Размещено на http://www.allbest.ru/

Линейные преобразования и их свойства

Зубкова М.Г.

Саранск 2018

Содержание

Введение

1. Линейные преобразования и их свойства

1.1 Линейные преобразования

1.2 Матрица линейного преобразования

1.3 Определитель матрицы линейного преобразования

1.4 Произведение линейных преобразований

1.5 Образ вектора при линейном преобразовании

1.6 Группа линейных преобразований и ее подгруппы

1.7 Основные свойства линейных преобразований

Заключение

Список используемых источников

Введение

«Человек утверждается на земле, постигая тайны явлений природы или делая определенные умозаключения».

Абай, слова назидания, Слово 7.Перевод С. Санбаева.

Мною была выбрана тема для курсовой работы «Канонический вид произвольных линейных преобразований», так как курс линейной алгебры читается на механико-математическом факультете университетов, что непосредственно связано не только с моей специальностью магистранта, но также и с моей работой преподавателем математики в педагогическом институте. И поэтому для меня эта тема является очень важной и актуальной.

Обычно мы изучаем различные классы линейных преобразований n - мерного пространства, имеющих n линейно независимых собственных векторов. Матрица базиса, состоящего из собственных векторов линейного преобразования, имеет особенно простой вид (диагональную форму).

Но число линейно независимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше, чем n. А такое преобразование не может быть приведено к диагональной форме. Моя же работа дает ответ на возникший вопрос: каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования? Курсовая работа подробно описывает линейные преобразования, а именно:

1. Линейные преобразования

2. Матрица линейного преобразования

3. Определитель матрицы линейного преобразования

4. Произведение линейных преобразований

5. Образ вектора при линейном преобразовании

6. Группа линейных преобразований и ее подгруппы

7. Основные свойства линейных преобразований

1 Линейные преобразования и их свойства

1.1 Линейные преобразования

До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве скалярные функции одного или нескольких векторных аргументов. В настоящей главе будут рассматриваться векторные функции одного векторного аргумента. Изучение таких функций оказывается важным для многих разделов геометрии, механики и физики. Как мы увидим далее, важнейшие из таких функций - линейные -связаны с тензорами валентности 2, которые уже рассматривались в предыдущей главе.

Говорят, что в линейном пространстве задана, векторная функция векторного аргумента этого пространства поставлен в соответствии некоторый вектор того же пространства. Векторная функция называется линейной, если она обладает следующими двумя свойствами:

,

где и - два любых вектора пространства и - любое действительное число.

Линейную вектор - функцию называют также линейным преобразованием пространства или линейным оператором в этом пространстве. В дальнейшем при обозначении линейной вектор - функции мы будем опускать скобки всюду, где это не может привести к недоразумениям, и записывать ее в виде

Геометрически первое из свойств, определяющих линейную вектор - функцию, означает, что диагональ параллелограмма, построенного на векторах xи y, при линейном преобразовании A переходит в диагональ параллелограмма, построенного на векторах (рис. 1а). Второе же свойство означает, что если длину вектора увеличить в несколько раз, то длина вектораувеличиться во столько же раз (рис. б). Отсюда следует, что при линейном преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные, а компланарные - в компланарные.

Рисунок 1.

1.2 Матрица линейного преобразования

Предположим, что в пространстве L₃ выбран некоторый базис . Разложение произвольного вектора x по этому базису имеет вид

Рассмотрим теперь в пространстве L₃линейное преобразование

Обозначим через ui координаты вектора u относительно базиса . Тогда

Мы хотим найти зависимость координат вектора от координат исходного вектора x.

Так как преобразование А линейное, то

Полученные формулы дают возможность определить координаты вектора и, связанного с данным вектором линейным преобразованием. Они показывают, что координаты вектора и выражаются через координаты вектора линейно и однородно.

