Работу алгоритма можно разделить на четыре этапа:

- применение мажоритарного метода отдельно для каждого эксперта;

- проверка мнение экспертов, рассчитав коэффициент согласования Кендалла;

- проверка согласованности путем расчета коэффициентов корреляции и вариации;

- применение метода большинства ко всем экспертам и выносить решение или запрашивать новые оценки.

На первом этапе метод большинства применяется к оценкам каждого эксперта в отдельности с учетом всех альтернатив, всех признаков и во всех определенных проблемных ситуациях. В этом случае отличие от классического мажоритарного метода заключается в построении обобщенной матрицы, в которой коэффициент компетенции эксперта будет принят за 1, так как D = 1, а коэффициенты компетентности экспертов , значит Обобщенная матрица B представима в виде следующей формулы:

Затем строится медианная матрица и из нее определяются ранжирования для каждой из альтернатив. Метод выполняется столько раз, сколько специалистов принимают участие в принятии решения. Результатом этого шага будет набор ранжирований экспертов для каждой альтернативы.

Обозначим каждый элемент как (d = 1…D). Отметим, что на данном этапе признаки и ситуации были обобщены в единую оценку каждого эксперта по каждой альтернативе.

На втором этапе коэффициент конкордации Кендалла рассчитывается с использованием матрицы соответствия экспертов и оценок объектов, которые были получены на первом шаге. Коэффициент , описанный в главе 2.2, зависел от l-признака и j-ситуации. По причине отсутствия в измерениях матрицы ситуаций и признаков, будет получен один коэффициент W, в отличие от использования классической формулы расчета, где результатом является матрица L J.

Для расчета коэффициента конкордации Кендалла сначала производится расчет суммы показателей связных рангов по всем экспертам и количества экспертов со связными рангами p. Алгоритм циклично проходит по ранжированиям каждого из экспертов и производит поиск связных рангов (рангов нескольких объектов с одинаковой величиной), если такая группа находится, то она добавляется к переменной Т. Также дополнительно считаются эксперты со связными рангами: если у эксперта присутствует хотя бы один связный ранг, то этот эксперт засчитывается в переменной p.

На третьем шаге рассчитываются коэффициенты ранговой корреляции Кендалла, ранговой корреляции Спирмена и парной ранговой корреляции по формулам связных рангов. Алгоритм попарно сравнивает ранжирования альтернатив экспертами, которые были получены в результате 1-го шага, и рассчитывает данные коэффициенты. Затем попарные значения ранговой корреляции сортируются и выводятся в интерфейсе приложения. При этом производится поиск минимальных значений корреляции ранжирований экспертов. Таким образом можно определить пары экспертов, оценки которых различаются между собой, т.е. они наименее согласованы между собой, сильнее других.

Также на данном шаге рассчитываются коэффициенты вариации рангов и коэффициенты вариации Беккера для связных рангов. Алгоритм просматривает все ранги, выставленные данной альтернативе и выводит коэффициент вариации, значение которого свидетельствует о характере разброса рангов для данной альтернативы. При этом производится поиск максимальных значений вариации. С помощью данных коэффициентов можно определить альтернативы, у которых выставленные экспертами ранги наиболее несогласованные.

На четвертом шаге проверяется соответствие коэффициента конкордации Кендалла W и требуемого минимального значения согласованности . В зависимости от их соотношения рассматриваются два варианта:

· При реализуется классический мажоритарный метод по оценкам всех экспертов по всем признакам для всех альтернатив в разрезе всех проблемных ситуаций. Результатом является ранжирование экспертных рейтингов, имеющих необходимое значение согласованности.

· При системой производится рассылка писем экспертам об рассогласованности мнений. В письмах предлагается выставить новые оценки. Также им высылается информация о том, какие именно эксперты наименее согласованы между собой в своих оценках и ранжирования каких альтернатив имеют наибольшую вариативность. Благодаря рассчитанным значениям коэффициентов корреляции и вариации можно определить именно ту часть оценок, в которой была достигнута наименьшая согласованность. После изменения оценок экспертами алгоритм начинается с шага 1. Если требуемое количество попыток достижения согласованности превышено, алгоритм завершится без положительного результата.

Реализация алгоритма модифицированного метода

Для практического использования алгоритма разработано программное обеспечение на языке C# для последующего внедрения в систему поддержки решений EDSS. Рассмотрим все этапы алгоритма с точки зрения программной реализации, описывая основные части алгоритма.

Полный код алгоритма в репозитории на сайте Bitbucket: https://bitbucket.org/nikimakarov/kendallplus/src/master/.

Первоначально формируется переменная data, которая является экземпляром класса MethodsData (описание полей в Приложении 1).

На первом шаге исполнения алгоритма создается экземпляр класса PURr и вызывается метод processOneExpert(int i) в цикле отдельно для каждого из экспертов:

List<Dictionary<Int32, Int32>> expertsAlternatives = new List<Dictionary<Int32, Int32>>();

PURr PURrMethod = new PURr(data);

for (int i = 0; i < data.getExpertsCount(); i++) {

expertsAlternatives.Add(PURrMethod.processOneExpert(i));
}

int[,] scores = getPURrResults(expertsAlternatives, data);

В данном методе производится инициализация переменных result - результирующая таблица ранжирований экспертов и generalPairCompareMatrix - обобщенная матрица. Сначала выполняется метод formGeneralizedMatrix(i) для данного эксперта с номером i. Коэффициент компетентности эксперта ke принимается равным 1. Цикл проходит по каждой ситуации, признаку и попарно по альтернативам и записывает значения в generalPairCompareMatrix. После того, как обобщенная матрица заполнена, вызывается функция buildMedianMatrix(), в которой каждое значение двухмерной матрицы заменяется на булевское (1 или 0), таким образом строится медианная матрица. Также в функции подсчитывается значение sumAlternativesScore - суммы всех значений медианной матрицы. Затем вызывается функция defineFactorsOfAlternatives(), в которой по каждой строке двухмерной матрицы подсчитывается сумма значений, а затем делится на sumAlternativesScore. Полученное частное записывается в словарь result в качестве значения, где ключом является альтернатива.

