Программа расчета поля точечного источника постоянного тока в горизонтально-слоистой среде в присутствии цилиндрического включения с направляющей, аппроксимированной сплайном

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Программа расчета поля точечного источника постоянного тока в горизонтально-слоистой среде в присутствии цилиндрического включения с направляющей, аппроксимированной сплайном

1. Функциональное назначение программы

Электроразведка - один из основных методов геоэлектрики при поиске и разведке месторождений полезных ископаемых.

Интерпретация электроразведочных экспериментальных данных сводится к определению строения и свойств среды по наблюдаемым значениям поля. Известная информация о положении месторождения и его размерах позволяет оценить мощность залежей и перспективу их дальнейшей разработки. электроразведка пользовательский интерфейс

Задача определения геометрических параметров среды на основе известных значений потенциала электрического тока относится к классу обратных задач электроразведки. В геофизике сложность решения обратных задач следует из принципа эквивалентности структур, когда двум существенно различным геофизическим разрезам могут соответствовать близкие значения экспериментальных данных. Академиком А.Н. Тихоновым разработана теория решения подобных задач [1,2,7], которая сводится к многократному решению прямых.

Предлагаемая программа предназначена для решения прямых задач при наличии в кусочно - однородной среде произвольного по форме цилиндрического тела, направляющая которого описывается сплайн-функцией [8-9]. Подобные задачи представляют интерес в электроразведке глубокозалегающих протяженных локальных включений, которые могут быть представлены с определенным приближением как бесконечные цилиндры.

2. Постановка задачи и метод ее решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.1 Прямая задача

Пусть в цилиндрической слоистой среде с удельными электрическими проводимостями _i и параллельными образующими, в слое k находится цилиндрическое тело ₀ с границей , удельной электрической проводимостью _0. Введем систему координат так, чтобы образующие были параллельны оси OY (рис.1).

Математическая модель задачи описывающая потенциальное поле точечного источника постоянного тока интенсивности I, возбуждаемого в точке A(x₀, 0, z₀) слоя Щ_l , у_l, представляется в виде краевой задачи:

(1)

(2)

; (3)

; (4)

(5)

, (6)

где -нижняя граница слоя _i при i=1,…,N-1 и «дневная» поверхность при i=0; - вектор нормали; - функция Дирака.

Решение прямой задачи найдем комбинированным методом интегральных преобразований и интегральных уравнений.

Для этого применим к задаче интегральное косинус-преобразование Фурье:

.

Умножим (1) - (6) на cosmy и проинтегрируем по y от 0 до . получим параметрическое семейство (относительно параметра ) двумерных краевых задач:

, ; (7)

; (8)

, (9)

, , ; (10)

, при . (11)

Решение задачи (7) - (11) будем искать в виде суммы потенциала источника и потенциала двойного слоя:

(12)

(13)

где - потенциал двойного электрического слоя на направляющей границе включения, , где - функция Грина слоистой среды, - плотность потенциала двойного слоя; .

Подставим (12) и (13) в первое равенство (9) и, учитывая, что при переходе через границу раздела сред потенциал двойного слоя терпит разрыв , получим следующее интегральное уравнение Фредгольма II рода:

, (14)

Искомое решение восстанавливается формулой обращения:

,

где находится из равенств (12), (13), в которых неизвестная плотность потенциала двойного слоя определяется из интегрального уравнения Фредгольма II рода (14).

В случае важного в практике геофизических работ плоско-параллельного горизонтально-слоистого полупространства ( - плоскости ), функция Грина определяется следующей краевой задачей:

;

;

, , ;

, при .

Решение последней находится с помощью интегрального косинус преобразования по переменной x и рекуррентным формулам быстрого счета [6].

2.2 Сплайн- аппроксимация образующей

Важным с точки зрения более точного определения поверхности тела вращения является увеличение числа параметров описания образующей.

Рассматривается подход определения направляющей тела вращения, аппроксимированной сплайном S() заданным по системе узлов (_i, R_i), (рис. 2).

По аналогии с параметрическим заданием сфероида, аппроксимируем сплайном по равномерной (по углу ) сетке узлов [10]:

,

где S() - является расстоянием от внутренней точки (0,0,z_vkl) до кривой на луче =const и определяется на частичном отрезке [_i -1, _i] как сплайн по следующим формулам:

- для кубического

- для параболического ,

где неизвестные коэффициенты k_i, a_i, b_i, c_i, i=0,1,…,N определяется из решения системы линейных алгебраических уравнений, формируемых из условия непрерывности S^//() и S^/() соответственно.

3. Интерфейс программы

Программа обладает удобным пользовательским интерфейсом.

Главная форма программы, предназначенная для отображения результатов решения прямой задачи, имеет основное меню, в котором содержатся все необходимые средства для управления вычислительным экспериментом, панель инструментов в виде кнопок для более быстрого доступа, строки состояния. Форма состоит из двух информационных областей (рис. 4):

- панели результатов, где отображаются числовые результаты - текущие значения параметров задачи (координаты точки расчета, значения потенциала, время счета);

- графической, которая в виде двумерных графиков демонстрирует поведение функции потенциала по соответствующему профилю.

В данной форме имеется ряд средств, которые могут помочь исследователю при анализе изучаемого процесса. Так при вызове контекстного меню на графической области или выбора соответствующей команды из основного меню открывается форма настроек изображения, в которой можно: изменять цвет, шрифт, толщину линий, удалять графики, сохранять изображение в графическом файле.