Запишем коэффициенты формул, связывающих координаты векторов в виде матрицы

Эта матрица называется матрицей линейного преобразования А и обозначается буквой А

Таким образом, мы доказали, что если в пространстве задан базис, то всякому линейному преобразованию этого пространства соответствует определенная квадратная матрица третьего порядка.

Обратно, если дана квадратная матрица третьего порядка, то при заданном базисе ей будет соответствовать определенное линейное преобразование. В самом деле, если дана матрица, то с ее помощью можно построить векторную функцию, определяемую формулами (1). В силу линейности и однородности этих формул построенная вектор-функция будет линейной.

Итак, если в пространстве задан некоторый базис, то между линейными преобразованиями этого пространства и квадратными матрицами третьего порядка устанавливается взаимно однозначное соответствие.

1.3 Определитель матрицы линейного преобразования

Отнесем пространство L₃ортонормированному базису и рассмотрим в нем линейное преобразование. Базисные векторы переходят при этом преобразовании в векторы

Координаты векторов составляют столбцы матрицы линейного преобразования.

Рассмотрим единичный куб, построенный на базисах векторах. Ориентированный объем этого куба равен в зависимости от того, будет тройка векторов правой или левой. Если воспользоваться величиной, то можно записать, что.

При преобразовании куб, построенный на векторах перейдет в наклонный параллелепипед, построенный на векторах. Ориентированный объем этого параллелепипеда равен смешанному произведению векторов.

Определитель, содержащийся в этом выражении, отличается от определителя матрицы линейного преобразования только тем, что в нем строки заменены столбцами. Так как величина определителя при этом не меняется.

При этом векторы раскладываются по векторам таким же образом как векторы по векторам исходного базиса. Поэтому если обозначить через объем параллелепипеда, построенного на векторах, а через - объем параллелепипеда, построенного на векторах.

Таким образом, определитель матрицы линейного преобразования представляет собой коэффициент искажения объема при линейном преобразовании.

Если, то ориентированные объемы и имеют одинаковые знаки и, следовательно, преобразование сохраняет ориентацию векторов; если же, то преобразование меняет ориентацию векторов на противоположную.

И векторы будут линейно зависимы. Предположим, что они не коллинеарные, и обозначим через р плоскость, порожденную этими векторами. Тогда каждый вектор перейдет в вектор, лежащей в этой плоскости р. Следовательно, линейное преобразование переводит все векторы пространства в векторы, лежащие в плоскости р. Если же векторы коллинеарные, то преобразование переводит все векторы пространства в векторы прямой, на которой лежат векторы. Наконец, если, то преобразование переводит любой вектор пространства в нулевой вектор.

Если, то линейное преобразование называется вырожденным. Но, как мы только что видели, степень вырождения преобразования может быть различной. Чтобы определить ее, введем новое понятие -- понятие ранга матрицы.

1.4 Произведение линейных преобразований

Доказательство последнего утверждения было основано на том, что результат подстановки многочленов степени не выше 1 в многочлен степени не выше 1 оказывается таким же многочленом. Это же обстоятельство лежит в основе следующего утверждения.

Утверждение 1

Произведение линейных преобразований является линейным преобразованием. Произведение аффинных преобразований -- аффинное преобразование.

Доказательство:

Пусть заданы линейные преобразования ff и gg и выбрана система координат. Тогда координаты точки f(M)f(M) выражаются через координаты точки MM формулами

x?=a1x+b1y+c1,

y?=a2x+b2y+c2.(8)(8)x?=a1x+b1y+c1,

y?=a2x+b2y+c2.

а координаты точки g(f(M))g(f(M)) через координаты точки f(M)f(M) формулами

x??=d1x?+e1y?+f1, y??=d2x?+e2y?+f2.(9)

(9)x??=d1x?+e1y?+f1, y??=d2x?+e2y?+f2.

Подстановка равенств(9) в(8) выражает координаты g(f(M)) через координаты MM. В результате подстановки мы получаем многочлены степени не выше 1, что и доказывает первую часть предложения.