Финальная обработка результатов производится в методе getResult(), где словарь сортируется по значениям, а затем, в спомогательном методе getRanks(Dictionary<Int32, Double> result) относительно значений выставляются ранги для каждой из альтернатив. Результатом первого шага являются ранжирования альтернатив независимо по каждому эксперту. В методе getPURrResults() словарь Dictionary<Int32, Double> конвертируется в двумерный массив int[,].

На втором шаге создается экземпляр класса KendallAlternativeAndExpert, в который передаются входные данные data, ранжирования альтернатив по каждому эксперту в виде двумерного массива scores и введенный минимальный лимит для коэффициента конкордации limit:

KendallAlternativeAndExpert KendallMethod = new KendallAlternativeAndExpert (data, scores, limit);

KendallMethod.process();

concordance = KendallMethod.getConcordance();

consistency = KendallMethod.getConsistencyStatus();

Затем вызывается метод process(), который использует метод для подсчета коэффициента конкордации makeConcordanceMatrix() (см. Приложение 3). Метод makeConcordanceMatrix() в свою очередь вызывает метод getConnectedRanksIndicator() (см. Приложение 2), который рассчитывает индикаторы связных рангов (по формуле 8) connectedRanksIndicators и количество экспертов со связными рангами expertsWithConnectedRanks.

Имея значения данных переменных, рассчитывается коэффициент конкордации в двух вариантах: стандартном (формула 13) concordance и с учетом числа экспертов со связными рангами concordance_2 (формула 14). Результатом данного шага является посчитанное значение коэффициента конкордации concordance и статус согласованности относительно лимита consistency.

На третьем шаге рассчитываются коэффициенты корреляции и вариации (см. Приложение 3). Для хранения значений коэффициентов корреляции создан класс ExpertsRankCoefficients, имеющий поля expert1, expert2 - пары экспертов, между которыми проводится сравнение и value - значение коэффициента. Расчет коэффициента корреляции Кендалла производится в функции getRankKendallCorrelation(), который также задействует функцию getConnectedRanksCorrelationIndicators(), результатом которой является количество связных рангов по каждому эксперту:

foreach (int val in expertScores.Distinct())

{

int count = expertScores.Count(x => x == val);

if (count > 1)

{

connectedRanksExpertIndicator += (count * count * count) - count;

hasConnectedRanks = true;

}

}

connectedRanksIndicators[e] = connectedRanksExpertIndicator;

Подобным образом работает функция расчета коэффициентов корреляции Спирмена getRankSpearmanCorrelation() - она также требует в формуле количество связных рангов по каждому эксперту. Функция расчета коэффициентов парной корреляции getRankPairCorrelation(), напротив, требует подсчета показателя связных рангов по формуле, расчет которой реализован в функции getConnectedRanksIndicator():

foreach (int val in expertScores.Distinct()){

int count = expertScores.Count(x => x == val);

if (count > 1)

{

connectedRanksExpertIndicator += (count * count) - count;

hasConnectedRanks = true;

}

}

connectedRanksIndicators[e] = 0.5 * connectedRanksExpertIndicator;

Для хранения значений коэффициентов вариации создан класс AlternativesRankCoefficients, имеющий поля alternative, alternativeName - номер и название альтернативы и value - значение коэффициента. Коэффициенты вариации рангов рассчитываются в функции getRankVariation(), а коэффициенты вариации рангов (Беккера) рассчитываются в функции getBeckerVariation() (см. Приложение 3).

После подсчета всех значений для коэффициентов корреляции рассчитывается минимальное значение и выводятся все пары с ним - это те пары экспертов, где согласованность в ранжированиях наименьшая:

double min = arr.Min(x => x.value);

ExpertsRankCoefficients[] arrMin = arr.Where(x => x.value == min).ToArray();

Аналогично подсчитываются максимальные значения для коэффициентов вариации и выделяются альтернативы с наименьшей согласованностью в рангах, присвоенных ей экспертами:

double max = arr.Max(x => x.value);

AlternativesRankCoefficients[] arrMin = arr.Where(x => x.value == max).ToArray();

На четвертом шаге проверяется согласованность по коэффициенту Кендалла. Если consistency = false, то экспертам рассылаются письма, включающую информацию о несогласованных парах экспертов и альтернативах, которые были определены коэффициентами корреляции и вариации и алгоритм переходит к шагу 1. Если consistency = true, то необходимая согласованность достигнута. Вызывается метод processAll(), который аналогичен шагу 1, за исключением того, что в нем входными данными являются ранжировки альтернатив всем экспертами и в функции построения обобщенной матрицы учитываются веса экспертов в переменной ke. По итогам данного шага выводится согласованное экспертами на заданном уровне ранжирование альтернатив.



3. Применение модифицированного метода принятия решения в задаче кредитования

3.1 Модель принятия решения

В рамках данной работы был разработан метод принятия решения на основе принципа большинства и с учетом коэффициентов согласованности экспертов. Далее будет описана модель принятия решения в задаче кредитования.

Данная модель включает в себя следующие элементы [24, 25]:

- постановка задачи, которая должна быть решена;

- альтернативы для решения проблемы (содержит список заемщиков, из которых выбирается наиболее эффективный вариант для предоставления кредитов);

- признаки (критерии) альтернатив для их сравнения;

- проблемные ситуации, в которые может попасть заемщик и будет ли он гипотетически платежеспособен при их появлении.

