Вычисление констант в модели механического поведения резины при конечных деформациях

Размещено на Allbest.ru

Введение

константа механическое поведение резина

Резина представляет из себя нанокомпозит, состоящий из эластомерной матрицы и агрегатов частиц технического углерода. Резина обладает такими механическими свойствами, как гиперупругость, пластичность, вязкость, размягчение материала после первого нагружения (эффект Маллинза) и т. д.

Для описания столь сложного механического поведения материала существуют различные модели, наиболее удобной из которых представляется модель, предполагающая построение дифференциальных феноменологических уравнений. В отличие от интегральных, такие модели имеют более простую схему построения соответствующего численного метода и облегченную процедуру идентификации констант по имеющимся экспериментальным данным.

Одна из таких моделей предложена А. Л. Свистковым [1]. Она содержит в себе упругие (элементы 2, 5, 7), вязкие (элемент 8), пластические (элементы 3, 6) и трансмиссионные элементы (1, 4) (рис. 1).

Рис. 1. Модель нанокомпозита

Каждый элемент на схеме является условным обозначением группы определяю-щих уравнений. Схема материала показывает, как тензорные нелинейные уравнения объеди-нены в полную систему уравнений, позволяю-щую моделировать сложное вязкоупругое поведение среды в произвольном виде дефор-мирования материала. В основу модели заложен подход, основанный на аддитивном разложении тензора скоростей деформации среды на тензоры скоростей деформации отдельных элементов схемы. Для внутренних точек схемы требуется выполнение условия согласования тензоров напряжений Коши.

Детали алгоритма построения опреде-ляющих уравнений из отдельных групп опре-деляющих соотношений (упругих, вязких, пластических, трансмиссионных) описаны в работе [1].

1. Математическая постановка задачи

Материал полагается несжимаемым. Девиатор тензора напряжений Коши упругого элемента с номером вычисляется по обычным формулам нелинейной теории упругости:

(1)

в которых массовая плотность свободной энергии среды зависит от значений кратностей удлинений упругих элементов

(2)

где , , и , , - кратности удлинений и собственные векторы тензора растяжений упругого элемента с номером . Изменение во времени тензора вычисляем, используя уравнение эволюции:

(3)

В формуле использовано обозначение

(4)

где - тензор поворота в полярном разложении деформационного градиента среды на левый тензор растяжения и поворот ; передаточное число -ого трансмиссионного элемента, который соединяется с рассматриваемым упругим элементом слева. При этом скорость совершения работы в -ом упругом элементе определяется по формуле

(5)

Структурные деформации частей эластомерного связующего и макроскопические деформации резины существенно отличаются друг от друга. Учесть это различие в расчетах позволяют трансмиссионные элементы. С их помощью тензор скоростей деформации в правой точке трансмиссионного элемента увеличивается в раз по сравнению с соответствующим тензором в левой точке при одновременном уменьшении значения тензора напряжений Коши.

Девиатор тензора напряжений Коши вязкого элемента с номером вычисляется по формулам теории нелинейной вязкой жидкости с помощью соответствующего тензора скоростей деформаций :

Для -го пластического элемента девиатор тензора напряжений Коши определяется по формулам теории пластического течения

и для замыкания системы используем пропорциональную зависимость между тензорами скоростей деформации пластического элемента и тензором скоростей деформации всей среды .

(6)

где множитель является неотрицательной функцией, заданной зависимостью

Функция текучести , с помощью которой формулируется критерий развития в среде пластических деформаций, является функцией тензора напряжений Коши , действующих в материале. Пластическое деформирование среды происходит в том и только в том случае, когда функция текучести имеет максимальное значение за всю предыдущую историю существования среды.

Энтропия материала и тепловой поток вычисляются по формулам неравновесной термодинамики

(7)

где коэффициент теплопроводности.

2. Выбор программных средств

Для реализации приложения был использован объектно-ориентированный язык программирования высокого уровня C#.

Для изображения графиков функций используется свободно распространяющаяся библиотека ZedGraph.

3. Реализация приложения

Алгоритм нахождения констант предполагает вычисление матриц и векторов, поэтому первым шагом в разработке приложения была разработка библиотеки классов линейной алгебры, поддерживающей все необходимые операции с матрицами и векторами, используемые для реализации алгоритма.

Для интерполяции экспериментальных данных была реализована функция, в основе которой лежит алгоритм интерполяции сплайнами по методу Акимы.

В основе алгоритма нахождения констант лежит минимизация функции нескольких переменных. В силу того что количество неизвестных констант неодинаково на всех шагах и на некоторых оно превышает 2, функция, выполняющая минимизацию, была реализована на основе алгоритма нахождения минимума функции нескольких переменных по методу Хука-Джевса. Этот метод относится к прямым методам, т. е. опирается непосредственно на значения функции, что необходимо для поиска минимума получаемых при реализации алгоритма функций.

