Разделительный силлогизм

3

Содержание

• Введение 3
• 1. Общая характеристика видов дедуктивных умозаключений 4
• 2. Разделительно-категорический силлогизм, его правильные модусы....… 13
• 3. Примеры 15
• Заключение 20
• Литература 21
• Введение
• Дедукция - это рассуждение, опирающееся на закономерное общее положение, и от него переходящее к тем или иным конкретным случаям приложения общего. Понимается дедукция и как логически правильный (с соблюдением требований логики) вывод из уже имеющегося знания, из уже имеющихся мыслей; как получение новой мысли из нескольких данных, в которых эта выводная мысль в явном виде не формулируется, а получается как новое сочетание входящих в посылки элементов, как их новая комбинация, естественно, с соблюдением определенных правил, определенной последовательности, с соблюдением требований логики. Такой способ позволяет выявлять всевозможные внутренние связи элементов целого (внутри аксиоматической ли системы, внутри исчисления, внутри теории, внутри той или иной формы мысли и пр.). В этом случае дедукция выступает как опережающий способ познания, как метод исследования, как процедура (определенная последовательность - тоже, ведь, форма) представления, изложения мысли.
• Заслуга традиционной формальной логики состояла в том, что она выявила и исследовала великое множество форм дедуктивных умозаключений - как непосредственных, так и опосредованных, как из простых суждений, так и из сложных, как простых по своему строению форм, так и весьма сложных, разветвленных. В каждом отдельном случае она выработала соответствующие правила, позволяющие отличить правильные формы от неправильных. Но она, к сожалению, не дала единого принципа их анализа и проверки. И в этом состоит ее основной недостаток.
• Современная логика - логика высказываний и логика предикатов - в значительной мере преодолевает этот недостаток традиционной логики. Современная теория вывода позволяет выражать структуру тех или иных умозаключений, пусть даже очень сложных, в символической форме, а на этой основе осуществлять их проверку. Для этого выработана особая логическая процедура, требующая специальной подготовки.

1. Общая характеристика видов дедуктивных умозаключений

Дедуктивные умозаключения - это рассуждения от общего к частному и единичному, они характерны наличием среди посылок общего суждения. Дедукция понимается как мысленный переход от общих положений, являющихся в сущности законами, иногда же, лишь общими местами (топами, по Аристотелю), к тем или иным конкретным случаям; как конкретизация общего к некоторому частному и единичному.[ Кобзарь И. Логика. Учебное пособие для студентов гуманитарных факультетов. - СПб.: САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2001

]

Правильность дедуктивных умозаключений не зависит от конкретного содержания входящих в них суждений, поскольку определяется только логической формой этих суждений, т.е. способом связи терминов в простых суждениях и логическими связями в сложных суждениях.

Среди дедуктивных умозаключений различают простой категорический силлогизм, т.е. умозаключение из двух исходных простых категорических суждений; условный силлогизм, в котором хотя бы одна из посылок -- суждение условное; разделительный силлогизм, в котором хотя бы одна из посылок -- разделительное суждение; и из их сочетаний.

В итоге, среди дедуктивных умозаключений выделяют: простой категорический силлогизм, чисто условный силлогизм (когда обе посылки -- условные суждения), условно-категорический силлогизм (когда одна из посылок -- суждение условное, а другая -- суждение категорическое), чисто разделительный силлогизм (когда обе посылки -- разделительные суждения), разделительно-категорический силлогизм и условно-разделительный (когда же одна из посылок -- суждение условное, а другая -- суждение разделительное).

Простой категорический силлогизм есть вид умозаключения (более общо - форма мысли), в котором из двух исходных истинных простых категорических суждений (называемых посылками), связанных между собой определенным образом (по среднему термину), выводится новое по содержанию суждение (называемое выводом, следствием, заключением). В целом, данное умозаключение состоит из трех простых категорических суждений, два из которых -- посылки, третье -- вывод.

Аксиома силлогизма:

Все, что утверждается (или отрицается) относительно всего класса предметов, утверждается (или отрицается) относительно любой части этого класса и относительно любого отдельного предмета этого класса.

