Методи розрідженої байєсівської регресії для аналізу багатовимірних даних

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методи розрідженої байєсівської регресії для аналізу багатовимірних даних

Аналіз багатовимірних даних є складним завданням для отримання значущих висновків через високу розмірність і потенційні кореляції між змінними. Методи розрідженої байєсівської регресії пропонують багатообіцяючий шлях до вирішення цієї проблеми шляхом одночасного відбору ознак та оцінювання параметрів. У цій статті автором представлено всебічний огляд останніх досягнень у галузі методів розрідженої байєсівської регресії, пристосованих для аналізу багатовимірних даних. Автор обговорює різні підходи, в тому числі байєсівське Лассо [Bayesian Lasso], «шип і плита» [spike-and-slab] попередніх оцінок та ієрархічні байєсівські моделі, висвітлюючи їхні теоретичні засади та практичні реалізації. За допомогою симуляцій та прикладів з реальних даних автор демонструє ефективність розрідженої байєсівської регресії у визначенні релевантних змінних та підвищенні точності прогнозування, враховуючи при цьому притаманну складність багатовимірних наборів даних. Крім того, обговорюються виклики та майбутні напрямки розвитку і застосування методів розрідженої байєсівської регресії, підкреслюючи потенціал для покращення інтерпретації та узагальнення при аналізі багатовимірних даних.

Ключові слова: теорія ймовірності та математична статистика, методи розрідженої байєсівської регресії, аналіз даних.

Abstract

SPARSE BAYESIAN REGRESSION METHODS FOR MULTIVARIATE DATA ANALYSIS

In the field of data analysis, the emergence of multivariate datasets has created both opportunities and challenges. While these datasets contain rich information, extracting meaningful insights from them requires sophisticated methods that can handle high dimensionality and complex relationships. Sparse Bayesian regression techniques have become a powerful tool to address these challenges by efficiently modelling multivariate data while identifyin g relevant features. In this article, the author provides a comprehensive overview of sparse Bayesian regression methods, exploring their theoretical foundations, practical applications, and recent advances in the field.

Постановка проблеми

Аналіз багатовимірних даних створює значні виклики через притаманну їм складність, що виникає через взаємодію та залежності між кількома змінними. Традиційні методи регресії часто не дають точних та інтерпретованих результатів у таких багатовимірних умовах, особливо коли виникає потреба у відборі та регуляризації ознак, щоб зменшити надмірне припасування та покращити інтерпретованість моделі. Методи розрідженої байєсівської регресії стали перспективним підходом до вирішення цих проблем шляхом одночасного відбору змінних та оцінювання параметрів в рамках когерентної байєсівської структури. Однак, незважаючи на зростаючий інтерес до методів розрідженої байєсівської регресії, кілька ключових питань залишаються невирішеними.

Багато методів розрідженої байєсівської регресії включають складні алгоритми, такі як вибірка за методом марковського ланцюга Монте-Карло (MCMC) або варіаційний висновок, які можуть бути обчислювально інтенсивними і непідйомними для великомасштабних багатовимірних наборів даних. Підвищення обчислювальної ефективності при збереженні точності висновків має вирішальне значення для практичних застосувань. Хоча попередні умови, що спричиняють розрідженість у байєсівській регресії, сприяють автоматичному вибору змінних, інтерпретованість вибраних змінних та їхній внесок у модель часто залишаються невловимими. Розробка методів покращення інтерпретованості розріджених моделей байєсівської регресії, таких як визначення впливових предикторів або характеристика невизначеності у виборі змінних, має важливе значення для полегшення отримання змістовних висновків та прийняття рішень. Мультиколінеарність між предикторами є поширеним явищем у багатовимірних наборах даних і може заплутати вибір та оцінку змінних у регресійних моделях. Методи розрідженої байєсівської регресії повинні ефективно обробляти корельовані предиктори, щоб забезпечити надійність і стабільність у виборі та оцінюванні змінних.