Постановка задачи

В настоящее время в мировой банковской практике не существует единои? системы отбора наиболее кредитоспособных заемщиков, поэтому в каждом банке разрабатывается своя система c учетом личного опыта банковского учреждения и опыта конкурентов. При этом существуют проверенные рейтинговые методики оценки заемщика, такие как CAMPARI, PARSER, 5C's, которые используются международными банками. Для решения задачи оценки кредитоспособности заемщиков предлагается использовать систему поддержки принятия решений на основе рейтинговой методики 5C's с привлечением финансовых экспертов и проверки их согласованности на этапе оценивания. Остальные методики могут быть использованы в данном методе по аналогии с представленным далле способом.

Альтернативы

Для решения задачи выбора заемщика был составлен список альтернатив, из которых производится выбор заемщиков согласно выбранным методикам (таблица 1). В качестве потенциальных заемщиков предлагается рассмотреть россиийские авиакомпании, выполняющие как внутренние, так и международные перевозки.

Таблица 1

Список альтернатив (вариантов решения)

№	Наименование альтернативы
1	ПАО «Авиакомпания ЮТэйр» (Utair, UTA)
2	ПАО «Авиакомпания Сибирь» (S7 Airlines, SBI)
3	ОАО «Авиакомпания Уральские авиалинии» (Ural Airlines, SVR)
4	АО «Авиационная Компания РусЛайн» (РусЛайн, RLU)
5	ПАО «Аэрофлот -- российские авиалинии» (Аэрофлот, AFL)

Признаки (критерии) сравнения

Для оценки заемщиков необходимо выделить критерии сравнения альтернатив. В решении задачи будут использованы факторы из рейтинговых методик 5C's. Критерии данных моделей подробно описаны в главе 1.2. Далее приведено краткое описание использующихся признаков для каждого из методов (таблица 2).

Таблица 2

Признаки (критерии) сравнения альтернатив для методики 5С's

№	Наименование признака	Описание признака
1	Character	Репутация, характеристика (личные качества) заемщика
2	Сapacity	Платежеспособность по кредиту
3	Capital	Денежные средства (капитал), которым располагает заемщик
4	Collateral	Обеспечение прав и обязательств заемщика
5	Conditions	Положение клиента в отрасли, конкурентоспособность

В таблицах 3 и 4 приведены примеры признаков для сравнения альтернатив в методиках CAMPARI и PARSER.

Таблица 3

Признаки (критерии) сравнения альтернатив для методики CAMPARI

№	Наименование признака	Описание признака
1	Character	Репутация, характеристика (личные качества) заемщика
2	Ability	Cпособность возвратить кредит (оценка бизнеса заемщика)
3	Marge	Маржа, доходность
4	Purpose	Цель кредита
5	Amount	Размер кредита
6	Repayment	Условия погашения кредита
7	Insurance	Обеспечение, страхование риска непогашения кредита

Таблица 4

Признаки (критерии) сравнения альтернатив для методики PARSER

№	Наименование признака	Описание признака
1	Person	Информация о персоне потенциального заемщика, его репутации
2	Amount	Обоснование суммы испрашиваемого кредита
3	Repayment	Возможность (условия) погашения кредита
4	Security	Оценка обеспечения кредита
5	Expediency	Целесообразность кредита
6	Remuneration	Вознаграждение банка

Проблемные ситуации

В контексте выбора заемщика влияние внешних факторов среды на его кредитоспособность может оказаться значительным. Для этого необходимо оценить положение заемщиков при гипотетических событиях, чтобы выбор был максимально эффективным и устойчивым к нестабильности.



Таблица 5

Факторы проблемных ситуаций

№	Название фактора	Краткое описание фактора
1	Усиление санкций против РФ (или нет)	Политическая изоляция России от других государств в контексте финансового взаимодействия
2	Изменение законодательства (или нет)	Появление новых нормативных актов, которые отрицательно повлияют на развитие отрасли компании и ее конкурентоспособность, что приведет к потере клиентов
3	Пандемия (или нет)	Спад мировой экономики вследствие мировой пандемии, переход к удаленной работе, сокращения работников

Таблица 6

Состав возможных проблемных ситуаций

№	Условия
	Усиление санкций против РФ (или нет)	Изменение законодательства (или нет)	Пандемия (или нет)
1	Нет	Нет	Нет
2	Нет	Нет	Да
3	Нет	Да	Нет
4	Нет	Да	Да
5	Да	Нет	Нет
6	Да	Нет	Да
7	Да	Да	Нет
8	Да	Да	Да

Факторы, способные повлиять на итоговый выбор заемщиков, представлены в таблице 5. Полный набор комбинаций возможных факторов, из которых возникают проблемные ситуации, представлен в таблице 6. Посчитаем, что некоторые комбинации маловероятны: например, во время пандемии страны больше сосредоточены на решении эпидемиологической ситуации в стране, чем на политические санкциях. Таким образом, ситуация 6 и 8 рассматривать не будем. Наиболее вероятные комбинации отобраны в таблице 7.

