Размещено на http://www.allbest.ru/

Компьютерное математическое моделирование на конкретных примерах

Автор: Карпова Анастасия,

Руководитель: Пяткина Г.А.

Москва 2013

Оглавление

• Введение
• Глава 1. Теоретическая часть
• 1.1 Понятие и разновидности моделей
• 1.2 Математическая модель
• 1.3 Основные этапы построения математической модели
• 1.4 Основные этапы построение модели на примере полета камня под углом к горизонту
• 1.5 Классификация математических моделей
• 1.6 Пример оптимизационной модели
• 1.7 Пример описательной модели
• Глава 2. Практическая часть
• 2.1 Задача о размножении бактерий
• 2.2 Транспортная задача 2х 2
• 2.3 Задача о полете камня под углом горизонту
• Заключение
• Список литературы
• Приложение 1. Скриншоты задачи о бактериях
• Приложение 2. Текст программы задачи о бактериях с комментариями
• Приложение 3. Скриншоты программы для транспортной задачи 2х 2
• Приложение 4.Текст программы для транспортной задачи 2х 2
• Приложение 5. Скриншоты программы о полете камня под углом к горизонту
• Приложение 6.Текст программы о полете камня под углом к горизонту

Введение

Моделирование процессов и явлений в современном мире играет очень важную роль. Многое в нашем мире, прежде чем претвориться в жизнь, проходит предварительное и тщательное исследование с помощью различных моделей. Поэтому моделирование является универсальным методом научного познания и заинтересовало меня. И мой выбор остановился на теме: "Компьютерное математическое моделирование на конкретных примерах". Тема моего диплома актуальна в связи с объективной сложностью для изучения. Дипломная работа имеет практическое значение, так как может быть использована при изучении раздела "Моделирование" в профильных группах 11 класса. Я поставила перед собой цель: создать и исследовать описательную и оптимизационную математические модели для выбранных задач. Для реализации этой цели я поставила перед собой следующие задачи:

· Изучить литературу по темам:

o понятиях и разновидностях моделей

o этапах компьютерного математического моделирования

o классах математических моделей

· Разработать описательную математическую модель

· Разработать оптимизационную математическую модель

· Написать отчет

Мой диплом состоит из введения, 2-х частей: теоретической и практической, заключения, приложения и списка литературы. В теоретической части будут рассмотрены разновидности моделей, этапы компьютерного моделирования, классы математических моделей, а также разработаны примеры описательной и оптимизационной моделей, которые будут реализованы в практической части.

Источниками информации были:

1. Г.В. Галисеев: "Программирование в среде Delphi 7"

2. Л.Ф. Залогова: "Информатика и ИКТ. Задачник - практикум"

3. Ю.Д. Угринович: "Исследование информационных моделей"

4. Интернет - ресурсы

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Понятие и разновидности моделей

Издавна человек использует модели. Это важно при изучении сложных процессов или систем, создании новых устройств или сооружений. Использование ее началось еще в глубокой древности, начиная со строительства и архитектуры, постепенно расширяя свое значение и в точных науках: физике, астрономии, биологии, - а ближе к современности и общественных науках. Особо бурное развитие моделирование получило в XX веке, когда и стало единой отраслью, когда сформировались одинаковые подходы, требования, терминология. Обычно модель более доступна для исследования, чем реальный объект (а есть объекты, моделирование которых затруднено по тем или иным причинам). Модель Информатика и ИКТ. Задачник-практикум: в 2 т. И 74 Т.2/Л.А. Залогова; -3-е изд.-М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.-294 с является некоторым материальным или идеальным (мысленно представляемым) объектом, заменяя объект-оригинал, сохраняя его характеристики, важные для конкретного случая.

Процесс построения модели называют моделированием Информатика и ИКТ. Задачник-практикум: в 2 т. И 74 Т.2/Л.А. Залогова; -3-е изд.-М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.-294 с. Все способы моделирования можно разделить на три большие группы:

Вербальные модели используют естественный язык для описания чего-либо. Например, правила дорожного движения. Математические модели включают в себя огромный спектр моделей из различных областей науки. Это может быть как система уравнений какого-либо физического процесса или расчет оптимального варианта с точки зрения экономической выгоды.

Информационные же модели описывают информационные процессы в различных областях.

В своей работе я остановилась на самом интересном для себя варианте: на математических моделях. Поэтому дальше речь пойдет только о них.

1.2 Математическая модель

Математическая модель Информатика и ИКТ. Задачник-практикум: в 2 т. И 74 Т.2/Л.А. Залогова; -3-е изд.-М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.-294 с. - это приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.

Мнение о том, что математическое моделирование связанно только с моделированием на ЭВМ ошибочно. На самом деле его история уходит далеко в средние века. Уже тогда люди пытались оптимизировать свой доход, а так же создавали чертежи различных построек и т.д. Но создание ЭВМ дало большой толчок в развитии этой отрасли. Стало доступным моделирование более сложных процессов, с большим числом переменных и исходов, так же облегчив вычислительные операции. Сейчас же сложно представить моделирование без компьютерного анализа. Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью Информатика и ИКТ. Задачник-практикум: в 2 т. И 74 Т.2/Л.А. Залогова; -3-е изд.-М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.-294 с., а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом Информатика и ИКТ. Задачник-практикум: в 2 т. И 74 Т.2/Л.А. Залогова; -3-е изд.-М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.-294 с..

Естественно, в современном мире математическое моделирование занимает одно из ведущих позиций практически во всех направлениях. Ведь даже если хотим пойти в магазин и набрать продуктов к празднику на некоторую сумму мы должны предварительно рассчитать стоимость и затраты на разные составляющие, чтобы в итоге получился полный комплект нужных ингредиентов. Ну а самые сложные разновидности моделирования связаны с глобальными процессами, как в ракетостроении или просчете траектории астероидов. В связи с вышесказанным актуальность и популярность, а также необходимость изучения не вызывают сомнений. Это неотъемлемая часть современного мира во всех направлениях.

Целями математического моделирования могут быть разные вещи, но выделим основные из них:

1. Для понимания устройства, структур, свойств, взаимодействий объекта

2. Для управления объектом и оптимизации его

3. Для прогнозирования последствий взаимодействия с объектом и на него.