Застосування методів розрідженої байєсівської регресії в різних сферах і наборах даних з різними характеристиками, включаючи різні розміри вибірок, розподіл даних і рівні розрідженості, залишається предметом дослідження. Розробка масштабованих і узагальнюючих підходів до розрідженої байєсівської регресії, які можуть враховувати різнорідні дані, має вирішальне значення для ширшого впровадження та впливу. Оцінка продуктивності та ефективності методів розрідженої байєсівської регресії вимагає суворих оціночних метрик (бенчмаркінгу) і порівняльного аналізу з альтернативними підходами. Створення комплексної системи оцінювання та проведення порівняльних досліджень може дати уявлення про сильні та слабкі сторони різних методів розрідженої байєсівської регресії за різних сценаріїв. Вирішення цих проблем має важливе значення для розвитку сучасних методів розрідженої байєсівської регресії для аналізу багатовимірних даних. Подолання цих перешкод може призвести до розробки більш надійних, інтерпретованих і масштабованих підходів, які сприятимуть глибокому аналізу і висновкам у різних сферах застосування, від біомедичних досліджень і екології до фінансів та інженерії.

Аналіз останніх досліджень і публікацій

Девід Л. Донохо [David L. Donoho] - статистик, відомий своєю роботою над вейвлетами та стисненим зондуванням, які тісно пов'язані з методами обробки розріджених сигналів; Роберт Тібшірані [Robert Tibshirani] - статистик, відомий своєю роботою над методами регуляризації, включаючи розробку алгоритму Лассо, який широко використовується в розрідженому регресійному аналізі; Тревор Хасті [Trevor Hastie] - статистик, відомий своїми роботами в галузі машинного навчання, в тому числі розробкою алгоритмів для аналізу розріджених даних, таких як алгоритм LARS (Least Angle Regression); Бредлі Ефрон [Bradley Efron] - статистик, відомий своєю роботою над методами повторної вибірки, в тому числі методами бутстрапу [bootstrap methods], які застосовуються для аналізу розріджених даних; Ендрю Гелман [Andrew Gelman] - статистик і політолог, відомий своїми роботами з байєсівської статистики та ієрархічного моделювання, які застосовуються для аналізу складних і багатовимірних наборів даних; Еммануель Кандес [Emmanuel Candes] - математик, відомий своїми роботами зі стисненого зондування та відновлення розріджених сигналів, які є фундаментальними для розробки методів розрідженої байєсівської регресії для аналізу багатовимірних даних.

Мета статті. Перевірити ефективні методи розрідженої байєсівської регресії для аналізу багатовимірних даних з метою досягнення надійного відбору змінних, точного оцінювання параметрів та покращеної інтерпретованості в умовах високої розмірності.

Виклад основного матеріалу

Аналіз багатовимірних даних передбачає одночасне вивчення декількох змінних для розуміння їх взаємозв'язків і виявлення закономірностей. Цей підхід широко використовується в різних дисциплінах, включаючи фінанси, геноміку, неврологію та екологію, серед інших. Однак зі збільшенням розмірності наборів даних традиційні методи регресії стикаються з обмеженнями з точки зору інтерпретації, обчислювальної ефективності та складності моделі. Методи розрідженої байєсівської регресії пропонують багатообіцяючу альтернативу, поєднуючи гнучкість байєсівського моделювання зі здатністю ідентифікувати скупий набір ознак, релевантних для завдання прогнозування. Включаючи попередні знання і накладаючи попередні умови, що спричиняють розрідженість, ці методи можуть ефективно працювати з наборами даних високої розмірності, сприяючи при цьому інтерпретації та узагальненню моделі. В основі методів розрідженої байєсівської регресії лежить байєсівська концепція, яка забезпечує принциповий підхід до статистичних висновків, розглядаючи параметри моделі як випадкові величини з відповідними попередніми розподілами. У контексті регресійного аналізу метою є оцінка апостеріорного розподілу параметрів на основі спостережуваних даних, який містить як інформацію, що базується на даних, так і попередні переконання. У контексті розрідженої регресії вибір попередніх розподілів відіграє вирішальну роль у забезпеченні розрідженості та контролі складності моделі. Включаючи відповідну попередню інформацію, розріджені байєсівські методи заохочують стиснення до нуля та відбір змінних, що призводить до економних моделей.

