 6”, “И так будет 6”.

Известно, что в процессе формирования счета происходит постепенный переход ручного и речевого компонента от внешнего, развернутого действия к внутреннему, сокращенному. В этом плане мы должны отметить более низкую степень развития процесса счета у детей с ЗПР, чем у их сверстников, развивающихся нормально. Все они производили счет, передвигая предметы, дотрагиваясь до них, произнося вслух числительные. Эти дети могли определить сразу, способом “прямого усматривания” количество из двух-трех предметов. При предъявлении большей по количеству группы они пересчитывали предметы по одному с полностью развернутыми композитами счета, т.е. передвигали каждый предмет, проговаривали каждое числительное.

В группе нормально развивающихся первоклассников 20% детей считали молча, “глазами”, 30% также не дотрагивались предметов, но при этом называли числительные вслух или шепотом. В то же время у половины всех испытуемых данной группы (50%) счет был полностью развернутым, как и у детей с задержкой психического развития.

Следующее задание, которое выполняли учащиеся, был счет с опорой на слуховое и осязательное восприятие предметов и явлений (хлопки, постукивание, счет шагов, счет предметов на ощупь). Дети интересующей нас группы справились гам, как и их нормально развивающиеся сверстники. Но, в отличие от последних, они смогли произвести счет лишь в пределах пяти и при условии, что звуки и движения предъявлялись в более медленном темпе. При этом дети с ЗПР называли числительные вслух, иначе сбивались со счета, допускали ошибки и начинали считать еще раз. При увеличении количества (больше пяти) и при отсутствии замедленного темпа число ошибочных ответов резко возрастало и в большинстве случаев приводило к отказу от выполнения задания.

Следует отметить, что испытуемые с ЗПР с трудом сосредоточивались на данном задании, не всегда понимали его, многим приходилось повторять инструкцию и воспроизводить еще раз движения и звуки, так как дети забывали, что их нужно считать. Для учащихся массовой школы в этом не было необходимости.

У значительной части детей с ЗПР вызвало затруднение задание на порядковый счет. Порядковые числительные от единицы до пяти смогли назвать 33% из них, числа от единицы до 10 -- 10%. Остальные испытуемые (57%) не справились с данным заданием. При этом они допускали такие ошибки: пропускали порядковые числительные, сбивались на количественный счет. Трое отказались от ответа. В большинстве случаев детям также приходилось повторять задание, давать разъяснения.

Испытуемые сравниваемой группы показали гораздо лучшие результаты: до 10 назвал числа 31 чел. (62%), до 20 и дальше -- 16 чел. (32%). Лишь трое (6%) с заданием не справились, назвав только первые три порядковых числительных.

При сравнении множества предметов обнаружилось следующее. Когда детям предъявлялись две группы однородных предметов, резко различающиеся по количеству (например, шесть и два), то все испытуемые с ЗПР правильно указывали большую и меньшую группы, не прибегая к пересчету предметов. Трудности возникали тогда, когда предлагалось сравнить близкие по количеству совокупности: пять и четыре, на картинке -- шесть и пять квадратов. В этих случаях узнать, где предметов больше, а где меньше, не смогли 13 детей (около 18%). Они несколько раз пересчитывали каждое множество, сбивались со счета, считали еще раз, но так и не смогли сказать, в каком из них предметов больше, а в каком меньше. На вопрос “На сколько больше (меньше)?” при сравнении четырех и пяти предметов смогли правильно ответить лишь 7% детей с ЗПР. Остальные называли одно из имеющихся множеств: “на 4”, “на 5” или любое произвольное число. Были случаи отказа от ответа.

В отличие от детей с ЗПР первоклассники массовой школы большинстве справились с этим заданием: 80% из них смогли осуществить разностное сравнение двух групп предметов.

При предъявлении равночисленных множеств предметов (в пределах 5) равенство установили 73% испытуемых с ЗПР. Они отвечали: “Здесь столько же, сколько там”, “Тут все одинаково”, “Тут равно”. Встретились затруднения в словесном определении равенства: “Нет ни больше, ни меньше”, “Никаких нет”. Не выполнили данное задание 27% детей данной группы. Они долго пытались найти большую совокупность, указывая то одну, то другую группу.

Среди нормально развивающихся детей установление равенства затруднило лишь трех учеников (6%), но после перечета предметов и они правильно выполнили задание.

Нужно отметить, что дети с ЗПР сразу, “на глаз” могли определить количество групп из одного, двух или трех предметов. При предъявлении большего по количеству множества они пересчитывали каждую группу по единице в отличие от своих сверстников, развивающихся нормально, которые могли схватывать “глазами” числовые фигуры из четырех и пяти предметов, т.е. опирались на восприятие числовых групп, а не перечитывали их по единице.

