Системы исчисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

по информатике

Индивидуальное задание № 1

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Задание 1. Перевести десятичное число 1484,9758₁₀ в новые системы счисления с основаниями 2, 16, 8 с точностью 0,002. Проверить правильность полученных результатов, переведя их обратно в десятичную систему счисления. компьютер двухбайтовыйм двоичный код

Решение

Для перевода вещественного числа 1484,9758₁₀ в двоичную систему счисления сначала переведём целую часть с помощью деления на 2 и выписывания остатков с конца в начало:

1484 | 2_

0 742 | 2_

0 371 | 2_

1 185 | 2_

1 92 | 2_

0 46 | 2_

0 23 | 2_

1 11 | 2_

1 5 | 2_

1 2 | 2_

0 1 | 2_

1484₁₀ = 10111001100₂

Дробную часть данного числа переведём с помощью умножения на 2 только дробной части и последовательного выписывания полученных при умножении целых единиц. После каждого умножения целая часть (единица или ноль) отбрасывается, и следующее умножение применяется только к дробной части

цифры после ,	0,9758	*2
1	1,9516	*2
1	1,9032	*2
1	1,8064	*2
1	1,6128	*2
1	1,2256	*2
0	0,4512	*2
0	0,9024	*2
1	1,8048	*2
1	1,6096	*2

Таким образом: 0,9758₁₀ = 0,111110011₂

Окончательно: 1484,9758₁₀ = 10111001100,111110011₂

Первая единица после запятой в двоичной системе это - ноль целых пять десятых в десятичной системе:

0,1₂ = = 1*2^-1 = 0,5₁₀

Вторая единица после запятой в двоичной системе это - ноль целых двадцать пять сотых в десятичной системе:

0,01₂ = 1*2^-2 = 0,25₁₀

И т.д. : 0,001₂ = 0,125₁₀ , 0,0001₂ = 0,0625₁₀ , 0,00001₂ = 0,03125₁₀ ,

0,000001₂ = 0,015625₁₀ , 0,0000001₂ = 0,0078125₁₀ , 0,00000001₂ = 0,00390625₁₀ , 0,000000001₂ = 0,001953125₁₀ < 0,002₁₀ .

То есть, достаточно девяти двоичных цифр после запятой, чтобы обеспечить точность 0,002₁₀ , что и было сделано.

Каждая 8-ричная цифра изображается в 2-й системе счисления тремя разрядами:

0₈ = 000₂ 4₈ = 100₂

1₈ = 001₂ 5₈ = 101₂

2₈ = 010₂ 6₈ = 110₂

3₈ = 011₂ 7₈ = 111₂

Отсюда:

1484,9758₁₀ = 10111001100,111110011₂ = 010111001100,111110011₂ = 2714,763₈ так как:

010₂ = 2₈ , 111₂ = 7₈ , 001₂ = 1₈ , 100₂ = 4₈ , 110₂ = 6₈ , 011₂ = 3₈.

А каждая цифра шестнадцатеричной системы счисления изображается

четырьмя разрядами двоичного числа:

0₁₆ = 0000₂ 8₁₆ = 1000₂

1₁₆ = 0001₂ 9₁₆ = 1001₂

2₁₆ = 0010₂ А₁₆ = 1010₂

3₁₆ = 0011₂ В₁₆ = 1011₂

4₁₆ = 0100₂ С₁₆ = 1100₂

5₁₆ = 0101₂ D₁₆ = 1101₂

6₁₆ = 0110₂ E₁₆ = 1110₂

7₁₆ = 0111₂ F₁₆ = 1111₂

Отсюда:

1484,9758₁₀=10111001100,111110011₂ = 010111001100,111110011000₂ =5СС,F98₁₆

так как 0101₂ = 5₁₆ , 1100₂ = C₁₆ , 1111₂ = F₁₆ , 1000₂ = 8₁₆ , 1001₂ = 9₁₆.