Таблица 7

Ситуации, отобранные для задачи принятия решения

№ в табл.6	Наименование ситуации	Описание ситуации
1	Ситуация 1: «Классическая ситуация»	Санкции против РФ не усиливаются
		Законодательство не меняется
		Стабильные торговые отношения между странами, мировая экономика не испытывает проблем в развитии
2	Ситуация 2: «Мировая пандемия»	Санкции против РФ не усиливаются
		Законодательство не меняется
		Наблюдается стагнация и спад экономики в большинстве отраслей
3	Ситуация 3: «Изменение законодательства»	Санкции против РФ не усиливаются
		Появляются законы, ограничивающие конкурентоспособность компании
		Стабильные торговые отношения между странами, мировая экономика не испытывает проблем в развитии
4	Ситуация 4: «Изменение законодательства во время пандемии»	Санкции против РФ не усиливаются
		Появляются законы, ограничивающие работу компании
		Наблюдается стагнация и спад экономики в большинстве отраслей
5	Ситуация 5: «Усиление санкций против РФ»	Санкции против РФ усиливаются
		Законодательство не меняется
		Стабильные торговые отношения между странами, мировая экономика не испытывает проблем в развитии
7	Ситуация 6: «Одновременное усиление санкций против РФ и принятие ограничивающего законодательства»	Санкции против РФ усиливаются
		Появляются законы, ограничивающие конкурентоспособность компании
		Стабильные торговые отношения между странами, мировая экономика не испытывает проблем в развитии



3.2 Применение разработанной модели в задаче принятия решения

Для решения поставленной задачи будет использована разработанная в предыдущем разделе модель принятия решения.

Привлеченные эксперты

В качестве экспертов для оценки заемщиков были выбраны специалисты, которые представлены в таблице 8. Также в таблице указаны коэффициенты компетентности экспертов: чем больше коэффициент, тем болеее значимой является оценка эксперта в силу его компетентности.

Таблица 8

Состав экспертов для решения задачи

№	ФИО	Краткая характеристика	Коэффициент компетентности эксперта
1	Павлов А.Г.	Руководитель кредитного отдела одного из ведущих российских банков.	0.33
2	Маслов Е.Ю.	Финансовый аналитик, сотрудник одного из банков в топ 5.	0.27
3	Карелин И.П.	Ведущий кредитный специалист юридических лиц, сотрудник одного из крупнейших российских банков.	0.4

Коэффициенты значимости признаков и ситуаций

В таблице 9 представлены коэффициенты значимости признаков отдельно для каждой из методик. В методике 5С's признаки перечислены по убыванию значимости: самым значимым является характер (Character), а наименее значимым - условия (Conditions).

Таблица 9

Коэффициенты значимости признаков методики 5С's

№	Наименование признака	Коэффициент значимости признака
1	Character	0.3
2	Сapacity	0.25
3	Capital	0.2
4	Collateral	0.15
5	Conditions	0.1

Далее были рассчитаны вероятности возникновения проблемных ситуаций (таблица 10).

Таблица 10

Вероятности возникновения проблемных ситуаций

Наименование ситуации	Вероятность возникновения
Ситуация 1: «Классическая ситуация»	0,4
Ситуация 2: «Мировая пандемия»	0,1
Ситуация 3: «Изменение законодательства»	0,22
Ситуация 4: «Изменение законодательства во время пандемии»	0,05
Ситуация 5: «Усиление санкций против РФ»	0,15
Ситуация 6: «Одновременное усиление санкций против РФ и принятие ограничивающего законодательства»	0,08

Подготовка к решению задачи и ввод данных

В решении данной задачи используется информационная система «Экспертная система поддержки принятия решений» (далее по тексту - EDSS). Далее в настоящей системе будет создана задача и введены раннее указанные входные данные модели, а также оценки экспертов. Задача, созданная в системе для выбора альтернатив по методу большинства (PURr) и признакам из методики 5C's, отображена на рисунке 1. Перечень альтернатив представлен на рисунке 2, а перечень признаков и ситуаций - на рисунках 3 и 4 соответственно.



Рисунок 1 Созданная задача в системе EDSS (PURr, 5C's)

Рисунок 2 Перечень альтернатив по выбору заемщиков

Рисунок 3 Перечень признаков методики 5C's



Рисунок 4 Перечень возможных проблемных ситуаций

Далее для решения задачи были введены ФИО экспертов (рисунок 5) и их компетентности (рисунок 6) из таблицы 8:

Рисунок 5 Перечень экспертов

Рисунок 6 Коэффициенты компетентности экспертов

Также во входных данных задачи в системе введены коэффициенты относительной значимости признаков из таблицы 9 (рисунок 7) и вероятности возникновения ситуаций из таблицы 12 (рисунок 8).

Рисунок 7 Весовые коэффициенты признаков

Рисунок 8 Вероятности появления проблемных ситуаций

После ввода входных данных, эксперты проставили оценки для каждой альтернативы во всех проблемных ситуациях и по каждому признаку. В качестве примера, оценки эксперта Павлова А.Г в классической проблемной ситуации изображены на рисунке 9. Все остальные оценки описаны в Приложении 4.



Рисунок 9 Экспертные оценки Павлова А.Г. в классической проблемной ситуации

Решение задачи методом PURr

Сначала используем стандартный метод PURr для решения задачи. По итогам оценки альтернатив экспертами получено следующее ранжирование в порядке предпочтения, где наиболее предпочтительная альтернатива в начале списка (рисунок 10):

1. Альтернатива X2 (S7 Airlines)

2. Альтернатива X3 (Ural Airlines) и Альтернатива X5 (Аэрофлот)

3. Альтернатива X1 (Utair) и Альтернатива X4 (РусЛайн)

Математическая запись результатов решения задачи: X2 > X3 = X5 > X1 = X4.



Рисунок 10 Решение задачи методом PURr

Значения коэффициентов решений представлены в таблице 11.