Для удобства анализа силлогизма посылки принято располагать в определенной последовательности: большую -- на первом месте, меньшую -- на втором. Под чертой записывают заключение:

Покажем это на примере:

1. Все преступления наказуемы (i)

2. Дача взятки - преступление

3. Дача взятки наказуема

Отвлечемся от содержания дескриптивных терминов (понятий), входящих в состав посылок и заключения, заменив слово «преступление» логической переменной М, слово «наказуемо» (т.е. выражение «наказуемое деяние») - переменной Р, выражение «дача взятки» - переменной s. Получаем:

1. Все М есть Р (ii)

2. Все s есть М

3. Все s есть Р

Данная структура называется формальной схемой вывода (i), поскольку входящие в нее знаковые структуры 1.-3. являются уже не суждениями, а логическими формами (или формулами) этих суждений. Если теперь в этой схеме подставить на места переменных М, Р и s любые другие (попарно различные) дескриптивные термины, мы вновь получим умозаключение, в котором при истинности посылок заключение с «железной необходимостью» также будет истинным.

Приведем еще примеры выводов по схеме (ii):

Все растения (М) обогащают воздух кислородом (Р)

Деревья (s) - растения (М)

Деревья (s) обогащают воздух кислородом (Р)

Все преступления (М) - общественно опасные деяния (Р)

Терроризм (s) - преступление (М)

Терроризм (s) - общественно опасное деяние (Р)

Обвиняемый имеет право на защиту

Гусев -- обвиняемый

Гусев имеет право на защиту

Итак, простой категорический силлогизм -- это умозаключение об отношении двух крайних терминов на основании их отношения к среднему термину.

Причина, по которой эти выводы оказываются правильными, заключена в одинаковости соотношений объемов их терминов, подставляемых на места переменных М, Р и s в формальной схеме вывода (ii):

1. Все М есть Р:	2. Все s есть М:

Совместив теперь эти две круговые схемы в одну, получаем:

Теперь с графической наглядностью убеждаемся, что при истинности суждений «Все М есть Р» и «Все s есть М» обязательно истинным будет и суждение «Все s есть Р», и при этом неважно, какими конкретно будут по содержанию термины М,Р и s. Черняк Н.А. Логика: Учебное пособие. - Омск: Омск. гос. ун-т, 2004.

]

Фигуры Фигура силлогизма - это разновидность силлогизма, отличающаяся положением среднего термина в посылках и модусы Модус силлогизма - это разновидность силлогизма, отличающаяся количеством и качеством посылок и заключения

категорического силлогизма

М Р Р М М Р Р М

S М S М М S М S

_________ _________ ________ ____________

S -- P S -- P S -- P S -- P

1 фигура 2 фигура 3 фигура 4 фигура

ААА ЕАЕ ААI ААI

ЕАЕ АЕЕ IAI АЕЕ

АII ЕIO AII IAI

EIO AOO EAO EAO

OAO EIO

EIO

Посылками силлогизма могут быть суждения, различные по качеству и количеству: общеутвердительные (А), общеотрицательные (Е), частноутвердительные (I) и частноотрицательные (О).

Всего силлогизм имеет 256 модусов, из них 19 правильных, которые согласуются с общими правилами силлогизма,

Чисто условный силлогизм состоит из двух условных суждений, структура каждого из которых уже известна: условное суждение состоит из основания, следствия и логического союза между ними.

Обозначив входящие в условное суждение простые суждения отдельными символами, получим формулу условного суждения: Если В, то С. Используя символ и для логического союза, получаем еще более сокращенную запись: «В --> C »

Пользуясь этой сокращенной записью, чисто условный силлогизм можно представить такой схемой:

· Если В, то С В -->С

· Если С, то Д С -->Д

· Если В, то Д В -->Д

Вывод в чисто условном умозаключении основывается на правиле: следствие следствия есть следствие основания.

Например:

1. Если данное деяние - кража (B), то оно - преступление (C)

2. Если данное деяние - преступление (C), то оно карается по закону (Д)

3. Если данное деяние - кража (В), то оно карается по закону (Д)

Легко заметить, что роль среднего термина в чисто условном силлогизме выполняет простое суждение, являющееся в первой посылке следствием, а во второй посылке основанием этого условного суждения.

