Компьютерное моделирование для исследования дифференциальных уравнений третьего порядка

1.1 Виды дифференциальных уравнений

Уравнения, в которых сами функции и их производные являются неизвестными называются дифференциальными уравнениями. Дифференциальные уравнения играют важную роль при решении многих физических, технических, биологических задач. Если в уравнении находится неизвестная переменная, а также неизвестная функция и ее первая производная, то это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. То есть порядок дифференциального уравнения, будет зависеть от наивысшего порядка производных, входящих в него.

Дифференциальные уравнения имеют следующие виды:

1) обыкновенные - к ним относятся только функции и их производные от одного аргумента:

2) стохастические дифференциальные уравнения - это уравнения, которые включают в себя случайные процессы:

3) уравнения с частными производными - это уравнения, в которых функции зависят от многих переменных.

Также дифференциальные уравнения бывают первого, второго и высших порядков.

1.2 Основные функции для решения дифференциальных уравнений в MathCad

Для решения дифференциальных уравнений использовался математический пакет MathCad. Благодаря встроенному внутреннему языку, решение дифференциальных уравнений выводилось не только в числовой форме, но и визуально. Для этого были построены специальные графики.

В математическом пакете MathCad существует множество функций, с помощью которых можно решать дифференциальные уравнения. При их решении, нами использовались следующие функции:

1) given .. odesolve;

2) rkfixed.

Пример решения дифференциального уравнения с помощью функции given .. odesolve представлен на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - Пример решения с помощью функции given .. odesolve

Пример решения дифференциального уравнения с помощью функции rkfixed представлен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - Пример решения с помощью функции rkfixed

1.3 Понятие устойчивости и предельного цикла в MathCad

Если поведение исходного решения незначительно отличается от поведения решений, с условиями близкими к начальным, то такое решение дифференциального уравнения называется устойчивым.

Для некоторых дифференциальных уравнений просто положительности коэффициентов недостаточно. Поэтому число устойчивых корней зависит от параметров. Число устойчивых корней влияет на размерность устойчивости W многообразия, на котором расположены приближающиеся к нему траектории. Если многообразия будут двумерны, то на них можно увидеть устойчивые фокусы или узлы. Увидим ли мы узлы, либо фокусы, будет зависеть от знака дискриминанта. Если дискриминант меньше нуля, то будут узлы. Если же он больше, то будут фокусы. В свою очередь узлы и фокусы бывают устойчивыми и неустойчивыми.

Пример устойчивых и неустойчивых узлов соответственно представлен на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 - Устойчивые и неустойчивые узлы

Пример устойчивых и неустойчивых фокусов соответственно представлен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - Устойчивые и неустойчивые фокусы

Узел и фокус можно назвать устойчивыми, если в корнях уравнений все вещественные части отрицательны. В тоже время если вещественные части положительны, то узлы и фокусы неустойчивы.

Пример уравнения в Mathcad, решением которого является узел, представлен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - Уравнение решением которого является узел

Пример уравнения в Mathcad, решением которого является фокус, представлен на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 - Уравнение решением которого является фокус

Рисунок 1.7 - Система Лоренца

Особое внимание хотелось бы уделить предельным циклам, так как они широко применяются в современной жизни и напрямую связаны с устойчивостью. Так, если колебание описывается устойчивым циклом, то его называют автоколебанием. Автоколебание в свою очередь встречается в часах, радиопередатчиках, даже биение сердца, можно назвать автоколебанием. В описание процесса автоколебаний, свой вклад внес Эдвард Лоренц доказавший, что простейшая система, состоящая из дифференциальных уравнений, может привести к тому, что траектории примут хаотический характер. В результате своих работ, он исследовал множества, к которым приближаются точки в процессе итерации. Для данных множеств было введено понятие аттрактор, что в переводе с английского обозначает притягивать. Пример простейшего аттрактора, описываемого системой Лоренца, представлен на рисунке 1.7.

Для описания работы приведенных устройств, в которых встречается автоколебание и используются предельные циклы в соответствующем фазовом пространстве. Пример предельного цикла представлен на рисунке 1.8.

Исходя из приведенного выше примера, можно наглядно наблюдать, что представляет из себя предельный цикл. В данном случае он скручивается, постепенно приближаясь к границе, за которую он не сможет перейти. Точные границы найти невозможно, но их можно представить визуально. Это связано с тем что приближаясь, расстояние между моделью и предельно допустимой границей будет настолько незначительным, что в теории можно будет говорить о нахождении предельного цикла.

Для более наглядного примера, найдем полное решение для нахождения предельного цикла в MathCad, которое представлено на рисунке 1.9.

Рисунок 1.8 - Пример предельного цикла

Рисунок 1.9 - Пример программ в MathCad

Для еще более лучшего, визуального представления, построим данный предельный цикл в пространстве. Пример пространственного отображения предельного цикла представлен на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10 - Пример предельного цикла в пространстве

Не только Лоренц изучал предельные циклы, также существенный вклад внес физик Бальтазар Ван дер Пол, который обнаружил, что на определенных частотах появляются шумы, которые находятся рядом с собстенными частотами волн.