Приведем примеры вышеописанных задач. Примером для первой задачи может быть моделирование солнечной системы, изучение взаимодействий планет друг на друга и на Солнце. Для второго случая подойдет ситуация с запуском ракеты, когда мы определяем скорость и нужную точку отброса разгонной части. Третью задачу может отражать изучение влияния человека на выбросы углекислого газа и прочих фреонов в атмосферу и последующая ответная реакция природы.

1.3 Основные этапы построения математической модели

Попытаемся определить основные этапы построения анализа и оптимизации математической модели. С начала, конечно же, нужно определить конечные цели, ведь в зависимости от них могут получаться разные результаты, да и вообще модели в целом. Например, когда мы моделируем вращение Луны вокруг Земли, то нам не важен ее рельеф, только масса и размеры. Но если мы будем исследовать приземление на поверхность, то карта Луны нам необходима. Поэтому необходимо понять какие параметры будут входными и выходными, а какими параметрами можно пренебречь. В этом заключается второй этап - составление списков параметров.

Схема 1. Основные этапы построения математической модели

Допустим, задача с поставкой товара от трех различных производителей: мы вводим цены и количество имеющегося товара у каждого продавца и стоимость доставки, а выходными параметрами будет количество закупаемого товара. Последним этапом является компьютерная реализация и отладка программы. При этом не стоит забывать об эффективности программы, используемых ресурсов памяти и затраченное время. Попытаемся отобразить основные моменты моделирования на схеме (см. сх.1). Помимо выше описанных пунктов, существуют еще несколько важных моментов. Ведь после определения целей, выделения входных и выходных параметров, а также их сортировки по важности (ранжирование факторов), важно определить метод математического описания, а так же метод исследований. Для реализации проекта на ЭВМ, мы можем использовать готовые программы либо разработать собственный алгоритм и программу. Во втором случае необходимо так же отладить и протестировать программу. После этого мы уже можем проводить численный эксперимент и либо удовлетвориться результатами, либо изменить метод исследования, либо поменять входные-выходные параметры. Все вышесказанное отобразим в схеме для наглядности. Как видно, для того чтобы наша модель стала рабочей, ей необходимо пройти немало стадий разработки.

1.4 Основные этапы построение модели на примере полета камня под углом к горизонту

Рассмотрим вышесказанное на конкретном примере (относящемся к пункту 2 классификаций в разделе 1.2). Возьмем камень и будем исследовать его полет под углом к горизонту б с некоторой начальной скоростью V₀. Целью нашего моделирования является изучение траектории и дальности полета. Понятно, что мы имеем изначально только начальную скорость и угол б наклона, а получить в конце хотим дальность полета L. Для достижения поставленной цели мы можем использовать какой-нибудь готовый пакет программ из интернета, который нам нарисует полет, дальность и другие показатели полета. Но мы выберем самостоятельный путь создание программы и алгоритма. Как известно из курса общей физики (оси выберем традиционно, направив одну горизонтально в сторону полета, а другую вертикально вверх):

Так как y=y₀=0 (камень бросили и он упал на землю) и обозначая x-x₀=L:

Далее учтем, что в течение всего полета на камень действовало только ускорение свободного падения g (?9.8 м/сек ²), которое направлено вертикально. Проекции скорости на оси Х и Y:

Подставляя в систему уравнений (1) и избавляясь от времени t, выразив его из второго:



(t=0 не учитываем)

В итоге, мы получили зависимость дальности полета L(V₀, б). Программа на любом языке программирования будет тривиальной, а если мы хотим построить схематически полет, то можем использовать из вышесказанных формул зависимость x(t) и y(t). Это будет параметрическое задание графика в координатах (x,y):

Отладив и протестировав программу, мы можем приступать к экспериментам. Которые потом можем проанализировать и сделать выводы о зависимости дальности полета от начальных параметров.

1.5 Классификация математических моделей

В этой классификации все практически тривиально и зависит от затрагиваемых отраслей науки. Но не стоит забывать, что иногда мы можем столкнуться с несколькими отраслями в одной задаче. Особенно это характерно задачам точных наук. Выделим самые большие такие отрасли.

§ Физика

§ Социология

§ Биология

§ Экономика

При построении математической модели мы зачастую сталкиваемся с различными уравнениями или системами уравнений. И естественно выделить еще один способ классификаций моделей по применяемому математическому аппарату. Выделим основные категории:

· Элементарные алгебраические преобразования

· Дифференциальные уравнения

· Элементы теории вероятности

· Вариационное исчисление для неразрешимых уравнений, систем и пр.

· Элементы высшей математики Н.Д. Угринович. Исследование информационных моделей. Элективный курс: Учебное пособие. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006 - 200 с.

Вышеперечисленные категории классификаций можно продолжить и дальше, но мы уже вникаем в саму суть модели, поэтому будет логичным сделать последнюю сортировку Н.Д. Угринович. Исследование информационных моделей. Элективный курс: Учебное пособие. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006 - 200 с., не учитывая ни отрасль науки, ни математический аппарат, ни цели моделирования.

v Описательные (Дескриптивные) модели. Это модели, основной задачей которых является наблюдение, описание, предсказание. Мы не вторгаемся в саму систему и ни на что не влияем. Например, вспышки на поверхности солнца. Мы за ними наблюдаем, исследуем, пытаемся понять и рассчитываем, как это отразится на жителях Земли.

v Оптимизационные модели. В них, в отличие от предыдущей категории, мы вмешиваемся в саму систему с целью оптимизации интересующих нас вещей. Примером может служить оптимизация прибыли магазина в зависимости от цен, которые мы можем варьировать.

v Многокритериальные модели. В этом случае, в отличие от оптимизационных мы стараемся максимизировать/минимизировать несколько параметров. Например, случай на крестообразном перекрестке. Мы можем изменить продолжительность светового сигнала для пешеходов и для автомобилей. А целью нашей является оптимизация ситуации: максимизация времени движения для автомобилей и минимизация времени простоя для пешеходов. Ясно, что всем не угодить в этой ситуации, но, если исследовать время сигнала, мы можем найти искомую величину длительности сигнала в зависимости от силы потока пешеходов и автомобилей.

v Игровые модели. Несмотря на название, этот раздел может быть связан не только с играми, а также и с прогнозированием событий с учетом хода соперника. Это, например, очевидно в экономике, когда мы должны также считаться с нашими конкурентами, ну а игровым примером может быть, например, покерная игра, шахматы и прочее.

v Имитационные модели. В этой категории мы создаем модель для имитации какого-либо события, предсказания поведения объекта в зависимости от изменяемых параметров. Например, расчёт движения катера, когда переплываем реку в поперечном направлении и изменение траектории в зависимости от резко изменившейся скорости течения или ветра.

