Программный комплекс математического моделирования электрических полей в цилиндрических кусочно-однородных средах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Программный комплекс математического моделирования электрических полей в цилиндрических кусочно-однородных средах

План

1. Функциональное назначение программы

2. Постановка задачи и метод ее решения

2.1 Обратная задача

2.2 Прямая задача

2.3 Сплайн-аппроксимация образующей

3. Интерфейс программы

4. Используемые технические средства

5. Условия передачи программной документации или ее продажи

Литература

1. Функциональное назначение программы

Электроразведка - один из основных методов геоэлектрики при поиске и разведке месторождений полезных ископаемых.

Интерпретация электроразведочных экспериментальных данных сводится к определению строения и свойств среды по наблюдаемым значениям поля. Известная информация о положении месторождения и его размерах позволяет оценить мощность залежей и перспективу их дальнейшей разработки.

Задача определения геометрических параметров среды на основе известных значений потенциала электрического тока относится к классу обратных задач электроразведки. В геофизике сложность решения обратных задач следует из принципа эквивалентности структур, когда двум существенно различным геофизическим разрезам могут соответствовать близкие значения экспериментальных данных. Академиком А.Н. Тихоновым разработана теория решения подобных задач [1].

Предлагаемая программа предназначена для решения прямых и обратных задач при наличии в кусочно-однородной среде произвольного по форме цилиндрического тела, направляющая которого описывается сплайн-функцией [8-9]. Подобные задачи представляют интерес в электроразведке глубокозалегающих протяженных локальных включений, которые могут быть представлены с определенным приближением как бесконечные цилиндры.

2. Постановка задачи и метод ее решения

2.1 Обратная задача

Пусть в цилиндрической слоистой среде с удельными электрическими проводимостями _i и параллельными образующими, в слое k находится цилиндрическое тело ₀ с границей , удельной электрической проводимостью _0. Введем систему координат так, чтобы ось цилиндрического тела была параллельна оси OY (рис.1).

Предположим, что в многосвязной дискретной области E, мощности , являющейся подобластью априорно известна функция распределения потенциала

где - поверхность цилиндрического «звездного» включения, заданная параметрически, - L-мерный вектор ограниченных параметров, - параметрически заданная направляющая, аппроксимированная сплайном, - радиус векторы точек направляющей от известной внутренней прямой , (рис.2).

Направляющая цилиндра ищется как решение задачи о минимизации функционала [2]

здесь , а при ограничениях на параметры , в качестве стабилизирующего функционала может быть использован функционал

где , - весовые множители, - экспериментальные значения потенциала в точках , u_ij=u(P_j,A_i) - решение прямой задачи в соответствующих узлах E.

Решение обратной задачи осуществляется алгоритмами вариационного типа [7] на основе метода локальных вариаций и метода Хукка-Дживса ориентированного на поиск минимумов сильно овражных функций.

2.2 Прямая задача

Математическая модель задачи описывающая потенциальное поле точечного источника постоянного тока интенсивности I, возбуждаемого в точке A(x₀, 0, z₀) слоя Щ_l , у_l, представляется в виде краевой задачи:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

где -нижняя граница слоя _i при i=1,…,N-1 и «дневная» поверхность при i=0; - вектор нормали; - функция Дирака.

Решение прямой задачи найдем комбинированным методом интегральных преобразований и интегральных уравнений.

Для этого применим к задаче интегральное косинус-преобразование Фурье:

Умножим (1) - (6) на cosmy и проинтегрируем по y от 0 до . получим параметрическое семейство (относительно параметра ) двумерных краевых задач:

, (7)

(8)

, (9)

, , (10)

, при (11)

Решение задачи (7) - (11) будем искать в виде суммы потенциала источника и потенциала двойного слоя:

(12)

(13)

где - потенциал двойного электрического слоя на направляющей границе включения,

где - функция Грина слоистой среды, - плотность потенциала двойного слоя; .

Подставим (12) и (13) в первое равенство (9) и, учитывая, что при переходе через границу раздела сред потенциал двойного слоя терпит разрыв , получим следующее интегральное уравнение Фредгольма II рода:

, (14)

Искомое решение восстанавливается формулой обращения:

где находится из равенств (12), (13), в которых неизвестная плотность потенциала двойного слоя определяется из интегрального уравнения Фредгольма II рода (14).

