Компьютерное моделирование на уроках информатики в среде Maxima

Размещено на http://www.allbest.ru/

Компьютерное моделирование на уроках информатики в среде Maxima

При создании сложных компьютерных моделей требующих большого числа вычислений математические пакеты становятся незаменимым помощником, освобождая учащихся от рутинных расчетов и сосредотачивая их внимание на сущности метода решения той или иной задачи.

Учащимся предоставляется возможность выполнять более сложные задания и получать наглядные результаты. Это способствует более эффективному закреплению знаний и умений, полученные ими при изучении других школьных дисциплин, помогает проявлять свои творческие и исследовательские способности.

Одним из доступных и многофункциональных пактов для использования в образовательных учреждениях стала среда Maxima -- свободная система компьютерной алгебры, написанная на языке Common Lisp. Среда произошла от системы Macsyma, разрабатывавшейся в MIT с 1968 по 1982 годы в рамках проекта Project MAC, финансируемого Министерством энергетики США (DOE) и другими государственными организациями. Maxima имеет широкий набор средств для проведения аналитических и численных вычислений, построения графических примитивов. Для среды создан ряд графических интерфейсов пользователя и надстроек. В Maxima включено достаточно большое количество средств позволяющих решать задачи моделирования, параметрической идентификации, исследования моделей.

Рассмотрим примеры построения компьютерных моделей.

Пример 1. Броуновское движение

Броуновские частицы имеют размер порядка 0,1-1 мкм, т.е. от одной тысячной до одной десятитысячной доли миллиметра. Построим упрощённую модель броуновского движения. Для генерации случайных чисел используем пакет distrib, включающий необходимые функции (использован генератор random_normal). Пакет distrib содержит набор функций для вычисления вероятностей как в дискретных, так и в непрерывных одномерных моделях.

Описание алгоритма:

1. Настройка функции -- отключения упрощений (simp)

2. Определение каталога временных файлов -- для оператора создания изображения.

3. Загрузка библиотек.

4. Определение переменных.

5. Создание набора координат -- перемещение броуновской частицы.

6. Построение графического изображения (рис.1).

Код:

simp:true$;maxima_tempdir: "C:\\Documents and Settings\\All Users";load("distrib")$x:0$ y:0$ xy:[[0,0]]$ m:0$ s:1$Nmax:50$for i:1 thru Nmax do (x:x+random_normal(m,s), y:y+random_normal(m,s), xy:append(xy,[[x,y]]))$ plot2d([discrete,xy]);

Рисунок 1. Имитация движения броуновской частицы

Пример 2. Линейная регрессия.

Пусть необходимо установить функциональную зависимость между двумя эмпирическими данными x и y, значения которых занесены в следующую таблицу:

Таблица 1. Функциональная зависимость между двумя множествами.

Установим вид функции y=f(x) по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек.

Если точки расположены таким образом, что определяют некоторую прямую (с определенной погрешностью), то можем предположить, что между x и y существует линейная зависимость, выражающаяся формулой: y=kx+b.

Данная функциональная зависимость называется линейной регрессией, а возникшие коэффициенты k и b -- коэффициенты линейной регрессии.

Показатели по объему производства (х, у.е.) и затратам (у, тыс. руб.), взятые из отчетной ведомости предприятия за 10 месяцев, приведены в таблице.

Таблица 2. Показатели по объему производства и затратам

Полагая, что зависимость между х и у задается формулой y=kx+b, где b -- постоянные затраты в тыс. руб., k -- переменные затраты на 1 условную единицу продукции, определить параметры k и b. Определите затраты при росте объема производства, на 11 месяце на 10%.

В дальнейшем предполагается, что исходные данные для решения подготовлены в виде файла tbl.txt (данные записаны в двух столбцах):

2.32 4272.33 4302.38 4402.41 4442.44 4482.48 4552.51 4602.55 4622.58 4652.60 466

Для считывания используем пакет numericalio. В памяти данные представляются матрицей, а для построения отдельных графиков -- списками (переменные x, y). Простейшую линейную регрессию можно построить, используя функцию simple_linear_regression (пакет stats).

Построим зависимость затрат от объема производства.

Описание алгоритма:

Блок 1.

1. Загрузка библиотек создания изображения и расчета линейной регрессии.

2. Считывание данных из файла в матрицу.

3. Создание двух списков, соответствующих столбцам считанной матрицы.

4. Вычисление функции линейной регрессии.

Блок 2

1. Определение функции линейной регрессии отдельным определением.

2. Построение графиков.

Блок 3.

1. Вычисление затрат 11 месяца.

Код.

Блок 1.

load("draw");load("numericalio");data:read_matrix("C:\\1\\tbl.txt");p:makelist(data[k,1], k, 1, 10);e:makelist(data[k,2], k, 1, 10);pe:makelist([p[k],e[k]], k, 1, 10);simple_linear_regression(pe);

Вывод (рис.2):

Рисунок 2. Окно вывода

В окне вывода полученные данные модели линейной регрессии. Определены коэффициенты и функция.

Блок 2.

function:139.64*x+106.16;draw2d(xlabel="Production volume",ylabel="Expenses", point_size = 3,point_type=3,points(p,e), key="Expenses=f(Production volume)", explicit(function,x,2,3));

Вывод (рис.3)

Рисунок 3. График соответствия

Блок 3.

newX:data[10,1]*1.1;newY: function, x:newX;

Вывод

2.86505.5304

Таким образом, поставленная задача решена:

1. Определена модель линейной регрессии у=139.64*x+106.16.

2. Вычеслены прогнозируемые затраты при росте объема производства, а 11 месяце на 10% -- 505.5304.

Пример 3. Составить модель биоритмов для конкретного человека. На основе анализа индивидуальных биоритмов возможно прогнозировать неблагоприятные дни, выбирать благоприятные дни для разного рода деятельности. Циклы описываются следующими формулами: физический цикл Ф(x)=sin(2*PI*x/23,688437),эмоциональный цикл Э(x)= sin(2*PI*x/28,426124), интеллектуальный цикл И(x)= sin(2*PI*x/33,163812), где переменная x соответствует возрасту человека в днях.

Код.

maxima_tempdir: "C:\\1";d:5000;f: sin(2*%pi*x/23.688437);e:sin(2*%pi*x/28.426124);i:sin(2*%pi*x/33.163812);wxplot2d([f,e,i],[x, d, d+30], [legend, "physical","emotional","intellectual"],[style, [lines,1,5], [lines,2,5], [lines,4,5]], [ylabel, "biorhythm"],[xlabel,"time"]);

Результат построения графика приведен на рис.4.

Рисунок 4. Биоритмы

Таким образом, применение математических пакетов позволяет решать целый спектр новых трудоемких, но интересных задач сопровождая их решение графическими построениями и пошаговой визуализации процесса решения.

Список литературы

математический моделирование maxima

1. Кавтрев А. Ф., Методические аспекты преподавания физики с использованием компьютерного курса «Открытая Физика».// URL: www.college.ru/teacher/metod_phys.html (дата обращения, 12.04.2019).

2. Чичкарёв Е. А .Компьютерная математика с Maxima: Руководство для школьников и студентов / Е. А .Чичкарёв -- М. : ALT Linux, 2009.

Размещено на Allbest.ru