Интересные результаты получены при выполнении детьми задания по уравниванию неравночисленных множеств однородных предметов. Им предлагался наиболее легкий вариант, когда разность равна 1 (в пределах пяти). Некоторые учащиеся ЗПР (10%) даже не пытались справиться с этим заданием, отмечая: “Не умею”, “Не знаю”. Около половины данной группы 16%) дали оба способа уравнивания -- как добавлением предмета в меньшую группу, так удалением предмета из большей группы. Остальные дети (44%) смогли уравнять группы лишь одним из способов -- чаще путем добавления недостающего предмета (33%), реже -- удаляя лишний предмет (11%).

В группе первоклассников массовой школы обоими способами уравнивания владеют большинство детей -- 86% . Остальные применили один из способов -- приблизительно поровну каждый. В отличие от группы детей с ЗПР здесь не встретилось и одного ребенка, который не владел хотя бы одним из способов уравнивания неравночисленных множеств.

Таблица 2

Успешность определения количественных отношений шестилетними детьми с ЗПР и нормально развивающимися (в %)

Испытуемые	Адекватное использование понятий	Уравнивание неравночисленных множеств
	“больше-меньше”	“только же”	“на сколько больше”	Не владеют никаким способом	Владеют одним способом	Владеют двумя способами
С ЗПР	82	73	7	10	44	46
Нормально развивающиеся	100	94	80	0	14	86

Сводные данные об успешности определения количественных отношений детьми обеих категорий (в %) приведены в табл.2.

Таким образом, результаты овладения понятиями “больше”, “меньше”, “столько же” оказались близкими у испытуемых обеих групп. Значительно более низкие показатели у детей с ЗПР выявились при определении разностного сравнения (на сколько больше -- меньше?). Умение уравнивать неравночисленные совокупности также было лучше у учащихся общеобразовательной школы. Они в большинстве своем овладели обоими способами уравнивания. Среди шестилетних детей с ЗПР лишь около половины владеют этим умением. В этой группе встретились испытуемые, которые совсем не смогли выполнить задание на уравнивание.

Важным разделом эксперимента было выявление у детей умений осуществлять счетные операции. Самыми элементарными приемами сложения и вычитания является присчитывание и отсчитывание по единице. “Ребенок действительно при усвоении арифметики начинает с того, что мыслит единицами... и переход его к мышлению группами единиц означает резкий качественный перелом в его усвоении, приобщает его к подлинной арифметике и открывает для него возможности дальнейшего продвижения” [1, с.197].

Как производят счетные операции дети интересующей нас группы? Около половины из них (45%) умеют присчитывать и отсчитывать по одному без опоры на наглядный счетный материал в пределах 3, в пределах 5 -- 10%. Остальные дети могут выполнять сложение и вычитание в пределах 5 лишь привлечением наглядного счетного материала (45% испытуемых). При этом учащиеся часто ошибаются, переспрашивают пример, повторяют его еще раз, иногда отвечают, не думая, лишь бы ответить, называют разные результаты. Обращает на себя внимание тот факт, что эти дети не умеют использовать имеющийся перед ними счетный материал, в том числе собственные пальцы: отгибают и загибают их по-разному, пересчитывают шепотом, ошибаются.

Счет у нормально развивающихся детей был значительно лучше. Большинство из них легко и быстро умеет присчиты-1ть и отсчитывать по одному: в пределах 10 -- 64% испытуемых; в пределах 20 -- 16%; часть детей -- только в пределаx 5 -- 20% . Что касается действий сложения и вычитания, то оказалось, что все нормально развивающиеся шестилетние дети безошибочно решали примеры в пределах 5 отвлеченно, словесной форме. При этом более половины из них (60%) выполняли сложение и вычитание в пределах 10 отвлеченно, а остальные испытуемые (40%) решали примеры (тоже в пределах 10) с опорой на наглядный счетный материал.

Сводные данные об успешности выполнения счетных операций детьми обеих групп (в %) приведены в табл. 3.

Из табл. 3 видно значительное отставание навыков счета детей с ЗПР по сравнению с тем, что мы наблюдаем у их сверстников, развивающихся нормально. В основном эти дети ориентируются лишь в пределах 5. Только незначительному числу из них доступен отвлеченный счет, в большинстве они считают лишь с опорой на наглядный счетный материал.

Таблица 3

Правильность выполнения счетных операций шестилетними детьми с ЗПР и нормально развивающимися (в %)

Испытуемые	При опоре на наглядный счетный материал в пределах	В словесной форме, без наглядного счетного материала в пределах
	5	10	3	5	10
С ЗПР	45	0	45	10	0
Нормально развивающиеся	100	40	100	1GO	60

Нормально развивающиеся дети гораздо более свободно ориентируются в числовом ряду, более половины из них умеют производить счетные операции в пределах 10 без использования наглядности. Следует отметить, что испытуемые этой категории гораздо более продуктивно и умело использовали имеющийся перед ними счетный материал, в том числе собственные пальцы. В то же время дети с ЗПР часто бывали беспомощными, не знали, как надо считать, затруднялись и молчали, перебирали палочки и пальцы, ждали помощи взрослого. Ответы их были неуверенными, они часто сомневались, называли то один ответ, то другой. По сравнению с ними первоклассники массовой школы действовали гораздо быстрее, увереннее, значительно лучше ориентируясь в числовом ряду.