Следующим шагом разработки приложения является интерфейс. Интерфейс приложения должен позволять пользователю загружать экспериментальные данные, вычислять константы на основе загруженных данных, отображать графики эксперименталь-ных и строящихся на основе полученных констант кривых и сохранять полученные константы.

При запуске программы пользователь попадает на главную форму (рис. 2).

Рис. 2. Главная форма

Располагаемая на главной форме строка меню содержит два списка команд: «Экспе-римент» и «График».

Первый список команд позволяет загрузить экспериментальные данные, отоб-разить графические кривые эксперимен-тальных данных и сохранить загруженные данные для их автоматической загрузки в приложение при последующих запусках.

При выборе в меню «Эксперимент» пункта «Загрузить экспериментальные данные» открывается форма загрузки эксперимента (рис. 3).

Рис. 3. Форма загрузки эксперимента

Данные, получаемые с разрывной машины, могут быть получены в файле текстового формата «txt», поэтому в приложении реализована загрузка данных именно из файлов такого формата.

На форме загрузки, при нажатии на кнопку «Открыть», можно выбрать текстовый файл с экспериментальными данными. После анализа выбранного файла на форме отобразится количество найденных строк и столбцов. Форма предоставляет возможность выбора столбцов для загрузки данных, типа символа для рисования кривой и цвета, в который она будет окрашена.

Список команд меню «График» позво-ляет очистить график, загрузить график кривой из текстового файла, отобра-зить/скрыть сетку графика и развернуть график на весь экран (рис. 4).

Рис. 4. Полноэкранный вид графика

В целях экономии места для графика функций реализован открывающийся и скрывающийся список, содержащий легенду графика функций. Список открывается и лагающуюся левее графика как на главной форме, так и на форме полноэкранного вида графика (рис. 5).

Рис. 5. Легенда графика функций

Список поддерживает возможность выбора и удаления нескольких кривых, отображенных на графике функций. Список можно закрыть, нажав на ту же кнопку.

На правой части главной формы распо-лагается панель, содержащая карточки шагов алгоритма (рис. 6).

Карточка каждого шага содержит поля для констант, определяемых на этом шаге, возможность выбора способа определения констант, возможность выбора цвета и типа символа для рисования кривой.

Рис. 6. Форма загрузки эксперимента

Кнопки для отображения кривой на графике и сохранения полученных констант в файл становятся доступны в том случае, когда константы вычислены/были загружены из файла/были введены вручную.

При нажатии на кнопку «Вычислить», располагающуюся в нижней части формы, запускается вычисление констант на тех ша- гах, в карточках которых проставлен способ определения «Вычислять».

Под графиком функций (рис. 7) распола-гается поле, в котором отображается инфор-мация по текущему состоянию определения констант.

Рис. 7. Строка состояния

Алгоритм нахождения констант явля-ется последовательным. Данные на последу-ющих шагах используют данные, полученные на предыдущих шагах. В силу этого вычис-ление констант на шагах, необходимые дан-ные для которых никак не определяются, от-меняется.

В приложении реализована «защита от дурака», оповещающая пользователя о его неверных действиях (рис. 8).

Рис. 8. «Защита от дурака»

Заключительным этапом работы является написание функций, реализующих вычисления констант на каждом из шагов. Было реализовано четыре из десяти имеющихся в алгоритме шагов. Получены удовлетворительные результаты при вычислении констант на первых четырех шагах.

Так как алгоритм последовательный и с каждым следующим шагом модель, описывающая поведение резины, уточняется, разница между графиками экспериментальных и теоретических кривых уменьшается (рис. 9, 10).

Рис. 9. Шаг1

На рис. 9-10 отображаются теоретические и экспериментальные кривые.

Заключение

В процессе выполнения работы разработан функциональный интерфейс при-ложения и основные классы, методы и функ-ции для реализации шагов алгоритма.

Результаты, полученные при выпол-нении первых четырех шагов, показывают, что на каждом шаге теоретически получаемые данные приближаются к экспериментальным.

Работа над реализацией остальных шагов будет продолжена.

Список литературы

Свистков А. Л., Лауке Б. Дифференциальные определяющие уравнения несжимаемых сред при конечных деформациях // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50, № 3. С. 158-170.

Пелевин А. Г., Свистков А. Л. Алгоритм поиска констант в модели механического поведения резины // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16, № 3. С. 313-328.

Богачев К. Ю. Практикум на ЭВМ. Методы приближения функций. Изд-во ЦПИ при механико-математическом факуль-тете МГУ, 2002. 192 с.

Троелсен. Э. С# и платформа. NET.

Библиотека программиста. СПб. : Питер, 2004. 796 с.

Размещено на Allbest.ru