Использование разностной схемы для решения уравнения теплопроводности
Знакомство с основными особенностями использования разностной схемы для решения уравнения теплопроводности. Рассмотрение прикладных программ MatLab. Общая характеристика графика зависимости распределения температуры на разных шагах интегрирования.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | отчет по практике |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.01.2020 |
| Размер файла | 354,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Использование разностной схемы для решения уравнения теплопроводности
Постановка задачи
Дан однородный металлический стержень. Необходимо решить уравнение теплопроводности, используя разностную схему (рис.1).
Рис.1. Разностная схема
Исходные данные:
= 1 м - длина стержня
= 1 м/c2 - коэффициент температуропроводности м/c2
Уравнение теплопроводности:
Начальные условия:
Граничные условия для данной задачи будут иметь вид:
Уравнение теплопроводности принимает вид:
+
- шаг интегрирования по расстоянию;
- шаг интегрирования по времени;
- температура в j-ой точке в момент времени i.
Выполнение расчетов в MATLAB
Выразим искомоеиз уравнения теплопроводности (1):
=
Используя пакет прикладных программ MatLab реализуем разностную схему (Рис. 1):
function UrTep();
format short; format compact
n = input(' Enter the number of points: '); %кол-во точек сетки
dt = input(' Enter the step time integration: '); %шаг интегрирования по времени
t = input(' Enter the number of step time integration: ');%кол-во шагов по времени
kappa=1 %коэфицент температуропроводности
mid = round(n/2);
dx = 1/(n-1); %шаг интегрирования по расстоянию
T=zeros(n,1); %матрица температуры в зависимости от координаты и времени
T0 = 1;
T1 = 0;
for j=1:mid
T(j,1)=T0; %Нач.Условия x<=1/2
end;
for j=(mid+1):n
T(j,1) = T1; %Нач.Условия x>1/2
end;
for i=2:t %Гр.Условия
T(1,i) = T0;
T(n,i) = T1;
for j=3:n
T(j-1,i)=T(j-1,i-1)+(kappa)*(dt)*(T(j,i-1)-2*T(j-1,i-1)+T(j-2,i))/((dx)*(dx));
end;
end;
T(:,t)
На выходе из данной программы получаем распределение температуры между ее граничными значениями.
Результаты
Произведем расчет разностной схемы, с сеткой, состоящей из 4 точек, шагом интегрирования по времени 0.01(и количеством шагов по времени равным 400(10 секунд) (Рис. 2)
Рис. 2 Результат расчёта задачи с использованием разностной схемы.
В итоге мы получили равномерное распределение температуры от 1 до 0. Исследуем, как быстро при использовании данной схемы, можно прийти к равномерному распределению температуры в описанных выше условиях.
Таблица 1. Зависимость распределения температуры от количества шагов интегрирования.
|
№ шага интегрирования |
1-ая точка сетки (0 м) |
2-ая точка сетки (0.33 м) |
3-ья точка сетки (0.66 м.) |
4-ая точка сетки (1 м.) |
|
|
2 |
1 |
0.991 |
0.0089 |
0 |
|
|
20 |
1 |
0.8647 |
0.1341 |
0 |
|
|
50 |
1 |
0.7535 |
0.2448 |
0 |
|
|
100 |
1 |
0.6884 |
0.3101 |
0 |
|
|
400 |
1 |
0.6666 |
0.3333 |
0 |
Рис. 3. График зависимости распределения температуры на разных шагах интегрирования
Произведем расчет разностной схемы, с сеткой, состоящей из 10 точек, шагом интегрирования по времени 0.01(и количеством шагов по времени равным 400(10 секунд) (Рис. 4)
Рис.4. Результат расчёта задачи с использованием разностной схемы
В итоге мы получили равномерное распределение температуры от 1 до 0.