Условно-категорическим называется умозаключение, в котором одна из посылок -- условное, а другая посылка и заключение -- категорические суждения. Логическим основанием для такого умозаключения служит определенная связь между основанием и следствием (антецедентом и консеквентом).

В условно-категорическом умозаключении мысль, вообще говоря, может протекать по следующим четырем направлениям:

1) от утверждения основания к утверждению следствия;

2) от отрицания основания к отрицанию следствия;

3) от утверждения следствия к утверждению основания;

4) от отрицания следствия к отрицанию основания.

Из четырех модусов условно-категорического умозаключения, исчерпывающих все возможные комбинации посылок, достоверные заключения дают два: утверждающий (modus ponens) (1) и отрицающий (modus tollens) (2). В утверждающем модусе когда мысль движется от утверждения основания к утверждению следствия. В отрицающем модусе мысль протекает от отрицания следствия к отрицанию основания.

Они выражают законы логики и называются правильными модусами условно-категорического умозаключения. Эти модусы подчиняются правилу: утверждение основания ведет к утверждению следствия и отрицание следствия -- к отрицанию основания. Два других модуса (3 и 4) достоверных заключений не дают. Они называются неправильными модусами и подчиняются правилу: отрицание основания не ведет с необходимостью к отрицанию следствия и утверждение следствия не ведет с необходимостью к утверждению основания.

Если В, то С В -->С

В В

С С

Это умозаключение представляет собой утверждающий модус ( modus роnеns ) условно-категорического силлогизма (от утверждения основания к утверждению следствия).

Если в условно-категорическом силлогизме мысль переходит от отрицания следствия (признания, констатации его несоответствия действительности, т.е. ложности) условного суждения в меньшей посылке, то необходимо в заключении силлогизма отрицать само основание условного суждения:

Если В, то С В -->С

не-С не-С

Не-В не-В

Это умозаключение представляет собой отрицающий модус ( modus tollеns) условно-категорического силлогизма (от отрицания следствия к отрицанию основания).

Оба модуса -- утверждающий и отрицающий -- гарантируют необходимость и истинность вывода при истинности посылок. Два остальных модуса этого вида силлогизма не дают необходимо истинного вывода, так как их структурные особенности не соответствуют правилам, законам логики. Модусы эти называются неправильными, неправомочными, проблематичными, правдоподобными. Они дают знание, которое в одном случае (что определяется содержанием посылок) может быть ложным, в другом истинным. Формулы этих модусов записываются так:

· В -->С В -->С

· не-В С

· (возможно, не-С) (возможно, В)

Чисто разделительный силлогизм составляют разделительные посылки, например:

Четырехугольники суть равносторонние или они неравносторонние

Равносторонние четырехугольники есть квадраты или ромбы

Четырехугольники есть неравносторонние, или квадраты, или ромбы

Символически это можно записать так:

S есть Р или S есть Р 1

Р есть Р 2 или Р 3

S есть Р 1 или Р 2 или Р 3

Наиболее сложным из рассматриваемых является условно-разделительный силлогизм. Он составляется из условной (будем считать ее большей) и разделительной (будем считать ее меньшей) посылок. Обычно условно-разделительные умозаключения называют лемматическими (от древнегреческого lemma - предположение). Структурно они подразделяются на дилеммы, трилеммы и полилеммы.

Дилемма -- условно-разделительный силлогизм с двумя взаимоисключающими выводами, альтернативами. Смысл дилеммы заключается в необходимости выбора одного из двух возможных, как правило, взаимоисключающих друг друга решений. Различают два вида, или модуса, дилеммы: утверждающий и отрицающий. Утверждающий иначе называют конструктивной дилеммой, отрицающий модус -- деструктивной дилеммой.

Простая конструктивная Простая деструктивная

дилемма дилемма

Если а, то с; если в, то с Если а, то в; если а, то с

а или в не-в или не

_____________________ _____________________

с не-а

Сложная конструктивная Сложная деструктивная

дилемма дилемма

Если а, то в; если с, то d Если а, то в; если с, то d

а или с не-в или не-d

_______________________ ______________________

в или d не-а или не-с

От утверждения истинности От отрицания истинности

оснований к утверждению следствий к отрицанию

истинности следствий истинности оснований

В конструктивной (утверждающей) дилемме условная (большая) посылка устанавливает два возможных основания и два вытекающих из них следствия. В разделительной (меньшей) посылке говорится о возможности только одного из двух оснований. В заключении же утверждается возможность только одного из двух следствий. Например:

1. Если n виновен в присвоении чужого имущества, то он должен быть привлечен к уголовной ответственности.