В рамках байєсівської статистики оцінка апостеріорного розподілу параметрів має першорядне значення. Цей розподіл інкапсулює наше оновлене уявлення про основні параметри моделі після включення даних спостережень. Розріджена байєсівська регресія (SBR) стає потужним інструментом для аналізу багатовимірних даних, пропонуючи переваги як в оцінці параметрів, так і у виборі змінних [1, c. 12-13]. Методи розрідженої байєсівської регресії вводять попередні оцінки, що спричиняють розрідженість, такі як оцінка Лапласа, підковоподібна оцінка або оцінка «шип і плита», щоб сприяти зведенню до нуля нерелевантних коефіцієнтів, дозволяючи при цьому ненульові коефіцієнти для релевантних ознак. Цей механізм регуляризації сприяє простоті моделі і допомагає зменшити надмірне припасування, особливо у високорозмірних умовах, коли кількість предикторів перевищує розмір вибірки. Методи розрідженої байєсівської регресії знаходять застосування в різних галузях, починаючи від прогнозного моделювання і закінчуючи відбором ознак та ранжуванням змінних за важливістю. У фінансовій сфері ці методи використовуються для оптимізації портфелів, оцінки ризиків і ціноутворення на активи, де визначення ключових факторів, що визначають динаміку ринку, має вирішальне значення для прийняття обґрунтованих рішень.

У геноміці та біоінформатиці методи розрідженої байєсівської регресії використовуються для аналізу експресії генів, ідентифікації SNP (однонуклеотидного поліморфізму) та виявлення біомаркерів, що дозволяє дослідникам розгадати генетичну основу захворювань та персоналізувати стратегії лікування. В науці про навколишнє середовище ці методи застосовуються для моделювання клімату, екологічних ніш і моніторингу довкілля, сприяючи визначенню критичних факторів, що впливають на динаміку екосистем, і спрямовуючи зусилля на їх збереження. Останні досягнення в методах розрідженої байєсівської регресії зосереджені на підвищенні обчислювальної ефективності, масштабованості та стійкості до неправильної специфікації моделі. Такі методи, як варіаційне виведення, стохастична оптимізація та паралельні обчислення, були використані для прискорення підгонки моделі та обробки більших наборів даних. Крім того, було розроблено розширення розріджених байєсівських регресійних моделей для врахування складних структур даних, включаючи ієрархічні байєсівські моделі для включення інформації на рівні груп, динамічні байєсівські моделі для даних часових рядів і нелінійні байєсівські моделі для врахування нелінійних взаємозв'язків.

У сфері статистичного моделювання регресійний аналіз відіграє ключову роль у розумінні взаємозв'язку між змінними. Розріджена байєсівська регресія - це потужний метод, який поєднує в собі гнучкість байєсівської статистики та здатність визначати релевантні предиктори у високорозмірних наборах даних. Розріджена байєсівська регресія - це застосування байєсівських методів до регресійних задач з метою сприяння розрідженості коефіцієнтів моделі. Розрідженість означає, що лише підмножина предикторів суттєво впливає на змінну відгуку, тоді як більшість має незначний вплив. Це особливо актуально для сценаріїв, де кількість предикторів значно перевищує кількість спостережень, що призводить до таких проблем, як надмірне припасування та обчислювальна неефективність.

Розглянемо багатовимірну регресійну модель, де є N спостережень у = (Уі,у2, Yn)T і Р предикторів, представлених матрицею дизайну X. Зв'язок між змінною відгуку у та предикторами X можна виразити як:

де w = (wv w2,..., wN)T - коефіцієнти регресії, а є - похибка, яка, за припущенням, відповідає гаусівському розподілу N(0,a2) . Щоб ввести розрідженість, ми вводимо попередній розподіл по w. Одним з найпоширеніших є попередній розподіл Лапласа, який передбачає подвійний експоненціальний розподіл:

де X контролює ступінь розрідженості. Альтернативно, «пік і плита» поєднують точкову масу на нулі (пік) з неперервним розподілом (плита), що дозволяє більш гнучко моделювати розрідженість. У байєсівському висновку апостеріорний розподіл w на основі даних у можна отримати за допомогою теореми Байєса:

p(w|y) a p(y|X,w)p(w),

де р(у|Х, w) - функція правдоподібності, яку зазвичай вважають гауссовою. Маючи апостеріорний розподіл p(w\y), можна зробити висновок про коефіцієнти регресії шляхом обчислення апостеріорних підсумків, таких як апостеріорне середнє або медіана. Крім того, можна побудувати надійні інтервали для кількісної оцінки невизначеності. На практиці отримання апостеріорного розподілу p(w|y) аналітично часто є складним завданням через високу розмірність простору параметрів. Тому для апостеріорного наближення використовують чисельні методи, такі як марковські ланцюгові методи Монте- Карло (MCMC) або варіаційний висновок [Variational Inference - (VI)].