Какова успешность решения самых простых арифметических задач шестилетними детьми, имеющими задержку психического развития? Задачу на нахождение суммы верно решило большинство испытуемых (80%). Остальные допустили ошибки в вычислениях на ± 1. Нужно сказать, что для половины всех испытуемых данной группы (около 50%) нам пришлось заменить в задаче данные меньшими числами (в пределах 3) из-за вычислительных трудностей. Остальные дети использовали имеющийся в наличии наглядный счетный материал, а также собственные пальцы. Несмотря на это, 20% ошибочных ответов было дано в результате неверных вычислений. Три ученика дали арифметическое решение, все другие называли только ответ задачи. Пояснения детей при этом обычно отсутствовали. На вопрос “ Как ты решил задачу? ” дети отвечали: “Посчитал -- и все”, “Я сразу сам догадался”, “Потому что я дома так учился”. В единичных случаях испытуемые пытались дать объяснение, воспроизводя содержание задачи: “Потому что три сидели, две прилетели, три и две получится пять”, “Потому что если еще две птички, то их будет пять”.

Задачу 2 (на нахождение остатка) правильно решили чуть меньше половины детей данной группы (45%). Остальные называли неверные ответы. Арифметическое решение дал только один ребенок. Кроме того, встретились случаи, когда вместо ответа называлось одно из данных задачи (число птиц, которое было вначале), т. е. дети не производили никакого арифметического действия. Были испытуемые, отказавшиеся попыток решить задачу: “Не знаю”, “Не умею”. Часто дети переспрашивали текст задачи, забывали данные числа, затруднялись дать какой-либо ответ, долго раздумывали, перебирали наглядный материал, чувствовали неуверенность, ждали подсказки. Половине детей пришлось заменить в задаче данные на меньшие (в пределах трех).

Задача 3, более сложная по способу выражения ее математического содержания, вызывала большие затруднения у детей данной категории. Правильный ответ дали лишь 10% испытуемых. Никто из них не смог объяснить полученный правильный ответ. Обычно дети отвечали так: “Я подумал и сказал”. Остальные говорили, что все птички улетели, не осталось ни одной. Таким образом, подавляющее большинство детей с ЗПР не смогли представить себе предметную ситуацию дачи и выразить математически имеющиеся в ней предметно-количественные отношения. В силу затруднений в понимании задачи многие переходили на более примитивный способ решения -- выделяли слово “улетели”, видимо, связавшееся в иx прошлом опыте с действием вычитания, и поэтому получили в ответе “ни одного”.

Первоклассники с нормальным развитием успешно справились с первыми двумя задачами, все назвали правильные ответы. При этом, как и в группе детей с ЗПР, арифметическое решение дали немногие: задачи на сложение -- шесть детей 2%), задачи на вычитание -- четверо (8%). Объяснения детей свидетельствовали о том, что многие из них сумели представить те предметы и действия, о которых говорится в задаче: “Сначала было 3 птички, к ним потом прилетели еще две, ало 5 птичек”. “Раз, два, три, четыре, пять птичек. А если две улетели, тогда получится птичек З”.

Третью задачу -- с более сложным выражением предметно-количественных отношений -- решили верно 50% испытуемых. Они назвали правильно ответ задачи (пять птичек), арифметического решения не дал никто. Остальные первоклассники, как и шестилетние дети с ЗПР, отвечали: птичек “не осталось ни одной”, “все они улетели”, “ноль”, “ни одной”, “никого нет”.

Нужно отметить, что при решении задач многие учащиеся массовой школы, даже те из них, кто умеет считать отвлеченно, пользовались наглядным счетным материалом для иллюстраций содержания задач.

Сводные данные об успешности решения простых арифметических задач учащимися обеих групп (в %) представлены в табл.4.