Таблица 11

Значения функции полезности

№	Альтернатива	Значение
X2	S7 Airlines	0,294
X3	Ural Airlines	0,235
X5	Аэрофлот	0,235
X1	Utair	0,118
X4	РусЛайн	0,118

Решение задачи методом PURrCONSISTENT

Далее будет решена задача с помощью разработанного алгоритма, который проверяет согласованности ранжирований экспертов. Помимо входных данных, аналогичных стандартному методу большинства, было введено минимально допустимое значение коэффициента конкордации экспертов равное 0.75 (рисунок 11).



Рисунок 11 Коэффициент конкордации Кендалла

При решении задачи с исходными оценками экспертов система не выводит ранжирование альтернатив, а показывает сообщение о том, что необходимая согласованность ранжирований экспертов не была достигнута: коэффициент конкордации Кендалла равен 0.7, а минимальное значение - 0.75 (рисунок 12).

Индикатор связных рангов, равный 30, свидетельствует о значительном количестве связных рангов в ранжированиях экспертов. На данном этапе в приложении были выполнены первые три этапа алгоритма. Расчет коэффициента конкордации является вторым шагом алгоритма после первого шага, в котором определялись ранжирования альтернатив каждого эксперта в отдельности. Также был выполнен третий этап алгоритма и отображены коэффициенты корреляции и вариации. Проанализировав коэффициенты корреляции можно заключить, что оценки эксперта 3 наименее согласованы с оценками остальных экспертов (рисунок 13).



Рисунок 12 Оповещение об отсутствии согласованности

Коэффициент корреляции Кендалла, который характеризует относительную частоту, показал, что ранжирования 1 и 2 экспертов практически совпадают (0.7), ранжирования 2 и 3 практически не коррелируют (0.11), а в оценках 1 и 3 эксперта есть противоположные ранжирования альтернатив (-0.25). Коэффициенты корреляции Спирмена и парной корреляции, характеризующие вариационный размах, также выделили схожее отношение третьего эксперта с остальными двумя - его оценки наиболее расходятся с остальными экспертами. Оценки 1 и 2 эксперта сильно коррелируют между собой (корреляция Спирмена: 0.76, парная корреляция: 0.78).



Рисунок 13 Значения коэффициентов корреляции

Значения ранговой вариации показали схожие результаты для всех альтернатив (рисунок 14). При этом максимальное значение, равное 1, у альтернативы X1 (Utair). Это означает, что все значения рангов альтернативы различны.

Также важно учитывать и расстояния между поставленными экспертами рангами для каждой альтернативы. Более точную оценку вариации в этом плане дает коэффициент вариации Беккера. По результатам его расчетов можно сделать вывод о том, что ранги альтернативы X5 “Аэрофлот имеют значительное расхождение, так как для данной альтернативы коэффициент максимален и равен 1.33.



Рисунок 14 Значения коэффициентов вариации

Таким образом, третьему эксперту было предложено произвести переоценку альтернативы “Аэрофлот” относительно других объектов. Согласно данным об ранжировках отдельно по каждому эксперту, полученным после первого шага алгоритма, данная гипотеза подтверждается, так как ранг эксперта 3 компании “Аэрофлот” равен 3, а у эксперта 1 и 2 - равен 1 (рисунок 15). Предположения, сделанные исходя из значений коэффициентов корреляции, также подтверждаются, так как ранжирования экспертов 1 и 2 различаются лишь в позиции альтернативы X3 (Ural Airlines), а альтернативы X2 (S7 Airlines) и X5 (Аэрофлот) являются явными лидерами по результатам их оценки, так как имеют наибольшее значение коэффициента решения.



Рисунок 15 Промежуточные решения задачи отдельными экспертами



Рисунок 16 Переоценка альтернатив экспертом 3

Повторная оценка эксперта 3 (Приложение 5), после перепроверки документов и данных по компании, показала следующий результат:

1. Альтернатива X5 (Аэрофлот)

2. Альтернатива X2 (S7 Airlines) и Альтернатива X4 (РусЛайн)

3. Альтернатива X1 (Utair) и Альтернатива X3 (Ural Airlines)

Математическая запись результатов решения задачи: X5 > X2 = X4 > X1 = X3.

Таким образом, после повторной переоценки, альтернатива “Аэрофлот” получила ранг равный 1, а альтернатива “Ural Airlines” - ранг, равный 3 (рисунок 16).

После данной переоценки коэффициент конкордации Кендалла стал равняться 0.8, таким образом, было получено необходимое согласование в оценках экспертов и произведен переход к четвертому шагу алгоритма: применению метода большинства к ранжировкам альтернатив, которые были получены отдельно по каждому эксперту (рисунок 17).



Рисунок 17 Решение задачи PURrCONSISTENT

Решение задачи:

1. Альтернатива X2 (S7 Airlines) и Альтернатива X5 (Аэрофлот)

2. Альтернатива X3 (Ural Airlines)

3. Альтернатива X1 (Utair) и Альтернатива X4 (РусЛайн)

Математическая запись результатов решения задачи: X2 = X5 > X3 > X1 = X4.

Сравним результаты, полученные в методе PURr и PURrCONSISTENT. Модифицированный метод большинства с проверкой согласования экспертов помог скорректировать результат стандартного метода большинства, получив необходимый коэффициент согласования оценок экспертов путем изменения оценок одного из экспертов. В таблице 12 представлены результаты, полученные двумя методами:



Таблица 12

Сравнение результатов методов PURr и PURrCONSISTENT

№	Альтернатива	Значение функции полезности PURr	Значение функции полезности PURrCONSISTENT	Ранг PURr	Ранг PURrCONSISTENT
X1	Utair	0,118	0,118	3	3
X2	S7 Airlines	0,294	0,294	1	1
X3	Ural Airlines	0,235	0,176	2	2
X4	РусЛайн	0,118	0,118	3	3
X5	Аэрофлот	0,235	0,294	2	1

Изменения коснулись альтернативы X5 (Аэрофлот) и альтернативы X3 (Ural Airlines): значение функции полезности у альтернативы X5 изменилось с 0,235 до 0,294 и ранг повысился со 2 до 1, а значение функции полезности у альтернативы X5 изменилось с 0,235 до 0,176, при этом ранг не изменился. Таким образом, у банка есть не единственнная самая эффективная альтернатива X2 (S7 Airlines), но также и альтернатива X5 (Аэрофлот). Это означает, что вынесенная данным методом рекомендация выделяет сразу две наиболее эффективные альтернативы и следует провести дополнительную экспертизу между двумя альтернативами с помощью других методов.

