Математические задачи описания и анализа систем

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Курсовая работа

по дисциплине «Математические основы теории систем»

на тему:

Математические задачи описания и анализа систем



Содержание

• Аннотация
• Пояснительная записка к заданию 1
• Задание 1
• Пояснительная записка к заданию 2
• Задание 2
• Пояснительная записка к заданию 3
• Задание 3
• Пояснительная записка к заданию 4
• Задание 4
• Заключение
• Список используемой литературы


Аннотация

В данном курсовом проекте мы познакомились с различными типами систем управления и методами дискретной математики, которые были использованы для описания свойств и характеристик разного рода систем.

В ходе работы также сталкивались и с операциями присущими классической алгебре и всевозможными методами представления функций, будь то графическим, в виде таблиц, логических схем и т.д.

Оперируя с методами преобразований, упрощения, оптимизации рассматриваемых систем, мы выявили основные характерные их черты, поняли суть назначения того или иного элемента входящего в эту систему.

Если говорить о целях и назначениях, то у каждого указанного в работе метода оценки и исследования есть свои преимущества в тех или иных областях технических систем. Поэтому следует коротко рассказать о каждом в отдельности на примере заданий в практической части этого проекта.



Введение

Основной целью автоматизации является исключение непосредственного участия человека в управлении производственными процессами и другими техническими объектами. В настоящее время автоматизация технологических процессов представляет собой одно из важнейших средств роста эффективности производства, интенсификации развития народного хозяйства.

В настоящее время значение теории автоматического управления переросло рамки только технических систем. Динамические управляемые процессы имеют место в живых организмах, экономических и организационных человеко-машинных системах, их влияние существенно и отказ от них приводит к крупным потерям.

Основным математическим аппаратом при изучении и исследовании систем управления является аппарат дифференциальных уравнений, это линейные объекты с сосредоточенными координатами. При этом различают стационарные объекты, коэффициенты дифференциальных уравнений которых не изменяются во времени, и нестационарные объекты, у которых коэффициенты изменяются с течением времени. Большинство объектов регулирования являются нестационарными объектами, однако, скорость изменения их свойств намного меньше скорости регулирования, поэтому такие объекты при расчете систем регулирования можно приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени, за который свойства объекта не успевают существенно измениться.



Пояснительная записка к заданию 1. Множественные методы исследования систем

Под множеством понимается совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множества бывают конечными и бесконечными. Множество называют конечным, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число N, являющееся числом элементов множества. Множество называют бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов.

Существует два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание множества способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Например: {Иванов, Петров, Сидоров}. Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Например: A = {x_M / x - отличник группы} или, что то же самое: A = {x / x - отличник группы}.

Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и то же множество. Множества X и Y не равны, если либо в множестве X есть элементы, не принадлежащие Y, либо в множестве Y есть элементы, не принадлежащие X. Символ равенства обладает свойствами:

1) X = X - рефлексивность;

2) Если X = Y, то Y = X - симметричность;

3) Если X = Y и Y = Z, то X = Z - транзитивность.

Из определения множества следует, что в нем не должно быть неразличимых элементов. Запись {2, 2, 3, 5} следует заменить на запись {2, 3, 5}.

1.1 Графы

Неформально граф можно рассматривать как множество точек и соединяющих эти точки линий со стрелками или без них.

Первой работой теории графов как математической дисциплины считают статью Эйлера (1736 г.), в которой рассматривалась задача о Кёнингсбергских мостах. Эйлер показал, что нельзя обойти семь городских мостов и вернуться в исходную точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Следующий импульс теория графов получила спустя почти 100 лет с развитием исследований по электрическим сетям, кристаллографии, органической химии и другим наукам.

С графами, сами того не замечая, мы сталкиваемся постоянно. Например, графом является схема линий метрополитена. Точками на ней представлены станции, а линиями - пути движения поездов. Исследуя свою родословную и возводя ее к далекому предку, мы строим так называемое генеалогическое древо. И это древо - граф.