Таблица 4

Успешность решения арифметических задач шестилетними детьми с ЗПР и нормально развивающимися (в %)

Испытуемые	Задача 1	Задача 2	Задача 3
С ЗПР	80	45	10
Нормально развивающиеся	100	100	50

Таким образом, по умению решать самые простые задачи на нахождение суммы шестилетние дети с ЗПР приближаются к нормально развивающимся. Хуже справляются они с задачами на нахождение остатка. Самые большие затруднения у обеих групп, а особенно у детей с ЗПР, вызвала задача, более сложная по способу выражения ее математического содержания. Хотя по результатам решения этой задачи дети с ЗПР значительно уступали нормально развивающимся, однако по характеру последующего обоснования своего решения многие нормально развивающиеся испытуемые действовали сходно с детьми, имеющими ЗПР. Они утеряли основное в математическом содержании задачи и ориентировались на то, что птицы улетели, т. е. их стало меньше, а потом не стало совсем (отсюда “ноль” как результат вычислений). Очевидно, тем и другим детям оказалось трудно совершить двусторонние мыслительные действия, т. е. мыслить обратимо по отношению к количеству улетевших птиц (трудно было представить себе, что птицы улетели, и, следовательно, их количество уменьшалось, и одновременно, что количество улетевших птиц постепенно увеличивалось). Очевидно, чем сложное способ выражения в задаче предметно-количественных отношений, тем труднее эта задача для понимания ее детьми не только с отклонениями в развитии, но и развивающимися нормально.

Учащиеся обеих сравниваемых групп правильно выделяют и показывают предметы с заданными признаками размера: большой и маленький, высокий и низкий, длинный и короткий, толстый и тонкий, широкий и низкий. Но самостоятельное употребление этих слов-терминов у многих отсутствует. Дети обеих групп заменяют их в своей речи универсальным признаком -- большой и маленький. При этом дети с ЗПР не только хуже своих сверстников, развивающихся нормально, пользуются этими терминами. Чаще других дети употребляют термины “длинный” и “короткий” (35% детей с ЗПР и 50% первоклассников массовой школы), “толстый” и “тонкий” -- ответственно 33 и 66% , “широкий” и “узкий” употребляют значительно реже -- 5 и 20% , а слова “высокий” и “низкий” -- почти никто.

Кроме того, встретились замены признаков в обеих группах испытуемых: вместо “высокий” -- “длинный”, а также неточное употребление слов-признаков размера: “худенький” вместо “тонкий”, “недлинный” вместо “короткий”.

Можно сказать, что по данному разделу программы показатели обеих сравниваемых групп были близкими, хотя испытуемые с ЗПР дали несколько худшие результаты, чем учащиеся общеобразовательной школы.

Проверка умения ориентироваться в пространстве показала, что большинство шестилетних детей с ЗПР знают и правильно показывают левую и правую стороны на себе (70% верных ответов), значительно хуже -- на собеседнике (36% правильных ответов). Испытуемые сравниваемой группы дали соответственно 80% и 50% правильных ответов. Учащиеся ЗПР, кроме того, хуже ориентировались на листе бумаги: не могли сразу показать верх, низ, найти левую и правую сторону тетради. Они часто сомневались по сравнению с первоклассниками общеобразовательной школы, действовали более робко, неуверенно.

Из геометрических фигур испытуемые обеих групп легче всего находили и называли круг (93% детей с ЗПР и 100% нормально развивающихся). Пять детей (9%) с ЗПР назвали круг шариком или мячиком. Треугольник назвали правильно 84 и 90% испытуемых каждой группы. Дети с ЗПР смешивали треугольник с прямоугольником (половина всех ошибок), а также с квадратом (16% ошибочных ответов). Встретилась характерная для детей дошкольного возраста замена геометрических фигур названием предмета, близкого по форме: например, треугольник -- крыша”, “линейка”, “домик” (33% ошибок).

Квадрат назвали правильно 77% испытуемых с ЗПР и 92% первоклассников массовой школы. Не назвали эту геометрическую фигуру пять детей с ЗПР, 10 человек назвали ее кубиком, два человека -- окошком.

Около 56% испытуемых с ЗПР верно узнали прямоугольник. Остальные учащиеся либо совсем не назвали данную фигуру (14 чел.), либо дали ошибочные названия, смешивая ее с квадратом (4 чел.), треугольником (4 чел.), овалом (1 чел.). В сравниваемой группе было 92% правильных ответов.

Овал узнали 44% детей с ЗПР и 60% учащихся, нормально развивающихся. Чаще всего шестилетние дети с ЗПР просто не знали названия этой фигуры (23 чел.-- 30%), иногда они смешивали ее с другими геометрическими фигурами, чаще с кругом (5 чел.), квадратом (1 чел.), ромбом (1 чел.). Во многих случаях дети обозначали ее названиями предметов, близких по форме: “огурец”, “колбаска”, “полукруг”, “шляпа”. В группе первоклассников общеобразовательной школы были аналогичные ошибки. Чаще всего они смешивали названия геометрических фигур, особенно квадрат и прямоугольник, треугольник и квадрат, овал и круг. В отличие от детей с ЗПР они реже заменяли геометрические фигуры названиями похожих по форме предметов. Подобные ошибки у них были единичными.

Сводные данные о правильности называния геометрических фигур (в %) приведены в табл. 5.