Алгоритми MCMC, такі як вибірка Гіббса або Метрополіса-Гастінгса, ітеративно роблять вибірку із спільного апостеріорного розподілу параметрів. Хоча методи MCMC є концептуально простими, вони можуть бути обчислювально інтенсивними, особливо для великих наборів даних. З іншого боку, VI апроксимує апостеріорний розподіл шляхом оптимізації сурогатного розподілу з сімейства, що піддається трактуванню, наприклад, середньопольо- вого гауссового розподілу. VI має на меті знайти члена цієї сім'ї, який є найближчим до істинного апостеріорного розподілу з точки зору розбіжності Кульбака-Лейблера (KL). VI має обчислювальні переваги над MCMC, особливо для великомасштабних задач, але може давати менш точні результати [4].

Ключова ідея розрідженої байєсівської регресії полягає у введенні попередніх розподілів над коефіцієнтами регресії, які сприяють розрідженню, тим самим автоматично виконуючи відбір змінних під час підгонки моделі. Це досягається за допомогою таких методів, як попередні розподіли типу spike- and-slab, попередні розподіли Лапласа або попередні розподіли автоматичного визначення релевантності (ARD) [2, с. 69-72]. Інтегруючи невизначеність параметрів моделі, байєсівський висновок забезпечує принципову основу для оцінки апостеріорного розподілу коефіцієнтів, беручи до уваги як дані, так і попередні знання. Багатовимірний аналіз даних відіграє важливу роль у розумінні складних взаємозв'язків між кількома змінними. Однак аналіз багатовимірних наборів даних створює проблеми з точки зору складності моделі, обчислювальної ефективності та інтерпретації результатів. Методи розрідженої байєсівської регресії пропонують елегантне рішення, використовуючи принципи Байєса для одночасного оцінювання параметрів моделі та вибору релевантних предикторів, тим самим сприяючи створенню більш інтерпретованих та ефективних моделей. Методи розрідженої байєсівської регресії ґрунтуються на байєсівській статистиці, яка забезпечує основу для ймовірнісних висновків в умовах невизначеності. В основі цих методів лежить концепція розрідженості, яка полягає в тому, що лише невелика підмножина предикторів справді впливає на змінну відгуку. Накладаючи відповідні попередні розподіли на параметри моделі, розріджені байєсівські методи заохочують розрідженість, призначаючи більшу ймовірність моделям з меншою кількістю ненульових коефіцієнтів.

Одним з широко використовуваних методів розрідженої байєсівської регресії є байєсівський LASSO (Least Absolute Shrinkage and Selection

Operator), який розширює класичний метод LASSO, вводячи байєсівські попередні розподіли для коефіцієнтів регресії. Попередній розподіл, як правило, відповідає розподілу Лапласа, який сприяє розрідженості, викликаючи гострі піки навколо нуля. Іншим популярним підходом є Байєсівська гребенева регресія, яка використовує гауссівський попередній розподіл, щоб сприяти зменшенню коефіцієнтів до нуля, дозволяючи при цьому враховувати кореляції між предикторами. Розглянемо задачу багатовимірної регресії, де ми прагнемо передбачити змінну відгуку y за допомогою набору змінних-предикторів x. Лінійна регресійна модель може бути виражена як:

Y = Хтр + б

де в - вектор коефіцієнтів регресії, а є - член похибки. У розрідженій байєсівській регресії ми вводимо попередні розподіли на в, щоб створити розрідженість. Наприклад, у байєсівському LASSO попередній розподіл на в відповідає розподілу Лапласа:

р(Р) а єхр (-2АЈ/ = 1р\ Pj\),

де 1 контролює рівень регуляризації та сприяє розрідженню.

