Эффективное координационное число многокомпонентной шаровой упаковки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эффективное координационное число многокомпонентной шаровой упаковки

Л.В. Мигаль

В статье рассмотрена математическая модель эффективного координационного числа, позволяющая получить уравнение для многокомпонентной шаровой упаковки во всем диапазоне его изменения. Полученная модель может работать как в 2-D, так и в 3-D пространствах. Вводится понятие показателя координации, как функции межчастичного расстояния, относящейся к отдельной частице, расположенной вблизи центральной частицы. Модель дает однозначное соответствие между моделируемыми и расчетными данными по координационным числам шаровой упаковки.

Ключевые слова: шаровая упаковка, координационное число, шестимерное пространство, показатель координации, межчастичное расстояние

In article the mathematical model of effective coordination number allowing to receive the equation for multicomponent spherical packing in all range of its change is considered. The received model can work both in 2-D, and in 3-D spaces. The concept of an indicator of the coordination as functions of interpartial distance relating to the separate particle located near the central particle is entered. The model gives unambiguous compliance between the modelled and settlement data on coordination numbers of spherical packing.

Keywords: spherical packing, coordination number, six-measured space, coordination indicator, interpartial distance

Теория кодов с исправлением ошибок имеет ряд естественных аналогов, одним из которых является упаковка сфер в евклидовом пространстве [1]. Изучение шаровой упаковки позволяет более глубоко рассмотреть методы, применяемые в теории кодирования [2]. Координационное число представляет собой один из наиболее важных параметров, используемых для описания пространственной структуры шаровой упаковки. В предыдущие годы были предприняты значительные усилия, с целью выяснить природу координационного числа [3]. Так, при рассмотрении вопроса о контактном числе (числе Ньютона), являющегося важным частным случаем для координационных чисел, спрашивается, какое наибольшее число равных шаров в n-мерном евклидовом пространстве может касаться одного шара того же размера. В дальнейшем будем обозначать это число как Z(n). Контактное число в 3-D размерности явилось предметом знаменитой дискуссии между И. Ньютоном и Д. Грегори в 1694 г. Однако равенство Z(3) = 12 было доказано Шютте и Ван дер Варденом только в 1953 г. А в 1978 г. Г.А. Кабатянский и В.И. Левенштейн предложили новый подход в теории кодирования: так называемый метод Дельсарта, и с его помощью нашли верхние границы для плотности упаковки шаров и асимптотическую границу для Z(n).

В случае многокомпонентной шаровой упаковки принято использовать понятие эффективного координационного числа (ЭКЧ). Эффективное координационное число Ze можно определить как число ближайших соседей в плотноупакованной системе частиц, расположенных вокруг выбранной (центральной) частицы, позволяющее оценить степень близости частиц друг к другу [4]. Проблема теоретической оценки ЭКЧ, в случае если соседи центральной частицы располагаются на разных расстояниях, была рассмотрена в работе Ф. Франка и Дж. Каспера [5]. Для определения координационного числа они использовали информацию о количестве плоскостей, образующихся на полиэдре Вороного. При таком подходе предполагалось, что все частицы имеют одинаковый объём, а также все плоскости в полиэдре равноценны. Несколько лет спустя Р. Хоппе [6] предложил другой вариант: из центра полиэдра проводятся линии, соединяющие выбранную частицу со всеми его соседями, а в точках контакта базовой частицы с другими частицами проводятся секущие плоскости. Поделив площади всех плоскостей на ближайшую (самую большую) плоскость, находят вклады всех частиц в эффективное координационное число.

Совершенно иной подход при определении ЭКЧ принадлежит Дж. Витингу [7]. Он принял вклад отдельной контактирующей частицы в ЭКЧ равным 1, на удвоенном расстоянии вклад уже принимался равным нулю, а в промежуточных случаях проводилась линейная интерполяция. В 1977 г. С. Бацанов и независимо от него Г. Бруннер [8, 9] предложили учитывать вклад окружающих частиц в ЭКЧ обратно пропорционально расстояниям между центральной частицей и частицами-соседями. В 2008 году для оценки ЭКЧ однокомпонентной шаровой упаковки В. Бондарев и др. [10] предложили использовать эмпирическое уравнение, основанное на экспоненциальной зависимости координационного числа от межчастичного расстояния

эффективный координационный шаровой упаковка

(1)

где - константа; - общее число частиц в первой и второй координационных сферах; - межчастичное расстояние между центральной и i-той частицей; - диаметр частицы. В 2015 году было выявлено [11], что ЭКЧ связано с плотностью регулярной шаровой упаковки квадратичной зависимость

(2)

здесь - плотность упаковки; - размерность пространства; - максимальная размерность физического пространства ().

Как видно из вышеизложенного, структурные характеристики шаровых упаковок на данный момент достаточно хорошо изучены, однако до настоящего времени нет теоретической основы, позволяющей проводить расчет параметров шаровых упаковок. Особенно мало работ, посвященных эффективному координационному числу из-за сложности и неопределенности результатов экспериментальных измерений данной характеристики. По этой причине, в связи с необходимостью устранения подобного пробела, целью представленного исследования явилось построение математической модели для оценки ЭКЧ шаровой упаковки.