Из табл. 5 видно, что результаты выполнения задания на узнавание геометрических фигур близки у испытуемых обеих сравниваемых групп, хотя, как и в предыдущих случаях, шестилетние дети, имеющие задержку психического развития, были слабее.

Проверка знания цифр показала, что лишь 8% шестилетних детей с ЗПР знают все цифры. В то же время 23% этих детей не знают ни одной цифры. Цифры “1-5” назвали правильно 30% испытуемых. Остальные знали несколько; цифр (1, 2, 3). Встретились ошибки в различении цифр “6” и “9”, “7” и “4” (5%).

Таблица 5

Правильность называния геометрических фигур шестилетними детьми с ЗПР и нормально развивающимися (в % )

Испытуемые	Круг	Треугольник	Квадрат	Прямоугольник	Овал
С ЗПР	93	84	77	56	44
Нормально развивающиеся	100	90	92	92	60

Среди первоклассников, приступивших к обучению в массовой школе, все цифры правильно назвали 80% всех детей. Некоторые смешивали цифры “7” и “4”, “9” и “б”. В данной группе в отличие от детей с ЗПР, не встретились испытуемые, которые не знали бы цифр от “1” до “5”.

Задание на соотнесение цифры с определенным количеством однородных предметов, а также обратное ему -- обозначение группы предметов соответствующей цифрой -- не вызвало затруднений среди шестилетних детей, развивающихся нормально. В то же время для детей с ЗПР была необходимость повторении и разъяснении этого задания, так как они часто не понимали, что от них требуется. Наблюдались случаи, ког-а учащиеся не считали предметы, а подбирали к ним любую цифру (2 чел.), а также к цифре выкладывали произвольное ко-ичество предметов (3 чел.). Часто дети просто спешили поскорее выполнить задание, не вникнув в его суть. Из-за недостаточной сформированности навыков счета некоторые из них подбирали количество предметов, отличающееся от требуемого на ± 1 (4 чел.). После дополнительного разъяснения и повторного пересчитывания предметов дети сами исправляли до-ущенную ошибку. Следует отметить, что учащиеся с ЗПР выполняли это задание лишь в пределах 5, тогда как нормально взвивающиеся первоклассники смогли выполнить его в пре-элах первого десятка. Не справились с ними и те дети с ЗПР, которые вообще не знали цифр.

Анализ результатов проведенного эксперимента позволил нам выделить несколько уровней овладения детьми элементар-ыми математическими знаниями к началу обучения. В зави-1мости от успешности выполнения всех предъявленных в экс-эрименте заданий мы выделили следующие уровни:

I уровень -- 100% правильного выполнения всех заданий (36 баллов),

II уровень -- от 99 до 75% (35-27 баллов),

III уровень -- от 74 до 50% (от 26 до 18 баллов),

IV уровень -- от 49 до 25% (от 17 до 9 баллов).

Результаты выполнения всех заданий (в %) показаны в табл. 6.

Из табл. 6 видно, что все нормально развивающиеся испытуемые распределились по двум самым высоким уровням: часть из них полностью справилась со всеми предъявленными заданиями (I уровень), другие допустили небольшое количество ошибок, достигнув тем самым довольно успешного результата (II уровень). В то же время лишь очень небольшая группа детей с ЗПР смогла достичь II уровня успешности и тем самым приблизиться к сравниваемой группе. Большинство шестилетних детей с ЗПР сумело выполнить лишь половину или чуть больше половины всех заданий и достигло лишь III, среднего, уровня. Выделилась и группа детей, находящихся на еще более низком, IV уровне успешности, выполнивших менее половины из всех предъявленных заданий. Ни один ребенок с ЗПР не смог полностью справиться со всеми заданиями, предусмотренными программой.

Таблица 6

Успешность выполнения всех заданий констатирующего эксперимента детьми с ЗПР и нормально развивающимися (в %)

Испытуемые	Уровень выполнения заданий
	I	II	III	IV
СЗГР	0	10	74	16
Нормальна развивающиеся	22	ТВ	0	0

Таким образом, результаты проведенного исследования свидетельствуют о снижении уровня овладения элементарными математическими знаниями и умениями у шестилетних детей с ЗПР по сравнению с тем, что наблюдается у их сверстников, развивающихся нормально.

Большинство детей с ЗПР правильно воспроизводят числовой ряд от 1 до 10, находят большую и меньшую группу предметов, умеют уравнивать неравночисленные множества хотя бы одним из способов, могут решать простейшие арифметические задачи на нахождение суммы, знают основные геометрические фигуры. Но в то же время они недостаточно гибко владеют натуральным рядом чисел, поэтому не могут вести счет в обратном порядке, а также с любого пункта натурального ряда. В отличие от своих сверстников, развивающихся нормально, они затрудняются в осуществлении разностного сравнения (даже смежных чисел), не в полной мере понимаютнезависимость счета от других свойств предметов: их размера, расположения, от направления счета. Большинство из них сопровождает процесс счета развернутыми внешними действиями, в то время как многие шестилетние учащиеся массовой школы уже считают “глазами”.