Графы служат удобным средством описания связей между объектами. Ранее мы уже использовали графы как способ наглядного представления конечных бинарных отношений. Но граф используют отнюдь не только как иллюстрацию. Например, рассматривая граф, изображающий сеть дорог между населенными пунктами, можно определить маршрут проезда от пункта А до пункта Б. Если таких маршрутов окажется несколько, хотелось бы выбрать в определенном смысле оптимальный, например самый короткий или самый безопасный. Для решения задачи выбора требуется проводить определенные вычисления над графами. При решении подобных задач удобно использовать алгебраическую технику, да и само понятие графа необходимо формализовать.

Методы теории графов широко применяются в дискретной математике. Без них невозможно обойтись при анализе и синтезе различных дискретных преобразователей: функциональных блоков компьютеров, комплексов программ и т.д.

В настоящее время теория графов охватывает большой материал и активно развивается. При ее изложении ограничимся только частью результатов и основной акцент сделаем на описании и обосновании некоторых широко распространенных алгоритмов анализа графов, которые применяются в теории формальных языков.

Графы, как уже отмечалось в примерах, есть способ "визуализации" связей между определенными объектами. Связи эти могут быть "направленными", как, например, в генеалогическом древе, или "ненаправленными" (сеть дорог с двусторонним движением). В соответствии с этим в теории графов выделяют два основных типа графов: ориентированные (или направленные) и неориентированные.

Построение математического определения графа осуществляется путем формализации и "объектов", и "связей" как элементов некоторых (как правило, конечных) множеств.

1.2 Матрица смежности и инцидентности

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) - это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента a_ij равно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину.

Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i-й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента a_ii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i-й вершины.

Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных рёбер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

Ниже приведён пример неориентированного графа и соответствующей ему матрицы смежности A. Этот граф содержит петлю вокруг вершины 1, при этом в зависимости от конкретных приложений элемент a₁₁ может считаться равным либо одному (как показано ниже), либо двум.

Рис. 1

a_ij - число рёбер, связывающих вершины и , причём в некоторых приложениях каждая петля (ребро при некотором ) учитывается дважды.

Матрица смежности пустого графа, не содержащего ни одного ребра, состоит из одних нулей.

Матрица инцидентности - одна из форм представления графа, в которой указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро(дуга) и вершина). Столбцы матрицы соответствуют ребрам, строки - вершинам. Ненулевое значение в ячейке матрицы указывает связь между вершиной и ребром (их инцидентность).

В случае ориентированного графа каждой дуге <x,y> ставится в соответствующем столбце: «?1» в строке вершины x и «1» в строке вершины y; если связи между вершиной и ребром нет, то в соответствующую ячейку ставится «0».



Задание 1

По условию задания нам даны следующие отношения множеств:

F(x₁) = () F(x₇) = ()

F(x₂) = (0) F(x₈) = ()

F(x₃) = () F(x₉) = (0)

F(x₄) = (x₂ ) F(x₁₀) = ()

F(x₅) = (x₁ ) F(x₁₁) = (x₁₀)

F(x₆) = (x₄) F(x₁₂) = ()

По заданному состоянию системы составить:

а) Матрицы смежности и инциндентности

б) Определить уровни элементов и построить упорядоченную систему

в) Составить матрицу смежности по упорядоченной структуре

г) Определить количество связей между элементами структуры (Общее число транзитивных путей различной длины между вершинами).

Изображая граф получаем следующее (рис. 1):

Рис. 1. Неупорядоченный граф



В виде матрицы будет выглядеть вот так:

Y-матрица смежности

Y =		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12
	x1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
	x2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x3	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
	x4	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
	x5	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
	x6	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
	x7	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
	x8	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x9	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x10	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
	x11	0	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0
	x12	0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0

Матрица построена так - по столбцам мы рассматриваем вершины, а по строкам расставлены единицы если данная вершина имеет связь с вершиной под номером данной строки.