Рис. 4. Интерфейс модуля «Вычислительный эксперимент»

На форме имеется весь необходимый перечень управляющих элементов для полноценного исследования возникающих прямых задач.

Программа имеет форму «Начальные условия и параметры задачи», в которой задаются все начальные условия и параметры, необходимые для решения задачи.

Эта форма содержит 5 закладок:

1. «Среда»

На этой закладке (рис. 5) задаются основные параметры вмещающего пространства. Здесь исследователь выбирает вид исследуемой среды: однородного или слоистого пространства или полупространства. При выборе горизонтально-слоистой среды нужно задать ее структуру: количество слоев, толщину и удельную электрическую проводимость каждого слоя.

2. «Включение»

На этой закладке (рис. 6) исследователь задает основные параметры для направляющей включения. Здесь имеется группа переключателей «Вид направляющей» для выбора способа задания исследуемого тела. При выборе переключателя «Эллипс» нужно в соответствующие элементы управления ввести значения его полуосей. При выборе переключателя «Произвольная форма» направляющая цилиндра задается через сплайн. В этом случае нужно задать количество узлов и значения в них. Здесь же, независимо от выбора переключателей «Вид направляющей», задаются удельная электрическая проводимость включения и глубина его залегания.

3. «Площадка»

На этой закладке (рис. 7) задаются основные параметры (размеры, место расположение относительно включения, количество источников и приемников тока) площадки исследования. Здесь пользователю предоставлена возможность выбора способа задания экспериментальных данных (группа «Выбор способа заполнения экспериментальных значений»): либо посредством расчета (кнопка «произвольно») для построенного на страничке «Включение» тела, либо считыванием данных из внешнего файла с помощью кнопки «из файла». Считанные из файла экспериментальные данные можно отредактировать и сохранить - кнопка «Сохранить».

4. «Общие»

На этой закладке (рис. 8) задаются параметры, необходимые для решения задачи: интенсивность тока источников, разбиения направляющей на узлы интегрирования (для интегрального уравнения), метод интегрирования, вид вычисляемого потенциала и другие.

При изменении любого из перечисленных параметров в данной форме имеется возможность параллельного просмотра получаемого отображения. Параметры, вводимые пользователем в данную форму, могут сохраняться во внешнем INI-файле и загружаться из него.

Программа имеет возможность построить решение задачи в виде двух/трехмерных графиков - профилей/поверхностей потенциалов и КС. Для построения поверхностей распределения потенциала по площадке имеется отдельная форма (рис. 9), которая открывается по нажатию кнопки «Поверхность».

Рис. 9. Форма «Поверхность»

В программе имеется возможность оформления получаемых в процессе поиска решения результатов в виде отчета.

Имеется консольный вариант приложения, требующий значительно меньше ресурсов для своей работы.

4. Используемые технические средства

Программа разработана на языке Object Pascal в среде Borland Delphi 7.0 и представляет собой компилированный exe-файл для работы под ОС Windows_9X/2000/XP.

5. Условия передачи программной документации или ее продажи

Программная документация распространяется свободно, сама программа на договорных условиях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

2. Друскин В.Л. О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводимостей. // Физика земли - 1982. - №1.- С.72-75.

3. Кризский В.Н., Герасимов И.А., Ермолаев А.В., Заваруева М.Б. К задаче определения границ квазитрехмерных включений в слоистых средах кусочно-постоянной проводимости.// Труды института прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2001, т.6, с.71-74.

4. Кризский В.Н. Определение границ квазитрехмерных кусочно-однородных сред методами электроразведки// Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Материалы 30-й сесии Международного семинара им. Д.Г. Успенского, М: ОИФЗ РАН, 2003, с.59-60.

5. Кильдибекова Г.Я. Поле точечного источника тока в горизонтально-слоистой среде с цилиндрическим включением.//Численные методы решения уравнений математической физики. Уфа: БФАН СССР, 1986,с.64-74 .

6. Филатов В.А., Хогоев Е.А. Расчет поля точечного источника в слоистой среде.// Новосибирск. ВЦ СО АН СССР; Рук.Деп В ВИНИТИ 13.02.87, №1065-В87.

7. Старостенко В.Н., Оганесян С.М. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их приближенное решение методом регуляризации А.Н. Тихонова// Геофиз. Журнал - 2001. - Т23, №6. - с,3-20.

8. Беляева М.Б., Кризский В.Н Математическое моделирование электрических полей в цилиндрических кусочно-однородных средах со сплайн-аппроксимацией границ // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Материалы 33-й сессии Международного семинара им. Д.Г.Успенского, Екатеринбург, 30 января-3 февраля 2006 г.-Екатеринбург: Институт геофизики УрО РАН, 2006, с.30-34.

9. Кризский В.Н., Беляева М.Б., Рахимов И.Р., Трегубов Н.В., Хлесткин П.Н., Чекрыжев В.А. Математическое обеспечение информационных систем геоэлектроразведки кусочно-однородных сред. /// в кн. «Обратные задачи в приложениях» Коллективная монография под общ. ред. проф. С.М.Усманова. - Бирск: БирГСПА, 2006.

10. В.Н. Кризский. Определение границ квазитрехмерных включений в слоистых средах кусочно-постоянной проводимости// Вопросы математического моделирования и механики сплошных сред. Сб. научных трудов. - Бирск: Бирск. гос. пед. ин-т, 2000, с.165.

Размещено на Allbest.ru