2.. Если n виновен в его растрате, то он тоже должен быть привлечен к уголовной ответственности.

3.  n виновен в присвоении чужого имущества или в его растрате

4.  n должен быть привлечен к уголовной ответственности

В деструктивной (отрицающей) дилемме большая условная посылка устанавливает два возможных следствия из двух оснований. В разделительной меньшей посылке отрицаются оба возможных следствия. В заключении необходимо отрицаются и сами основания:

· Если наш товарищ -- студент химического факультета, то он либо студент очного отделения, либо студент вечернего отделения.

· Наш товарищ или не студент очного отделения, или не студент вечернего отделения.

· Наш товарищ не студент химического факультета.

Это рассуждение вполне может, соответствует действительности, поскольку специфика этой специализации не допускает возможности заочного обучения.

Трилемма -- условно-разделительный силлогизм с тремя взаимоисключающими выводами-решениями. Типичный пример трилеммы -- ситуация с витязем на распутье: если прямо поедешь, то голову потеряешь; если направо поедешь -- коня потеряешь; если налево поедешь -- женату быть. Структурные требования дилеммы так же относимы и к трилемме и поэтому на ней останавливаться нет необходимости.

Когда же в условно-разделительном умозаключении выбор предстоит из более чем трех взаимоисключающих решений (вариантов), то такое умозаключение называется полилеммой.[ Гетманова А. Д. Логика. - М.: Изд-во „ Омега-Л “, 2007.]

2. Разделительно-категорический силлогизм, его правильные модусы

Разделительно-категорический силлогизм - такое умозаключение, в котором одна посылка - разделительное, а другая посылка и заключение - категорические суждения. Логика: Учебно-методический комплекс. / Автор-составитель: Н.В. Блажевич. - Тюмень: Тюменский государственный университет, 2001.

В разделительно-категорическом силлогизме можно выделить четыре разновидности, или модуса:

В v С В v С В v С В v С

В не-В С не-С

не-С С не-В В

Однако, легко обнаружить, что здесь фактически лишь два их вида, поскольку каждый из них имеет свою пару. Поэтому, обычно и говорится, что разделительно-категорический силлогизм имеет только два правильных модуса: утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверждающий.

1. Модус (tollendo ponens)

S есть А, или В, или С;

S не есть ни А, ни В .

Следовательно, S есть С.

В этом модусе разделительного силлогизма во второй посылке отрицается все, кроме одной, альтернативы; поэтому в выводе утверждается эта оставшаяся альтернатива: первое или второе; не первое; значит, второе.

Так как в выводе мы приходим к утверждению, то модус называется утверждающим, и так как к этому утверждению мы пришли посредством отрицания альтернатив, кроме одной, то модус получает название модуса, утверждающего посредством отрицания или отрицающе-утверждающий (tollendo ponens) (отрицая одну альтернативу, мы утверждаем другую).

Разделительно-категорическое умозаключение находит широкое применение в судебно-следственной практике, особенно при построении и проверке следственных версий.

Например:

Формами соучастия в преступлении признаются соучастие с разделением ролей или соучастие без разделения ролей.

Данное соучастие не было осуществлено с разделением ролей.

Следовательно, оно осуществлено без разделения ролей.

2. Модус (ponendo tollens)

S есть или А, или В, или С;

S есть А.

Следовательно, S не есть ни В, ни С.

В этом модусе во второй посылке утверждается одна альтернатива; поэтому в выводе все оставшиеся альтернативы отрицаются: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое, значит, второго нет.

Этот модус по своему итогу оказывается отрицающим, а способ получения этого отрицания у него - утверждение.

Вследствие этого полное наименование этого модуса такое: модус, отрицающий посредством утверждения или утверждающе - отрицающий (ponendo tollens) (утверждая одну альтернативу мы отрицаем другую).

Например:

Формами соучастия в преступлении признаются соучастие с разделением ролей или соучастие без разделения ролей.

Данное соучастие осуществлено с разделением ролей.