Для доказательства второй части достаточно вспомнить, что по согласно ранее доказанного утверждения произведение двух взаимно однозначных преобразований взаимно однозначно.

Утверждение 5.

Преобразование, обратное аффинному преобразованию, также является аффинным

Если преобразование ff записано уравнениями (3), то координатная запись его обратного преобразования получается решением уравнений(3) относительно xx и yy. Для того чтобы решить эти уравнения, умножим первое из них на b2b2, второе -- на b1b1 и вычтем одно уравнение из другого. Мы получим

(a1b2?a2b1)x=b2(x??c1)?b1(y??c2)(a1b2?a2b1)x=b2(x??c1)?b1(y??c2).

Из условия(4) следует, что xx -- линейный многочлен от x?x? и y?y?. Выражение для yy получается аналогично.

1.5 Образ вектора при линейном преобразовании

Рассмотрим вектор M1M2?>M1M2>. Если координаты точек M1M1 и M2M2 в системе координат O,e1,e2O,e1,e2 обозначить соответственно x1,y1x1,y1 и x2,y2x2,y2, то компоненты вектора будут равны x2?x1x2?x1 и y2?y1y2?y1. Пусть формулы(3) задают преобразование ff в выбранной системе координат. Тогда образы M?2M2? и M?1M1? точек M2M2 и M1M1 имеют абсциссы

x?2=a1x2+b1y2+c1,

x?1=a1x1+b1y1+c1.x2?=a1x2+b1y2+c1,

x1?=a1x1+b1y1+c1.

Следовательно, первая компонента вектора M?1M?2?>M1?M2?> равнаx ?2?x?1=a2(x2?x1)+b1(y2?y1). x2??x1?=a2(x2?x1)+b1(y2?y1).

Аналогично находим вторую компоненту этого вектораy?2?y?1=a2(x2?x1)+b2(y2?y1). y2??y1?=a2(x2?x1)+b2(y2?y1).

Обратим внимание на то, что компоненты M?1M?2?>?M1?M2?> выражаются только через компоненты M1M2?>??M1M2>, а не через координаты точек M1M1 и M2M2 по отдельности. Два равных вектора имеют одинаковые компоненты и, следовательно, при линейном преобразовании перейдут в векторы, компоненты которых также одинаковы. Итак, мы получаем ещё одно утверждение.

Утверждение 6

При линейном преобразовании равные векторы переходят в равные векторы. Компоненты б?1б1?, б?2б2? образа вектора выражаются через его компоненты б1б1, б2б2 формулами

б?1=a1б1+b1б2,

б?2=a2б1+b2б2.(10)

Если быть точным, говорить об образе вектора при преобразовании ff неправильно: преобразование отображает точки, а не векторы. Точнее было бы сказать, что ff порождает преобразование f~f~ множества векторов. Но ниже мы, тем не менее, будем придерживаться не совсем точной, но более удобной и общепринятой терминологии -- говорить, что преобразование ff переводит вектор aa в вектор a и обозначать последний через f(a)f(a).

Из формул (10) вытекает, что для линейного преобразования ff при любых векторах aa и bb и любом числе

ллf(a+b)=f(a)+f(b),f(лa)=лf(a).(11)

(11)f(a+b)=f(a)+f(b),f(лa)=лf(a).

Докажем, например, первое из этих равенств. Пусть г?1г1? и г?2г2? -- компоненты вектора f(a+b)f(a+b). Тогда

г?1=a1(б1+в1)+b1(б2+в2),

г?2=a2(б1+в1)+b2(б2+в2),

г1?=a1(б1+в1)+b1(б2+в2),

г2?=a2(б1+в1)+b2(б2+в2),

где б1,б2б1,б2 и в1,в2в1,в2 -- компоненты векторов aa и bb. Отсюда

г?1=(a1б1+b1б2)+(a1в1+b1в2)=б?1+в?1,

г?2=(a2б1+b2б2)+(a2в1+b2в2)=б?2+в?2.