(Нули, добавленные слева от числа не изменяют его. Также и нули добавленные справа от дробной части числа не изменяют его, например: 1432, 56 = 01432,560)

Проверим правильность полученных результатов:

10111001100,111110011₂ = 1*2¹⁰ + 0*2⁹ + 1*2⁸ + 1*2⁷ + 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2 + 1*2^-3 + 1*2^-4 + 1*2^-5 + 0*2^-6 + 0*2^-7 ++ 1*2^-8 + 1*2^-9 == 1024 + 256 + 128 + 64 + 8 + 4 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 + 0,03125 ++ 0,00390625 + 0,001953125 = 1484,974609375₁₀

Несовпадение объясняется тем, что десятичное число нельзя перевести точно в число двоичное, а только с какой-то определённой точностью (например 0,002).

2714,763₈ = 2*8³ + 7*8² + 1*8¹ + 4*8⁰ + 7*8^-1 + 6*8^-2 + 3*8^-3 =

= 2*512 + 7*64 + 1*8 + 4*1 + 7*0,125 + 6*0,015625 + 3*0,001953125 =

= 1024 + 448 + 8 + 4 + 0,875 + 0,09375 + 0,005859375 = 1484,974609375₁₀

Несовпадение объясняется тем, что десятичное число нельзя перевести точно в число восьмеричное, а только с какой-то заданной точностью.

5СС,F98₁₆ = 5*16² + 12*16¹ + 12*16⁰ + 15*16^-1 + 9*16^-2 + 8*16^-3 =

= 5*256 + 12*16 + 12*1 + 15*0,0625 + 9*0,00390625 + 8*0,000244140625 =

= 1280 + 192 + 12 + 0,9375 + 0,03515625 + 0,001953125 = 1484,974609375₁₀

Несовпадение объясняется тем, что десятичное число нельзя перевести точно в число шестнадцатеричное, а только с какой-то заданной точностью.

Задание 2. Используя двоичное представление, преобразовать число A49,2C44E₁₆ в двоичную систему счисления

Решение

Это преобразование можно сделать двумя способами.

Первый способ это - перевести данное число сначала в десятичную систему, а затем, с помощью деления на 2, - в двоичную. Но этот способ - нерационален.

Второй способ состоит в том, что каждая цифра шестнадцатеричного числа может быть представлена четырьмя разрядами двоичного числа, а именно:

0₁₆ = 0000₂ 8₁₆ = 1000₂

1₁₆ = 0001₂ 9₁₆ = 1001₂

2₁₆ = 0010₂ А₁₆ = 1010₂

3₁₆ = 0011₂ В₁₆ = 1011₂

4₁₆ = 0100₂ С₁₆ = 1100₂

5₁₆ = 0101₂ D₁₆ = 1101₂

6₁₆ = 0110₂ E₁₆ = 1110₂

7₁₆ = 0111₂ F₁₆ = 1111₂

Отсюда:

A49,2C44E₁₆ = 1010 0100 1001, 0010 1100 0100 0100 1110₂

Задание 3. Выполнить сложение десятичных чисел 5910₁₀ и 9620₁₀ и умножение десятичных чисел 243₁₀ и 149₁₀, используя их двоичное представление. Перевести полученные результаты обратно в десятичную систему счисления и проверить их правильность. Представить полученные результаты в двоично-десятичной системе счисления

Решение

Десятичное число можно перевести в двоичное не только с помощью деления на 2, но и расписав его по степеням двойки. Правда для этого нужно контролировать сумму этих степеней, чтобы она не превысила данного десятичного числа:

5910₁₀ = 4096 + 1024 + 512 + 256 + 16 + 4 + 2 =

= 1*2¹² + 0*2¹¹ +1*2¹⁰ +1*2⁹ +1*2⁸+0*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰ =

=1011100010110₂

9620₁₀ = 8192 + 1024 + 256 + 128 + 16 + 4 =

1*2¹³ +0*2¹²+ 0*2¹¹+1*2¹⁰+0*2⁹ +1*2⁸+1*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+0*2⁰ =

=10010110010100₂

1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0₂ = 5910₁₀

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0₂ = 9620₁₀

1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0₂ = 15530₁₀

11110010101010₂ = 1*2¹³ + 1*2¹² + 1*2¹¹ + 1*2¹⁰ + 0*2⁹ + 0*2⁸ + 1*2⁷ + 0*2⁶ + + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ =

= 8192 + 4096 + 2048 + 1024 + 128 + 32 + 8 + 2 = 15530₁₀

243₁₀ = 128 + 64 + 32 + 16 + 2 + 1 =

= 1*2⁷ + 1*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² +1*2¹ + 1*2⁰ =11110011₂

149₁₀ = 128 + 16 + 4 + 1 =

= 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² +0*2¹ + 1*2⁰ =10010101₂

Разместим сомножители и результаты их поразрядного умножения в таблице.