1.6 Пример оптимизационной модели

Помимо задачи с полетом камня под углом к горизонту, рассмотрим следующую оптимизационную задачу: пусть у нас в городе N имеются два хлебозавода и два склада сбыта, откуда уже продукция поступает в остальные магазины. Первый хлебозавод ежедневно производит 50 т., а второй - 70 т. товара. Первый склад вмещает 40 т., а второй - 80 т. Тем самым, продукция никто не оседает на складах. Пусть aij - стоимость перевозки с i завода на j склад: a11=1.2 у.е., a12=1.6 у.е., a21=0.8 у.е., a22=1 у.е.

Определим, искомые величины: х ₁ - количество товара с 1 хлебозавода на 1 склад, x₂ - соответственно, на второй. Аналогично, y₁ и y₂.

Будем действовать согласно плану, сформулированном в разделе 1.4. Определим целевой функционал затрат на поездку:

и ограничивающие условия:

;

Это задача так называемого линейного программирования. Мы можем воспользоваться для решения уже готовым пакетом программ или же самим решить эту задачу на любом языке программирования, как перебор всех возможных вариантов с определенной требуемой точностью. Прибегая к математическому решению данной задачи, определим конкретные оптимизирующие значения иксов и игреков: (вычитая из первой строки вторую и из третей четвертую)

Найдем оставшиеся неизвестные: x1=40 и y2=70.

В этом примере количество ограничивающих условий было равно количеству неизвестных, но в общем случае, их вполне может быть меньше, а ограничения могут мыть и не жесткими (вместо знака равенства может быть знак ограничения сверху/снизу). Эти дополнения задачу делают не только более сложной, но и интересной. Такая задача называется методом условного экстремума. А в случае нежестких условий полезно знать, что экстремум будет находится на одной из границ получаемого множества.

1.7 Пример описательной модели

Как уже отмечалось, в описательных моделях у нас нет возможности на что-либо повлиять, что-либо изменить, мы можем лишь наблюдать и предсказывать. В качестве примера возьмем движение Луны вокруг Земли. Изучение этого движения даст нам много интересных результатов, но давайте остановимся на одной из целью: предсказание будущего солнечного затмения - регионов нашей планеты, откуда будет видно полное перекрытие солнечного круга. Исходными параметрами системы должны быть сегодняшние данные о Луне, ее координаты и фаза, а также сегодняшняя дата. В нашем случае гораздо удобнее воспользоваться каким-либо пакетом программ для расчёта солнечных затмений, чем самим углубится в астрономические формулы траектории луны - а они, как не трудно догадаться, не такие уж и простые. Поискав в интернете, я выбрала бесплатную программу Sky Tool. С ее помощью я легко рассчитала будущее солнечное полное затмение. Как оказалось, оно будет только лишь в 2015 году и пройдет в основном по Атлантике и, помимо Северного полюса, удобно его будет наблюдать лишь с фарерских островов. Но его частное затмение будет видно и в России, на ее Западных границах. Этот результат, хоть и печальный немного, меня устроил и придется дожидаться 2015 года…

Глава 2. Практическая часть

Как было уже сказано в первой главе, основными проблемами при построении моделей, в частности и математических, помимо изучения структуры и свойств, является определение начальных и конечных параметров, выделение основных и дополнительных. Так же для реализации проекта необходимо выбрать среду программирования. Я остановила свой выбор на языке Delphi, потому что он является языком высокого уровня объектно-ориентированного программирования, прост в изучении и идеально подходит для представления и наглядности результатов.

Основной моей целью было создание нескольких математических моделей и их реализация на выбранном мною языке программирования. Я выбрала две описательные модели (задача о полете камня под углом к горизонту (п. 1.2) и задача о размножении бактерий, которая будет сформулирована в следующем пункте) и одна оптимизационная, рассмотренная мной задача о сбыте товара в пункте 1.6.

Прежде чем перейти к реализованным моделям опишу основные объекты языка Delphi 7, которые использовались:

Ш Поле edit. Используется для ввода информации с клавиатуры (может иногда использоваться и для вывода). В поле edit пользователь вносит информацию, которая потом считывается в виде текстовых данных и может быть после переформатирована в числовой формат, как целых чисел, так и дробных.

Ш Кнопка button. Используется в программе для выполнения каких-либо расчётов или вычислений (процедур) по нажатию на кнопку.

Ш Панель Panel. Используется для вывода значений, информации или просто содержит подсказку, что надо вписать в расположенное рядом поле edit.

Ш Текстовое поле Memo. В Delphi этот объект выполняет роль внутреннего текстового редактора. При этом все строки в этом объекте представляют просто массив текстовых переменных, что иногда упрощает работу с ним. В моей работе Memo используется для предоставления пользователю информации о программе по нажатию на кнопку "О программе".

Ш Объект Combo box. Предназначен для того, чтобы пользователь имел возможность поставить галочку (выделить, отметить) некоторое свойство, описанное в Combo box. Забегая вперед, этот объект используется, например, для включения / выключения анимации полета в задаче о полете камня под углом к горизонту.

Ш Объект класса Timage. Используется для того, чтобы выделить область рисования. После его идентификации все наши графические команды, как нарисовать линию, например, будут рисоваться в этом поле и не будут выходить за его пределы.

Ш Объект класса Tchart. Используется для рисования графика и предоставления информации в виде диаграмм или в графическом виде. Поддерживает автоматическое масштабирование и перемещение по области рисования, что позволяют пользователю более тщательно изучить поведение графика и его особенности.

