Практическое применение непрерывной многокритериальной задачи

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Практическое применение непрерывной многокритериальной задачи

Л.И. Замкова, канд. техн. наук, доцент

Политехнический институт (филиала) ДГТУ в г. Таганроге

(Россия, г. Таганрог)

Аннотация

В статье формулируется постановка двухкритериальной задачи о рационе, принадлежащей классу непрерывных многокритериальных задач. Проводится сравнительный анализ индивидуальной двухкритериальной задачи о рационе с классической однокритериальной задачей, используемой в качестве прототипа. Задача, сформулированная в статье, отличается от прототипа наличием второго критерия - объёма смеси и ограничения сверху на стоимость смеси. В рассматриваемой задаче не только минимизируется стоимость смеси, но и максимизируется её объём, в отличие от прототипа, что на практике позволяет более рационально вкладывать финансы предприятия и максимизировать объём производства.

Ключевые слова: многокритериальная задача, двухкритериальная задача, задача о рационе, формальная постановка, содержательная постановка, оптимальное решение.

однокритериальная задача прототип рацион

В настоящее время продолжаются исследования многокритериальных оптимизационных задач. Изучение литературы в этой области показало, что новых применений на практике многокритериальных задач за последнее время найдено немного. В качестве примера исследовательской работы в этой области приведём задачу об изготовлении колбасной смеси [1] и задачу равновесного программирования, которая решалась в [2]. В связи с изложенным далее будет сформулирована двухкритериальная задача о рационе. Решение которой на практике позволит получить экономическую выгоду предприятию, занимающемуся изготовлением смесей. Отметим, что двухкритериальная задача, формулируемая в статье, относится к классу непрерывных многокритериальных задач.

В последующем разделе описываются формальная и содержательная постановки исследуемой задачи. А также выполняется анализ результатов её решения.

Анализ двухкритериальной задачи о рационе

Приведём формальную постановку задачи о рационе:

(1)

Далее рассмотрим содержательную постановку задачи о рационе. Задан ассортимент различных продуктов в количестве . Каждый продукт содержит определённое количество питательных веществ видов. Необходимо определить оптимальный рацион, максимизируя его объём. Рацион должен иметь минимальную стоимость. Причём задано ограничение на дневной объём рациона - и известна сумма, имеющаяся у предприятия на изготовление смеси - .

Обозначения в (1) имеют следующий смысл:

- содержание -ого питательного вещества в -ом продукте;

- количество -ого необходимого питательного вещества;

- стоимость единицы -ого продукта;

- количество-ого продукта, входящего в рацион.

Рассмотрим индивидуальную задачу (2), соответствующую постановке задачи (1). В качестве прототипа задачи (2) использовалась однокритериальная задача об оптимальном составлении рациона, представленная в работе [3].

(2)

Построим однокритериальную задачу (3). В агрегированном критерии этой задачи критерии задачи (2) имеют одинаковые приоритеты, их веса 0,5:

(3)

Преобразованный критерий задачи (3) имеет вид: . Задача (3) решалась в среде программы lp_solve. В результате вычислений получили =3225,80; =2258,06; =5483,86; =2999,994. На рисунке 1 представлен скриншот результатов работы программы при решении задачи (3):

Рис. 1. Результаты работы программы при решении задачи

Преимуществом задачи (2) в отличие от прототипа является дополнительное ограничение сверху на стоимость смеси и одновременная максимизация объёма смеси с минимизацией стоимости. Сравним задачу (2) с онокритериальной задачей (4), в которой в качестве единственного критерия рассматривается стоимость смеси:

(4)

Задача (4) решалась в среде программы lp_solve. В результате вычислений получили =470,58; =329,41; =799,99; =437,64. На рисунке 2 представлен скриншот результатов работы программы при решении задачи (4):

Рис. 2. Результаты работы программы при решении задачи

В последующем разделе подводятся итоги проведённого в статье анализа двухкритериальной задачи о рационе, принадлежащей классу непрерывных многокритериальных задач.

Заключение

Сформулированная в статье задача (1) имеет практическую ценность. А именно, результаты её решения позволяют предприятию рационально вкладывать капитал при расширении производства. Действительно, обладая фиксированной суммой финансовых средств , предприятие может определить наибольший объём производства при этих затратах. Заметим, что оптимальное решение задачи (1) на примере её индивидуальной постановки (2) эквивалентно оптимальному решению классической задачи (4). А именно, оценим отношение оптимальной стоимости задачи (2) к соответствующей характеристике классической задачи (4). Получим:

(5)

Оценим отношение оптимальных объёмов рациона задачи (2) и задачи (4):

(6)

То есть, применение двухкритериальной задачи о рационе является практически выгодным, а её решение не хуже (эквивалентное) решения однокритериальной задачи о рационе. А в задаче (1) не только минимизируется стоимость смеси, но и максимизируется её объём, в отличие от прототипа, что на практике позволяет более рационально вкладывать финансовые ресурсы предприятия и максимизировать объём производства.

Библиографический список

1. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения - М., -1992. - С. 237-439.

2. Васильев Ф.П., Антипин А.С., Артемьева Л.А. Регуляризованный непрерывный экстраградиентный метод решения параметрической многокритериальной задачи равновесного программирования // Доклады Российской академии наук. - 2010. - Т. 434 - №4. - С. 439-442.

3. https://infopedia.su/8x11cd7.html

Размещено на Allbest.ru