Также необходимо построить матрицу инцидентности в которой будут отражаться и обратные связи:

C - матрица инцидентности

С =		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12
	x1	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	1	0
	x2	0	0	0	-1	0	0	0	-1	0	0	0	0
	x3	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	-1
	x4	0	1	0	0	0	-1	0	1	0	0	0	0
	x5	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
	x6	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	0	0
	x7	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	-1
	x8	0	1	0	-1	0	0	0	0	0	0	-1	0
	x9	0	0	-1	0	0	0	-1	0	0	0	-1	-1
	x10	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	-1	0
	x11	-1	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0
	x12	0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0

Необходимо упорядочить вершины. Для этого находим вершины, для которых нет входящих вершин. Рассматривая пример, определяем, что вершина x₆ входящих вершин не имеет (с = 0). Так из этой вершины мы ищем самые длинные пути к другим вершинам. Для начала ищем вершины, путь которым равен одному, далее по нарастающей. В итоге получим:

P(5) = 0 P(2) = 4 P(10) = 3

P(12) = 0 P(8) = 3 P(7) = 4

P(6) = 1 P(1) = 1 P(9) = 5

P(4) = 2 P(11) = 2 P(3) = 1

Графически преобразованный граф будет выглядеть так (рис. 2):

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Рис. 2. Упорядоченный граф

Занесем в матрицу А полученные новые связи упорядоченных вершин длиной в единицу

А1 =		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12
	x1	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
	x2	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	1
	x3	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
	x4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
	x5	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
	x6	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0
	x7	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0
	x8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
	x9	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
	x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x11	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
	x12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Также мы можем найти количество связей между вершинами равным двум и более до пяти, т.к. самый длинный путь равен пяти.

Для этого возводим данную матрицу в квадрат, тем самым находим количество связей равным двум. Получаем матрицу А2. (матрица представлена ниже)

А2 =		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12
	x1	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0
	x2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
	x3	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0
	x4	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0
	x5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
	x7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0
	x8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
	x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Возводим матрицу А в куб и матрица А3 будет показывать количество связей между вершинами длиной в три. (матрица представлена ниже)

А3 =		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12
	x1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0
	x2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
	x4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0
	x5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
	x8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Возводим матрицу А в четвертую степень и матрица А4 отразит количество связей между вершинами длиной равной четырём. (матрица представлена ниже)

А4 =		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12
	x1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0
	x2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
	x5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Возводим матрицу А в пятую степень и матрица A5 покажет количество связей между вершинами длиной пять.

А5 =		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12
	x1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
	x2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

После выполненных операций над матрицами путем сложения всех матриц можем получить матрицу, которая отобразит общее количество связей между вершинами. (матрица представлена ниже)

S - сумма матриц

S =		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12
	x1	0	0	1	1	0	1	1	1	1	2	1	1
	x2	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	2
	x3	0	0	0	0	0	1	0	1	0	2	0	0
	x4	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	2	1
	x5	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
	x6	0	0	0	0	0	0	0	1	0	2	0	0
	x7	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
	x8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
	x9	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1
	x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	x11	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
	x12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0



Пояснительная записка к заданию 2. Сети Петри

2.1 Введение в сети Петри

Модель - это представление, как правило, в математических терминах наиболее характерных черт изучаемого объекта или системы. Сети Петри это инструмент для математического моделирования и исследования сложных систем. Цель представления системы в виде сети Петри и последующего анализа этой сети состоит в получении важной информации о структуре и динамическом поведении моделируемой системы. Эта информация может использоваться для оценки моделируемой системы и выработки предложений по ее усовершенствованию. Впервые сети Петри предложил немецкий математик Карл Адам Петри.

2.2 Природа систем, моделируемых сетями Петри

Сети Петри предназначены для моделирования систем, которые состоят из множества взаимодействующих друг с другом компонент. При этом компонента сама может быть системой. Действиям различных компонент системы присущ параллелизм. Примерами таких систем могут служить вычислительные системы, в том числе и параллельные, компьютерные сети, программные системы, обеспечивающие их функционирование, а также экономические системы, системы управления дорожным движением, химические системы, и т. д.

2.3 Подходы к проектированию систем с помощью сетей Петри

В одном из подходов к проектированию и анализу систем сети Петри используются, как вспомогательный инструмент анализа. Здесь для построения системы используются общепринятые методы проектирования. Затем построенная система моделируется сетью Петри, и модель анализируется. Если в ходе анализа в проекте найдены изъяны, то с целью их устранения проект модифицируется. Модифицированный проект затем снова моделируется и анализируется. Этот цикл повторяется до тех пор, пока проводимый анализ не приведет к успеху.