2.1 Задача о размножении бактерий

Пусть в некоторой лаборатории выращивают и отслеживают некоторый вид бактерий. Экспериментально установили, что скорость размножения бактерий пропорциональна массе, так же в результате некоторых процессов количество погибших бактерий пропорционально квадрату биомассы. Определенную массу еще дополнительно забирают ежедневно для других целей. Поставим задачу определения зависимости массы от времени, а также нахождение некоторых других зависимостей от начальных данных.

>Сформулируем нашу задачу на математическом языке. Пусть у нас имеется X₀ гр. бактерий c коэффициентом размножения A и коэффициентом смертности B. Ежедневно забирают M грамм бактерий.

Соответственно, исходя из этих данных, мы можем посчитать количество бактерий, которое осталось на следующий день. А после - и в каждый последующий по рекуррентной формуле:

где X_i - количество бактерий на i день. (i?0).

Для каждого вида бактерий мы можем сами устанавливать количество ежедневно забираемой массы и начальную массу. В то время как коэффициенты размножения и смертности являются константами для данного вида бактерий.

По вышеописанной формуле мы можем рассчитать и посмотреть, как меняется искомая масса бактерий со временем за весь рассматриваемый промежуток (или до определенного дня, когда произошла смерть популяции).

Так выглядит начальное окно программы. В верхние пять строчек мы вводим начальные данные о бактериях, включая количество дней для рассмотрения. После чего немного правее мы можем нажать кнопку "рассчитать размножение бактерий" и получить еще правее ответ в виде оставшейся массы на N день и в случае гибели - день смерти. Нажав кнопку "построить график" мы можем проиллюстрировать зависимость массы бактерий от времени.

Вот такую наглядную картину мы можем получить. Причем красная панель, свидетельствующая о смерти популяции, появляется только в этом случае, в остальных же она невидима.

>После казалось бы выполненной основной работы, я задалась следующими вопросами: можно ли по начальным данным, которые мы можем варьировать, предсказать будет ли жить данная популяция и какие разновидности графика существуют.

Начнем со второго вопроса. Я исследовала много различных данных и классифицировала все виды графиков, в которых популяция выживает, на следующие группы (все виды графиков я продемонстрировала в приложении 1):

o Масса популяции со временем стремится к какому-то определенному значению, когда масса бактерий после определенного дня не изменяется. То есть весь излишек массы, полученный из-за размножения-смерти, забирается на исследования. Это число, к которому график может стремиться, мы можем получить, если нажмем на кнопку "определить предельное значение массы". Но далеко не факт, что график будет стремиться к этому значению, но если будет стремиться к некому предельному стационарному значению массы, то это будет именно такое число, которое мы видим правее (см. screenshot №4 приложения).

o Периодичные графики. Идентифицировать этот вид мы можем только визуально, так как отслеживать периодичные графики даже с периодом два дня слишком трудоемко (см. screenshot №5 приложения).

o Не периодичные графики. Это те графики, которые не стремятся ни к какому предельному значению и не являются периодичными (см. screenshot №1 приложения).

>Теперь разберем первый вопрос. Варьировать для каждого типа бактерий мы можем или начальную массу или ежедневную массу забора, ибо коэффициенты смертности и рождаемости являются величиной постоянной для данного типа бактерий. Итак, сформулируем конкретно вопрос для массы: в каких пределах мы должны выбрать начальную массу бактерий X₀, чтобы для данного вида бактерий с коэффициентами A и B и с известной ежедневно забираемой массой M, популяция останется жива?

Итак, как мы уже знаем из формулы (1) x_i+1 зависит от предыдущего значения x_i по параболической формуле, причем в этой формуле коэффициенты A, B, M - неотрицательные величины. Чтобы популяция осталась жива на следующий день, потребуем, чтобы x_i+1 было больше нуля:

Далее, для краткости, будем опускать индекс i и писать просто x, а значение - f(x). Итак:

Заметив, что левая граница всегда будет неотрицательна, ибо всегда для неотрицательных A, B, M:

(A+1)² ? (A+1)²-4BM.

Отметим, что если D отрицателен, то решения не будет для данных входных параметров, ибо популяция погибает на первый же день.

Хорошо, теперь мы получили некий промежуток, взяв начальную массу из которого мы получим на следующий день положительную величину, то есть бактерии не погибнут. Дальше, мы потребуем от получившегося значения аналогичное: чтобы получившееся значение также принадлежало получившемуся промежутку. Это будет гарантией, что на послезавтрашний день популяция останется жива. Обозначим промежуток, который мы получили - (2) на (c₀;d₀), тогда условие запишется как

В зависимости от E и F мы выбираем пересечение нужных ответов. Как видно, при отрицательном дискриминанте E решения не будет. То есть, Е должно быть неотрицательным. Пересечение со всем множеством действительных чисел будет очевидным, а самое интересно будем при пересечении (4) и (5). Сначала разберем это "очевидное".

Итак, E>0, F<0. Мы получили некоторый промежуток, но что дальше? Дальше чтобы популяция осталась жива, потребуем, чтобы получившееся на 2 день значение вновь удовлетворяло начальному условию, тем самым нам надо будет вновь решить (3), только границы заменить на вновь получившиеся в (4). Мы опять получим некий промежуток. Проделав аналогичное, получаем еще один и так далее - это последовательность вложенных промежутков. В моей программе есть такое окошко, соответствующее точности - количество знаков после запятой. И когда разница между двумя последовательными границами этих вложенных промежутков меньше 10^-n степени, где n-требуемая точность, мы останавливаемся и получаем границу с нужной точностью. Последнее действие очень легко оценивать с помощью цикла while. Получившийся ответ мы увидим в советующем окошке, а взяв начальную масса до границы и после нее, убеждаемся в правильности подхода, ибо вне границы бактерии рано или поздно погибают.

Теперь перейдем к рассмотрению пересечения (4) и (5): E, F?0. Так как c₀<d₀, то и E>F, а это значит, что пересечение (4) и (5) будет и даст нам совокупность двух промежутков.

Для наглядности изобразим все на графике. Парабола на нем - наша изначальная функция f(x), задаваемая (1). Две прямые - красная и фиолетовая - графическая интерпретация системы неравенств (3). Итак, в нашем случае, когда E и F больше нуля означает, что решением неравенства (3) будет два промежутка - некий (x1;x2) и (x3;x4), что очевидно, смотря на рисунок.



