Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (ОмГУПС (ОмИИТ))

Кафедра «Информационная безопасность»

Численное решение дифференциальных уравнений с частными производными

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине «Численные методы»

Студент гр. 25с

А.К. Шмаков

Руководитель -

доцент кафедры ИБ

М.Я. Епифанцева

Омск 2017



Аннотация

В работе рассматривается приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате с вершинами А(0;0), B(0;1), C(1;1), D(1;0) с шагом h=0,2. Для реализации метода выведена общая формула для нахождения значений функции во внутренних точках. Также составлена система линейных алгебраических уравнений. Для решения системы линейных алгебраических уравнений составлена программа реализации метода Зайделя с точностью e=0,001.

задача уравнение дирихле лаплас



Содержание

Введение

1. Численная постановка задачи

2. Получение начальных значений

3. Решение системы уравнений

Заключение

Библиографический список



Введение

Дифференциальным уравнением, содержащим частные производные, называется дифференциальное уравнение с частными производными. Дифференциальные уравнения с частными производными помогают решать задачи не только в математике, но также в физике, экономике и даже в биологии. В данной работе рассматривается численный метод решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.



1. Численная постановка задачи

Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате с вершинами А(0;0), B(0;1), C(1;1), D(1;0), с шагом h=0,2.

Заменив частные производные в уравнении Лапласа конечно-разностными соотношениями получим:

По условию . Сложим эти два уравнения:

=1/4* (1).

Таким образом можно вывести уравнение, с помощью которого можно будет считать значение функции во внутренних точках.

Графическая интерпретация шаблона типа крест представлена на рисунке 1.



Рисунок 1 - Графическая интерпретация шаблона типа «крест»

Также существуют другие шаблоны. Например, шаблон типа «Прямоугольник». Графическая интерпретация шаблона «прямоугольник» представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 - Графическая интерпретация шаблона типа «прямоугольник»

2. Получение начальных значений

Значения функции U(x,y) на стороне AB находится по формуле U(x,y)=45*y*(1-y); на стороне BC: U(x,y)=25*x; на стороне CD: U(x,y)=25; на стороне AD: U(x,y)=25*x*.

AB: U(x,y)=45y(1-y);

BC: U(x,y)=25x;

CD: U(x,y)=25;

AD: U(x,y)= 25*x*.

На рисунке 3 представлена область G, в которой ищется решение.

Рисунок 3 - Область G

AB: BC: CD: AD:

U(0;0)=0; U(0,2;1)=5; U(1;0,8)= U(0,2;0)=1,545;

U(0;0,2)=7,2; U(0,4;1)=10; = U(1;0,6)= U(0,4;0)=5,878;

U(0;0,4)=10,8; U(0,6;1)=15; = U(1;0,4)= U(0,6;0)=12,135;

U(0;0,6)=10,8; U(0,8;1)=20; = U(1;0,2)= U(0,8;0)=19,021;

U(0;0,8)=7,2; U(1;1)=25; = U(1;0)=25

U(0;1)=0;

На рисунке 4 представлена область G с вычисленными граничными значениями и пронумерованными внутренними точками.

Рисунок 4 - Область G с вычисленными значениями граничных точек

Используя шаблон типа «крест» (1) составляем следующую систему уравнений (2):

Для дальнейших расчетов необходимо определить начальные значения. Будем считать, что функция U(x,y) по горизонталям области G распределена равномерно.

На рисунке 5 изображена горизонталь с точками (0;0,2) и (1;0,2).

(0;0,2) (1;0,2)

Рисунок 5 - Горизонталь с точками (0;0,2) и (1;0,2)

Шаг изменения функции H1=(25-7,2)/2=3,56.

Получим:

На рисунке 6 изображена горизонталь с точками (0;0,4) и (1;0,4).

(0;0,4) (1;0,4)

Рисунок 6 - Горизонталь с точками (0;0,4) и (1;0,4)

Шаг изменения функции Н2=(25-10,8)/2=2,84.

Получим:

На рисунке 7 изображена горизонталь с точками (0;0,6) и (1;0,6).

(0;0,6) (1;0,6)

Рисунок 7 - Горизонталь с точками (0;0,6) и (1;0,6)

Значения в точках данной горизонтали будут такие же, как и на горизонтали с точками (0;0,4) и (1;0,4):

На рисунке 8 изображена горизонталь с точками (0;0,8) и (1;0,8).