На примере методики 5C's показано, как модифицированный метод может применяться в задаче кредитования. Аналогичным образом, он может использоваться для любой другой методики. Например, для рейтинговых методик PARSER и CAMPARI с признаками, которые указанные в таблице 3 и 4, либо для любой другой персональной рейтинговой методики банка. Цель использования описанного метода в задаче кредитования - сравнение и составление рекомендаций по наиболее эффективным для банка заёмщикам. Также данный метод можно использовать для обучения персонала банка, который занимается выдачей кредитов: проверка согласования экспертов может помочь выявить ошибки и скорректировать выставление оценок обучаемых финансистов.

3.3 Описание модифицированного метода PURrCONSISTENT для системы поддержки принятия решений EDSS

Название метода:

Вариант решения PURr с несколькими экспертами, признаками в различных проблемных ситуациях с рассчитанными коэффициентами с учетом коэффициентов согласованности мнений экспертов для связных рангов.

Описание метода:

Метод принятия решений с использованием принципа большинства для согласования оценок альтернатив, заданных отдельными экспертами в порядковой шкале в различных проблемных ситуациях с заданными вероятностями их появления с позиций различных признаков (критериев) с проверкой согласованности оценок экспертом путем определения коэффициента конкордации Кендалла для связных и несвязных рангов и вспомогательными коэффициентами корреляции и вариации.

Коэффициенты относительной значимости признаков, коэффициенты компетентности экспертов и вероятности появления проблемных ситуаций рассчитаны.

Вопросы об элементах задачи принятия решения и их ответы в мастер выборе СППР EDSS для модифицированного метода PURrCONSISTENT приведены в таблице 13.

Таблица 13

Описание метода PURrCONSISTENT

Вопрос	Ответ
Информированность об условиях принятия решения	Несколько проблемных ситуаций с заданными вероятностями их появления
Принцип согласования оценок альтернатив в различных проблемных ситуациях с заданными	Принцип большинства
Информированность о последствиях принимаемого решения	Полная определенность на одном этапе
Количество экспертов, привлекаемых к решению задачи	Несколько экспертов
Способ проверки согласования оценок экспертов	Коэффициент конкордации Кендалла
Принцип согласования оценок альтернатив, сформированных отдельными экспертами	Принцип большинства
Количество признаков оценки альтернатив	Несколько признаков
Степень сравнимости признаков	Признаки несравнимы
Принципы согласования оценок альтернатив по отдельным признакам (критериям)	Принцип большинства
Способ задания оценок относительной значимости критериев	Заданы весовые коэффициенты признаков
Способ задания множества альтернатив	Множество альтернатив конечно
Способ задания предпочтений на множестве альтернатив	Заданы порядковые оценки альтернатив по каждому признаку



Заключение

В настоящем исследовании был разработан модифицированный алгоритм метода по принципу большинства с проверкой согласованности экспертов при помощи коэффициента конкордации Кендалла для связных рангов. В качестве вспомогательных показателей для анализа согласованности оценок также были добавлены коэффициенты корреляции и вариации. Работа алгоритма продемонстрирована при решении задачи кредитоспособности заемщиков.

Преимуществом нового метода над стандартным в том, что производится проверка согласованности - важный этап при оценке альтернатив множеством экспертов, так как переоценка наименее согласованных показателей приводит экспертов к вынесению более обобщенного и наиболее согласованного мнения путем анализа экспертами своих решений и аргументированием при выставлении спорных оценок, что в большинстве случаев помогает найти наиболее эффективное решение.

Принятие решения в условиях неопределенности и постоянно изменчивой внешней среды может оказаться трудным процессом, особенно когда решение влияет на кредитные риски банка. Для этого необходимо привлечение групп экспертов и вынесения их обобщенного и согласованного мнения. Несмотря на множество автоматизированных систем, решения о выдаче кредитов необходимо взвешивать с привлечением опытных специалистов.

Системы поддержки принятия решений помогают вынести обобщенное мнение на основе опыта и знания специалистов, которые оценивают возможные варианты решения задачи в разрезе критериев. Они являются мощным инструментом, позволяющим ясно и четко построить обобщенное ранжирование альтернатив либо указать на отсутствие согласованности экспертов. На основе полученных результатов были выработаны рекомендации в области банковского кредитования на российском рынке для выбранных альтернатив в сфере авиаперевозок.

Разработанный в настоящем исследовании метод может применяться вместо стандартного метода большинства в любой прикладной задаче, где необходимо контролировать качество обобщенного решения путем проверки согласованности экспертов.



Список использованной литературы

Книги, статьи, нормативно-правовые акты:

1. Basel Committee on Banking Supervision (BCBS). Principles for the Management of Credit Risk (2000)

2. Экономический журнал ВШЭ. Том. 20 (2016), № 1. Карминский А.М., Лозинская А.М., Ожегов Е.М. Методы оценки потерь кредитора при ипотечном жилищном кредитовании C. 9-51.