Без специального обучения они значительно хуже, чем нормально развивающиеся дети, умеют решать простые арифметические задачи, не всегда могут представить изображенную в них жизненную ситуацию и перевести ее в план арифметических действий.

Дети данной категории имеют слабые вычислительные навыки. Они в отличие от своих нормально развивающихся сверстников не умеют использовать при этом наглядный счетный материал.

Многие ошибки этих детей обусловлены их невнимательностью, неумением удержать в памяти все задания, контролировать себя в ходе работы, а также поспешностью, импульсивностью действий.

Таким образом, проведенное нами исследование показало, что шестилетние дети, имеющие задержку психического развития, гораздо хуже подготовлены к изучению математики из-за более низкого уровня исходных математических знаний, что является одной из причин трудностей при овладении ими школьной программой. Поэтому при обучении этих детей математике требуется специальная работа, направленная на восполнение пробелов в их дошкольном развитии, на создание у них готовности к изучению данного предмета.

Такая коррекционная работа предусматривается в созданных в НИИ дефектологии Типовых программах начальных классов специальной общеобразовательной школы для детей с ЗПР и специальных классов выравнивания для детей с ЗПР [М., 1986). Специфическим разделом данной программы по ма-гематике в подготовительном классе является пропедев-гический период. Его цель -- на основе предметно-практических действий детей уточнить понятия о количестве, счете, размере предметов, а также пространственные и временные по-дятия. В процессе действий детей с разнообразными предмет-яыми множествами расширяются их представления об окружающем мире, обогащается жизненный опыт как основа успешного обучения вообще и формирования математических понятий в частности. В пропедевтический период основное содержание работы составляют непосредственные наблюдения детей, практические упражнения с разнообразным дидактическим материалом, сопровождающиеся их словесным отчетом. Основной учебной задачей является подготовка учащихся к изучению чисел и арифметических действий сложения и вычитания.

В программе четко определены те знания, умения и навыки, которыми должны овладеть дети к концу подготовительного периода, а также к концу первого года обучения.

Экспериментальное обучение по этой программе проводилось в подготовительных группах для детей с ЗПР в детских садах № 1371 и 1647 Москвы. Занятия по математике вели педагоги-дефектологи. Всего за учебный год проведено 128 уроков (4 часа в неделю). В процессе экспериментального обучения мы проводили систематические наблюдения за детьми, фиксировали уровень понимания ими изучаемого материала и усвоения соответствующих знаний.

С целью проверки эффективности обучения шестилетних детей с ЗПР по программе подготовительного класса в условиях детского сада нами были проведены два фронтальных и один индивидуальный контрольный эксперимент.

Первый из них был проведен в конце декабря, когда дети закончили изучение материала пропедевтического периода. При определении содержания контрольных заданий мы руководствовались теми требованиями, которые предъявляются к знаниям и умениям учащихся по программе к концу пропедевтического периода. Детям предлагались следующие задания.

1. Нарисуй столько палочек, сколько яблок нарисовано на доске.

2. Обведи полоску из 10 клеток. Закрась вторую слева клетку красным карандашом, третью -- синим, пятую -- зеленым, а последнюю -- желтым карандашом.

3. Нарисуй по клеткам 8 кругов. Подчеркни круг, который находится между вторым и четвертым кругами.

4. Нарисуй нужное количество предметов к числам: 3, 7, 4.

5. Подчеркни самое маленькое число в ряду чисел и обведи в кружок самое большое число (записаны числа: 3, 5, 1, 7, 9, 8, 4).

Дети выполняли эти задания на тетрадных листках с крупной клеткой. У каждого ребенка были простые и цветные карандаши. Во времени ограничений не было. Всего в эксперименте участвовало 20 детей. Рассмотрим полученные результаты.

Полностью правильно выполнили все задания 12 детей (60% всех испытуемых). Эти дети успешно овладели умениями и знаниями, предусмотренными программой подготовительного периода. Остальные испытуемые (восемь детей) допустили ошибки, в одном задании -- четыре человека, в двух -- один, в трех -- три.

Наибольшие затруднения вызвали задания 3 и 5 (в каждом ошибались по четыре человека). Дети не смогли подчеркнуть круг, который находится между вторым и четвертым кругами. Все они верно выполнили первую половину задания -- нарисовали восемь кругов, а далее допустили ошибки: одни на этом закончили выполнение задания, т. е. забыли о второй его половине (два человека). Другие дети (два человека) подчеркнули второй и четвертый круги -- и только. Их, очевидно, затруднила пространственная ориентировка, и они не знали, где найти круг, который находится “между”.

