Выбор аппроксимирующего полинома для модели показателя эффективности СМИБ

Чтобы найти коэффициенты Ь₀,Ь₁,Ь₂,Ь₃...Ь_к достаточно реализовать факторный эксперимент типа 2^к[3]. Для определения всех коэффициентов уравнения необходимо реализовать план эксперимента, в котором каждый фактор варьируется не менее чем на трех уровнях. Планы экспериментов называются планами первого, второго и п-го порядка, порядок определяется порядком полинома.

Параметр оптимизации должен быть доступным для измерения параметром, который определяется количественно и выражается числом. Фактор есть независимая переменная величина, которая влияет на оптимизацию. Фактор должен быть: управляемым, непосредственно воздействующим на объект исследования, независимым и совместимым (имеется ввиду возможность комбинации его с факторами других уровней).

При планировании эксперимента возможно проводить как полный так и дробный факторный эксперимент. От выбранного подхода зависит и матрица плана, например, при эксперименте из двух факторов (иначе говоря, двухфакторном эксперименте) количество опытов будет равняться М_опытов = 2^к = 2² = 4.

Полный факторный эксперимент применим только в том случае, когда число факторов невелико. Такой подход объясним тем, что количество проведенных опытов равно 2^к. Таким образом, при числе факторов равному, например 5, число опытов будет равно №_опытов = 2^к = 2⁵ = 32. Т.к. эксперимент должен свести к минимуму влияние случайных параметров на функцию отклика, необходимо произвести несколько параллельных опытов при одних и тех же условиях В таком случае выбирается усредненное значение функции отклика в выбранной точке по формуле:

где Ј=1...N - номер опыта; i - номер параллельного опыта в строке; Yi - значение Y, соответствующее i-ому параллельному опыту в Ј -м номере опыта; n - номер опыта.

Таким образом, при проведении 10 параллельных опытов, общее количество проведенных опытов будет равно М_опытов = 2^*10 = 25*10 = 250, в следствии большого количества факторов становится необходимо сокращать количество опытов.

Существует два пути сокращения числа опытов:

• Первый путь заключается в проведении дробного факторного эксперимента. При таком подходе из всех случаев ПФЭ исключаются некоторые (на усмотрение исследователя) сочетания факторов и опыты в таком случае не производятся.

• Второй путь заключается в составлении композиционных планов, в которых за основу принимается двухуровневый ПФЭ и добавляются к нему те эксперименты, которые необходимы на других уровнях.

Чаще всего, на практике, чтобы аппроксимировать неизвестную функцию регрессии применяют линейное уравнение регрессии для построения аналитической модели[2]. Чаще всего, используя линейную или полиномиальную регрессию не позволяет в достаточной степени получить желаемую точность приближения. Тогда исследователь вынужден использовать другие виды зависимостей, такие как: степенную, гиперболическую и другие. Иногда применение таких зависимостей становится более удобным, т.к., благодаря преобразованию, становится возможно привести зависимости к линейному виду.

При классическом методе измерений, один фактор варьируется в заданном диапазоне, а остальные остаются неизменными (const). Такой метод обладает некоторыми недостатками, и наиболее существенный недостаток заключается в том, что при таком подходе становится невозможно в полной мере определить влияние взаимодействующих факторов. Проводя измерения в условиях, соответствующих некоторому значению вектора х, можно получить результаты измерений, в общем случае представляющие собой случайные величины, поэтому обычно говорят о функциональной зависимости среднего значения искомой характеристики от контролируемых факторов.

Для определения параметра bj следует выбирать такое в пространстве факторов некоторую совокупность точек, которые будут пригодны для выполнения измерений в процессе проверки. При выборе этих точек следует проводить единовременное варьирование несколькими факторами. В таком случае результат проверки будет более точным с учетом взаимодействия этих факторов. В таком случае, задача, связанная с получением лучшего понимания о влиянии выбранных факторов на функцию отклика показателя эффективности СМИБ, сводится к выбору оптимума,.т.е. нахождению наилучшего расположения точек в пространстве факторов.

Очевидно, что при различном подходе к выбору расположения точек значения оценок, могут отличаться друг от друга. Выбор наилучшего варианта модели измерений, приводящей к лучшим оценкам в смысле их близости к истинным значениям, можно основывать в классе линейных оценок на сравнении дисперсионных матриц или некоторых комбинаций из их элементов.

Список литературы

1. Медведков Д.И. Полный факторный эксперимент в исследовании работы блока управления проезда перекрестка беспилотным транспортным средством // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2018. Т. 18. N° 4. С. 669-676. ёЫ: 10.17586/2226-1494-201818-4-669-676

2. Кузнецов В.Л. Математическое моделирование. М.:МГТУГА, 2003. 78 с.

3. Гайдадин А.Н., Ефремова С.А. Применение полного факторного эксперимента при проведении исследований. Волгоград: ВолгГТУ, 2008. 16 с.

Размещено на Allbest.ru