Таблица 2. Зависимость распределения температуры от количества шагов интегрирования.
|
№ шага |
2 |
4 |
8 |
10 |
30 |
||
|
1-ая точка сетки |
(0 м) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
2-ая точка сетки |
(0.11 м) |
1 |
1 |
0.8847 |
0.8890 |
0.8889 |
|
|
3-ья точка сетки |
(0.22м.) |
1 |
0.4686 |
0.7808 |
0.7807 |
0.7778 |
|
|
4-ая точка сетки |
(0.33 м.) |
1 |
0.3975 |
0.6690 |
0.6752 |
0.6667 |
|
|
5-ая точка сетки |
(0.44м.) |
0,19 |
0,3368 |
0,5613 |
0,5728 |
0,5556 |
|
|
6-ая точка сетки |
(0.55 м.) |
0,1539 |
0,285 |
0,4579 |
0,4513 |
0,4444 |
|
|
7-ая точка сетки |
(0.66 м.) |
0,1247 |
0,2409 |
0,3588 |
0,3376 |
0,3333 |
|
|
8-ая точка сетки |
(0.77 м.) |
0,101 |
0,1599 |
0,2295 |
0,2242 |
0,2222 |
|
|
9-ая точка сетки |
(0.88 м.) |
0,0818 |
0,0793 |
0,1144 |
0,1116 |
0,1111 |
|
|
10-ая точка сетки |
(1 м.) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Рис. 5. График зависимости распределения температуры на разных шагах интегрирования.
Выводы
график теплопроводность уравнение
Заданная разностная схема с учетом начальных и граничных условий была успешно реализована на языке программирования MATLAB. В процессе работы над этой задачей, мы пришли к выводу, что схема сходится в случае . и построили графики зависимости распределения температуры на разных шагах интегрирования.(Рис.3, Рис.5).
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Математическое описание алгоритмов схемы и операций для уравнения Лапласа. Изучение разностной схемы "крест" для нахождения численного решения эллиптического уравнения, задача Дирихле. Использование указателей в среде Matlab для решений методом Гаусса.
дипломная работа [859,3 K], добавлен 23.10.2014Разностная схема решения уравнения теплопроводности. Численное решение уравнения теплопроводности в табличном процессоре Microsoft Ехсеl и в пакете математических расчётов MathCAD. Расчёт методом прогонки. Изменение пространственной координаты.
дипломная работа [248,4 K], добавлен 15.03.2014Решение конечно-разностной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области. Погрешность замены дифференциального уравнения разностным. Использование схемы узлов при получении сеточных уравнений. Сущность метода Зайделя. Листинг программы.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 26.04.2011Решение дифференциального уравнения N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения, методом интегрирования и операторным методом для значений аргументов при заданных начальных условиях и нулевых уравнения 4–го порядка.
практическая работа [806,9 K], добавлен 05.12.2009Составление блок-схемы и алгоритма программы для решения уравнения с приближенным значением корня по методу Ньютона, расчета приближенного значения интеграла по формуле трапеций, вычисления уравнения длины вектора. Типы формул общего члена суммы.
курсовая работа [41,3 K], добавлен 15.12.2012Проектирование схемы решения дифференциального уравнения, обеспечивающей управление процессом решения и задания начальных условий с помощью ЦВМ. Этапы программирования задач на аналоговых вычислительных машинах. Проверка результатов моделирования.
курсовая работа [71,6 K], добавлен 24.09.2010Понятие разностных схем, сеточная функция, пространство и нормы. Аппроксимация дифференциальных операторов. Корректность разностной схемы и сходимость. Одномерное уравнение переноса с переменными и постоянными коэффициентами. Схема бегущего счета.
дипломная работа [388,3 K], добавлен 11.11.2009Метод численного интегрирования. Использование метода половинного деления для решения нелинейного уравнения. Определение отрезка неопределенности для метода половинного деления. Получение формулы Симпсона. Уменьшение шага интегрирования и погрешности.
курсовая работа [3,0 M], добавлен 21.05.2013Математическое описание численных методов решения уравнения, построение графика функции. Cтруктурная схема алгоритма с использованием метода дихотомии. Использование численных методов решения дифференциальных уравнений, составление листинга программы.
курсовая работа [984,2 K], добавлен 19.12.2009Изучение численных методов решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом касательных (на примере уравнения). Отделение корней графически. Программная реализация, алгоритм.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 15.06.2013