Другой подход предполагает построение проекта сразу в виде сети Петри. Методы анализа применяются только для создания проекта, не содержащего ошибок. Затем сеть Петри преобразуется в реальную рабочую систему.

В первом случае необходима разработка методов моделирования систем сетями Петри, а во втором случае должны быть разработаны методы реализации сетей Петри системами.

2.4 Теоретико-множественное определение сетей Петри

В сетях Петри события и условия представлены абстрактными символами из двух непересекающихся алфавитов, называемых соответственно множеством переходов и множеством мест . В графическом представлении сетей переходы изображаются "барьерами", а места - кружками.

Рис. 2. Аналитически сети Петри задаются следующим образом

N = (B, D, F, H) (2)

где: B - множество позиций сети Петри

D - множество переходов сети Петри

F - множество входных вершин

H - множество выходов

Маркировка - это размещение по позициям сети Петри фишек, изображаемых на графе сети Петри точками. Фишки используются для определения выполнения сети Петри. Количество фишек в позиции при выполнении сети Петри может изменяться от 0 до бесконечности.

Задание 2

Н(d₁) = 2,3Ф(d₁) = 1

H(d₂) = 9Ф(d₂) = 8

H(d₃) = 4,5Ф(d₃) = 2

H(d₄) = 6Ф(d₄) = 2

H(d₅) = 6Ф(d₅) = 3

H(d₆) = 6Ф(d₆) = 9

H(d₇) = 5Ф(d₇) = 6

H(d₈) = 7Ф(d₈) = 4

H(d₉) = 10Ф(d₉) = 5

H(d₁₀) = 6Ф(d₁₀) = 7

По имеющимся данным составить и исследовать работу сети Петри.

Также расставим изначальную разметку и будем называть данное состояние сети нулевым. После же пошагово будем отображать результаты срабатываний пока сеть не дойдет до состояния, при котором срабатывание уже невозможно. Все срабатывания изображены ниже (рис. 3-7):

Изначальная разметка, нулевое состояние: M (2,1,0,1,1,0,0,2,0,0)



Рис. 2.1 Изначальная разметка

После первого срабатывания M (1,1,1,1,1,0,1,1,1,10)

Рис. 2.2 Разметка после первого срабатывания

После второго срабатывания M (0,0,0,1,1,2,1,0,1,2)

Рис. 2.3 Разметка после второго срабатывания



После третьего срабатывания M (0,0,0,0,3,1,0,0,0,4)

Рис. 2.4 Разметка после третьего срабатывания

После четвертого срабатывания M (0,0,0,0,3,0,0,0,0,5)

Рис. 2.5 Разметка после четвертого срабатывания

Сетка Петри после всех срабатывания M (0,0,0,0,3,0,0,0,0,5)



Пояснительная записка к заданию 3. Аналитические методы исследования систем

3.1 Аналитические методы исследования САУ

Для любой системы характерно наличие входа и выхода, связывающих ее с окружающей средой. Аналитические методы исследования систем применяются к исследованию систем, представленных с различной степенью детализации структуры. Самое общее представление системы - это представление в виде «черного ящика». При этом система рассматривается как нечто целое, имеющее вход для восприятия воздействий внешней среды и выход для воздействия на нее.

3.2 Уравнение движения системы

При подаче на вход некоторого воздействия x(s), природа которого зависит от системы, в ней происходят некоторые изменения и на переходит вот новое состояние. Это называется движением системы. Задача аналитических методов - получить и исследовать уравнение движения системы.

В процессе движения системы, величины, определяющие ее состояние, - обобщенные координаты системы, взаимосвязано изменяются. Систему уравнений движения системы образует зависимость изменения состояния этих величин от изменений, поданного на вход сигнала. В качестве выходного сигнала, который выводится в уравнение движения системы как одна из неизвестных функций w (s), рассматривается одна из обобщенных координат или некоторая функция от этих координат.

Система уравнений может быть сведена сведена к одному уравению, связывающему выходной сигнал с входным.