3. Bessis, J., 2011. Risk management in banking. John Wiley & Sons.

4. Colombini F. (2018) Credit Risk Management and Banking Business in Europe. In: Colombini F. (eds) Raising Capital or Improving Risk Management and Efficiency?. Palgrave Macmillan, Cham.

5. Barth, J., 1991. The great savings and loan debacle. American Enterprise Institute.

6. Colquitt, J., 2007. Credit risk management: How to avoid lending disasters and maximize earnings. McGraw Hill Professional.

7. Bhatia M. Credit Risk Management and Basel II. М.: Risk Books, 2006. 450 с.

8. Millett, Paul. Lending and borrowing in ancient Athens. Cambridge University Press, 2002.

9. Fisher, R.A., 1936. The use of multiple measurements in taxonomic problems. Annals of eugenics, 7(2), pp.179-188.

10. Durand, David. Risk elements in consumer installment financing. National Bureau of Economic Research, New York, 1941.

11. Baesens, B., Van Gestel, T., Viaene, S., Stepanova, M., Suykens, J. and Vanthienen, J., 2003. Benchmarking state-of-the-art classification algorithms for credit scoring. Journal of the operational research society, 54(6), pp.627-635.

12. T.L. Miller-Nobles, B.L. Mattison, E.M.Matsumura, 2008. Horngren'S Financial & Managerial Accounting. Pearson Education, Harlow, UK.

13. Basel, I.I., 2004. International convergence of capital measurement and capital standards: a revised framework. Bank for international settlements.

14. Кравцова Г.И., Василенко Н.К., Купчинова О.В. Организация деятельности коммерческих банков. Минск: БГЭУ, 2007 г. 478 с.

15. Brent, F. (2010). Understanding Lending Models. Businessfinancespecialist. Retrieved in June, 2013 from http://blog.businessfinancespecialist.com/secure-capital/understanding-lending-models.

16. Korwa, G. A. & Iroanya, R.O. (2008); Towards Africa-Oriented Risk Analysis Models: A Contextual and Methodological Approach.

17. Pride, W.M., Hughes, R.J. & Kapoor, J.R. (2008). Business (10th ed). Mason, OH: South-Western Cengage Learning.

18. Bhatia M. Credit Risk Management and Basel II. М.: Risk Books, 2006. 450 с.

19. Кравченко Т.К., Бабкин А.Е., Дружаев А.А., Исаев Д.В., Огуречников Е.В., Периков Ю.А. Руководство пользователю Экспертной системы поддержки принятия решений. Методические материалы. М.: ГУ-ВШЭ, 2008.

20. О.М. Писарева. Методы социально-экономического прогнозирования: Учебник / О.М.Писарева. М.: ГУУ - НФПК, 2003.

21. Кендэлл М. Ранговые корреляции / Кендэлл М. М.: Статистика, 1975.

22. Горелик А.Л., Абаев Л.Ч. К вопросу расчета коэффициента согласованности экспертных оценок в задаче группового выбора и принятия решении? / Кибернетика (Киев), 1990, No 3, с. 65-69.

23. Методы экспертных оценок. Учебное пособие / А.Н.Анохин. М.: ИАТЭ (Обнинск), 1996.

24. Кравченко Т.К., Исаев Д.В. Принятие стратегических решений в условиях неопределенности // Вестник Финансового Университета, Том 20, № 4, 2016, стр. 22 - 32

25. Кравченко Т.К., Исаев Д.В. Системы поддержки принятия решений. М.: Юрайт, 2017. 292 с.

26. Ю. К. Прохоров. Управленческие решения / Ю. К. Прохоров, В. В. Фролов.Санкт-Петербург: СПбГУ ИТМО, 2011. 138

27. Саати, Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Т. Саати, пер. с англ. Р. Г. Вачнадзе. М.: Радио и связь, 1993.

28. Лисьев, Г.А. Технологии поддержки принятия решений учеб. Пособие / Г.А. Лисьев, И.В. Поповаю. 2-е издю, стереотип. М.: ФЛИНТА, 2011.

29. Афоничкин А.И. Управленческие решения в экономических системах / Афоничкин А.И., Михаленко Д.Г. СПб.: Питер, 2009. 480 с

30. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора / Миркин Б.Г.. М.: Наука, 1974.

31. Орлов А.И. Экспертные оценки. Учебное пособие / Орлов А.И.. М.: 2002.

32. Орлов А.И. Основы теории принятия решений. Учебное пособие / Орлов А.И.. М.: 2002.

33. Евланов Л. Г. Экспертные оценки в управлении / Л. Г. Евланов, В. А. Кутузов. М.: Экономика, 1978. 133 с.

34. Basel Committee on Banking Supervision (BCBS). An Explanatory Note on the Basel II IRB Risk Weight Functions (2004).

35. Altman E. Corporate Financial Distress and Bankruptcy: Predict and Avoid Bankruptcy, Analyze and Invest in Distressed Debt, 3rd Edition / E. Altman, E. Hotchkiss // John Wiley and Sons, Ltd. 2006. 368 p.

36. Brkic, Sabina; Hodzic, Migdat; Dzanic, Enis (Nov 2017). Fuzzy Logic Model of Soft Data Analysis for Corporate Client Credit Risk Assessment in Commercial Banking. Fifth Scientific Conference "Economy of Integration" ICEI 2017.

37. Sathye, M, Bartle, J, Boffey, R (2013). In Credit Analysis and Lending Management, 3rd edition, Tilde University Press.

38. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Математико-статистические методы экспертных оценок. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Статистика, 1980. 263 с.