Для построения математической модели ЭКЧ шаровой упаковки вначале рассмотрим геометрическую сторону данной проблемы. Для этого установим для создаваемой модели ряд ограничений. Во-первых размерность пространства, в котором расположена рассматриваемая шаровая упаковка, определим как шестимерное статическое пространство [1]. Во-вторых, будем считать, что ЭКЧ не зависит от размерности выбранного физического пространства. Другими словами, полученную модель можно будет применять для её оценки как в 2-D, так и в 3-D пространствах. В-третьих, примем допущение о возможности рассматривать ЭКЧ, представляющую собой сумму вкладов всех частиц-соседей, где каждый из этих вкладов будет оцениваться независимо друг от друга.

Основываясь на данных ограничениях, проведем постановку задачи. Пусть у нас имеется многокомпонентная шаровая упаковка, в которой все частицы являются сферическими и имеют различные размеры. Выберем внутри упаковки некоторую частицу, которую, в дальнейшем, будем называть центральной частицей. Также пусть вблизи центральной частицы размещены m частиц-соседей на уникальных (не эквивалентных) расстояниях. Выделим внутри шаровой упаковки отдельный кластер, состоящий из четырех контактирующих между собой частиц (рис. 1a). Здесь для упрощения рассмотрены частицы одинакового размера. Будем считать частицу, имеющую номер 1, центральной, частицу под номером 2 - координированной (связанной) с центральной, а частицы 3 и 4 назовем частицами-соседями. В этом случае, в качестве основной цели данной работы, необходимо выбрать оценку степени участия координированной частицы в определении ЭКЧ центральной частицы.

Рисунок 1 - Изображение 2-D кластера шаровой упаковки: a) однокомпонентная система; b) многокомпонентная система. 1 - центральная частица; 2 - координированная частица; 3, 4 - боковые частицы; - расстояние между центрами центральной и координированной частицами; высота слоя шаровой упаковки; Oi, ri - центры и радиусы частиц

Постановку задачи сформулируем следующим образом. Необходимо провести вывод уравнения для оценки ЭКЧ, на основе таких параметров как межчастичное расстояние и размеры центральной и координированной частиц в шаровой упаковки. Теперь, когда проблема однозначно определена, перейдем к моделированию ЭКЧ шаровой упаковки на основе формализованного подхода, который может привести к более глубокому пониманию физической природы понятия «координационное число».

Для построения математической модели ЭКЧ дополнительно введем новую функцию, позволяющую нам оценить вклад каждой отдельной частицы в ЭКЧ центральной частицы. В дальнейшем присвоим данной функции название - показатель координации Данный показатель будет представлять собой критерий парной координации для оценки расположения частиц шаровой упаковки относительно друг друга. Максимальное значение показателя координации примем равным единице в случае прямого контакта частицы-соседа и центральной частицы. Нижний предел будем считать соответствующим минимальному нулевому значению, которое достигается при межчастичном расстоянии превышающем значение (- радиус наименьшей частицы). Следовательно, пределы изменения показателя координации можно представить в виде неравенства: . В этом случае, эффективное координационное число может быть определено путем суммирования показателей координации всех частиц-соседей, расположенных вблизи центральной частицы

(3)

где - число частиц-соседей. Суммирование, в данном уравнении проводится при использовании предположения, что показатели координации отдельных частиц-соседей центральной частицы являются независимыми друг от друга.

Исследуем вклад в ЭКЧ центральной частицы отдельной, координированной с ней частицей, являющейся её близким соседом. Проведем моделирование показателя координации частиц предполагая, что еще две другие соседние частицы одновременно находятся в постоянном контакте как с центральной, так и с координированной частицей (рис. 1b).

Исходя из ранее рассмотренных условий, в качестве основного параметра, отвечающего за изменение показателя координации, примем такой параметр как - относительный объем, занимаемый кластером в 6-D пространстве, где представляет собой начальный объем кластера при контактировании центральной и координированной частиц. При контакте этих частиц межчастичное расстояние между ними будем считать численно равным сумме радиусов данных частиц.

Ниже приведем вывод уравнения показателя координации, идеология которого совпадает с ходом определения уравнения для плотности упаковки в [11]. Для оценки изменения показателя координации сместим центр координированной частицы на величину относительно центра центральной частицы. Тогда относительный объем 6-D пространства, для рассматриваемого кластера, изменится на величину . Пределы изменения показателя координации здесь могут быть даны от значения равного единице (контактирующие частицы) до некоторого произвольного значения , а для объёма 6-D пространства - от начального объема кластера , достигаемого при контакте частиц, до объёма , при котором показатель координации имеет значение .