(0;0,8) (1;0,8)

Рисунок 8 - Горизонталь с точками (0;0,8) и (1;0,8)

Значения в точках данной горизонтали будут такие же, как и на горизонтали с точками (0;0,2) и (1;0,2):

В таблице 1 представлены начальные значения внутренних точек, значения на границе, а также значения аргументов x,y функции U(x,y).

Таблица 1

1	0	5	10	15	20	25
0,8	7,2	10,76	14,32	17,88	21,44	25
0,6	10,8	13,64	16,48	19,32	22,16	25
0,4	10,8	13,64	16,48	19,32	22,16	25
0,2	7,2	10,76	14,32	17,88	21,44	25
0	0,0	1,545	5,878	12,135	19,021	25
Yi|Xi	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1

3. Решение системы уравнений

Для решения системы уравнений будет использован модифицированный метод Зайделя. Следует преобразовать систему уравнений (2) к рабочим формулам метода Зайделя:

=1/4*(8,745++);

=1/4*(5,878+++);

=1/4*(12,135+++);

=1/4*(44,021++);

=1/4*(10,8+++);

=1/4*(+++);

=1/4*(+++);

=1/4*(25+++);

=1/4*(10,8+++);

=1/4*(+++);

=1/4*(+++);

=1/4*(25+++);

=1/4*(12,2++);

=1/4*(10+++);

=1/4*(15+++);

=1/4*(45++).

Ниже приведен листинг программы, реализующей модифицированный метод Зайделя.

program Project1;

{$mode objfpc}{$H+}

uses

{$IFDEF UNIX}{$IFDEF UseCThreads}

cthreads,

{$ENDIF}{$ENDIF}

Classes

{ you can add units after this };

var U: array [1..16] of real;

U1:array [1..16] of real;

flag:boolean;

i,m:integer;

begin

U1[1]:=10.76;

U1[2]:=14.32;

U1[3]:=17.88;

U1[4]:=21.44;

U1[5]:=13.64;

U1[6]:=16.48;

U1[7]:=19.32;

U1[8]:=22.16;

U1[8]:=13.64;

U1[10]:=16.48;

U1[11]:=19.32;

U1[12]:=22.16;

U1[13]:=10.76;

U1[14]:=14.32;

U1[15]:=17.88;

U1[16]:=21.44;

repeat

flag:=true;

m:=m+1;

U[1]:=1/4*(8.745+U1[2]+U1[5]);

U[2]:=1/4*(5.878+U[1]+U1[3]+U1[6]);

U[3]:=1/4*(12.135+U[2]+U1[4]+U1[7]);

U[4]:=1/4*(44.021+U[3]+U1[8]);

U[5]:=1/4*(10.8+U[1]+U1[6]+U1[9]);

U[6]:=1/4*(U[2]+U[5]+U1[7]+U1[10]);

U[7]:=1/4*(U[3]+U[6]+U1[8]+U1[11]);

U[8]:=1/4*(25+U[4]+U[7]+U1[12]);

U[9]:=1/4*(10.8+U[5]+U1[10]+U1[13]);

U[10]:=1/4*(U[6]+U[9]+U1[11]+U1[14]);

U[11]:=1/4*(U[7]+U[10]+U1[12]+U1[15]);

U[12]:=1/4*(25+U[8]+U[11]+U1[16]);

U[13]:=1/4*(12.2+U[9]+U1[14]);

U[14]:=1/4*(10+U[10]+U[13]+U1[15]);

U[15]:=1/4*(15+U[11]+U[14]+U1[16]);

U[16]:=1/4*(45+U[12]+U[15]);

for i:=1 to 16 do

if abs(U[i]-U1[i])>=0.001 then flag:=false;

for i:=1 to 16 do

U1[i]:=U[i];

writeln (u[13]:3:3,' ',u[14]:3:3,' ',u[15]:3:3,' ',u[16]:3:3);

writeln (u[9]:3:3,' ',u[10]:3:3,' ',u[11]:3:3,' ',u[12]:3:3);

writeln (u[5]:3:3,' ',u[6]:3:3,' ',u[7]:3:3,' ',u[8]:3:3);

writeln (u[1]:3:3,' ',u[2]:3:3,' ',u[3]:3:3,' ',u[4]:3:3);

writeln;

writeln;

until flag = true;

writeln (m);

readln;

end.

На таблицах 2-19 приведены значения во внутренних точках, которые изменяются в процессе вычислений.