Это задание заставило потратить много усилий и тех детей, которые все же справились с ним. По записям детей можно увидеть, что они выполняли его в несколько этапов: сначала находили второй круг (обозначали его точкой или черточкой), затем точно так же обозначали четвертый круг. И лишь после этого они находили и подчеркивали тот, что находится между ними, т. е. третий круг. Из этого видно, что при выполнении данного задания дети не опирались на знания места числа в числовом ряду, а наглядно, по рисунку, находили нужный предмет.

Так же затруднило детей задание найти самое большое число. Четверо из них, правильно подчеркнув самое маленькое число (1), либо вовсе забыли про вторую часть задания и не обозначили самое большое число (два человека), либо обвели число “8” вместо “9” (двое детей).

Ошибку в задании на соотнесение числа и количества допустили три человека: они нарисовали лишние предметы к цифрам “4” и “ 7”. Эти дети начинали рисовать (палочки, звездочки, цветы) и продолжали рисовать их до конца строчки, не соотнеся количество с заданной цифрой. Еще двое детей смогли сами заметить эту же ошибку и зачеркнуть лишние предметы.

Встретились ошибки при выполнении задания 2 (три человека). Все эти дети правильно обвели 10 клеток, а вот закрашивание их некоторые дети (два человека) начали сразу, с первой клетки, а не со второй, как требовалось по инструкции. Один ребенок не закрасил последнюю клетку полоски. В этих ошибках, очевидно, как и при выполнении предыдущего задания, проявилась характерная особенность детей с ЗПР: поспешность, импульсивность действий, неумение сосредоточиться на задании, удержать в памяти все звенья инструкции.

Наконец, при выполнении первого задания была допущена единичная ошибка: палочек нарисовано на одну больше, а не столько же, сколько яблок, как это требовалось.

Результаты данного контрольного эксперимента показывают, что большинство испытуемых в основном справилось с предъявленными заданиями. Это свидетельствует о том, что дети овладели знаниями и умениями, предусмотренными программой пропедевтического периода: они научились считать предметы в пределах 10, соотносить число и количество, находить самое большое и самое маленькое число, считать по порядку, различают основные цвета, умеют ориентироваться в тетради, приобрели некоторые графические навыки.

В то же время обнаружились их единичные ошибки, связанные в основном с особенностями внимания, памяти и учебной деятельности детей данной категории: неумение удержать в памяти все задание, обдумать его, проверить выполнение. Кроме того, следует отметить слабое развитие мелких мышц кисти руки у большинства детей: они плохо различают клетки, проводят нечеткие, неровные линии, рисунки их мелки, однообразны, примитивны; часто предметы имеют разный размер.

Выделилась небольшая группа детей (трое), которые показали довольно слабые умения и навыки в области математики, выполнив лишь два задания из пяти. Это говорит о необходимости индивидуального подхода к детям данной категории в процессе их обучения с учетом особенностей их психического развития.

Успешное выполнение большинством испытуемых предложенных заданий показало целесообразность начала обучения их математике с расширения их практического опыта действия с разнообразными предметными множествами, в ходе которого у детей постепенно формируются исходные математические понятия числа, порядка, арифметических действий. Именно в результате такой целенаправленной работы к концу пропедевтического периода у учащихся создается готовность к изучению математики как учебного предмета.

Дальнейшее обучение шестилетних детей математике по программе подготовительного класса осуществлялось также с помощью широкого использования наглядных и практических методов, на основе выполнения учащимися различных действий с реальными предметами. С целью проверки эффективности обучения был проведен второй контрольный эксперимент в конце учебного года. Содержание его отражает основные требования программы к знаниям и умениям учащихся к концу подготовительного класса. Учащиеся (47 чел.) выполняли следующие задания.

1. Напиши все числа по порядку от 0 до 10 и от 10 до 0.

2. Сравни числа 2 и 7, 9 и 5, поставь нужный знак (>,<).

3. Реши задачу: Было 6 тетрадей, купили еще 2 тетради. Сколько стало тетрадей?

4. Реши примеры: 3+4; 5-2; 9-3; 8+0; 4+5; 10-1.

5. Начерти отрезок длиной 5 см.

Рассмотрим результаты выполнения контрольных заданий. Из 47 испытуемых со всеми заданиями справились 28 человек (59%). Остальные 19 детей допустили ошибки при выполнении одного (11 чел.), двух (7 чел.) или трех (один человек) заданий. Нужно отметить, что все дети правильно решили задачу, верно начертили отрезок заданной длины. Одна ошибка была допущена при записи числового ряда (пропущено число 5), а такие при сравнении чисел (смешение знаков > ,<). Двое детей невнимательно записали решение задачи: один не указал выполненное арифметическое действие: 6 т.-2 т. == 8 т., другой пропустил один из компонентов: 6 т. + т. = 8 т.