		1	1	1	1	0	0	1	1
		1	0	0	1	0	1	0	1
									1	1	1	1	0	0	1	1
							1	1	1	1	0	0	1	1
					1	1	1	1	0	0	1	1
		1	1	1	1	0	0	1	1
=	1	0	0	0	1	1	0	1	0	1	1	0	1	1	1	1

При каждом умножении на единицу множителя происходит сдвиг множимого на один разряд влево. Каждый ноль множителя игнорируется, но учитывается при последующем умножении, сдвигая влево все разряды множимого. Поразрядное сложение осуществляется по правилам:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 (перенос 1 в следующий разряд)

Таким образом, результат умножения:

1000110101101111₂ =

= 1*2¹⁵ +0*2¹⁴ + 0*2¹³+ 0*2¹²+ 1*2¹¹+1*2¹⁰+0*2⁹+ 1*2⁸+ 0*2⁷+ 1*2⁶+1 *2⁵ + 0*2⁴+ 1*2³+

+ 1*2²+ 1*2¹+ 1*2⁰ = 32768 + 2048 + 1024 + 256 + 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 36207₁₀

243₁₀ 149₁₀ = 36207₁₀

В двоично-десятичной системе каждая цифра десятичной системы представляется четырьмя разрядами двоичной системы следующим образом:

0₁₀ = 0000₂ 5₁₀ = 0100₂

1₁₀ = 0001₂ 6₁₀ = 0110₂

2₁₀ = 0010₂ 7₁₀ = 0111₂

3₁₀ = 0011₂ 8₁₀ = 1000₂

4₁₀ = 0100₂ 9₁₀ = 1001₂

Отсюда: 15530₁₀ = 0001 0101 0101 0011 0000_{2 -10}

36207₁₀ = 0011 0110 0010 0000 0111_{2 -10}

Задание 4. Записать четыре числа, предшествующих числу 717₈, в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления

Решение

Числа, предшествующие восьмеричному числу 717₈ следующие:

716₈, 715₈, 714₈, 713₈ .

Каждая цифра восьмеричного числа может быть представлена тремя разрядами двоичного числа, а именно:

0₈ = 000₂ 4₈ = 100₂

1₈ = 001₂ 5₈ = 101₂

2₈ = 010₂ 6₈ = 110₂

3₈ = 011₂ 7₈ = 111₂

Отсюда:

716₈ = 111 001 110₂ = 0001 1100 1110₂ = 1СЕ₁₆ ,

715₈ = 111 001 101₂ = 0001 1100 1101₂ = 1СD₁₆ ,

714₈ = 111 001 100₂ = 0001 1100 1100₂ = 1СC₁₆ ,

713₈ = 111 001 011₂ = 0001 1100 1011₂ = 1СB₁₆ .

(Нули, добавленные слева от числа не изменяют его. )

Индивидуальное задание № 2

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ

Задание 1. Используя одно- или двухбайтовое представление, записать отрицательное целое число -150₈ в прямом, обратном и дополнительном двоичном кодах.

Решение

Х = - 150₈ = - 001 101 000₂ = - 1101000₂

То есть данное число изображается восьмью разрядами, включая знак.

Один байт представляет собой 8 разрядов двоичного числа, поэтому для изображения данного числа вполне хватит 8 разрядов т.е. одного байта.

Прямым кодом отрицательного числа называется его изображение в естественной форме, у которого в знаковом разряде ставится единица:

Х = - 1101000₂ = 11101000_{2 пр}

( Прямой код положительного числа совпадает с его обычным изображением в естественной форме, так как знак кодируется нулём, например:

+10011 = 010011_пр)

Отрицательные числа в обратном коде инвертируются - ноль заменяется единицей, а единица - нулем, знак минус заменяется единицей.

Таким образом: X = - 1101000₂ = 10010111_{2 об}

(В обратном коде положительные числа имеют такое же изображение как в прямом и дополнительном кодах, например: +10011 = 010011_об)

Для изображения отрицательного числа в дополнительном коде добавим единицу в младший разряд его обратного кода.