Традиційно частотна статистика покладається на точкові оцінки, такі як оцінка максимальної правдоподібності, для представлення невідомих параметрів. Однак, апостеріорний розподіл пропонує багатшу картину. Він кодує весь діапазон ймовірних значень параметрів, зважених за їхньою ймовірністю, враховуючи спостережувані дані та попередні переконання. Ця імовірнісна структура дозволяє кількісно оцінити невизначеність, пов'язану з оцінками параметрів, і полегшує побудову достовірних інтервалів. Методи розрідженої байєсівської регресії можуть бути реалізовані за допомогою алгоритмів Марковського ланцюга Монте-Карло (MCMC) або методів варіаційного виводу. Методи MCMC, такі як вибірка Гіббса або алгоритм Метрополіса-Гастінгса [Metropolis-Hastings algorithm], роблять вибірку з апостеріорного розподілу параметрів моделі за даними [3, с. 17-19]. Варіаційний висновок апроксимує апостеріорний розподіл шляхом оптимізації відповідної варіаційної цільової функції. Методи розрідженої байєсівської регресії знаходять застосування в різних галузях, включаючи генетику, фінанси, епідеміологію та неврологію. У геноміці, наприклад, ці методи використовуються для ідентифікації генетичних маркерів, пов'язаних із захворюваннями, при контролі за факторами, що заважають. У фінансах розріджена регресія допомагає у виборі портфеля та управлінні ризиками, визначаючи релевантні фактори, що впливають на дохідність активів. У контексті регресійного аналізу розріджені байєсівські методи мають на меті визначити невелику підмножину предикторів, які роблять значний внесок у змінну відгуку, при цьому ефективно враховуючи шум і невизначеність моделі.

Це досягається шляхом накладання відповідних попередніх розподілів на параметри моделі, які зазвичай характеризуються розрідженістю параметрів, наприклад, нормою L1 (Лассо) або комбінацією норм L1 і L2 (Еластична сітка).

Байєсівське формулювання полегшує оцінку апостеріорних розподілів параметрів моделі, дозволяючи робити ймовірнісні висновки та кількісну оцінку невизначеності [5]. Методи розрідженої байєсівської регресії, такі як варіаційні байєсівські методи або вибірка за методом марківських ланцюгів Монте-Карло (MCMC), дозволяють ефективно обчислювати апостеріорні розподіли навіть у високовимірних середовищах. Ітеративно оновлюючи апостеріорний розподіл на основі спостережуваних даних, ці методи дають розріджені розв'язки, які надають пріоритет релевантним предикторам, водночас ефективно зменшуючи нерелевантні коефіцієнти до нуля.

Реалізація розрідженої байєсівської регресії передбачає кілька ключових міркувань, включаючи специфікацію моделі, попередній вибір, обчислювальну ефективність та оцінку моделі. Вибір попереднього розподілу відображає попередні переконання щодо розрідженості та величини коефіцієнтів регресії, і ретельний відбір є важливим для досягнення значущих результатів. Крім того, вибір відповідних гіперпараметрів, що визначають попередні розподіли, може суттєво вплинути на продуктивність моделі та якість висновків. З точки зору обчислювальної ефективності, сучасні обчислювальні інструменти та бібліотеки пропонують ефективні реалізації алгоритмів розрідженої байєсівської регресії, що дозволяє масштабувати аналіз великих наборів багатовимірних даних. Такі методи, як стохастична оптимізація, паралельні обчислення та прискорення на графічних процесорах, ще більше підвищують швидкість обчислень і масштабованість, роблячи розріджену байєсівську регресію доступною для дослідників і практиків у різних галузях.

Оцінка моделі - ще один важливий аспект реалізації розрідженої байєсівської регресії. Традиційні метрики, такі як середня квадратична похибка (MSE), коефіцієнт детермінації (R-квадрат) та методи перехресної перевірки дають уявлення про прогностичну ефективність моделей розрідженої байєсівської регресії. Крім того, критерії відбору байєсівських моделей, такі як байєсівський інформаційний критерій (BIC) або інформаційний критерій відхилення (DIC), полегшують порівняння та вибір моделей, враховуючи як відповідність моделі, так і її складність. Оцінка моделі відіграє вирішальну роль в оцінці продуктивності та надійності моделей розрідженої байєсівської регресії при аналізі багатовимірних даних. У контексті розрідженої байєсівської регресії оцінка моделі включає оцінку як точності прогнозування моделі, так і її здатності ідентифікувати релевантні предиктори, ефективно контролюючи при цьому складність моделі. Зважаючи на це, нам варто заглибитися в різні аспекти оцінювання моделей в аналізі розрідженої байєсівської регресії, включаючи метрики оцінювання, методи перехресної перевірки та критерії вибору байєсівської моделі. Для оцінки ефективності моделей розрідженої байєсівської регресії зазвичай використовують кілька метрик оцінювання, кожна з яких дає різні уявлення про якість моделі та точність прогнозування. Наприклад, MSE (cередньоквадратична похибка) вимірює середньоквадратичну різницю між прогнозованими і спостережуваними значеннями. Нижчий показник MSE вказує на кращу точність прогнозування, відображаючи здатність моделі вловлювати основні взаємозв'язки в даних. R-квадрат (Коефіцієнт детермінації) кількісно визначає частку дисперсії залежної змінної, яка пояснюється незалежними змінними. Вищі значення R-квадрат свідчать про кращу відповідність моделі, тобто про те, що модель охоплює більшу частку варіабельності даних.

