Оценка эффективности структурного компактно-матричного метода расчета коэффициента компактности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оценка эффективности структурного компактно-матричного метода расчета коэффициента компактности

И.Е. Еремин, д-р техн. наук,

Д.В. Фомин

Рассматривается эффективность структурного компактно-матричного численного метода по сравнению с классическим прямым численным методом расчета плотности пространственной упаковки простейшей гексагональной решетки. Представлены теоретические результаты сравнительного анализа рассматриваемых численных методов, а также вычислительного эксперимента, проведенного с целью количественных оценок их эффективности.

Ключевые слова: модель решетки, гексагональная решетка, структурный компактно-матричный численный метод, прямой численный метод. компактный матричный гексагональная решетка

Введение

Задачи описания и упаковки различных пространственных структур представляют большой теоретический и практический интерес в различных областях современной науки и техники [1 - 7]. Задачи такого типа находят свое применение в физике конденсированного состояния и физике плазмы. Например, современные исследования трехмерного строения плазменно-пылевых структур выявили существование пространственных структур с объемными упаковками, аналогичными кристаллическим решеткам твердых тел: объемно-центрированной, гранецентрированной кубической и гексагональной, представляющими собой, соответственно, плотнейшие и другие плотные способы упаковки [8 - 10].

Для пространственных структур кубической сингонии были разработаны эффективные математические модели и численные методы расчета структурных и энергетических параметров [11 - 14], в частности, метод компактно-матричного описания и основанные на построенных с его помощью математических моделяхчисленные методы расчета коэффициента компактности и постоянной Маделун- га. Но для веществ с гексагональной структурой они в данный момент не применяются в силу фундаментальных особенностей данных методов.

В качестве вещества с кристаллической решеткой исследуемого типа, для которого известны значения структурных параметров, был выбран гексагональный алмаз, так как он обладает моноэлементным составом и сравнительно простой структурой [15, 16]. Для решетки данного структурного типа был разработан двухкомпонентный кубический способ описания, представленный в работе [17]. На основе этой модели были проведены мыслительный и вычислительный эксперименты, описанные в работах [18, 19], по результатам которых сделан вывод о существовании у гексагональной пространственной решетки исследуемого типа кубического периода и куба-генератора - фрагмента структуры кубической формы, обладающего главным свойством элементарной ячейки - возможностью восстановить сколь угодно большой кристалл путем трансляции.

Выявление куба-генератора показало возможность применения к простейшей гексагональной кристаллической решетке метода компактного матричного описания. В работе [20] показан процесс формирования соответствующего матричного описания исследуемой структуры. Исследование полученного матричного описания выявило наличие четкой периодической повторяемости структур компактных матриц, описывающих координационные слои исследуемой структуры, находящиеся за пределами куба-генератора. Это позволило разработать структурный компактно-матричный численный метод расчета коэффициента компактности исследуемой структуры.

Для определения эффективности и точности авторского численного метода по сравнению с уже существующими численными методами решения аналогичной задачи следует выполнить теоретическую оценку методов на основе их сравнительного анализа, а также провести серию вычислительных экспериментов по расчету коэффициента компактности, сравнивая значения ключевых показателей эффективности - точности и времени выполнения расчетов.

Классический прямой численный метод

Прямой численный метод использует в качестве исходных данных классическое матричное описание исследуемой структуры. Модели такого типа представляют информацию о расположении частиц (атомов, ионов или молекул), составляющих исследуемый фрагмент решетки, в некоторой трехмерной системе координат в виде двумерных матриц, каждая строка которых содержит координаты отдельной частицы.

В самом общем случае такие модели могут быть двух типов: 1) базисная - матрица содержит описание только некоторого фрагмента структуры, позволяющего правильно построить сколь угодно большой кристалл; 2) полная - матрица содержит полное описание всего исследуемого объема решетки.

Достоинствами классических матричных моделей являются их простота и очевидность. Такие матрицы позволяют легко моделировать различные дефекты в исследуемой структуре. Если нужно учитывать тип, заряд или другие параметры частиц, соответствующая информация включается в состав модели путем введения дополнительных столбцов.

Существенным недостатком классических матричных моделей является размер описания: для получения достаточно точных результатов вычислений необходимо исследовать относительно крупные фрагменты структуры, состоящие из сотен тысяч частиц. Классические матричные представления таких фрагментов будут громоздки, что, как правило, усугубляется дробными значениями координат частиц.

Классический прямой численный метод расчета коэффициента плотности пространственной упаковки в общем случае подразумевает формирование полного матричного описания фрагмента исследуемого кристалла, после чего выполняется непосредственный перебор всех частиц, включенных в описание, и подсчет их количества, с учетом расположения относительно границ кристалла. Очевидными достоинствами данного метода являются его простота, понятность и легкость реализации, недостатками - высокие требования к вычислительным ресурсам и низкая скорость, обусловленные необходимостью хранить и обрабатывать большое количество элементов матричного описания.

Структурный компактноматричный численный метод

Описанный в работе [20] численный метод расчета плотности пространственной упаковки простейшей гексагональной решетки использует компактное матричное описание кристаллической структуры. Модели данного типа представляют собой набор плоских треугольных матриц, описывающих соответствующую последовательность кубических координационных слоев, минимально необходимую для полного и однозначного описания моделируемой структуры.