Таким образом, для исследования систем аналитическими методами необходимо получить аналитическую зависимость выхода система w(s) от входа x(s) вида:

w(s) = f(x,s) (2)

Аналитическое представление этой зависимости позволяет предсказать изменение системы во времени при изменении входа. Такое представление системы принято называть моделью функционирования.

Примером уравнения движения линейной системы второго порядка является уравнение вида:

(3)

Где a_o, a₁, a₂ - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы;

w - обобщенная координата - выходной сигнал;

f(x,s) - неизвестная функция времени.

Состав элементов и их свойства определяют поведение системы, процесс ее движения. Поэтому для широкого класса систем получение уравнения движения связано с детализацией ее представления.

В зависимости от состава элементов и их особенностей зависимость (3) различна. Одним из методов для получения аналитической зависимости системы является метод представления системы в виде совокупности типовых звеньев, соединенных между собой прямыми и обратными связами, соединенных последовательное или(и) параллельно.

Типовые звенья в системах АР определяются по виду уравнения движения при условии, что в начальный момент времени система находится в состоянии покоя.

автоматический система сеть петри карта карно



3.3 Типовые звенья систем автоматического управления

Принято различать следующие типовые элементы САР в зависимости от вида реакции выхода w (s) на воздействие входного сигнала x(s):

1. Апериодическое звено первого порядка

Передаточная функция:

(4)

2. Реальное дифференцирующее звено

Передаточная функция:

(5)

3. Интегрирующее звено с запаздыванием

Передаточная функция

(6)

4. Пропорционально-интегрирующее звено

Передаточная функция

(7)

5. Апериодическое звено второго порядка



3.4 Правила эквивалентных преобразований структурных схем систем автоматического управления

Выше были описаны передаточные функции различных звеньев. Как было написано выше, САУ представляет собой систему, состоящую из функциональных элементов, каждый из которых может быть представлен в виде динамического звена. То есть САУ можно представить в виде совокупности динамических звеньев с известными математическими моделями. Правила эквивалентных преобразований позволяют найти необходимую передаточную функцию САУ, свернув структурную схему к одному динамическому звену с искомой передаточной функцией.

Рассмотрим правила эквивалентных преобразований, не изменяющих свойств систем и необходимых для нахождения передаточной функции:

1. Последовательное соединение динамических звеньев.

Рис. 3

2. Параллельное соединение динамических звеньев

Рис. 3.1

3. Замкнутый контур с отрицательной обратной связью

Рис. 3.2

Рис. 3.3

4. Замкнутый контур с положительной обратной связью

Рис. 3.4

5. Перенос точки ветвления через динамическое звено

Рис. 3.5



Задание 3

Даны следующие значения элементов структуры передаточных функций:

W1(p)	W2(p)	W3(p)	W4(p)	W5(p)	W6(p)	Wос(p)
p		1/T3p		1/(T25	1/	1/ Toc(p)+1)

И дана схема, представленная на (Рис. 12):

Pиc. 12. Схема звеньев системы

По заданной структуре системы и передаточным функциям элементов нужно выполнить:

а) Эквивалентное преобразование структуры

б) Определить типы звеньев структуры

в) Определить передаточную функцию системы

Рис. 13. Схема звеньев системы

Совершим требуемые по условию задания эквивалентные преобразования. Это означает заменить каждую группу из параллельно соединенных звеньев одним звеном с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций всех n звеньев в этой группе. Используем формулу:

W_экв.гр(р) =

W_э = W₂(p) +W₃(p) + W₄(p) = +

Таким образом передаточная функция нового звена имеет вид:

+

Б) выполним эквивалентное преобразование последовательных

звеньев:

Рис. 3.7

Таким образом передаточная функция нового звена имеет вид:

В) выполним эквивалентное преобразование звеньев замкнутого контура

Рис. 3.8

Таким образом передаточная функция системы имеет вид:

Б) Определим типы динамических звеньев:

W₁(p) = p - интегральное

W₂(p) - АПЗ 1

W₃(p) = 1/T₃p - интегральное

W₄(p) = (p) - безынерцальное

W₅(p) = 1/(T₂₅ - АПЗ-2

W₆(p) = 1/- АПЗ-1

W_ос(p) = 1/ T_oc(p)+1) АПЗ1

В) Определим передаточную функцию системы:

- передаточная функция системы.