Методи перехресної перевірки, такі як k-кратна перехресна перевірка або перехресна перевірка з виключенням одного, дозволяють оцінити прогностичну ефективність шляхом поділу даних на навчальну та перевірочну множини. Показники перехресної перевірки, такі як середня квадратична похибка або середня абсолютна похибка, дають надійні оцінки продуктивності моделі для різних розбивок даних. Байєсівські критерії вибору моделі, такі як Байєсівський інформаційний критерій (BIC) або інформаційний критерій відхилення (DIC), збалансовують відповідність моделі та її складність, щоб визначити найбільш економну модель. Нижчі значення BIC або DIC вказують на кращу відповідність моделі, водночас караючи надмірно складні моделі. Прогнозна ймовірність вимірює ймовірність спостереження нових даних, враховуючи параметри моделі, оцінені на основі навчальних даних. Вища вірогідність прогнозування вказує на кращу прогностичну ефективність, відображаючи здатність моделі узагальнювати невидимі дані. Методи перехресної перевірки відіграють центральну роль в оцінці прогностичної ефективності розріджених моделей байєсівської регресії, вирішуючи такі проблеми, як надмірне припасування та упередженість вибору моделі.

Найпоширеніші методи перехресної перевірки включають k-кратну перехресну перевірку: при k-кратній перехресній перевірці набір даних розбивається на k підмножин (складок), одна з яких зарезервована для перевірки, а решта k-1 складок використовуються для навчання. Процес повторюється k разів, при цьому кожна складова слугує валідаційним набором один раз. Середня продуктивність по всіх згинах дає оцінку точності прогнозування моделі. Існує також й так звана перехресна перевірка без пропусків (Leave-One-Out Cross-Validation, LOOCV). Вона є окремим випадком k-кратної перехресної перевірки, де k дорівнює кількості спостережень у наборі даних. У LOOCV кожне спостереження слугує валідаційним набором один раз, а модель навчається на решті спостережень.

LOOCV надає незміщену оцінку ефективності прогнозування, але може бути дороговартісним в обчисленнях для великих наборів даних. Повторна перехресна перевірка передбачає багаторазове розділення набору даних на навчальний і перевірочний набори, при цьому ефективність усереднюється за кілька ітерацій. Повторна перехресна перевірка допомагає зменшити варіабельність оцінок ефективності через випадкове розбиття даних. Методи перехресної перевірки дозволяють дослідникам оцінити стабільність та ефективність узагальнення розріджених моделей байєсівської регресії на різних ділянках даних, надаючи уявлення про надійність моделі та точність прогнозування.

Байєсівські критерії вибору моделі, такі як Байєсівський інформаційний критерій (BIC) та Інформаційний критерій відхилення (DIC), пропонують принципову основу для вибору серед конкуруючих розріджених моделей байєсівської регресії на основі їх відповідності даним та складності моделі. Ці критерії збалансовують компроміс між відповідністю моделі та її складністю, караючи надмірно складні моделі, таким чином надаючи перевагу економним моделям, які ефективно пояснюють дані без надмірної підгонки криитеріїв. Байєсівський інформаційний критерій (BIC) визначається наступним чином:

ВІС = --2 х log likelihood + кх log (п)

де log likelihood - логарифм функції максимальної правдоподібності, k - кількість параметрів у моделі, а n - кількість спостережень у наборі даних. Нижчі значення BIC свідчать про кращу відповідність моделі, водночас погіршуючи моделі з більшою кількістю параметрів. Критерій інформації про відхилення (DIC) є ще одним широко використовуваним критерієм вибору байєсівської моделі, який визначається наступним чином:

DIC = D(Oposterior) + 2pDIC

де D(Gposterior) - апостеріорне відхилення, pDIC - ефективна кількість параметрів, а D(Gposterior) - апостеріорне відхилення. DIC балансує між відповідністю моделі та її складністю, причому нижчі значення DIC вказують на кращу відповідність моделі.