Аналогично предположив прогноз на "послезавтра", получаем подобие системы (3), только на месте левых и правых границ будут х1 и х2, х3 и х4. Каждое решение такой системы даст нам еще разбиение на два промежутка. И так далее. Что в итоге? Наши промежутки измельчаются, и в конце концов сводятся к бесконечно малым, то есть к нулю. Получаем, что какие бы ни были условия, рано или поздно популяция погибнет - нет устойчивости. Рассмотрев это на примерах, я получала день смерти порядка 100, но практика подтвердила теорию - бактерии все равно погибали.

Подытожим все в небольшой диаграмме 1.



Диаграмма 1

Казалось бы мы все решили, но есть один еще небольшой подвох в первом случае, когда F<0 и E>0. Графически это означает, что одна из линии (см. предыдущий график) выше параболы. Последовательность вложенных отрезков означает, что мы приближаем эти линии друг к другу. И может случиться так, что либо верхняя грань опуститься "внутрь" параболы и будет схожая ситуация с описанной (решения не будет), либо же нижняя линия выйдет за пределы параболы и решения не будет. Все эти тонкости я предусмотрела в своей программе, проверяя на каждом шаге соответствующие дискриминанты.

>По аналогии с предыдущим пунктом, составим аналогичный вопрос: в каких пределах я могу варьировать ежедневную массу забора при фиксированной начальной массе, чтобы популяция оставалась жива? Оказывается, ответ на такой вопрос очень просто и логичен.

Он заключается в вычислении такой массы M, которую я назвала статической, что масса бактерий не меняется во времени. Тем самым мы имеем постоянную массу забора бактерий для других целей. Эту массу мы можем определить из уравнения:

Тем самым, если мы будем брать меньше статической массы, то наша популяция будет жить, а если больше, то погибнет. Если получаемый результат отрицателен, то выводится сообщение, что невозможно рассчитать требуемую массу.

>Изобразим с помощью блок-схемы основной алгоритм программы для вычисления зависимости массы популяции от времени и отображение на графике, останавливаясь только лишь на самых главных моментах (см. блок-схему №1).

Блок-схема 1. Задача о размножении бактерий.

>Помимо рассказанного в своей программе я сделала так называемую "защиту от дурака", то есть проверку всех введенных данных на правильность типа и значений. Немного добавив цветов и дизайнерских приемов, я добилась того, чтобы программа была приятной и понятной для использования!

>Подытожим вышесказанное. Так как для расчёта массы на следующий день использует параболическая зависимость, у которой коэффициент при x² отрицателен, то это нам задает некую "жизненную" полосу массы, в которой бактерии должны жить. В ней график может вести себя по-разному: периодично или хаотично, но если он выйдет за пределы, то погибнет. При этом как бы не был высок коэффициент размножения, бактериям не удастся бесконечно размножаться. Это отражается в моей задаче, как с помощью графического представления, так и с помощью математического просчета "будущего" популяции".

2.2 Транспортная задача 2х 2

Разберем задачу описанную в пункте 1.6.

Для решения задачи размерности 2 на 2 можно избежать громоздких вычислений и воспользоваться методом перебора. Так как все величины X_ij положительны, то из первого и третьего уравнения системы ограничений (1) следует, что X₁₁ может принимать значения от 0 до min(A₁;B₁); Для каждого из значений из этого промежутка из вышеупомянутой системы однозначного можно определить все остальные неизвестные величины. Если все они окажутся неотрицательными, то можно считать общую величину издержек F. Пробегая весь промежуток для X₁₁, найдем минимальную величину. Я изобразила весь алгоритм решения на блок-схеме.

Блок-схема 2. Транспортная задача с двумя поставщиками и двумя потребителями.

Вот так выглядит стартовое окно программы:

В соответствующие поля надо ввести стоимость перевозок из хлебозаводов на склад и данные по ним: либо требуемое количество товара, либо имеющееся. После нажатия на кнопку "рассчитать", появляются четыре окошка около этой кнопки, в которых будет выведен ответ в виде количества товара, который нужно перевезти с данного склада в соответствующий магазин. В приложении есть остальные скриншоты программы, в том числе демонстрация защиты от неправильных данных.

2.3 Задача о полете камня под углом горизонту

Пусть у нас есть камень, который мы будем бросать под углом к горизонту. Считая камень точечным объектом и применяя к нему формулы кинематики, поставим вопрос об исследовании траектории полета нашего объекта.

>Эту задачу я уже частично разобрала в первой главе в пункте 1.2. Приведем несколько полученных формул. Траектория полета (g, напомним, - это ускорение свободного падения, равное 9.8 м/сек ²:

, (6)

Приравняв во втором уравнении y-координату к нулю (момент, когда камень упал), получим время полета:

Как уже показывалось, при подстановке этого времени полета в формулу для x-координаты, получим дальность полета L:

Помимо формулы для дальности полета, выведем формулу для максимальной высоты. Для этого продифференцируем функцию y(t) и определим ее максимум:

Подставляя это в y(t) получим максимальную высоту подъема H:

>Итак, как уже отмечалось в (6), мы имеем параметрический способ задания графика - траектории. Поэтому минимальное, что должна делать программа - это строить этот график. При этом в формуле (6) время t меняется от нуля до определенного формулой (7) времени полета. Кроме того построенного графика, программа укажет с точностью до 0.001 м. дальность полета и высоту, которые мы определили по формулам (8) и (9).

Входными параметрами программы являются скорость (V, м/сек.) и угол к горизонту (б, градусы?).

По этим данным при нажатии кнопки программа строит траекторию полета и заполняет окна, соответствующие дальности и максимальной высоте подъема камня. Пользователь предварительно может выбрать цвет траектории, а если построит несколько траекторий, то может выбрать ту, по которой будет происходить масштабирование путем нажатий на кнопки "предыдущая" и "следующая". А при нажатии кнопки "по максимальной высоте" программа автоматически определит искомую траекторию с наибольшей высотой и сделает по ней масштабирование всех остальных. Аналогичные действия будут в случае масштабирования по дальности полета. Помимо всего прочего для красоты получаемых траекторий у пользователя есть возможность добавить сетку на график с помощью одноименной кнопки внизу программы. Есть возможность очистить график от предыдущих траекторий с помощью соответствующей кнопки. Помимо этого для входных данных я добавила "защиту от дурака", то есть проверку на правильность введенных данных: скорость должна быть положительной, а угол принадлежать I четверти.