В случае важного в практике геофизических работ плоско-параллельного горизонтально-слоистого полупространства ( - плоскости ), функция Грина определяется следующей краевой задачей :

электроразведка глубокозалегающий локальный включение

, ,

, при

Решение последней находится с помощью интегрального косинус преобразования по переменной x и рекуррентным формулам быстрого счета [6].

2.3 Сплайн-аппроксимация образующей

Важным с точки зрения более точного определения поверхности тела вращения является увеличение числа параметров описания образующей.

Рассматривается подход определения образующей тела вращения, аппроксимированной сплайном S() заданным по системе узлов (_i, R_i), (рис. 3).

По аналогии с параметрическим заданием сфероида, аппроксимируем сплайном по равномерной (по углу ) сетке узлов [10]:

где S() - является расстоянием от внутренней точки (0,0,z_vkl) до кривой на луче =const и определяется на частичном отрезке [_i -1, _i] как сплайн по следующим формулам:

- для кубического:

- для параболического:

где неизвестные коэффициенты k_i, a_i, b_i, c_i, i=0,1,…,N определяется из решения системы линейных алгебраических уравнений, формируемых из условия непрерывности S^//() и S^/() соответственно.

3. Интерфейс программы

Оболочка «Программный комплекс математического моделирования электрических полей в цилиндрических кусочно-постоянных средах» с удобным пользовательским интерфейсом.

Главная форма программы, предназначенная для отображения результатов решения обратной задачи, имеет основное меню, в котором содержатся все необходимые средства для управления вычислительным экспериментом, часть из которых вынесена в панель инструментов в виде кнопок для более быстрого доступа. Форма состоит из двух информационных областей (рис. 4):

- панели результатов, где в табличном виде отображаются числовые результаты - текущие значения параметров задачи (параметры образующей, значение минимизирующего функционала, количество итераций и обращений к прямой задачи, время счета, и другие);

- графической, которая в виде динамически изменяемого рисунка демонстрирует процесс сходимости вариационного метода решения (здесь отображается изменяющаяся в процессе поиска решения форма искомой образующей).

В данной форме имеется ряд средств, которые могут помочь исследователю при анализе изучаемого процесса. Так при щелчке мышью на графической области или выбора соответствующей команды из основного меню открывается форма настроек изображения «Вид образующих» (рис. 5), в которой можно: изменять цвет, шрифт, толщину линий, размер сетки системы координат; фиксировать рисунок в любой момент времени для последующего сохранения картинки.

Рис. 4. Интерфейс модуля «Вычислительный эксперимент»

Рис. 5. Панель «Вид образующих»

Программа имеет форму «Начальные условия и параметры задачи», в которой задаются все начальные условия и параметры, необходимые для решения задачи.

Эта форма содержит 6 закладок:

1. «Среда»

На этой закладке (рис. 6) задаются основные параметры вмещающего пространства. Здесь исследователь выбирает вид исследуемой среды: однородного или слоистого пространства или полупространства. При выборе горизонтально-слоистой среды нужно задать ее структуру: количество слоев, толщину и удельную электрическую проводимость каждого слоя.

2. «Включение»

На этой закладке (рис. 7) исследователь задает основные параметры для образующей включения. Здесь имеется группа переключателей «Вид образующей» для выбора способа задания исследуемого тела. При выборе переключателя «Эллипс» нужно в соответствующие элементы управления ввести значения его полуосей. При выборе переключателя «Произвольная форма» образующая цилиндра задается через сплайн. В этом случае нужно задать количество узлов и значения в них. Здесь же, независимо от выбора переключателей «Вид образующей», задаются удельная электрическая проводимость включения и глубина его залегания.

3. «Площадка»

На этой закладке (рис. 8) задаются основные параметры (размеры, место расположение относительно включения, количество источников и приемников тока) площадки исследования. Здесь пользователю предоставлена возможность выбора способа задания экспериментальных данных (группа «Выбор способа заполнения экспериментальных значений»): либо посредством расчета (кнопка «произвольно») для построенного на страничке «Включение» тела, либо считыванием данных из внешнего файла с помощью кнопки «из файла». Считанные из файла экспериментальные данные можно отредактировать и сохранить - кнопка «Сохранить».