Таким образом: 1 0 0 1 0 1 1 1_{2 об}

+ 1

1 0 0 1 1 0 0 0 _{2 д}

Итак, в дополнительном коде: X = - 150₈ = - 1101000₂ = 10011000_{2 д} .

(В дополнительном коде положительные числа имеют такое же изображение как в прямом и обратном кодах, например: +10011₂ = 010011_{2 д})

( Обратный и дополнительный коды используются для упрощения арифметических операций на сумматорах ЭВМ).

Задание 2. Выполнить перевод числа 10010010 10000110, представленного в прямом двухбайтовом двоичном коде, в десятичную систему счисления.

Решение

В двухбайтовом формате число имеет вид:

Байты числа	Старший байт	Младший байт
	Знак числа	Числовая часть старшего байта	Числовая часть младшего байта
Биты числа	1	0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	0	0	1	1	0
Номер разряда	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0

10010010 10000110_{2 пр} = - 0010010 10000110₂ = - 10010 10000110₂ =

= -(1*2¹²+ 0*2¹¹+0*2¹⁰+1*2⁹+ 0*2⁸+ 1*2⁷+ 0*2⁶+0*2⁵ + 0*2⁴+ 0*2³+1*2²+ 1*2¹+ 0*2⁰) = = - (4096 + 512 + 128 + 4 + 2) = - 4742₁₀

Ответ: 10010010 10000110_{2 пр} = - 4742₁₀

Задание 3. Выполнить сложение десятичных целых чисел -59 и 465, используя их двухбайтовое представление в дополнительном двоичном коде. Проверить правильность полученного результата.

Решение

Двухбайтовое представление предполагает 16 разрядов для числа, включая знак:

Х = - 59₁₀ = - (32 + 16 + 8 + 2 + 1) = - (1*2⁵ + 1*2⁴+ 1*2³+ 0*2²+ 1*2¹+ 1*2⁰ ) =

= - 0000000 00111011₂ = 1 1111111 11000100_{2 об} = 1 1111111 11000101_{2 д}

Y = 465₁₀ = 256 + 128 + 64 + 16 + 1 = 1*2⁸ + 1*2⁷ + 1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ +

+ 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 0 0000001 11010001₂ = 0 0000001 11010001_{2 об} =

= 0 0000001 11010001 _{2 д}

Здесь первая двоичная цифра означает знак числа: 0 - это плюс, 1 - это минус.

В дополнительном коде, операция вычитания заменяется операцией алгебраического сложения. При этом знаковый разряд и цифровая часть числа рассматриваются как единое целое, в результате чего с отрицательными числами электронная цифровая машина оперирует как с положительными.

Правильный знак суммы получается автоматически в процессе суммирования содержимого знаковых разрядов операндов и единицы переноса из числовой части, если она есть.

Байты числа	Старший байт	Младший байт
Знак и модуль числа	Знак числа	Числовая часть старшего байта	Числовая часть младшего байта
+	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	1	0	1
	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0	1
Дополнительный код суммы	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	1	0	1	1	0
Прямой код суммы	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	1	0	1	1	0

Итак, сумма : X + Y = 0 0000001 110010110 ₂ = +110010110 ₂ =

= 1*2⁸ + 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ =

= 256 + 128 + 0 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 406₁₀

Проверка

X + Y = - 59 + 465 = 406

Задание 4. Выполнить умножение десятичных целых чисел -79 и -5, используя их двухбайтовое представление в обратном двоичном коде. Проверить правильность полученного результата.

Решение

Двухбайтовое представление предполагает 16 разрядов для числа, включая знак:

Х = - 79₁₀ = - (64 + 8 + 4 + 2 + 1) = - (1*2⁶ + 0*2⁵+ 0*2⁴+ 1*2³+ 1*2²+ 1*2¹+ 1*2⁰ ) =

= - 0000000 01001111₂ = 1 1111111 10110000 _{2 об}

Y = - 5₁₀ = - (4 + 1) = - (1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) = - 0 0000000 00000101₂ =

= 1 1111111 11111010_{2 об} = 1111111111111010_{2 об}

	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	0
	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	0
+									0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
								1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	0	1
									0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
							1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	0	1	1	1
						1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
					и	т	д		1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1
									1	1	1	0	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1
									1	1	0	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
									1	0	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
									0	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
									1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0
									1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1
									0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1
									0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0
									0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0
									0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0	0
	Перенос
									1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0
									0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1
									0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	1	0
									1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1
									0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	1	0
Сумма	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	1	0
Коррекция																	1	0	0	1
Результат					0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	1	0	1	1

Пояснение.