Для еще более лучшего, визуального представления, построим данный предельный цикл в пространстве

Примером описания данного явления, может служить уравнение Ван дер Поля, которое представлено на рисунке 1.11

Рисунок 1.11 - Пример уравнения Ван дер Поля в MathCad

В процессе решения данного уравнения, получились графики, которые представлены на рисунке 1.12.

Рисунок 1.12 - Графики решения уравнения Ван дер Поля в MathCad

2. Постановка задачи

Создание компьютерных моделей для исследования дифференциальных уравнений третьего порядка, является главной задачей дипломной работы. При данном исследовании, были разобраны задачи на базовые понятия о дифференциальных уравнениях, а также рассмотрены случаи, где нельзя однозначно сказать о точном решении, то есть необходимо проводить анализ полученных результатов. В данном случае и приходят на помощь компьютерные модели, которые строились конкретно для каждой задаче.

Благодаря проделанным исследованиям, другие студенты с легкостью смогут понять основную информацию о дифференциальных уравнениях третьего порядка, потому что вся информация об этих исследованиях представлены в простом и понятном виде. Для того, чтобы продолжить исследования, не нужно по новой все изучать, примеры кодов в математическом пакете MathCad, также представлены в рамках данной дипломной работы.

Данные исследования проводились не только с целью дальнейшего обучения студентов, но они носили и немного другой характер. Как мы знаем, с помощью дифференциальных уравнений можно описывать различные процессы, которые происходят в природе, в космосе, а также в различных механических приборах. Поэтому показать широкое их применение и необходимость использования при описании какого-либо процесса, также являлось неотъемлемой частью данной дипломной работы.

3. Кусочно-линейное дифференциальное уравнение третьего порядка

Предельные циклы для кусочно-линейных уравнений третьего порядка плохо изучены. Особый интерес представляет обнаружение неустойчивости или устойчивости таких уравнений. При решении данных уравнений, основной акцент направлен на обнаружение таких коэффициентов, которые будут влиять на поведение уравнения. Коэффициенты не находятся явным образом, при их подборе нужно рассматривать как ведет себя уравнение в пространстве.

Пример программы в Mathcad, для нахождения предельного цикла кусочно-линейного уравнения третьего порядка представлен на рисунке 3.1.

Опираясь на выше указанную программу, было задано условие, которое представлено в виде формулы:

(3.1)

В результате подбора значений для данного условия, получились графики, которые представлены на рисунке 3.2

Рисунок 3.1 - Пример кода в Mathcad

Рисунок 3.2 - Графики для заданного условия

На графиках показано одно решение уравнения, но при этом взяты проекции на разные плоскости. То есть мы видим пространственное отображение решения по плоскостям xy, xz, yz соответственно. Посмотрев на графики, мы можем заметить, что они закручиваются. В условии у нас задано, что за время t, график должен пройти количество шагов n. Пройдя это расстояние, мы точно не можем сказать, стабилизировался ли он. Поэтому над этими графиками проводим итерацию. Пример итерации представлен на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 - Пример итерации

Из этих графиков мы видим, что в заданных нами условиях, график еще не зацикливается. Потому что после итерации он продолжает скручиваться. Стабилизация происходит на уровне около единицы. Проводя повторные итерации, можно получить более точные значения того, где будет происходить зацикливание данных моделей.

С каждым своим новым витком, графики скручиваются, следовательно их амплитуда уменьшается. Зависимость амплитуды от времени представлена на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 - Зависимость амплитуды от времени

Для более детального понимания того, как ведут себя графики в пространстве, построим трехмерные графики, которые представлены на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 - Трехмерные графики

На графиках представлены виды с разных осей, на первом ось xy, на втором соответственно xz - вид сбоку, а на третьем ось yz.

Исходя из выше приведенного примера можно сделать вывод, что модели на графиках скручивались, но они могут как скручиваться, так и раскручиваться. Пример кода в Mathcad, для раскручивающейся модели, представлен на рисунке 3.6.

Рисунок 3.6 - Пример кода в Mathcad

Исходя из выше приведенного примера можно сделать вывод, что модели на графиках раскручиваются. Пример раскручивающейся модели представлен на рисунке 3.7.

В приведенных ниже графиках, движение происходит не по круговой траектории, а описывает совершенно новую модель, которая существенно отличается от первой. Все это свидетельствует о том, что с помощью дифференциальных уравнений, можно описать бесконечно много моделей, будь то изменение уравнения или условия в данном уравнении.

Рисунок 3.7 - Пример раскручивающихся моделей в Mathcad

Независимого от того, раскручиваются или скручиваются приведенные модели, у них есть предельный цикл, то есть теоретически есть такой промежуток, дальше границ которого модель не выйдет. Поэтому на приведенных выше графиках, можно заметить эту границу. Хотя границы ее не совсем точные, поэтому для большего приближения проведем итерацию, которая представлена а рисунке 3.8.