Приложение 1 Формирование исходных данных

Класс для хранения входных данных

public class MethodsData

{

private List<String> expertsNames;

private List<String> alternativesNames;

private List<String> critertiasNames;

private List<String> situationsNames;

private List<Double> expertCoefficients;

private List<Double> situationProbabilities;

private List<Double> criteriaValues;

private int[,,,] expertScores;

private int expertsCount;

private int situationsCount;

private int alternativesCount;

private int criteriaCount;

public MethodsData(List<String> expertsNames, List<String> situationsNames, List<String> critertiasNames, List<String> alternativesNames, List<Double> expertCoefficients, List<Double> situationProbabilities, List<Double> criteriaValues)

{

this.expertCoefficients = new List<Double>(expertCoefficients);

this.situationProbabilities = new List<Double>(situationProbabilities);

this.criteriaValues = new List<Double>(criteriaValues);

this.expertsNames = new List<String>(expertsNames);

this.situationsNames = new List<String>(situationsNames);

this.critertiasNames = new List<String>(critertiasNames);

this.alternativesNames = new List<String>(alternativesNames);

expertsCount = this.expertCoefficients.Count();

situationsCount = this.situationProbabilities.Count();

criteriaCount = this.criteriaValues.Count();

alternativesCount = this.alternativesNames.Count();

}

…

}



Приложение 2 Реализация функций расчета связанных рангов

Функция расчета cвязанных рангов для коэффициента парной корреляции и коэффициента Конкордации (по формуле (8))

private Tuple<double[], int> getConnectedRanksIndicator()

{

double[] connectedRanksIndicators = new double[expertsCount];

int expertsWithConnectedRanks = 0;

for (int e = 0; e < expertsCount; e++)

{

int connectedRanksExpertIndicator = 0;

int[] expertScores = new int[alternativesCount];

for (int alt = 0; alt < alternativesCount; alt++)

{

expertScores[alt] = expertAlternativeScores[e, alt];

}

bool hasConnectedRanks = false;

foreach (int val in expertScores.Distinct())

{

int count = expertScores.Count(x => x == val);

if (count > 1)

{

connectedRanksExpertIndicator += (count * count * count) - count;

hasConnectedRanks = true;

}

}

connectedRanksIndicators[e] = connectedRanksExpertIndicator;

if (hasConnectedRanks)

{

expertsWithConnectedRanks++;

}

}

return new Tuple<double[],int>(connectedRanksIndicators, expertsWithConnectedRanks);

}

Функция расчета суммы связных рангов

private double getConnectedRanks(double[] connectedRanksIndicators)

{

double sum = 0;

for (int e = 0; e < expertsCount; e++)

{

sum += connectedRanksIndicators[e];

}

return sum;

}

Функция расчета cвязанных рангов для коэффициента Корреляции Кендалла и Спирмена (по формуле (3))

private double[] getConnectedRanksCorrelationIndicators()

{

double[] connectedRanksIndicators = new double[expertsCount];

int expertsWithConnectedRanks = 0;

for (int e = 0; e < expertsCount; e++)

{

int connectedRanksExpertIndicator = 0;

int[] expertScores = new int[alternativesCount];

for (int alt = 0; alt < alternativesCount; alt++){

expertScores[alt] = expertAlternativeScores[e, alt];

}

bool hasConnectedRanks = false;

foreach (int val in expertScores.Distinct())

{

int count = expertScores.Count(x => x == val);

if (count > 1)

{

connectedRanksExpertIndicator += (count * count) - count;

hasConnectedRanks = true;

}

}

connectedRanksIndicators[e] = 0.5 * connectedRanksExpertIndicator;

if (hasConnectedRanks)

expertsWithConnectedRanks++;

}

return connectedRanksIndicators;

}



Приложение 3 Реализация расчета коэффициентов конкордации, корреляции и вариации

Функция расчета двух вариантов коэффициента конкордации

private void makeConcordanceCoefficient()

{

ranksSumVariance = 0;

// По всем альтернативам

for (int a = 0; a < alternativesCount; a ++)

{

int sum = 0; // Сумма рангов

for (int e = 0; e < expertsCount; e++)

{

sum = sum + expertAlternativeScores[e, a];

}

// Вычисление дисперсии суммы рангов

ranksSumVariance = ranksSumVariance + (sum - mathExpectation) * (sum - mathExpectation);

}

Tuple< double[], int> indicators = getConnectedRanksIndicator();

double connectedRanksIndicator = getConnectedRanks(indicators.Item1);

int expertsWithConnectedRanks = indicators.Item2;

// Расчет коэффициента конкордации

concordanceCoefficient= 12 * ranksSumVariance / (expertsCount * expertsCount * (alternativesCount * alternativesCount * alternativesCount - alternativesCount) - expertsCount * connectedRanksIndicator);

// Расчет коэффициента конкордации (с учетом количества экспертов со связанными рангами)

concordanceCoefficientImproved = 12 * ranksSumVariance / (expertsCount * expertsCount * (alternativesCount * alternativesCount * alternativesCount - alternativesCount) - (2 * expertsCount - expertsWithConnectedRanks) * connectedRanksIndicator);

Console.WriteLine("Connected ranks indicator = " + connectedRanksIndicator);

Console.WriteLine("Concordance v1 = " + concordanceCoefficient);

Console.WriteLine("Concordance v2 = " + concordanceCoefficientImproved);

}

Класс для хранения данных о коэффициентах корреляции

class ExpertsRankCoefficients{

public int expert1;

public int expert2;

public double value;

public ExpertsRankCoefficients(int expert1, int expert2, double value)

{

this.expert1 = expert1;

this.expert2 = expert2;

this.value = value;

}

public override String ToString()

{

return "Ranks coefficient between Expert " + (this.expert1 + 1) +

" and Expert " + (this.expert2 + 1) + " equals " + this.value;