Блок-схема 3. Задача о полете камня под углом к горизонту.

>Ну и последнее о чем я задумалась, это переход от параметрического задания траектории к явной функции y=y(x). Выразим из уравнения x(t) в (6) время t и подставим в y(t):

Как мы и ожидали, получилось уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Причем, коэффициенты параболы являются константами относительно входных данных траектории: они не меняются со временем.

Если сравнивать полученные графики траекторий с тем, что мы ожидали и с тем, что должно получиться в теории, то можем полностью удовлетвориться результатом: полученные траектории действительно являются параболическими, симметричными относительно вертикальной линии через точку максимального подъема. Такие же параболические траектории мы можем наблюдать и в жизни, что дает мне основание утверждать, что программа работает верно.

Заключение

математический моделирование алгоритм delphi

В ходе моей работы я достигла своих основных целей: создание и исследование математических моделей, выполнив поставленные перед началом работы цели:

* Изучила подобранную литературу по темам: понятия и разновидности моделей, их классы, а так же этапы компьютерного моделирования;

* Построила 2 описательные математические модели в среде объектно-ориентированного программирования Delphi;

· Построила оптимизационную математическую модель в среде объектно-ориентированного программирования Delphi.

· Провела тестирование программ, проанализировав полученные результаты;

* Написала отчет о проделанной работе - результаты, полученные в ходе эксперимента, полностью совпали с теоретическими данными, указанными в первой главе;

* Составила презентацию результатов исследования в бумажной и электронной формах.

Следует добавить, что данные компьютерные модели можно также использовать в 11 классе в профильных группах при изучении раздела "Моделирование", а программу про транспортную задачу в экономических целях.

Список литературы

1. Гофман В.Э., Хомоненко А.Д. - Delphi. Быстрый старт. - Спб.: БХВ-Петербург, 2003. - 288 с.

2. Залогова Л.А.. Информатика и ИКТ. Задачник-практикум: в 2 т. И 74 Т.2; -3-е изд. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. - 294 с.

3. Н.Д. Угринович. Исследование информационных моделей. Элективный курс. Учебное пособие. -2-е изд., испр. и доп. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006 - 200 с.

Приложение 1. Скриншоты задачи о бактериях

Screenshot # 1. Пример не периодичной последовательности

Screenshot # 2. Пример не периодичной последовательности, гибель которой мы предсказали по устойчивости.

Screenshot # 3. Пример описанного в теоретической части "подвоха", когда дискриминант F становится положительным.

Screenshot # 4. Пример, когда последовательность становится статичной

Screenshot # 5. Пример периодичной последовательности

Приложение 2. Текст программы задачи о бактериях с комментариями

Здесь и далее для краткости будет опущено объявление объектов на форме.

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

// Процедура подсчета статической массы бактерий

var

a, b, x, m: real;

n: integer;

s: string;

begin

// Пытаемся считать данные из ячеек, одновременно проверяя данные на правильность ввода. Подобное бы будем делать в любой вызываемой процедуре по нажатию кнопки, потому далее на аналогичном останавливаться не буду.

try

a:=strtofloat(edit1.text);

b:=strtofloat(edit2.text);

x:=strtofloat(edit3.text);

n:=strtoint(edit17.text);

if ((a<=0)or(b<=0)or(x<=0)or(n<=0)) then begin

showmessage(`Неверные данные! Коэффициент размножения А, смертности В, начальная масса, точность - величины положительные, а М - неотрицательная');

exit;

end;

// по формуле расчета статической массы, которая должна "съедать" всю "прибыль" в массе, получаем М. Потом ее округляем. Если получаем отрицательную величину, то выводим undefened (неопределено), иначе- просто округленное значение

m:=a*x-b*x*x;

m:=roundto(m,-n);

if m<0 then s:='undefened' else s:=floattostr(m);

panel2.Caption:='M(ст)='+s;

except

showmessage(`Неправильный ввод данных!');

end;

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

//Процедура подсчета устойчивости для начальной массы

var

a, b, x, m, c, d, e, f, x0, x1, x2, x3, x4, h, dif: real;

k, n: integer;

s: string;

begin

try

a:=strtofloat(edit1.text);

b:=strtofloat(edit2.text);

x:=strtofloat(edit3.text);

m:=strtofloat(edit4.text);

n:=strtoint(edit17.text);

if ((a<=0)or(b<=0)or(x<=0)or(m<0)or(n<=0)) then begin

showmessage((`Неверные данные! Коэффициент размножения А, смертности В, начальная масса, точность - величины положительные, а М - неотрицательная'');

exit;

end;

// Рассчитываем главный детерминант

d:=(a+1)*(a+1)-4*m*b;

k:=1;

// Переменная отвечающая за тип ответа и номер причины, по которой мы не получим ответа

x0:=(a+1)/(2*b);

if d>=0 then begin

//рассчитываем по формулам дискриминанты E и F, в случае отрицательности которых записываем в k номер, который будет соответствовать причине

c:=x0-sqrt(d)/(2*b);

d:=x0+sqrt(d)/(2*b);

e:=(a+1)*(a+1)-4*b*(m+c);

f:=(a+1)*(a+1)-4*b*(m+d);

if (f<0) and (e>=0) then begin

k:=1;

x1:=x0-sqrt(e)/(2*b);

x2:=x0+sqrt(e)/(2*b);

end;

if (f>=0) and (e>=0) then begin

k:=2;

end;

if (e<0) then k:=0;

end

else k:=0;

h:=power(10,-n);

dif:=abs(x1-c);

c:=x1;

x3:=x2;

if (k=1) then begin

// Главный цикл while. Делать будем в нем до тех пор, пока разница между двумя соседними границами промежутка не будет меньше, чем наша точность, т.е. 10^(-n). При этом на каждой итерации мы считаем дискриминанты, ибо может получиться, что решения не будет. Этот подвох описывался в теоретической части.