4. «Обратная задача»

Основным назначением этой закладке (рис. 9) является выбор вариационного метода минимизации с задания основных параметров для него и подключения стабилизирующего функционала с выбором параметра регуляризации.

Рис. 6. Страничка «Среда»

Рис. 7. Страничка «Включение»

Рис. 8. Страничка «Площадка»

Рис. 9. Страничка «Обратная задача»

5. «Общие»

На этой закладке (рис. 10) задаются параметры, необходимые для решения прямой задачи: интенсивность тока источников, разбиения образующей на узлы интегрирования (для интегрального уравнения), вид вычисляемого потенциала и другие.

Рис. 10. Страничка «Общие»

При изменении любого из перечисленных параметров в данной форме имеется возможность параллельного просмотра получаемого отображения. Параметры, вводимые пользователем в данную форму, могут сохраняться во внешнем файле и загружаться из него.

Программа содержит отдельную форму (рис. 11) для решения прямых задач с одноименным названием. Здесь пользователь имеет возможность построить решение прямой задачи в виде двух/трехмерных графиков - профилей/поверхностей потенциалов и КС. И хотя данная форма носит вспомогательный характер, на ней имеется весь необходимый перечень управляющих элементов для полноценного исследования возникающих прямых задач.

Рис. 11. Страничка «Прямая задача»

В программе имеется возможность оформления получаемых в процессе поиска решения результатов в виде отчета.

Имеется консольный вариант приложения, требующий значительно меньше ресурсов для своей работы.

4. Используемые технические средства

Программа разработана на языке Object Pascal в среде Borland Delphi 7.0 и представляет собой компилированный exe-файл для работы под ОС Windows_9X/2000/XP.

5. Условия передачи программной документации или ее продажи

Программная документация распространяется свободно, сама программа на договорных условиях.

Литература

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

2. Друскин В.Л. О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводимостей. // Физика земли - 1982. - №1.- С.72-75.

3. Кризский В.Н., Герасимов И.А., Ермолаев А.В., Заваруева М.Б. К задаче определения границ квазитрехмерных включений в слоистых средах кусочно-постоянной проводимости.// Труды института прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2001, т.6, с.71-74.

4. Кризский В.Н. Определение границ квазитрехмерных кусочно-однородных сред методами электроразведки// Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Материалы 30-й сесии Международного семинара им. Д.Г. Успенского, М: ОИФЗ РАН, 2003, с.59-60.

5. Кильдибекова Г.Я. Поле точечного источника тока в горизонтально-слоистой среде с цилиндрическим включением.//Численные методы решения уравнений математической физики. Уфа: БФАН СССР, 1986,с.64-74 .

6. Филатов В.А., Хогоев Е.А. Расчет поля точечного источника в слоистой среде.// Новосибирск. ВЦ СО АН СССР; Рук.Деп В ВИНИТИ 13.02.87, №1065-В87.

7. Старостенко В.Н., Оганесян С.М. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их приближенное решение методом регуляризации А.Н. Тихонова// Геофиз. Журнал - 2001. - Т23, №6. - с,3-20.

8. Беляева М.Б., Кризский В.Н Математическое моделирование электрических полей в цилиндрических кусочно-однородных средах со сплайн-аппроксимацией границ // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Материалы 33-й сессии Международного семинара им. Д.Г.Успенского, Екатеринбург, 30 января-3 февраля 2006 г.-Екатеринбург: Институт геофизики УрО РАН, 2006, с.30-34.

9. Кризский В.Н., Беляева М.Б., Рахимов И.Р., Трегубов Н.В., Хлесткин П.Н., Чекрыжев В.А. Математическое обеспечение информационных систем геоэлектроразведки кусочно-однородных сред. /// в кн. «Обратные задачи в приложениях» Коллективная монография под общ. ред. проф. С.М.Усманова. - Бирск: БирГСПА, 2006.

10. В.Н. Кризский. Определение границ квазитрехмерных включений в слоистых средах кусочно-постоянной проводимости// Вопросы математического моделирования и механики сплошных сред. Сб. научных трудов. - Бирск: Бирск. гос. пед. ин-т, 2000, с.165.

Размещено на Allbest.ru