М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, Т. В. Синькова

Размещено на http://www.allbest.ru/

14

Математичні методи обробки даних

ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2002, Т. 4, № 2 11

Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах

М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Т.Г. Постникова, Т.В. Синькова

Институт проблем регистрации информации НАН Украины

ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина

Продолжено изучение методов построения сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах. Предложен метод разложения выражения для нормы гиперкомплексного числа на исходное число и произведение всех сопряженных к нему.

Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, сопряженный элемент, норма, мнимая единица.

В первой части статьи [1] рассматривались методы построения сопряженных элементов, основанные на симметриях гиперкомплексного пространства. Как показано, этот подход не всегда эффективен.

Более общий подход основан на использовании выражения для нормы гиперкомплексного числа, которая, как показано в работе [2], определятся:

, (1)

где -- структурные константы рассматриваемой гиперкомплексной числовой системы (ГЧС). Для сопряженных элементов a, ac1, …, ac, n-1 должно выполняться равенство:

, (2)

где Е -- единичный элемент рассматриваемой ГЧС. Пусть

k = 1, …, n - 1. (3)

Подставляя (3) в (2) и приравнивая выражения при одинаковых базисных элементах, получим систему из (n - 1)-го алгебраического уравнения от n(n - 1) неизвестного. Решение такой системы может оказаться весьма затруднительным. В принципе она может не иметь ни одного вещественного решения. Добиться упрощения этой системы и уменьшения числа неизвестных можно, используя особенности структуры конкретной ГЧС. Рассмотрим пример.

Пусть, задана ГЧС вида R C. Ее таблица умножения:

Единичный элемент этой системы

Е = е1 + е2 (4)

не содержится в базисе {е1, е2, е3}. Норма числа в этой ГЧС, вычисленная по (1), будет:

.

сопряженный гиперкомплексный числовой уравнение

Так как в этой ГЧС содержится система комплексных чисел, то следует ожидать, что одним из сопряженных элементов есть сопряжение, аналогичное сопряжению в системе комплексных чисел: если

,

.

Относительно сопряженного элемента никаких предположений нет. Поэтому

.

Вычисляем уравнение (2) при помощи (3) с учетом (4):

.

Приравнивая выражения при одинаковых базисных элементах, получаем систему:

Решение существует и оно единственное:

Таким образом, совокупность сопряженных имеет вид:

;

;

.

Следует отметить, что их сумма не есть вещественное число или его аналог, а это является важным свойством операции сопряжения [1].

И, наконец, если относительно вида сопряженных нет никаких предварительных соображений и уравнение (2) не имеет вещественных решений, то можно найти не сами сопряженные элементы, а их произведение, то есть, положив в (2) произведение

(5)

Так как (2) превратится в линейную систему, то можно определить . Это даст возможность записать вид произведения всех сопряженных элементов, что достаточно для выполнения операции деления:

. (6)

Как видно из (6) деление возможно, так как в знаменателе -- вещественное число или его аналог в данной ГЧС. При этом напомним, что перед операцией деления необходимо проверить, не является ли число а делителем нуля, так как в этом случае N(a) = 0 и деление на а невозможно.

Рассмотрим пример. Пусть дана ГЧС с таблицей умножения

Норма по (1) имеет вид:

С учетом (5) уравнение (2) превратится в систему:

Ее решение даст вид произведения сопряженных элементов:

Выводы

При рассмотрении вопроса о построении сопряженных для произвольных ГЧС могут встретиться два случая:

а) вариант, когда можно определить вид всех сопряженных данному гиперкомплексному числу;

б) вариант, когда можно определить только некоторую величину, равную произведению всех сопряженных.

В любой ГЧС произведение всех сопряженных (по п. а и б) и исходного гиперкомплексного числа равно норме, умноженной на единичный элемент этой ГЧС.

Существуют ГЧС, для которых сумма всех сопряженных и исходного числа не равна вещественному числу или его аналогу.

Литература

Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах. Часть1 // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2002. -- Т. 4. -- № 1. -- С. 38-42.

Развитие и исследование методов гиперкомплексных числовых систем применительно к моделированию систем уравнений для широкого класса задач: Отчет о НИР (заключ.) / Институт проблем регистрации информации НАН Украины; № ГР 0193V002037. -- К., 1993. -- 192 с.

Catoni F. Hypercomplex numbers, Functions of hypercomplex variable and Physical Fields (RT/ERG/94/18). Online:http//www.studi131.casaccia.enea.it/enea/it/rt/exg9418.html (1994).

Размещено на Allbest.ru