Рисунок 3.8 - Пример итерации

После первой итерации, границы модели заметно приблизились к своему предельному циклу. Проведем повторную итерацию, которая представлена на рисунке 3.9.

Рисунок 3.9 - Пример повторной итерации

После повторной итерации можно заметить, что движение нормализовалось и стало проходить практически возле одной и той же границы. В связи с тем, что графики раскручиваются, амплитуда их должна увеличиваться. Зависимость амплитуды от времени представлена на рисунке 3.10.

Рисунок 3.10 - Зависимость амплитуды от времени

Для того чтобы понимания, как ведут себя графики в пространстве, построим трехмерные графики, которые представлены на рисунке 3.11.

Рисунок 3.11 - Трехмерные графики

Особый интерес кусочно-линейных уравнений третьего порядка, возникает при условии, которое представлено в виде формулы:

(3.2)

Вопрос нахождения предельного цикла для кусочно-линейного уравнения третьего порядка, является малоизученным. Совместно с изучением предельных циклов, встает проблема определения устойчивости или неустойчивости стационарных решений. Основное внимание уделяется коэффициентам уравнений на поведение решений. Для данных уравнений, проводится секторное разделение пространства коэффициентов.

Пример кусочно-линейного уравнения третьего порядка имеет вид:

Где a, b, c, d -любые вещественные числа, а л-скалярный параметр.

Проведем секторное разделение пространства коэффициентов для случая, представленного в виде формулы:

(3.4)

В результате секторного разделения, получим следующее уравнение:

(3.5)

В результате секторного разделения, появились следующие области:

1. M1 = {(a, b, c) : ab > c, a > 0, c > 0 и {a 2 ? 3b ? 0 или {a 2 ? 3b > 0 и c /? [A1; A2]}}};

2. M2 = {(a, b, c) : ab > c, a > 0, c > 0, a2 ? 3b > 0 и c ? [A1; A2]};

3. M3 = {(a, b, c) : {c > max{0, ab} и a 2 ? 3b ? 0} и {a 2 ? 3b > 0 и c > max{0, ab, A1}}};

4. M4 = {(a, b, c) : a 2 ? 3b > 0, 0 < c < A1 и {b < 0 или a < 0}};

5. M5 = {(a, b, c) : ab < c, a < 0, c < 0 и {a 2 ? 3b ? 0 или {a 2 ? 3b > 0 и c /? [A1; A2]}}};

6. M6 = {(a, b, c) : ab < c, a < 0, c < 0, a2 ? 3b > 0 и c ? [A1; A2]};

7. M7 = {(a, b, c) : {c < min{0, ab} и a 2 ? 3b ? 0} и {a 2 ? 3b > 0 и c < min{0, ab, A1}};

8. M8 = {(a, b, c) : a 2 ? 3b > 0, A2 < c < 0 и {b < 0 или a > 0}}, где A1,2 = ± 2 27 v (a 2 ? 3b) 3 + ab 3 ? 2a 3 27 .

Установив, что условие D = 0, эквивалентно равенствам А1 = А2 = 0.

Опираясь на данные условия и на анализ корней характеристических уравнений, определяются следующие области изменения коэффициентов, которые представлены на рисунке 3.12.

Рисунок 3.12 - Области изменения

Заключение

В результате проделанной квалификационной работы, были исследованы дифференциальные уравнения третьего порядка, а в частности составлены и компьютерные модели с подробным их описанием. Так-же в процессе работы были разобраны труды таких ученых, как Лоренц и Ван дер Поль, которые внесли существенный вклад в изучение дифференциальных уравнений. В результате решения данных уравнений, было наглядно представлено, что в процессе движения моделей на графиках, наступает такой момент, когда данная модель не может перейти дальше определенной границы. То-есть, она практически зацикливается около одной линии, все это говорит о том, что модель дошла до своего предельного цикла.

Особое внимание при разборе предельных циклов, уделялось кусочно-линейным дифференциальным уравнениям третьего порядка. Так как вопрос существования предельного цикла, для данных уравнений мало изучен. Решая кусочно-линейные уравнения третьего порядка, внимание обращается на обнаружение не только предельного цикла, но и на определение устойчивости или неустойчивости стационарных решений. На поведение решений, существенную роль играют коэффициенты уравнения, над которыми в свою очередь, проводят секторное разделение пространства.

Благодаря проделанной работе, изучение дифференциальных уравнений станет намного проще, так как есть не только готовые коды, но и визуальное представление, как по простым решениям, так и сложным частным случаям. Студенты или обычные люди, которые хотят изучать дифференциальные уравнения, смогут визуально представлять, что происходит при решении в том или ином случае. А уже потом вносить самостоятельно свои данные.

Для работы с дифференциальными уравнениями использовался математический пакет MathCad, с его встроенным внутренним языком. Поэтому конкретного визуального приложения, на подобии сайта, либо какого-то клиента для компьютера, в данной работе не предусмотрено. Сам код в MathCad, вместе со всеми графиками уже, является полноценной программой, в которой можно вносить изменения и в зависимости от веденных условий, будет выводиться соответствующий результат.

Список использованных источников