Это -- координатная запись доказываемого равенства. Второе из равенств(11) доказывается аналогично.

Из равенств(11) следует, что при линейном преобразовании ff линейно зависимые векторы переходят в линейно зависимые. Действительно, как легко видеть, f(0)=0f(0)=0. Тогда любое соотношение вида лa+мb=0лa+мb=0 влечет за собой лf(a)+мf(b)=0лf(a)+мf(b)=0.

Если преобразование аффинное, то линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. В самом деле, в противном случае из равенства лf(a)+мf(b)=0лf(a)+мf(b)=0, л2+м2?0л2+м2?0, при обратном преобразовании мы получили бы лa+мb=0лa+мb=0.

Следующее утверждение устанавливает геометрический смысл коэффициентов в формулах, задающих линейное преобразование.

Утверждение 7.

Пусть преобразование ff записано в системе координат O,e1,e2O,e1,e2 формулами (3)(3). Тогда c1c1 и c2c2 -- координаты точки f(O)f(O), a a1a2a1a2 и b1,b2b1,b2 -- компоненты векторов f(e1)f(e1) и f(e2)f(e2) в системе координат O,e1,e2O,e1,e2.

Доказательство

Для доказательства подставим в формулы (3)(3) значения x=0x=0 и y=0y=0 координат точки OO и увидим, что координаты f(O)f(O) равны c1c1 и c2c2.

Подставим в формулы (10)(10) координаты вектора e1e1 б1=1б1=1, б2=0б2=0 и найдем a?1=a1a1?=a1, a?2=a2a2?=a2. Следовательно, f(e1)f(e1) имеет компоненты a1a1 и a2a2. Так же доказывается, что компоненты f(e2)f(e2) равны b1b1 и b2b2.

Утверждение 8.

Каковы бы ни были три точки LL, MM, NN, не лежащие на одной прямой, и три точки L?L?, M?M? и N?N?, существует единственное линейное преобразование ff такое, что L?=f(L)L?=f(L), M?=f(M)M?=f(M) и N?=f(N)N?=f(N). Это преобразование аффинное тогда и только тогда, когда точки L?L?, M?M? и N?N? также не лежат на одной прямой.

Доказательство

Векторы LM?>?LM> и LN?>?LN> не коллинеарны. Следовательно, LL, LM?>?LM>, LN?>?LN> -- декартова система координат. Пусть c1,c2c1,c2 -- координаты L?L?, а a1,a2a1,a2 и b1,b2b1,b2 -- компоненты векторов L?M??>???L?M?> и L?N??>??L?N?> в этой системе координат.

Формулы

x?=a1x+b1y+c1,

y?=a2x+b2y+c2x?=a1x+b1y+c1,

y?=a2x+b2y+c2

определяют линейное преобразование ff, которое, как легко видеть, обладает требуемым свойством. При этом согласно предложению 7, коэффициенты в формулах однозначно определены.

Условие (4)(4), равносильное аффинности преобразования, необходимо и достаточно для того, чтобы векторы L?M??>L?M?> и L?N??>L?N?> были не коллинеарны, то есть L?L?, M?M? и N?N? не лежали на одной прямой. Предложение доказано.

Заметим, что в том случае, когда преобразование ff аффинное, точка f(O)f(O) и векторы f(e1)f(e1) и f(e2)f(e2) могут быть использованы как система координат. Для этой системы координат имеет место ещё одно утверждение.

Утверждение 9.

При аффинном преобразовании ff образ M?M? точки MM в системе координат f(O)f(O), f(e1)f(e1), f(e2)f(e2) имеет те же координаты, что и точка MM в системе координат O,e1,e2O,e1,e2.