Висновки

Методи розрідженої байєсівської регресії є потужною парадигмою для аналізу багатовимірних даних, пропонуючи принципову основу для оцінювання моделей, відбору ознак і кількісної оцінки невизначеності. Інтегруючи попередні знання зі спостережуваними даними, ці методи забезпечують баланс між складністю моделі та можливістю її інтерпретації, що робить їх придатними для широкого спектру застосувань у різних галузях. Оскільки обчислювальні технології продовжують розвиватися, а набори даних стають дедалі складнішими, роль методів розрідженої байєсівської регресії зростатиме, даючи змогу дослідникам і практикам отримувати практичні висновки з дедалі більших і складніших наборів даних. Подальші дослідження та інновації в цій галузі можуть відкрити нові горизонти в аналізі даних і поглибити наше розуміння складних систем.

Методи розрідженої байєсівської регресії пропонують принциповий підхід до вибору та оцінки моделей при аналізі багатовимірних даних. Використовуючи байєсівські принципи та сприяючи розрідженості, ці методи полегшують ідентифікацію ефективних моделей, які можна інтерпретувати, особливо в умовах високої розмірності. З розвитком обчислювальних техно-логій і збільшенням доступності багатовимірних даних методи розрідженої байєсівської регресії продовжують залишатися цінними інструментами для дослідників і практиків у галузі теорії ймовірностей і математичної статистики.

1. Chen, X., Kang, X., Jin, R., & Deng, X. (2022). Bayesian Sparse Regression for Mixed Multi-Responses with Application to Runtime Metrics Prediction in Fog Manufacturing. Technometrics, 1-14. https://doi.org/10.1080/00401706.2022.2134928

2. Wu, H., Deng, X., and Ramakrishnan, N. (2018), «Sparse Estimation of Multivariate Poisson Log-Normal Models from Count Data», Statistical Analysis and Data Mining: The ASA Data Science Journal, 11, 66-77.

3. Yang, D., Goh, G., & Wang, H. (2020). A fully Bayesian approach to sparse reduced- rank multivariate regression. Statistical Modelling, 1471082X2094869. https://doi.org/10.1177/14 71082x20948697

4. Sparse Bayesian nonparametric regression | Proceedings of the 25th international conference on Machine learning. ACM Other conferences. [Електронний ресурс]. - Режим доступу: https://dl.acm.org/doi/10.1145/1390156.1390168 (дата звернення: 24.04.2024).

5. Bayesian Learning in Sparse Graphical Factor Models via Variational Mean-Field Annealing. PubMed Central (PMC). [Електронний ресурс]. - Режим доступу: https:// www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2947451/ (дата звернення: 24.04.2024).

References:

1. Chen, X., Kang, X., Jin, R., & Deng, X. (2022). Bayesian Sparse Regression for Mixed Multi-Responses with Application to Runtime Metrics Prediction in Fog Manufacturing. Technometrics, 1-14. https://doi.org/10.1080/00401706.2022.2134928 [in English]

2. Wu, H., Deng, X., and Ramakrishnan, N. (2018), «Sparse Estimation of Multivariate Poisson Log-Normal Models from Count Data», Statistical Analysis and Data Mining: The ASA Data Science Journal, 11, 66-77. [in English]

3. Yang, D., Goh, G., & Wang, H. (2020). A fully Bayesian approach to sparse reduced- rank multivariate regression. Statistical Modelling, 1471082X2094869. https://doi.org/10.1177/14 71082x20948697 [in English]

4. Sparse Bayesian nonparametric regression | Proceedings of the 25th international conference on Machine learning. ACM Other conferences. [Електронний ресурс]. - Режим доступу: https://dl.acm.org/doi/10.1145/1390156.1390168 (дата звернення: 24.04.2024).

5. Bayesian Learning in Sparse Graphical Factor Models via Variational Mean-Field Annealing. PubMed Central (PMC). [Електронний ресурс]. - Режим доступу: https:// www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2947451/ (дата звернення: 24.04.2024).

Размещено на Allbest.ru