Для записи дифференциального уравнения будем считать прямо пропорциональными бесконечно малые изменения абсолютных значений показателя координации и относительные приращения объема кластера в шестимерном пространстве. Также будем считать, что малые изменения абсолютных значений показателя координации будут пропорциональными самому показателю координации . Данное утверждение можно записать в виде дифференциального уравнения

(4)

где А - коэффициент пропорциональности.

Для записи выражения (4) в интегральной форме установим для переменных данного уравнения следующие пределы: для объема - от минимального значения =1, до некоторого текущего значения , а для показателя координации - от максимального значения , до текущего значения . Также произведем в этом уравнении и разделение переменных

(5)

В этом случае решение дифференциального уравнения (5) можно представить в виде

(6)

Согласно [1] размер области W, занимаемый частицами в шестимерном пространстве, можно выразить через квадрат объема V трехмерного пространства: , что позволяет нам оценить относительный объем кластера следующим образом: . В этом случае уравнение (5) можно записать в виде

(7)

Полученные теоретические результаты в дальнейшем сравнивались с известными расчетными данными по регулярным шаровым упаковкам. С целью получения количественных результатов, мы в проведенном анализе применили три этапа обработки. Во-первых, рассчитывались значения константы A для всех рассматриваемых структур, независимо от выбранного измерения пространства. Во-вторых, полученные данные учитывали при решении систем уравнений, где зависимость от расстояния между частицами определялась в виде уравнения второго порядка. В-третьих, определение координационных чисел для регулярной 2-D упаковки проводилось путем смещения слоев с учетом разделения их высоты на несколько частей. Здесь для 2-D упаковки, вычислив вначале плотности упаковки, затем по формуле (1) рассчитывали их координационные числа.

Для проведения оценки ЭКЧ определим ряд дополнительных расчетных данных для двумерного случая по плотности регулярной упаковки, координационного числа и расстоянию между центральной и координированной частицами (рис. 1a). Кроме известных данных по квадратной упаковке: ? = 0,7854; Z = 4; (R - радиус второй координационной сферы); , а также по гексагональной упаковке: ? = 0,9069; Z = 6; ; , необходимо иметь данные еще по трем дополнительным регулярным упаковкам. Для этого, используя уравнение (2), были просчитаны аналогичные данные при различных значениях координационных чисел: Z = 4,5; 5,0; 5,5. Значения постоянной A при проведении расчетов принимались равными: . Результаты проведенных расчетов представлены в табл. 1.

Таблица 1 - Результаты расчета ЭКЧ регулярных шаровых упаковок

Как видно из табл. 1 полученные результаты подтверждают возможность аналитического описания эффективного координационного числа многокомпонентной шаровой упаковки. При этом, относительная погрешность расчетов ЭКЧ составляет величину воспроизводимую до второго знака после запятой.

Таким образом, полученная математическая модель ЭКЧ с высокой точностью воспроизводит данные по оценке координационного числа. Уравнение координационного числа для многокомпонентной шаровой упаковки можно применять для описания состояния систем частиц, а определение ЭКЧ теперь сводится только к нахождению межчастичных расстояний.

Список литературы

1. Conway J., Sloane N.J.A. Sphere packings, lattices and groups. - New York: Springer-Verlag, 1993. - Vol.1. - 415 p.

2. Shlosman S., Tsfasman M.A. Random lattices and random sphere packings: typical properties // Moscow math. journal. - Vol.1, N.1, 2001. - P.73-89.

3. Torquato S. Random heterogeneous materials. - London: Springer. - 2013. - 703 p.

4. German R.M. Particle packing characteristics. - Metal Powder Industries Federation: Princeton, NJ, 1989. - 458 p.

5. Frank F.C., Kasper J.S. Complex alloy structures regarded as sphere packings. I. Definitions and basic principles //Acta Cryst. - 1958. - Vol. 11. - P. 184-190.

6. Hoppe R. Effective coordination numbers and mean active fictive ionic radii // Z. Krist. - 1979. - Vol. 150. - P. 23-52.

7. Tromel M. The crystal-chemistry of irregular coordinations // Z. Krist. - 1986. - Vol. 174. - P. 196-197.

8. Бацанов С.С. Эффективное координационное число атомов в кристаллах // Ж. неорган. хим. - 1977. - Т. 22. - №5. - P. 1155-1159.

9. Brunner G.O. A definition of coordination and its relevance in the structure types AlB2 and NiAs //Acta Cryst. - 1977. - Vol. A 33(1). - P. 226-227.

10. Бондарев В.Г., Мигаль Л.В., Бондарева Т.П. Имитационное моделирование структуры плотноупакованных систем твердых дисков // Научн. ведомости БелГУ. - 2008. - № 9 (49), Вып. 14. - С. 248-261.

11. Бондарев В.Г., Мигаль Л.В., Бондарева Т.П. Структурные характеристики регулярной шаровой упаковки // Физико-математическое моделирование систем: материалы ХIV Международного семинара. Ч.1. - Воронеж, 2015. - С. 49-54.

Размещено на Allbest.ru