while dif>h do begin

x1:=c;

e:=(a+1)*(a+1)-4*b*(m+x1);

d:=x0+x0-x1;

f:=(a+1)*(a+1)-4*b*(m+d);

if f>0 then begin

k:=3;

break;

end;

c:=x0-sqrt(e)/(2*b);

dif:=abs(c-x1);

end;

x1:=c;

x2:=x0+(x0-x1);

x1:=roundto(x1,-n);

x2:=roundto(x2,-n);

end;

// Выводим ответ или сообщение с причиной, почему нет решения.

if k=0 then s:='no decision';

if k=1 then s:='('+floattostr(x1)+' ; '+floattostr(x2)+')';

if k=2 then s:='No desicion: F>0!';

if k=3 then s:='No desicion: F became >0!';

panel3.Caption:='x: '+s;

except

showmessage(`Неправильный ввод данных!');

end;

end;

procedure TForm1.Button4Click(Sender: TObject);

//Процедура, которая рассчитывает размножение бактерий

var

a, b, x, y, m: real;

n, n1, i, k: integer;

begin

panel6.Visible:=false;

try

k:=1;

a:=strtofloat(edit1.text);

b:=strtofloat(edit2.text);

x:=strtofloat(edit3.text);

m:=strtofloat(edit4.text);

n:=strtoint(edit5.Text);

n1:=strtoint(edit17.Text);

if ((a<=0)or(b<=0)or(x<=0)or(m<0)or(n<=0)or(n1<=0)) then begin

showmessage(`Неверные данные! Коэффициент размножения А, смертности В, начальная масса, точность - величины положительные, а М - неотрицательная! Количество дней расчёта - целое и положительное!'');

exit;

end;

// Рассчитываем массу популяции на следующий день, которую обозначили за у. А потом просто переобозначаем за х. За счет этого мы избегаем пользования массивом, ибо нам не нужно хранить в памяти все промежуточные значения. Если на каком-то шаге масса становится отрицательная, то мы обрываем цикл, делаем видимой дополнительную панельку, на которой сообщаем день смерти.

for i:=1 to n do begin

if x>0 then begin

y:=(a+1)*x-b*x*x-m;

x:=y;

end

else

begin

k:=0;

x:=0;

break;

end

end;

if x<=0 then k:=0;

x:=roundto(x, -n1);

panel5.Caption:='Осталось: '+floattostr(x)+' гр.';

if k=0 then panel6.Visible:=true;

panel6.Caption:='День смерти: '+floattostr(i-1);

except

showmessage(`Неправильный ввод данных!');

end;

end;

procedure TForm1.Button5Click(Sender: TObject);

//Процедура которая рисует график. Практически полностью идентична предыдущей функции, только теперь полученные значения мы отмечаем на графике, а в случае смерти ставим точку на оси Y, соединяя последний день красным цветом.

var

a, b, x, y, m: real;

n, i: integer;

begin

chart1.Visible:=true;

Series1.Clear;

try

a:=strtofloat(edit1.text);

b:=strtofloat(edit2.text);

x:=strtofloat(edit3.text);

m:=strtofloat(edit4.text);

n:=strtoint(edit5.Text);

if ((a<=0)or(b<=0)or(x<=0)or(m<0)or(n<=0)) then begin

showmessage(`Неверные данные! Коэффициент размножения А, смертности В, начальная масса, точность - величины положительные, а М - неотрицательная! Количество дней расчёта - целое и положительное!'');

exit;

end;

for i:=1 to n+1 do begin

if x>0 then begin

Series1.AddXY(i-1,x,'',clGreen);

y:=(a+1)*x-b*x*x-m;

x:=y;

end

else

begin

x:=0;

Series1.AddXY(i-1,x,'',clRed);

break;

end

end;

except

showmessage(`Неправильный вод данных!');

end;

end;

procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);

//Процедура, считающая предельное значение массы. Ничего нового: считывание, расчет по формуле, вывод.

var

a, b, x1, m, d, c, z1, z2: real;

n: integer;

s: string;

begin

try

a:=strtofloat(edit1.text);

b:=strtofloat(edit2.text);

m:=strtofloat(edit4.text);

n:=strtoint(edit17.text);

if ((a<=0)or(b<=0)or(m<0)or(n<=0)) then begin

showmessage(`Неверные данные! Коэффициент размножения А, смертности В, начальная масса, точность - величины положительные, а М - неотрицательная');

exit;

end;

d:=a*a-4*b*m;

if d>0 then begin

x1:=(a+sqrt(d))/(2*b);

x1:=roundto(x1, -n);

s:=floattostr(x1);

end

else s:='undefened';

panel4.Caption:='X -> '+s;

except

showmessage('Неправильный ввод данных!');

end;

end;

end.

Приложение 3. Скриншоты программы для транспортной задачи 2х 2

Screenshot # 6. Вот так выглядит решение к задаче

Screenshot # 7. Такое сообщение появляется при ошибочных входных данных.

Screenshot # 8. Такое сообщение появится, если мы попытаемся ввести отрицательные значения

Приложение 4.Текст программы для транспортной задачи 2х 2

function minimum (a, b:integer) : integer;

begin

if a<b then minimum:=a else minimum:=b;

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

//Как обычно, пытаемся считать необходимые данные и проверяем их на правильность.