В процессе умножения в частичных произведениях, каждый раз сдвигаемых на 1 разряд влево, все цифры вышедшие за пределы двух байтов слева переносятся в младшие разряды этих частичных произведений (показаны стрелками).

Суммирование начинается с крайнего правого столбца (он закрашен). Сумма цифр в этом столбце: 0+1+0+1+1+1+1+1+1+1+0+1+1+0+0+0 = 10₁₀ = 1010₂ .

Это значит, что в строку суммы сносится ноль (0) крайнего правого разряда числа 1010₂ . А оставшаяся часть (101) суммируется со следующим столбцом слева: 0+0+0+1+1+1+1+1+1+1+1+0+1+1+0+0 = 10₁₀ = 1010₂ ,

1 0 1 0₂

+ 1 0 1₂

1 1 1 1₂ .

И в сумму сносится крайняя правая единица, а оставшаяся часть (111) суммируется со следующим столбцом слева:

0+0+0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+0+1+1+0 = 11₁₀ = 1011₂

1 0 1 1₂

+ 1 1 1₂

1 0 0 1 0₂ .

И в сумму сносится крайний правый ноль, а оставшаяся часть (1001) суммируется со следующим столбцом слева. И т.д.

В конце суммирования образовавшийся перенос в виде числа 1001₂ , вышедший за пределы двух байтов суммируется с младшими разрядами суммы.

Итак, получилось положительное число (крайний левый - ноль), а положительное число в обратном коде совпадают с прямым кодом двоичного числа:

X * Y = 0 0000001 10001011_{2 об} = +110001011₂ =

= 1*2⁸ + 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ =

= 256 + 128 + 8 + 2 + 1 = 395

Проверка

X * Y = (- 79)*( -5) = +395

Индивидуальное задание № 3

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ И ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРА

Задание 1. Для функции алгебры логики

составить таблицу истинности. При вычислении использовать таблицы истинности для стандартных функций.

Решение

В данной функции используются элементарные булевские операции, таблицы истинности которых выглядят следующим образом:

1) - дизъюнкция (логическое сложение)

А	В	А В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

2) - конъюнкция (логическое умножение, ещё изображается знаком или или вообще опускается, как в алгебраических операциях)

А	В	А В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

3) А - инверсия (ещё изображается знаком )

А	А
0	1
1	0

4) - операция Пирса ( или стрелка Пирса - ни А ни В)

А	В	А В	_____ А В
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	0	0

5) - импликация ( А В А В )

А	В	А В	А В
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	1	1

6) - логическая равнозначность или эквивалентность

А В (А В)(В А) (А В )(В А ) АВ А В

А	В	А В	(А В) (В А)
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	1	1

Итак, составим таблицу истинности для заданной функции, где в первых трёх столбцах находятся переменные х₁, х₂, х₃, а в последующих - постепенное вычисление внутренних функций, начиная с внутренних скобок и заканчивая последней дизъюнкцией.

При этом учтём следующие формулы (см. выше): х₁ х₃ х₁ х₃ ,

х₃ х₂ (х₃ х₂) (х₃ х₂) х₃ х₂ х₃ х₂

Приоритет в выполнении логических операций:

В первую очередь выполняются операции в скобках.

Далее выполняются операции в следующем порядке: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, операция Пирса.

х1	х2	х3	х1 х3 х1 х3	х3 х2	х2(х1 х3) (х3 х2)	F(х1, х2, х3) = (х2(х1 х3) (х3 х2)) х1
0	0	0	0	0	1	1
0	0	1	1	1	0	0
0	1	0	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0	1
1	1	0	1	1	0	1
1	1	1	1	0	0	1

Это и есть ответ.

Задание 2. Доказать закон коммутативности эквиваленции

.

Решение

х₁ х₂ (х₁ х₂) (х₁ х₂) х₁ х₂ х₁х₂

х₂ х₁ х₂х₁ х₂ х₁

очевидно, что таблицы истинности также совпадают.