Доказательство

Равенство OM?>?=xe1+ye2OM>=xe1+ye2 означает, что xx, yy -- координаты MM в системе координат O,e1,e2O,e1,e2. Подействовав преобразованием ff на обе части этого равенства, мы получаем f(O)f(M)?>=xf(e1)+yf(e2)f(O)f(M)>=xf(e1)+yf(e2), которое означает, что xx и yy -- координаты M?M? в системе координат f(O)f(O), f(e1)f(e1), f(e2)f(e2).

1.6 Основные свойства линейных преобразований

Отметим основные свойства линейных преобразований. Каждое линейное преобразование (4) однозначно определено во всей плоскости z; предположим, что определитель отличен от нуля; тогда обратное к (4) преобразования также однозначно определено во всей плоскости. Таким образом, при не только каждому z соответствует одно значение, но и каждому - одно значение z, т. е. преобразование (4) осуществляет взаимно-однозначное отображение всей плоскости z на всю плоскость.

Рассмотрим пучок параллельных прямых с угловым коэффициентом т. е. прямых. Заменяя здесь х и у по формулам (6), мы видим, что этому пучку соответствует пучок также параллельных прямых = с угловым коэффициентом

Отсюда следует, что отображение (4) преобразует квадраты на плоскости z в параллелограммы на плоскости.

Пусть и - пара точек, соответствующих друг другу при отображении. Тогда это отображение можно представить в виде

Поставим вопрос: каким условиям должны удовлетворять коэффициенты преобразования (4) для того, чтобы оно переводило окружности снова в окружности? Из (9) следует, что для этого необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Следовательно, при условиях (14) к перечисленным выше преобразованиям добавляется еще переход от к, т. е. симметрия относительно действительной оси.

Из геометрического смысла преобразований (12) и (15) ясно, что они сохраняют подобие фигур, в частности, сохраняют углы между двумя прямыми, преобразуют квадраты на плоскости z в квадраты на плоскости и т. п. Линейные преобразования, обладающие этим свойством, называются ортогональными. Таким образом, условия (10) есть условия ортогональности преобразования (4). Далее ясно, что преобразование (12) сохраняет направление обхода замкнутых контуров (короче, сохраняет ориентацию), а (15) - меняет их на противоположные (меняет ориентацию). Таким образом, условия (11) выделяют ортогональные преобразования, сохраняющие ориентацию, а условия (14) - ортогональные преобразования, меняющие ее.

И в завершении урока вернёмся к двумерному случаю и матрицам «два на два». Казалось бы, с геометрической точки зрения эти матрицы задают линейные преобразования плоскости и разговор закончен. Но на самом деле это не так - у матриц есть и другой геометрический смысл, с которым можно ознакомиться на уроке Переход к новому базису. Сначала я хотел включить пару соответствующих примеров в эту статью, но чуть позже решил, что материал будет уместнее опубликовать в разделе аналитической геометрии.

Ну и конечно, не забываем, что рассматриваемый материал касается не только геометрических векторов плоскости и пространства, но и вообще любых векторов. линейный преобразование вектор геометрический

Спасибо за внимание, жду вас на следующем, не менее увлекательном уроке о собственных числах и собственных векторах линейного преобразования.

В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.

В общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину.

Чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем тянуть цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование А.

Определение. Векторы из пространства R называются относительно линейно независимыми над подпространством R 1, если никакая их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит R 1.

Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из R относительно линейно зависимы над любым пространством.

Определение. Базисом пространства R относительно подпространства R 1 называется такая система е1, …, е k линейно независимых векторов из R, которая после пополнения каким-нибудь базисом из R 1 образует базис во всем пространстве.

Такой базис легко построить. Для этого достаточно будет выбрать какой-нибудь базис в R1, дополнить его до базиса во всем пространстве и затем отбросить вектор исходного базиса из R1. Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.

Всякую систему относительно линейно независимых векторов над R1 можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства R1. Получится некоторая система векторов из R, которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве R, а затем отбросить базис подпространства.