Таблица 2

9,577	13,098	16,814	20,738
11,789	14,936	17,718	21,137
9,114	14,317	15,897	20,388
9,176	12,354	16,312	18,493

Таблица 3

9,226	12,489	16,325	20,543
11,607	13,916	17,075	20,845
11,115	13,241	16,433	20,567
7,553	11,015	14,385	19,698

Таблица 4

8,971	12,176	16,109	20,449
11,196	13,409	16,717	20,686
10,842	12,874	16,29	20,486
7,719	10,306	14,643	19,808

Таблица 5

8,829	12,013	15,992	20,395
10,941	13,115	16,505	20,587
10,586	12,625	16,11	20,394
7,473	10,217	14,612	19,78

Таблица 6

8,752	11,921	15,922	20,361
10,796	12,49	16,373	20,523
10,438	12,447	15,971	20,324
7,387	10,126	14,538	19,738

Таблица 7

8,707	11,865	15,879	20,34
10,709	12,832	16,288	20,481
10,343	12,325	15,874	20,275
7,327	10,048	14,473	19,704



Таблица 8

8,68	11,83	15,851	20,326
10,655	12,763	16,233	20,454
10,279	12,244	15,808	20,242
7,284	9,99	14,426	19,681

Таблица 9

8,663	11,808	15,833	20,317
10,62	12,718	16,197	20,436
10,238	12,19	15,765	20,221
7,254	9,95	14,393	19,664

Таблица 10

8,651	11,793	15,821	20,311
10,598	12,689	16,173	20,424
10,211	12,154	15,736	20,206
7,233	9,924	14,372	19,653

Таблица 11

8,644	11,784	15,813	20,307
10,583	12,67	16,158	20,417
10,193	12,131	15,717	20,197
7,22	9,906	14,358	19,646

Таблица 12

8,639	11,778	15,808	20,305
10,574	12,658	16,148	20,412
10,181	12,166	15,705	20,191
7,211	9,894	14,348	19,642

Таблица 13

8,636	11,774	15,805	20,303
10,568	12,65	16,142	20,408
10,174	12,106	15,697	20,187
7,205	9,887	14,342	19,638



Таблица 14

8,634	11,771	15,803	20,302
10,564	12,645	16,137	20,406
10,169	12,099	15,691	20,184
7,201	9,882	14,338	19,636

Таблица 15

8,633	11,769	15,802	20,302
10,561	12,641	16,135	20,405
10,165	12,095	15,688	20,182
7,199	9,879	14,335	19,635

Таблица 16

8,632	11,767	15,8	20,301
10,558	12,637	16,131	20,403
10,162	12,09	15,684	20,18
7,196	9,875	14,332	19,634

Таблица 17

8,632	11,768	15,801	20,301
10,559	12,639	16,133	20,404
10,163	12,092	15,686	20,181
7,197	9,876	14,334	19,634

Таблица 18

9,631	11,767	15,8	20,301
10,557	12,636	16,131	20,403
10,161	12,089	15,683	20,18
7,195	9,874	14,332	19,633

Таблица 19

8,631	11,767	15,799	20,3
10,557	12,636	16,13	20,403
10,16	12,088	15,683	20,18
7,195	9,873	14,331	19,633



В таблице 20 представлены конечные значения во внутренних точках, значения на границе, а также значения аргументов x,y функции U(x,y).

Таблица 20

	0	5	10	15	20	25
0,8	7,2	8,63	11,77	15,80	20,30	25
0,6	10,8	10,56	12,64	16,13	20,40	25
0,4	10,8	10,16	12,09	15,68	20,18	25
0,2	7,2	7,20	9,87	14,33	19,63	25
0	0,0	1,55	5,88	12,14	19,02	25
Yi|Xi	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1



Заключение

В ходе курсовой работы представлен метод приближенного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Выведена общая формула для нахождения значений функции во внутренних узловых точках, а также посчитаны значения функции на границе и начальные значения функции во внутренних точках. С помощью общей формулы составлена система линейных алгебраических уравнений, которая впоследствии преобразована в рабочие формулы для метода Зайделя для решения систем линейных алгебраических уравнений. Для решения системы уравнений написана программа, реализующая метод Зайделя.



Библиографический список

1 Численные методы: учебное пособие : в 2 ч., Ч. 2 / Пименов В. Г. , Ложников А. Б. Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2014. 107 c.

2 Численные методы: лекции / Слабнов В. Д. Казань: Познание, 2012 2012. 192 c.

3 Численные методы: учебное пособие / Балабко Л. В. Архангельск: САФУ, 2014 Томилова А. В., 2014. 163 c.

Размещено на Allbest.ru