Следовательно, оно не было соучастием без разделения ролей.

Таким образом, все правильные схемы разделительно-категорических умозаключений строятся на основе двух правил:

? Если из всех возможностей, которые описаны разделительным суждением, какие-то не реализуются, то имеет место все остальное.

? Если какая-то одна возможность из тех, которые описаны разделительным суждением со строгой дизъюнкцией, реализуется, то все остальные не имеют места.

3. Приведите примеры правильных и неправильных разделительно-категорических силлогизмов (проверите правильность при помощи таблиц истинности)

Для дедуктивных выводов необходимо, чтобы они были правильными по своей логической форме. Как установить, что они выполняют данное требование? Наиболее простой способ состоит в следующем: если заключение вывода получено из посылок по установленным наукой логикой правилам (логическим правилам), тогда такое умозаключение является правильным. В противном случае оно не является правильным. Правила эти таковы, что в дедуктивных выводах они гарантируют получение из истинных посылок истинных заключений.

Таблица истинности - таблица, с помощью которой уста-навливается истинностное значение сложного высказывания при данных значениях входящих в него простых высказываний. Ивин А.А. Практическая логика. Задачи и упражнения. - М., 1996.

Таблицы истинности применяются для:

- вычисления истинности сложных высказываний;

- установления эквивалентности высказываний;

- определения тавтологий.

Правильные разделительно-кате-горические силлогизмы

I модус - утверждающе-отрицающий (modus ponendo tollens).	II модус - отрицающе-утверждающий (modus tоllendo ponens).
В школе может быть либо совместное обучение девочек и мальчиков(А), либо раздельное(В) В данной школе совместное обучение учеников(А) ______________________ Значит, в данной школе нет раздельного обучения(В) Таблица истинности	Светофор может гореть либо красным(А), либо желтым(В), либо зеленым светом(С) В данный момент не горит ни красный)А, ни желтый свет(В) ____________________________ Значит, горит зеленый свет(С) Таблица истинности
S	A	B	S	A	B	C
0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	1	1	0
0	1	0	1	0	0	1
Деревья у нас либо лиственные(А), либо хвойные(В) Данное наше дерево - хвойное(В) Данное дерево - не лиственное(А) Таблица истинности	Деревья у нас либо лиственные(А), либо хвойные(В) Данное наше дерево - не хвойное(В) Данное дерево - лиственное(А) Таблица истинности
S	A	B	S	A	B
0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	1
0	1	0	1	1	0
Формами соучастия в преступлении признаются соучастие с разделением ролей(А) или соучастие без разделения ролей(В). Данное соучастие осуществлено с разделением ролей(А). Следовательно, оно не было соучастием без разделения ролей(В). Таблица истинности	Формами соучастия в преступлении признаются соучастие с разделением ролей(А) или соучастие без разделения ролей(В). Данное соучастие не было осуществлено с разделением ролей(А) Следовательно, оно осуществлено без разделения ролей(В). Таблица истинности
S	A	B	S	A	B
0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1
0	0	1	1	0	1
На Южном полюсе первым был Амундсен(А) или Скотт(В). На этом полюсе первым был Амундсен.(А) _____________________________ Неверно, что там первым был Скотт(В) Таблица истинности	Дом мог разрушиться в результате пожара(А), непрочности конструкции(В), стихийного бедствия(С). Дом разрушился ни по причине непрочности конструкций(В), ни в результате стихийного бедствия(С). Следовательно, дом разрушился в результате пожара(А). Таблица истинности
S	A	B	S	A	B	С
0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	1
0	0	1	1	1	0	0

Неправильные разделительно-кате-горические силлогизмы Упражнения по логике / Под ред. В.И. Кириллова. - М.,2002.

Разделительно-категорическое умозаключение подчиняется определенным правилам:

а) суждение должно быть строго разделительным, т.е. мыслимые варианты (члены деления) должны исключать друг друга. Если это правило нарушается, то возможны логические ошибки. Пример:

Книги бывают полезными или интересными.

Эта книга полезна.

Следовательно, эта книга неинтересна.

Вывод не следует здесь с логической необходимостью, так как дизъюнкция -- не строгая, а слабая: книги могут быть и полезными и интересными одновременно.