Var

a1,a2,b1,b2,s12,s22,s11,s21,x11,x12,x21,x22 :integer;

i,j,k,f, a11,a12,a22,a21: integer;

begin

try

a1:=strtoint(edit5.Text);

a2:=strtoint(edit6.Text);

b1:=strtoint(edit7.Text);

b2:=strtoint(edit8.Text);

s11:=strtoint(edit1.Text);

s12:=strtoint(edit4.Text);

s22:=strtoint(edit2.Text);

s21:=strtoint(edit3.Text);

except

showmessage(`Неправильный ввод данных!');

exit;

end;

If (b1+b2<>a1+a2) then begin

showmessage(`Количество товара на заводах не равняется требуемому на складах!');

exit;

end;

if ((a1<=0) or (b1<=0) or (a2<=0) or (b2<=0)) then begin

showmessage(`Количество запасов и требуемого товара - величины строго положительные!');

exit;

end;

if ((s11<0) or (s12<0) or (s21<0) or (s22<0)) then begin

showmessage(`Себестоимость доставки для любого завода в любой склад - величина неотрицательная!');

exit;

end;

// Теперь пробегаем все допустимые значения x[1,1] и, если получившиеся x[1,2],x[2,2],x[2,1] будут неотрицательны, сравниваем f с минимальным значение. Если мы получим меньше его, то заменяем значение f на получившееся и запоминаем все поставки x[i,j]

f:=2000000001;

for x11:=0 to minimum(a1,b1) do begin

x12:=a1-x11;

x21:=b1-x11;

x22:=b2-x12;

if ((x12>=0) and (x21>=0) and (x22>=0)) then

if (x11*s11+x12*s12+x21*s21+x22*s22)<f then begin

f:=x11*s11+x12*s12+x21*s21+x22*s22;

a11:=x11;

a12:=x12;

a21:=x21;

a22:=x22;

end;

end;

//После чего делаем видимыми некоторые окна и выводим как ответ в виде количества товара, так и суммарные затраты.

panel9.Visible:=true;

panel9.Caption:='F min='+inttostr(f);

edit9.Visible:=true;

edit10.Visible:=true;

edit11.Visible:=true;

edit12.Visible:=true;

edit9.Text:=inttostr(a11);

edit10.Text:=inttostr(a12);

edit11.Text:=inttostr(a22);

edit12.Text:=inttostr(a21);

end;

end.

Приложение 5. Скриншоты программы о полете камня под углом к горизонту

Screenshot # 9. Пример построения траекторий на одном графике.

Screenshot # 10. Пример проверки входных данных.

Screenshot # 11. Пример построения нескольких траекторий на одном графике с включенной сеткой.

Screenshot # 12. Масштабирование всех нарисованных траекторий по той, что имеет максимальную высоту.

Screenshot # 13. Масштабирование уже нарисованных траекторий по той, что имеет максимальную длину.

Приложение 6.Текст программы о полете камня под углом к горизонту

var

Form1: TForm1;

// tr - это массив траекторий, где первая размерность - номер траектории, а вторая ее характеристики: 1 - начальная скорость, 2 - угол к горизонту, 3 -масштаб по иксу, 4 -масштаб по игреку. J и K - глобальные переменные, первая отвечает за то, какая траектория сейчас по счет будет рисоваться, а вторая - по какой траектории ведется масштабирование графиков.

tr: array[0..100,0..10] of real;

c: array[0..100] of string;

j,k: integer;

drawlines: boolean;

implementation

{$R *.dfm}

// Процедура, которая расставляет числа на оси абсцисс и ординат. Входными являются коэффициенты масштабирования по осям. Кроме того, процедура правильно делает округление, чтобы, например, не было на оси два числа 2.9

procedure drawnum(image1: Timage; kx, ky: real);

var

i,n,m : integer;

z,b: real;

begin

image1.Canvas.Pen.Color:=clBlack;

image1.Canvas.pen.Width:=3;

for i:=0 to 8 do begin

image1.canvas.MoveTo(10+i*90,415);

image1.canvas.LineTo(10+i*90,425);

b:=720/(8*kx);

z:=i*720/(8*kx);

if b>=1 then z:=roundto(z,-1)

else begin

n:=0;

while b<1 do begin

b:=b*10;

n:=n+1;

end;

z:=roundto(z,-n);

end;

image1.Canvas.TextOut(10+i*90,425,floattostr(z));

end;

for m:=1 to 7 do begin

image1.canvas.MoveTo(15,420-50*m);

image1.canvas.LineTo(5,420-50*m);

b:=400/(8*ky);

z:=m*400/(8*ky);

if b>=1 then z:=roundto(z,-1)

else begin

n:=0;

while b<1 do begin

b:=b*10;

n:=n+1;

end;

z:=roundto(z,-n);

end;

image1.Canvas.TextOut(15,420-50*m,floattostr(z));

end;

end;

// Следующая процедура рисует сетку на графике, если установлена соответствующая галочка, точнее вызывается эта процедура, если опция сетки включена.

procedure drawnet(image1: Timage);

var

i,m: integer;

begin

image1.Canvas.Pen.Color:=clGray;

image1.Canvas.pen.Width:=1;

for i:=1 to 8 do begin

image1.canvas.MoveTo(10+i*90,415);

image1.canvas.LineTo(10+i*90,10);

end;

for m:=1 to 8 do begin

image1.canvas.MoveTo(15,420-50*m);

image1.canvas.LineTo(790,420-50*m);

end;

end;

// Следующая процедура рисует оси и треугольные окончания на оси иксов и игреков

procedure drawgrid(image1: Timage);

begin

image1.canvas.pen.color:=clBlack;

image1.Canvas.Pen.Width:=3;

image1.Canvas.MoveTo(10,420);

image1.Canvas.Lineto(10,10);

image1.Canvas.Lineto(5,20);

image1.Canvas.Moveto(10,10);

image1.Canvas.Lineto(15,20);

image1.Canvas.moveto(10,420);

image1.Canvas.Lineto(790,420);

image1.Canvas.LineTo(780,415);

image1.Canvas.moveto(790,420);

image1.Canvas.Lineto(780,425);

image1.canvas.TextOut(770,425,'x, м');

image1.Canvas.TextOut(20,10,'y, м');

end;

// Следующая процедура рисует график. Изменяя время от 0 до времени полета рассчитываем координаты точек и прорисовываем их. Если была включена анимация, то в промежутке между двумя соседними точками делается пауза в 40 мсек. Также автоматически учитывается шаг по времени, чтобы траектория рисовалась достаточно быстро и красиво.

procedure drawgraf(image1: Timage; v, a, kx, ky: real; animation: integer);

var

t, tf: real;

x,y: integer;

start, stop: longint;

begin

t:=0;

tf:=2*v*sin(a)/9.8;;

image1.Canvas.Pen.Width:=5;

while t<=tf do begin

x:=trunc ((v*cos(a)*t)*kx);

y:=trunc ((v*sin(a)*t-9.8*t*t/2)*ky);