Большинство ошибок было допущено детьми в решении примеров на сложение и вычитание, в пределах 10 -- 18 чел. (30% испытуемых). При этом одну ошибку допустили 12 детей, две ошибки -- шесть детей. Наибольшие трудности вызвали примеры вида: 9-3, 5+4, а также тот вариант, где компонентом является нуль: 8+0. В последнем случае одни дети получали в результате число 9 (два человека), другие -- число 1 (два человека), некоторые не записывали никакого ответа. Встречались ошибки такого характера: вместо записанного действия вычитания выполнено сложение: 5-2=7, 10-1=11 (два человека). Не было ошибок в примерах более легких -- на вычисления в пределах пяти, а также на вычитание единицы.

Следует сказать, что при выполнении вычислений все дети пользовались наглядной опорой -- считали на пальцах, по клеткам тетради, на палочках. Отвлеченно решали лишь те примеры, в которых требовалось присчитывать или отсчитывать единицу.

Хотя к концу учебного года графические умения детей значительно улучшились, в их работах все еще было много исправлений, помарок. Не все усвоили правильное написание цифр “2”и“7”.У6 детей обнаружено зеркальное написание цифр “4”,“5”,“б”,“9”.

Таким образом, результаты фронтального контрольного эксперимента показывают, что большинство 6-летних детей за год обучения усвоили знания и умения, предусмотренные, программой подготовительного класса. При этом обнаружилась неравномерность в успешности выполнения разных заданий, вызванная их различной степенью сложности. Наибольшие затруднения у детей вызывает решение примеров, одним из компонентов которых является нуль, а также требующих умения присчитывать и отсчитывать несколько (3, 4, 5) единиц.

В конце учебного года был проведен индивидуальный контрольный эксперимент по той же методике, что и в самом начале обучения. Анализ его результатов позволил нам выявить уровни овладения детьми математическими знаниями к концу учебного года. В зависимости от успешности выполнения всех заданий индивидуального эксперимента мы выделили те же четыре уровня успешности, что позволяет их сравнить с результатами, полученными в сентябре. Эти данные приведены в табл. 7.

Таблица 7

Успешность выполнения всех заданий индивидуального эксперимента детьми с ЗПР в начале и в конце учебного года (в %)

Время проведения эксперимента	Уровень выполнения заданий
	1	11	III	IV
Начало обучения (сентябрь)	0	10	74	16
Конец обучения (май)	51	49	0	0

Из таблицы видно, что к моменту поступления в школу никто из 6-летних детей с ЗПР не справился со всеми предъявленными заданиями и не достиг I уровня успешности. В основном они находились на III уровне, выполнив от 75 до 50% всех заданий. Часть детей (16%) показала еще более низкий, IV уровень, выполнив менее половины заданий. Лишь 10% испытуемых выполнили более 75% всех заданий, достигнув тем самым II уровня успешности. К концу учебного года чуть более половины из них полностью справились со всеми экспериментальными заданиями, а остальные также показали хороший результат -- II уровень, выполнив от 99 до 75% всех заданий.

Таким образом, если к началу обучения уровень элементарных математических знаний у 6-летних детей с ЗПР был значительно ниже их нормально развивающихся сверстников, то к концу первого года обучения они дали лучшие результаты, чем те, что были у детей сравниваемой группы к моменту их поступления в школу. Это говорит о том, что в условиях специального обучения шестилетние дети с ЗПР смогли ликвидировать пробелы в своих исходных математических знаниях и умениях и успешно усвоить программу подготовительного класса (которая соответствует первому полугодию программы общеобразовательной школы). Это свидетельствует о больших потенциальных возможностях детей данной категории.

Нужно отметить, что несмотря на успешные результаты экспериментального обучения детей шести дет, имеющих задержку психического развития, в условиях детского сада, оно оказалось неодинаково эффективным в отношении разных сторон математического развития ребенка. Некоторые задания вызвали затруднения у значительной группы детей, в частности, сложение и вычитание в пределах 10. Это позволяет наметить решение некоторых вопросов методики обучения математике на первом году обучения. Так, следует увеличить время на изучение данного раздела программы, добавить количество тренировочных упражнений на закрепление состава чисел первого десятка, а также наиболее трудных случаев сложения и вычитания в пределах 10. Необходимо больше внимания уделять контролю за тем, как считают дети, учить их различным способам вычислений, а также выбирать наиболее рациональный из них. Учитывая плохую координацию движений и слабо развитую моторику шестилетних детей с ЗПР, целесообразно как можно раньше включить в занятия упражнения по освоению графических навыков: штриховку в разных направлениях, обведение контуров предметов по точкам, дополнение рисунков, письмо элементов цифр, рисование орнаментов по клеткам.