Вы видите вашего знакомого, с измождённым лицом бредущего по улице. «Он болен или беден» ,- думаете вы. Выясняется, что ваш знакомый давно болен. «Значит, он не беден», - делаете вы вывод.

Запишем это рассуждение в стандартной форме:

Он болен или беден.

Он болен.

Он не беден.

Разделительная посылка не является строго - разделительной, поэтому вывод может оказаться ошибочным: ваш знакомый может быть не только больным, но ещё и бедным.

б) строго разделительное суждение должно быть исчерпывающим. Нарушение этого правила тоже ведет к ошибке.

Например:

Власть может быть законодательной или исполнительной.

Данная власть -- не законодательная.

Следовательно, она исполнительная.

Этот вывод тоже логически не необходимый, ибо власть может оказаться судебной, но этот вариант не был предусмотрен в дизъюнкции;

в) в строго разделительном суждении не должно быть «лишних» членов.

Политики нашей страны могут быть дестабилизаторами, нормализаторами или стабилизаторами.

Данный политик -- нормализатор.

Следовательно, он не стабилизатор и не дестабилизатор.

Получается бессмыслица, ибо политики исчерпываются двумя основными противоречащими понятиями: «стабилизаторы» или «дестабилизаторы»; «нормализаторы» здесь лишний член.

Встречаете вы знакомого идущего домой и думаете: «Эта дама ему мать или жена». Выясняется, что дама как раз является его женой. «Ага ,- делаете вы вывод, - значит она ему не мать». Запишем это рассуждение в стандартной форме: Эта дама ему мать или жена. Эта дама ему жена.

Эта дама ему не мать.

Вывод недостоверен: вовсе не обязательно, что она ему именно жена, она может быть и сестрой, и просто знакомой.

Заключение

Название “дедуктивные умозаключения” происходит от латинского слова “deductio” (выведение). В дедуктивных умозаключениях связи между посылками и заключениями представляют собой формально-логические законы, в силу чего при истинных посылках заключение всегда оказывается истинным.

Цель познания дедуктивных умозаключений - получение истинных знаний и полноценное использование их в практике. Знание дедуктивных умозаключений поможет предвидеть события и лучшим способом планировать деятельность, максимально предусматривать возможные последствия, выдвигать различные гипотезы, эффективнее обучать и самим обучаться, видеть "логику вещей", умело вести полемику.

Интересным, перспективным направлением является анализ уже созданных и разработка новых программ для ЭВМ. Широкое применение логических знаний необходимо и при разработке обучающих, игровых и системных программ для ЭВМ. Конкретное применение знаний дедуктивных умозаключений потребуется для сотрудника милиции при работе по раскрытию преступлений, поможет четко выявить логическую структуру преступления.

Силлогизм - это дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических суждений-посылок, связанных общим термином, получается третье суждение - вывод. К числу силлогистических умозаключений относят умозаключения из условных, разделительных суждений, их сочетаний с простыми категорическими суждениями и между собой. Таким образом, можно говорить об условном, разделительном, условно-категорическом, разделительно-категорическом и условно-разделительном силлогизмах (умозаключениях).

В разделительно-категорических силлогизмах меньшая посылка в первом случае утвердительное суждение, а вывод отрицателен, во втором - отрицательная, но вывод положителен. Соответственно, эти модусы и называются - утверждающе-отрицающий (роnеndо- tollеns ) и отрицающе-утверждающий ( tollendo - ponens ).

Литература

1. Гетманова А. Д. Логика. - М.: Изд-во „ Омега-Л “, 2007.

2. Ивин А.А. Практическая логика. Задачи и упражнения. - М., 1996.

3. Кобзарь И. Логика. Учебное пособие для студентов гуманитарных факультетов. - СПб.: САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2001

4. Логика: Учебно-методический комплекс. / Автор-составитель: Н.В. Блажевич. - Тюмень: Тюменский государственный университет, 2001.

5. Романов В.В. Логика. Курс лекций. - Екатеринбург: Изд-во Екатеринбургской высшей школы МВД России, 1995.

6. Упражнения по логике / Под ред. В.И. Кириллова. - М.,2002.

7. Черняк Н.А. Логика: Учебное пособие. - Омск: Омск. гос. ун-т, 2004.