Пояснительная записка к заданию 4. Логические методы исследования систем

4.1 Алгебра логики

Высказывание - термин математической логики, обозначающий формализованную структурированную запись мысли с помощью буквенных символов и логических связок, рассматриваемую с точки зрения истинностных значений. Это утверждение, для которого оценивается логическое значение: ложь или истина. Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами. Является основным объектом логики высказываний.

Алгебра логики (алгебра высказываний) - раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания.

Высказывания строятся над множеством{B, ? , ?, ¬, 0, 1}, где B - непустое множество, над элементами которого определены три операции:

· Отрицание - -

· Конъюкция - ?

· Дизъюнкция - ?

а логический ноль 0 и логическая единица 1 - константы.

Унарная операция отрицания в тексте формул оформляется либо в виде значка перед операндом (¬) либо в виде черты над операндом (), что компактнее, но в целом менее заметно.



4.2 Логические функции

Современная вычислительная техника строится на основе цифровых микросхем. При этом сами цифровые микросхемы реализуются на базе простейших логических функций:

1. "НЕ" - функция инвертирования;

2. "И" - функция логического умножения;

3. "ИЛИ" - функция логического суммирования.

Поэтому, прежде чем приступить к изучению основ вычислительной техники рассмотрим особенности реализации логических функций на базе цифровых микросхем.

Простейшим логическим элементом является инвертор, который просто изменяет значение входного сигнала на прямо противоположное значение. Функция инвертирования входного сигнала, реализуемая цифровым инвертором, записывается в следующем виде:

где черта над входным значением цифрового сигнала обозначает изменение его на противоположное. То же самое действие можно записать при помощи таблицы истинности, приведённой в таблице 1. Так как входной параметр у логической функции инвертирования один, то ее таблица истинности состоит только из двух строк.

Таблица 1

Таблица истинности логической функции инвертирования

X	F(x)
0	1
1	0



Следующей простейшей логической функцией, на основе которой реализуются элементы вычислительной техники является операция логического умножения "И". Логическая функция "И" обычно записывается следующим образом:

F(x₁, x₂) = x₁ ? x₂

где символ ? обозначает функцию логического умножения. Эта же функция может быть записана несколькими способами:

F(x₁,x₂) = x₁ x₂ = x₁·x₂ = x₁&x₂.

То же самое действие можно записать при помощи таблицы истинности, приведённой в таблице 2. В формуле, приведенной выше, использовано два аргумента. Поэтому элемент, выполняющий эту функцию имеет два входа. Такая логическая функция обозначается "И". Для нее таблица истинности будет состоять из четырех строк (2² = 4).

Таблица 2

Таблица истинности логической функции "И"

X1	X2	F(x)
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Следующей функцией, широко использующейся при реализации вычислительных устройств, является операция логического сложения "ИЛИ", которую часто называют дизъюнкцией. Эта операция двух выражений записывается следующим образом:



F (x₁, x₂) = x₁ ? x₂

где символ ? обозначает функцию логического сложения. Иногда эта же логическая функция записывается в другом виде:

F (x₁, x₂) = x₁ ? x₂ = x₁ + x₂ = x₁ | x₂

То же самое действие можно записать при помощи таблицы истинности, приведённой в таблице 3. В формуле, приведенной выше, использовано два аргумента. Поэтому схема, выполняющая функцию логического суммирования имеет два входа. Такой элемент обозначается "ИЛИ". Для логической функции "ИЛИ" таблица истинности будет состоять из четырех строк (2² = 4).

Таблица 3

Таблица истинности схемы, выполняющей логическую функцию "ИЛИ"

X1	X2	F(x)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

4.3 Переход от табличной формы задания ЛФ в аналитическую

Для получения СДНФ и СКНФ, исходя из таблицы истинности, можно сформулировать следующие правила.