Особенностью метода компактного матричного описания является уменьшение объема получаемого описания по сравнению с классическим матричным методом в 48 раз благодаря использованию свойств симметрии куба и квадрата, а также устранению информационной избыточности. Последнее возможно из-за отсутствия необходимости в точной информации о значениях координат частиц для расчетов ряда скалярных параметров решетки: достаточно знать расстояние между конкретной частицей или группой частиц и точкой, выбранной в качестве центра исследуемого фрагмента решетки. Недостатками метода компактного матричного описания можно назвать его более высокую сложность для понимания, реализации и применения к решеткам не кубическихсингоний.

Меньший размер описания и выявленная периодическая повторяемость структур компактных матриц позволяют разрабатывать численные методы, обладающие высоким быстродействием и точностью, а также сравнительно низкими требованиями к вычислительным ресурсам.

Сравнительный теоретический анализ

Структурный компактно-матричный численный метод расчета коэффициента плотности пространственной упаковки позволяет сделать затрачиваемое на вычисления время практически не зависящим от объема исследуемой структуры. Так, чтобы подсчитать количество частиц в компактной матрице координационного слояlпосредством обхода всех ее элементов, нужно обработать (1+21)² элементов. Таким образом, общее количество элементов T, необходимое для исследования объема структуры, ограниченного кубическим координационным слоем

L, может быть рассчитано следующим образом:

С учетом свойства периодической повторяемости структур компактных матриц при использовании компактных матриц первого шага сжатия выполняется расчет для координационных слоев базового набора и первого периода.

Одновременно с этим выполняется расчет количества частиц во всех матрицах с той же структурой. Поэтому в случае включения в исследование слоев второго и последующих периодов обрабатывать их элементы отдельно уже нет необходимости. На рис. 1 приведен общий вид графика зависимости количества значений, обрабатываемых при подсчете количества частиц, от объема исследуемой структуры.

Рис. 1. Общий вид зависимости количества обрабатываемых значений Tот максимального номера координационного слоя L(описывающего исследуемую структуру) и максимального номера слоя N,входящего в базовый набор, для матриц первого шага сжатия.

Таким образом, сравнительный теоретический анализ эффективности классического прямого и авторского структурного компактно-матричного численных методов свидетельствует о большем быстродействии последнего без потери точности получаемых результатов.

Вычислительный эксперимент

Приведенные теоретические выводы об эффективности структурного компактно-матричного метода по сравнению с классическим подходом могут быть проверены в ходе соответствующего вычислительного эксперимента. Такой эксперимент предполагает выполнение вычислений коэффициента компактности для некоторого объема исследуемой структуры, последовательно изменяющегося в заданном диапазоне, с помощью классического прямого и структурного компактно-матричного численных методов. При этом нужно накапливать необходимую информацию об объеме, по которому проводилось вычисление, количеству обработанных частиц структуры, рассчитанному значению коэффициента и времени, затраченному на вычисления.

Для проведения данного эксперимента были разработаны программы «Азалия» и «Лилия», входящие в состав пакета прикладных программ «Оранжерея». На одном и том же компьютере (его параметры представлены в табл. 1) последовательно была проведена серия расчетов коэффициента компактности согласно описанной методике эксперимента. Для классического прямого численного метода в диапазоне объемов, ограниченных координационными слоями [1; 2000]; для структурного компактно-матричного метода - в диапазоне [1; 10000].

Таблица 1

Некоторые экспериментальные данные приведены в табл. 2 и 3, где представлены избранные результаты расчетов соответственно классическим численным и компактно-матричным методами.

Анализ полученных данных в целом подтверждает результаты сравнительного теоретического анализа рассматриваемых численных методов. В частности, время, затрачиваемое на выполнение расчета классическим прямым численным методом, действительно увеличивается с увеличением исследуемого объема структуры (рис. 2).

Данная зависимость носит степенной характер. Продолжительность вычисления растет медленнее, чем предполагалось, но достигает заметных значений

уже при исследовании объема, ограниченного тысячным координационным слоем.

Таблица 2

Таблица 3

Рис. 2.График зависимости времени расчета коэффициента компактности классическим прямым численным методом от исследуемого объема структуры.

Также анализ полученных экспериментальных данных показывает, что время вычислений коэффициента компактности структурным компактноматричным методом действительно почти не зависит от объема исследуемой структуры (рис. 3). Соответствующий показатель колеблется в диапазоне от 0 до 40 мс.

Рис. 3. Диаграмма зависимости времени расчета коэффициента компактности структурным компактно-матричным численным методом от исследуемого объема структуры.

Отличие графика зависимости времени вычислений, представленного на рис. 1, от графика зависимости количества обрабатываемых элементов, представленного на рис. 3, при сохранении ключевых тенденций можно объяснить ограниченной разрешающей способностью использовавшейся вычислительной техники, составляющей 1 мс.

Скачки на графиках зависимостей времени вычислений (рис. 2, 3) можно объяснить двумя факторами: 1) частицы исследуемой структуры неравномерно распределены в пространстве, поэтому увеличение размеров исследуемого фрагмента не всегда однозначно приводит к такому же увеличению количества затрагиваемых частиц; 2) специфика работы вычислительной техники, проявляющаяся в присутствии системных и фоновых процессов, деятельность которых может занимать ресурсы компьютера в некоторые моменты времени, а также необходимость выполнения операций, связанных с выделением и освобождением оперативной памяти, буферизацией и записью накопленных данных в постоянную память, что тоже оказывает влияние на оценку затраченного времени.

Для удобства сравнения данные о значении коэффициента компактности полученные, путем расчетов каноническим аналитическим способом по элементарной ячейке, классическим прямым численным и авторским структурным компактно-матричным численным методами, представлены в табл. 4.

Таблица 4