Итак, пусть преобразование А в пространстве R имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности можно, предположить, что оно равно нулю.

Заключение

«Человек утверждается на земле, постигая тайны явлений природы или делая определенные умозаключения».

Абай, слова назидания, Слово 7.Перевод С. Санбаева.

Мною была выбрана тема для курсовой работы «Канонический вид произвольных линейных преобразований», так как курс линейной алгебры читается на механико-математическом факультете университетов, что непосредственно связано не только с моей специальностью магистранта, но также и с моей работой преподавателем математики в педагогическом институте. И поэтому для меня эта тема является очень важной и актуальной.

Обычно мы изучаем различные классы линейных преобразований n - мерного пространства, имеющих n линейно независимых собственных векторов. Матрица базиса, состоящего из собственных векторов линейного преобразования, имеет особенно простой вид (диагональную форму).

Но число линейно независимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше, чем n. А такое преобразование не может быть приведено к диагональной форме. Моя же работа дает ответ на возникший вопрос: каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования? Курсовая работа подробно описывает линейные преобразования, а именно:

8. Линейные преобразования

9. Матрица линейного преобразования

10. Определитель матрицы линейного преобразования

11. Произведение линейных преобразований

12. Образ вектора при линейном преобразовании

13. Группа линейных преобразований и ее подгруппы

14. Основные свойства линейных преобразований

Список использованных источников

1. Бочаров, М. И., Симонова И. В. Методика обучения информационной безопасности старшеклассников / Пространство и Время. 2013. - 244 с.

2. Гейн, А. Г. Информатика и ИКТ. 11 класс: Учеб. для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни / А. Г. Гейн, А. И. Сенокосов. М.: Просвещение, 2012.-23 с.

3. Гейн, А. Г. Информатика и информационные технологии. 9 класс: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Г. Гейн, А. И. Сенокосов. М.: Просвещение, 2010.- 75 с.

4. Ермоленко, В. А. Дидактические основы безопасности жизнедеятельности. М.: ИТИП РАО, 2010.-89 с.

5. Информатика и ИКТ. 11 класс. Базовый уровень / Под ред. проф. Н.В. Макаровой. СПб.: Питер, 2009.- 224 с.

6. Семакин, И. Г. Информатика и ИКТ. Базовый уровень: Учебник для 10-11 классов / И. Г. Семакин, Е. К. Хеннер. 4-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.- 63 с.

7. Семакин. И. Г. Информатика и ИКТ: Учебник для 9 класса / И. Г. Семакин, Л. А. Залогова, С. В. Русаков, Л. В. Шестакова. 2-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. -341 с.

8. Соловьева, Л. Ф. Информатика и ИКТ. Учебник для 8 класса. СПб.: БХВ-Петербург, 2011.-288 с.

9. Угринович. Н. Д. Информатика и ИКТ. Базовый уровень: Учебник для 10 класса. 4-е изд. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.-212 с.

10. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ. Базовый уровень: Учебник для 11 класса. 2-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.-187 с.

11. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: Учебник для 10 класса. 3-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. -387 с.

12. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: Учебник для 10 класса. 3-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.- 387 с.

13. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ: Учебник для 7 класса. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.-173 с.

14. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ: Учебник для 8 класса. 2-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.-178 с.

15. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ: Учебник для 9 класса. 2-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.-295 с.

16. Фиошин, М. Е. Информатика и ИКТ. 10-11 кл. Профильный уровень. В 2 ч. Ч. 1: 10 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / М. Е. Фиошин, А. А. Рессин, С. М. Юнусов. 2-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2009.-255 с.

17. Фиошин, М. Е. Информатика и ИКТ. 10-11 кл. Профильный уровень. В 2 ч. Ч. 2: 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / М. Е. Фиошин, А. А. Рессин, С. М. Юнусов. 2-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2009.-271 с.

Размещено на Allbest.ru