Для получения СДНФ на основе таблицы истинности необходимо:

1) Каждый из входных наборов, на которых булева функция принимает значения 1, представить в виде элементарного произведения (конъюнкции), причем если переменная равна 0, то она входит в конъюнкцию с инверсией, а если 1 - то без инверсии.

2) Полученные элементарные конъюнкции объединяются знаками дизъюнкции.

Для получения СКНФ на основе таблицы истинности необходимо:

1) Каждый из входных наборов, на которых булева функция принимает значения 0, представить в виде элементарной логической суммы (дизъюнкции), причем если переменная равна 1, то она входит в дизъюнкцию с инверсией, а если 0 - то без инверсии.

2) Полученные элементарные дизъюнкции объединяются знаками конъюнкции.

Используя законы булевой алгебры, можно преобразовывать исходные выражения в более простые (минимизировать их). По упрощенным выражениям можно построить техническое устройство, имеющее минимальные аппаратные затраты. Минимизация производится с помощью применения законов склеивания и поглощения.

4.4 Карты Карно

Куб Карном - графический способ минимизации переключательных (булевых) функций, обеспечивающий относительную простоту работы с большими выражениями и устранение потенциальных гонок. Представляет собой операции попарного неполного склеивания и элементарного поглощения. Карты Карно рассматриваются как перестроенная соответствующим образом таблица истинности функции. Карты Карно можно рассматривать как определенную плоскую развертку n-мерного булева куба.

Карты Карно были изобретены в 1952 Эдвардом В. Вейчем и усовершенствованы в 1953 Морисом Карно, физиком из «Bell Labs», и были призваны помочь упростить цифровые электронные схемы.

В карту Карно булевы переменные передаются из таблицы истинности и упорядочиваются с помощью кода Грея, в котором каждое следующее число отличается от предыдущего только одним разрядом

Задание 4

Значения логических переменных и функций
X1	X2	X3	X4	F(x)
0	0	0	0	1
1	0	0	0	0
0	1	0	0	1
1	1	0	0	1
0	0	1	0	1
1	0	1	0	0
0	1	1	0	1
1	1	1	0	0
0	0	0	1	0
1	0	0	1	0
0	1	0	1	1
1	1	0	1	0
0	0	1	1	1
1	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	1	1	1	0

По заданной таблице истинности логического выражения составить:

· логическую функцию в ДНФ

· преобразовать полученную логическую функцию методами алгебры Буля

· преобразовать полученную логическую функцию методом карт Карно

1) Исходя из представленной таблицы истинности, мы можем написать логическую функцию в дизъюнктивно-нормальной форме:

F(x) =

2) Преобразуем логическую функцию методами алгебры Буля.

F(x) = ? = ? ?

F(x) =

=

= (+)+(+)+(+)+(+)

+++++

3) Далее проведем преобразование функции с помощью метода карт Карно

	0	1	0	0
	0	0	0	1
	1	1	1	1
	1	1	0	1

по карте Карно получаем следующую преобразованную функцию:

++ +

1. функциональная схема, соответствующая исходному логическому выражению

Рис. 4.1

2. Функциональная схема, соответствующая преобразованному логическому выражению

Рис. 4.2

6. Релейно-контактная схема, соответствующая функциональной схеме на рис. 44

Рис. 4.3

7. релейно-контактная схема, соответствующая выражению, составленной с помощью карты Карно



Рис. 4.4



Заключение

В этой курсовой работе были разобраны темы, которые затрагивают «Теорию систем». Это позволило на начальном уровне разобраться с данной теорией. Кроме того, мы узнали о графах: различные формы представления графов, кем были созданы и т.д., были рассмотрены сети Петри, так же столкнулись с логическими функциями, формами их представления, методами преобразования из одной формы в другую и их упрощение.



Список используемой литературы

1. Корщунов Ю.М. Математические основы кибернетики / «Энергия» - 1980

2. Ползунова Н.Н. Исследование систем управления / «Академический проект» - 2004

3. Соболева Т.С. Дискретная математика / А.В. Чечкин // «Академия» - 2006

4. О.Л. Крицкий. Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Михальчук, А.Ю. Трифонов, М.Л. Шинкеев // «Польский политехнический университет» - 2010

Размещено на allbest.ru