Задание 3. Используя логические законы, выразить функцию алгебры логики из задания 1 через операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, причем выполнить преобразование так, чтобы количество этих операций было наименьшим. Проверить правильность полученного результата.

Решение

F(х₁, х₂, х₃) = (х₂(х₁ х₃) (х₃ х₂)) х₁

(х₂( х₁ х₃ ) (х₃ х₂ х₃х₂)) х₁

(х₂( х₁х₃ х₂ х₁ х₃х₂ х₃х₃ х₂ х₃ х₃х₂)) х₁

(х₂( х₁х₃ х₂ х₁ х₃х₂ 0 х₃ х₂)) х₁

(х₂( х₁х₃ х₂ х₃х₂ (х₁ 1)) х₁

(х₂( х₁х₃ х₂ х₃х₂ )) х₁

(х₂ ( х₁х₃ х₂ х₃х₂ )) х₁

(отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний)

(х₂ ( х₁х₃ х₂ х₃х₂ )) х₁

(х₂ ( х₁х₃ х₂ х₃х₂ )) х₁

(отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний)

(х₂ (х₁ х₃ х₂ ) (х₃ х₂ )) х₁

(х₂х₁х₃ х₂х₁ х₂ х₂ х₃х₃ х₂ х₃ х₂ х₂х₂ х₃ х₂х₂ х₂ ) х₁

(х₂х₁х₃ 0 0 0 0 0 ) х₁ х₁ х₂ х₃ х₁

Итак: F(х₁, х₂, х₃) = (х₂(х₁ х₃) (х₃ х₂)) х₁ х₁х₂х₃ х₁

х1	х2	х3	F(х1, х2, х3) = (х2(х1 х3) (х3 х2)) х1	F(х1, х2, х3) = =х1х2х3 х1
0	0	0	1	1
0	0	1	0	0
0	1	0	0	0
0	1	1	0	0
1	0	0	1	1
1	0	1	1	1
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Из таблицы истинности видно, что функции в 4-м и 5-м столбце совпадают.

Задание 4. Реализовать функцию алгебры логики f (x₁, x₂, x₃) из задания 1 в виде схемы из функциональных элементов, причем выполнить реализацию, используя наименьшее число функциональных элементов.

Решение

Для того, чтобы выполнить реализацию функции алгебры логики f (x₁, x₂, x₃), используя наименьшее число функциональных элементов, нужно воспользоваться найденным выражением в задании 3 для этой функции:

F(х₁, х₂, х₃) =х₁х₂х₃ х₁

Выражение х₁х₂х₃ х₁ реализуется следующей логической схемой:

Размещено на http://www.allbest.ru/

В электронных схемах операция отрицания обозначается прямоугольником с единичкой внутри и кружочком на выходе схемы, операция «И» обозначается прямоугольником со знаком внутри, а операция «ИЛИ» обозначается прямоугольником с единичкой внутри:

Размещено на http://www.allbest.ru/

- схема "НЕ" (инверсия или отрицание),

Размещено на http://www.allbest.ru/

- схема "И" (конъюнкция, логическое умножение),

Размещено на http://www.allbest.ru/

- схема "ИЛИ" (дизъюнкция, логическое сложение),

Таким образом, схема реализующая функцию F(х₁, х₂, х₃) =х₁х₂х₃ х₁ выглядит следующим образом:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приложение 1

Для выполнения индивидуального задания 1 использовалась таблица соответствия десятичных двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел:

Десятичная система счисления	Двоичная система счисления	Восьмеричная система счисления	Шестнадцате-ричная система счисления
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Приложение 2

Для выполнения индивидуального задания 1 использовалась таблица степеней двойки:

Степень двойки	Десятичная система счисления	Двоичная система счисления
2-9	0,001953125	0,000000001
2-8	0,00390625	0,00000001
2-7	0,0078125	0,0000001
2-6	0,015625	0,000001
2-5	0,03125	0,00001
2-4	0,0625	0,0001
2-3	0,125	0,001
2-2	0,25	0,01
2-1	0,5	0,1
20	1	1
21	2	10
22	4	100
23	8	1000
24	16	10000
25	32	100000
26	64	1000000
27	128	10000000
28	256	100000000
29	512	1000000000
210	1024	10000000000
211	2048	100000000000
212	4096	1000000000000

Размещено на Allbest.ru